ДЕФОРМАЦИЯ ПЛОСКОЙ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ПОТЕРЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Труды МАИ. Выпуск № 95

http://trudymai.ru/

УДК 539.4

Деформация плоской статически неопределимой стержневой системы при потере устойчивости стержней

Гнездилов В.А.*, Гришанина Т.В.**, Нагорнов А.Ю.***

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия

*e-mail: gnezdilov_07@mail.ru * *e-mail: t.grishanina@mai. ru * * *e-mail: andrey-nagornov@mail.ru

Аннотация

Представлен новый подход для решения геометрически нелинейной задачи статического деформирования плоской стержневой системы. Каждый стержень системы, работающий на растяжение и изгиб и жестко соединенный в узлах с другими стержнями, рассматривается как конечный элемент. Его большие перемещения в составе конструкции характеризуются четырьмя неизвестными координатами концов стержня (узлов, которые он соединяет) и тремя обобщенными координатами, две из которых представляют относительные углы поворота его концов и третья - амплитудное значение формы потери устойчивости защемленного на концах стержня. Таким образом, достаточно точно описывается прогиб стержня с подвижными узлами при его возможной потере устойчивости.

Уравнения статически нелинейной деформируемой системы под действием сил и моментов, приложенных в узлах, получаются на основании принципа

возможных перемещений. Эти уравнения решаются численно с использованием метода Ньютона. Рассмотрен пример расчета.

Ключевые слова: стержневые системы, геометрически нелинейное деформирование, большие перемещения, потеря устойчивости.

Введение

Удлиненные фермы (решетчатые балки) часто используются в различных конструкциях (краны, мачты, мосты, опоры подвесных линий электропередачи, пр.), а также в космических конструкциях, развертываемых или собираемых на орбите. В некоторых случаях такие конструкции могут испытывать большие упругие перемещения с большими углами поворота стержней, например - гибкие мачты при сильном ветре. Если при этом деформации всех элементов конструкции остаются упругими, то после прекращения действия нагрузки она возвращается в свое исходное состояние. Поэтому при проектировании таких конструкций обычно требуется, чтобы при максимальных эксплуатационных нагрузках в них не возникали необратимые деформации и повреждения (трещины).

В статически неопределимых системах допускается потеря устойчивости отдельных сжатых стержней с появлением умеренных конечных прогибов, величины которых ограничены продольными перемещениями («усадкой») и углами поворота в узлах, соединяющих потерявший устойчивость стержень с другими стержнями.

Геометрически и физически нелинейным задачам деформирования, прочности и несущей способности стержневых систем посвящено большое число публикаций с

разработками различных численных и вариационных методов расчета; здесь отметим работы [1-8].

В данной работе предложен новый подход для решения плоской задачи геометрически нелинейного деформирования статически неопределимых стержневых систем при больших перемещениях с учетом потери устойчивости отдельных стержней.

Уравнения равновесия при больших перемещениях

Рассмотрим плоскую ферму (решетчатую конструкцию) произвольной статически неопределимой структуры со стержнями постоянного поперечного сечения, жестко соединенными между собой в узлах. Под действием сил и моментов, приложенных в узлах, ферма может иметь большие перемещения при упругих конечных деформациях стержней. При определенных нагрузках некоторые сжатые стержни могут терять устойчивость с умеренными конечными прогибами, ограниченными продольными перемещениями («усадкой») и углами поворота на концах в узлах. При дальнейшем нагружении такие стержни будут частично участвовать в работе, а усилия в других стержнях статически неопределимой системы будут перераспределяться. Несущая способность фермы будет исчерпана при некоторой критической нагрузке, при которой из-за глобальной неустойчивости группы стержней начинается катастрофическое увеличение перемещений. В качестве предельной эксплуатационной нагрузки можно принять нагрузку, при которой в некотором опасном сечении стержней будет достигнуто появление пластических деформаций.

£

(^^> Ур)

к

(хк, Ук)

X

Рис. 1 - Деформированный стержень

Рассмотрим и-ый стержень (рис. 1) соединяющий узлы к и р в исходном недеформированном состоянии с координатами хр, У0 и х°р, у°р, соответственно. Длина и угол наклона оси недеформированного стержня в глобальной декартовой системе координат х, у обозначаются через 1п и фЩ и определяются как

х„ Xи

7 // р Р\2 , / р - О ур ук о хр хк 1п = д/ (хр-хр) + (Ур-Ук) , фр -, СОБ фп = р

к

к

(1)

В деформированном состоянии фермы координаты узлов к и р будут х^, ук и

х^, у^. При больших перемещениях и углах поворота для и-го стержня будем

использовать местную систему координат £, ц с осью £, проходящей через узлы к и р, с началом в узле к, рис. 1. Расстояние между узлами к и р и угол наклона оси £

