CC BY
53VII Международная научно-практическая конференция
УДК 626.01
Харченко Олег Витальевич Kharchenko Oleg Vitalievich
Магистрант Master
Дальневосточный федеральный университет Far Eastern Federal University
ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОЗДЕЙСТВИЯ ЛЬДА НА ИНЖЕНЕРНЫЕ СООРУЖЕНИЯ ШЕЛЬФА
DYNAMIC MODEL OF ICE IMPACT ON THE SHELF ENGINEERING STRUCTURES
Аннотация, за последние годы можно привести огромное количество примеров численного моделирования воздействия ледового слоя на сооружения континентального шельфа. В первую очередь на это повлияли знания о залежах там углеводородного сырья, способного восполнить возможный в будущем дефицит нефти и газа. Однако, несмотря на вышесказанное, вопрос о достоверности полученных данных при численном моделировании процесса взаимодействия льда с гидротехническими сооружениями остается открытым. В особенности это проявляется при рассмотрении проблемы динамики их взаимодействия: возникновения возможных вибраций и т.д. В связи с этим в данной работе проведен теоретический анализ проблемы вибраций сооружений после их контакта с ледовым покровом, а также анализ модели динамики процесса их контакта в программном комплексе ANSYS. Сделан вывод о целесообразности применения полученной модели на практике.
Abstract, In recent years, a huge number of examples of numerical modeling of the impact of the ice layer on the continental shelf structures can be given. First of all, this is influenced by the knowledge about the deposits of hydrocarbon raw materials there, which can make up for a possible future shortage of oil and gas. However, despite the above, the question of the reliability of the data obtained in numerical modeling of the interaction of ice with hydraulic structures remains open. This is especially evident when considering the problem of the dynamics of their interaction. the occurrence of possible vibrations, etc. In this regard, this paper provides a theoretical analysis of the problem of vibration of structures after their contact with the ice cover, as well as an analysis of the model of the dynamics of the process of their contact in the ANSYS software package. The conclusion is made about the expediency of applying the obtained model in practice.
«Вопросы развития современной науки и техники»
Ключевые слова: Арктический шельф, динамическая модель, динамическая нагрузка, ледовая нагрузка, статическая нагрузка, численное моделирование, шельфовые сооружения.
Keywords: Arctic shelf, dynamic model, dynamic load, ice load, static load, numerical simulation, offshore structures.
На сегодняшний день огромное количество мировых залежей углеводородного сырья однозначно оправдывает причины столь высокого интереса к разведке и изучению арктического шельфа [1]. Ведь они уже давно стали источниками восполнения дефицита нефти и газа в ситуациях, когда потребление углеводородов в какой-либо момент времени превышает уровень их добычи [2].
Говоря о Российском континентальным шельфе, нельзя не упомянуть его огромный потенциал - около 85% потенциальных залежей углеводородов относятся к холодным морям Северного Ледовитого и Тихого океанов [3]. Этот факт является основополагающим для развития российской нефтегазовой отрасли в данной области. Однако, вкупе с проблемой удаленности от берега, большой процент эвентуальных для освоения месторождений характеризуется суровыми климатическими условиями и, соответственно, наличием дрейфующих льдов в зимний период, нагрузка которых на гидротехнические сооружения определяет их конструкцию и, соответственно, стоимость [2].
Именно этот факт влечет за собой совершенствование методов определения нагрузок ледяных масс на гидростатические конструкции, поскольку их скорректированное значение, полученное в результате исследований, может повысить надежность конструкции и рентабельность проекта, что требует, прежде всего, учет факторов, способных изменить величину ледовых нагрузок на конструкции континентального шельфа [2].
Чтобы лучше разобраться в теме данной статьи, необходимо понять, что представляет из себя феномен «нагрузки», а также какие его виды существуют. Таким образом, появляется возможность плавно перейти к понятиям «статическая» и «динамическая» нагрузка.
VII Международная научно-практическая конференция Как известно, «статической» называют нагрузку, медленно возрастающую от нуля до своего конечно значения [4]. В данном случае мы можем пренебречь возникающими силами инерции, т.к. ускорения частиц элементов конструкции от такой нагрузки невелики. Тут же встает резонный вопрос: что делать, если таковая нагрузка возрастает в быстром темпе? И уже в этом случае нам необходимо учитывать силы инерции, появившиеся в результате деформации системы, а в отдельных случаях - из-за нагрузки, вызывающей движение тела с некоторым ускорением. И именно такие нагрузки называются «динамическими».
Теперь поговорим непосредственно о динамических нагрузках льда на гидротехнические сооружения, что и является темой данной статьи. В первую очередь стоит отметить, что что ледовые нагрузки возникают в результате контактного взаимодействия льда и морских сооружений по механизму разрушения ледяных образований [5-8].
Нагрузки, называемые «динамическими», обычно наблюдаются в период, когда происходят значительные ускорения частиц нагруженного тела или тела, контактирующего с ними: например, при ударе или во время колебаний [9].
При испытании конструкций динамической нагрузкой в зависимости от поставленной цели решаются следующие задачи:
определение динамических характеристик конструкции: частоты и формы собственных колебаний, коэффициентов демпфирования колебаний, значений динамических коэффициентов;
изучение динамических характеристик эксплуатационной нагрузки: направление, величина, частота возмущающих сил с целью выяснения причин динамических процессов, происходящих в конструкции [9].