для и-го стержня в деформированном состоянии будем обозначать через 1п и фп,

тогда будем иметь

7 Г, 72 ■ ур ук хр хк 1п =^(хр-хк) + (Ур-Ук) , этфп -, СОБФп = р

к

к

При растяжении постоянной продольной силой N и изгибе «-го стержня постоянного поперечного сечения с учетом нагрева относительная конечная деформация удлинения его оси в квадратичном приближении будет [9]

N

8 =--

8п

а Л 1

ЕК

1 'п

11"1 "а+ п ^; З® " (I), (3)

/

п V п У

п о

где ЕК - жесткость п-го стержня на растяжение; ап, - коэффициент температурного расширения и превышение температуры по отношению к нормальной температуре (при которой производился монтаж фермы без начальных напряжений); Зп (I), ип (I) - угол поворота оси стержня и его поперечное перемещение при изгибе с граничными условиями (0) = (1п) = 0. Здесь углы поворота Зп считаются умеренными при выполнении с необходимой точностью условия собЗи «1 - /2. Практически можно принять тахЗ < 0.5 рад.

Для использования метода Ритца функцию ип (I) представим в виде

у ип (I) = Зп,*+ дп,,т(!) + УпХ(^); д (I) = »'(I); о© = 1(1 -I)2, т© = -!2(1 -I), X© = 16?2(1 -?)2; 1 = 1

1п

(4)

Аппроксимация (4) достаточно точно описывает формы и критические значения потери устойчивости сжатого стержня при следующих граничных условиях: шарнир - шарнир; шарнир - заделка; заделка - заделка, а также - при условиях упругого шарнирного закрепления с произвольным коэффициентом угловой жесткости от 0 до да.

Потенциальная энергия растяжения и изгиба п-го стержня:

1п

Пп = 1 тп е п +1 Е1п | V? d£.

гч п п п гч

2 2 0

где Е1п - жесткость и-го стержня на изгиб. С учетом (3) и (4) после вычислений получим:

Пп = +14 [< к +< р + д, к д, р +; (5)

N

ЕК

' ' ^ «пС + ^ <»2,к +»п,р- 1 д,кд,р + 162 /п + 8(»п,к -дп,р / >] ■ (6)

±-1

I

п V п /

Так как нагрузка приложена только к узлам, то обобщенную координату /п можно определить, используя уравнение равновесия дПп / / = р. Получим: к 7 N * Е1

/. =кп(да-д»,р); к. = • Р = 421г- (7)

Здесь Рп представляет критическую силу сжатия стержня с жестко защемленными краями по форме х(£); точное решение для этого случая дает Р* = 4л2 Е1 /12 = 39.48Е/ /12. Необходимо, чтобы для всех стержней фермы выполнялось условие Ып + Рп > р наряду с условиями отсутствия пластических деформаций и умеренности конечных углов поворота за счет изгиба (тах д < р.5 рад )■

После исключения обобщенной координаты / с использованием (7) выражения (5), (6) записываются в виде

Пп = 14 Ет [(1+16 к2 )(»п, р - дп, к )2 + Здп, к дп, р ]; (8)

[

N

ЕК,

[

Г1 л -п -1

I

1 16 о о 3

а/п + - <(1 - 2Кп +16 кп )(Зп,р - Зп,* )2 + 3 Зп,*Зп,р ]. (9)

п V п у

15

7

При этом изгибающие моменты на краях п-го стержня и поперечная сила

(рис. 2) будут:

- Мп,к = ^Зп,к + епЗп,р, Мп,р = епЗп,к + dnЗn,р,

Оп = 1 (Мп,р - Мп,к ) = 1 ^п + еп )(Зп,к + Зп,р ); -п -п

Е1 2 Е1 2 1

^п = 4+ ^Хп1п(1 -Кп), ^ = 2+ -Ып1п(Кп -

(10)

Обозначим через щ и полные углы поворота к-го и р-го узлов при деформировании фермы. Тогда из условий жесткого соединения концов «-го

стержня с этими узлами Афп + Зп к = щк, Афп + Зп = щ р получим

Зп,к = Щк - АФп , Зп,р = Щр - АФп ; АФп = Фп - Фп •

(11)

Здесь Афп зависит от неизвестных координат хк, ук и хр, ур согласно

соотношениям (2). Поэтому углы Зпк и З выражаются через эти координаты и

углы щк и щ Р; при этом Зп,р- Зп,к = щр- щк.

Рис. 2 - Силовые факторы, действующие на п-й стержень

0

п

X

Вариация работы сил , Yk, направленных вдоль координатных осей x, y, и моментов Нк, приложенных в s узлах к = 1, 2, 3, ..s:

8A = X (^t + Yk 8yk + Нк ). (12)

к

Система уравнений равновесия узлов фермы в деформированном состоянии получается на основании принципа возможных перемещений 5П = 5A, где

П = X Пп :

п

дП дП дП

— = ^к, т—= Yk, т—= Нк, к = 1, 2, s. (13)

дхк дУк д^к

С учетом (2), (8), (10), (11) эти уравнения записываются в виде - X (Nn C0S Фп + Qn Фп ) = ^к ,

п

X (N sin Фn-Qn cos Фп) = Yk, (14)

п

X Мпк = Нк; (к = 1,2,..., s).

п,

п

Здесь суммирование по п производится по стержням, соединенным с узлом к.

Для решения полученной системы 3s нелинейных алгебраических уравнений могут быть использованы различные подходы и численные методы: метод итераций; метод Ньютона; метод последовательных нагружений с увеличением нагрузки на каждом шаге; сведение к начальной задаче интегрирования по времени квазистатических дифференциальных уравнений для хк (?), ук (?), у к (^), полученных из (14) путем введения условного демпфирования (Х^ ^ Х^ (¿)- \кХк, ¥к ^ ¥к ()- Vкук, нк ^ нк (1)- ЦкукX где V к, цк - некоторые заданные

коэффициенты демпфирования. Для численной реализации указанных подходов могут быть использованы известные вычислительные программы.

Пример расчета

В качестве примера рассмотрим ферму, состоящая из 4-х одинаковых секций с одинаковыми площадями F и моментами инерции I поперечных сечений всей

9 2 3 2

стержней при следующих исходных данных: а = 1 м, Е = 7^10 Н/м , F = 10- м , I = (1/3) 10-9 м4, рис. 3. Ферма нагружается силой Г7 = -Р, приложенной в узле 7.

Решения системы нелинейных алгебраических уравнений (14) было получены по методу Ньютона.

На рис. 4 и 5 приведены графики перемещений 7-го узла относительно исходного положения вдоль осей х и у соответственно. Сплошными линиями показаны результаты, полученные без учета обобщенных координат /п, представляющих формы потери устойчивости стержней, а пунктирными -полученные с учетом /п.

[м]

5x10

- 0.01

0.015

0

140

280

Р [Н]

Рис. 4 - График перемещения 7-го узла вдоль оси х

На рис. 6 и 7 изображены графики усилий, возникающих в стержнях 2, 3 и в сжатых стержнях 1, 4, 5, соответственно, при увеличении силы Р. Сплошными линиями показаны результаты, полученные при / = 0, а пунктирными линиями - с

учетом /п, т.е. с учетом потери устойчивости стержней.

[м]

- 0.1

- 0.2

- 0.3

140

280

Р[Н]

Рис. 5 - График перемещения 7-го узла вдоль оси у

0

0

Рис. 6 - Графики усилий в стержнях 2 и 3

В рассмотренном примере сначала теряет устойчивость стержень 1, а затем при малом увеличении силы Р происходит потеря устойчивости диагонального

стержня 4, которая сопровождается потерей несущей способности системы в целом. При других параметрах системы возможны последовательные неустойчивости различных сжатых стержней при увеличении нагрузки.

Выводы

Представленный новый подход для решения геометрически нелинейной задачи статического деформирования плоской стержневой системы, позволяет получить решение для стержневой системы с учетом потери устойчивости отдельных её элементов.

Библиографический список

1. Воронцов Г.В., Петров И.А., Алексеев С.А. Матрицы жесткости пространственно загруженных неленейно деформируемых стержней. Часть 1 // Известия Вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2008. № 2. С. 15-17.

2. Воронцов Г.В., Петров И.А., Алексеев С.А. Матрицы жесткости пространственно загруженных неленейно деформируемых стержней. Часть 2 // Известия Вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2008. № 4. С. 68-72.

3. Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Алгоритмы расчета напряженного состояния геометрически нелинейно деформируемых тонкостенных стержней // Известия Вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2008. № 3. С. 41-45.

4. Ефрюшин С.В., Викулов М.А. Исследование несущей способности стержневых систем, применяемых в мостостроении по методу предельного равновесия // Строительная механика и конструкции. 2010. № 1. С. 9-17.

5. Попов В.В., Сорокин Ф.Д., Иванников В.В. Разработка конечного элемента гибкого стержня с раздельным хранением накопленных и дополнительных поворотов для моделирования больших перемещений элементов конструкций летательных аппаратов // Труды МАИ. 2017. № 92. URL: http: //trudymai .ru/published.php?ID=76832

6. Светлицкий В.А. Механика стержней: Учеб. для вузов. Статика. - М.: Высшая школа, 1987. - 320 с.

7. Шклярчук Ф.Н. Упругодинамические континуальные модели длинных ферм регулярной структуры // Известия РАН. Механика твердого тела. 1994. № 1. С. 156163.

8. Шклярчук Ф.Н. К расчету деформированного состояния и устойчивости геометрически нелинейных упругих систем // Известия РАН. Механика твердого тела. 1998. № 1. С. 140-146.

9. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Нелинейные и параметрические колебания упругих системю. - М.: Изд-во МАИ, 1993. - 68 с.