Колебания, которые совершает конструкция после прекращения действия на нее внешней нагрузки, называют «естественными».
Для работы конструкции очень важно соотношение частот вынужденных и собственных колебаний. Когда частота собственных колебаний конструкции совпадает с частотой внешних сил, возникает явление «резонанса», сопровождающееся резким увеличением амплитуды колебаний, динамических
«Вопросы развития современной науки и техники» сил и напряжений в несущих элементах. Этого явления следует избегать при
принятии какого-либо вида проектных решений [9].
Основным критерием надежной работы конструкции при динамических
воздействиях является динамический коэффициент 1+^, который выражает, во
сколько раз динамические перемещения превышают аналогичные параметры
при действии статической нагрузки. Чем больше значение коэффициента
динамичности, тем ниже надежность конструкции.
Теоретическое значение динамического коэффициента принимается при
проектировании конструкции в соответствии с некоторыми нормативными
требованиями [10].
Основными параметрами, характеризующими работу конструкций под
воздействием на них переменных во времени нагрузок, являются:
собственная частота колебаний;
логарифмический декремент колебаний;
динамический коэффициент;
предел выносливости.
Все они достоверно определяются только при динамических испытаниях искусственных сооружений [9].
Различают 4 типа колебаний: случайные, прямые, круговые и периодические [11].
Случайные колебания являются наиболее распространенным типом вибрации при хрупком разрушении. Они имеют случайную форму с преобладанием не только направления дрейфа льда, но и поперечного движения. Из-за высокой гибкости в направлении У ускорение по данной оси обычно равно ускорению в направлении дрейфа льда (рис. 1).
VII Международная научно-практическая конференция
Acceleration к [rtVs1] 7jme [5j
Рис. 1. Ускорение в направлении осей X и Y во время случайной вибрации [11]
Прямые колебания характеризуются большими амплитудами отклика, направление которых совпадает с направлением дрейфа льда. Хотя направление Y настолько слабое, движения поперек дрейфа ледового поля практически нет. Это вызвано синхронизацией разрушения льда по окружности конструкции, что приводит к периодической ледовой нагрузке в направлении дрейфа льда. Нагрузка и реакция во время прямых колебаний находятся в фазе по частоте, близкой к собственной частоте конструкции (рис. 2).
-1.5-1-<-\-р-1-»-(-1-1-1-
324 325 32& 327 328 329
Time [s]
Рис. 2. Реакция на вибрацию прямого типа [11]
В редких случаях конструкция может совершать круговые движения, показанные на рис. 3. Нагрузка и отклик на нее находятся в фазе, близкой к одной из наиболее высоких собственных частот, что подтверждает факто того, что только верхняя часть модели колеблется, в то время как когда монтажная часть находится в покое.
«Вопросы развития современной науки и техники»
Рис. 3. Ускорение по осям X и У во время круговой вибрации [11]
Периодические же колебания характеризуются постоянной формой в течение нескольких циклов. Некоторые примеры приведены на рис. 4. Их всех объединяет то, что ледовой нагрузки в течении времени имеет пилообразную форму, а ее частота является целой долей собственной частоты.
Аы»19гаиоп к [т/5'| АссЫегдИоп х [т/й1]
Рис. 4. Ускорение в направлении X и У при различных типах периодических колебаний [11]
Существующие на текущий момент методы расчета статических глобальных ледовых нагрузок не учитывают колебания ледостойких конструкций [12-14]. Динамические ледовые нагрузки, вызванные дроблением ледяных образований (плоских и слоистых ледяных полей, торосов, плавучих ледяных островов) при контакте с опорой, приводят к возникновению затухающих колебаний и автоколебаний в системе ледового строительства; они
VII Международная научно-практическая конференция учтены в ISO 19906:2010 (E) и СП 23.13330.2011 «Основания гидротехнических
сооружений».
В соответствии с СП 23.13330.2011, динамические ледовые нагрузки используются для оценки прочности и долговечности, несущей способности и местной прочности основания, устойчивости положения конструкции, включая прогноз вероятности утонения грунта основания, а также анализ «обитаемости» платформы и безопасной эксплуатации рабочими ее оборудования. В этом случае динамические нагрузки и воздействия на основание, а также динамические ледовые нагрузки следует определять расчетом, учитывающим совместную работу конструкции и фундамента [15].
Согласно ISO 19906:2010 (E) динамический анализ на основе нелинейных моделей структурных колебаний необходим для исключения возможности автоколебаний. Однако данный документ не считает автоколебания аварийной проектной ситуацией; необходимость их учета при проектировании строительных конструкций определяется Техническим регламентом о безопасности зданий и сооружений [13].
Отсюда можно сделать вывод: современные стандарты определения нагрузок на конструкции шельфа от плоского льда все-таки предполагают определение динамических нагрузок. Однако, рассчитанные таким методом нагрузки часто превышают реальные показания на различных гидротехнических сооружениях. Кроме того, методика определения этих нагрузок в соответствии со стандартом ISO не учитывает многие параметры, важные для динамического воздействия, такие как скорость ледового поля, форма гидротехнической конструкции, ее параметры жесткости и инерции.
Исследования вибрации конструкций показывают, что при взаимодействии льда и конструкций учитывается несколько диапазонов скоростей, которые определяют характер взаимодействия [16].
Натурные эксперименты в статье [17] показали, что колебания конструкций происходят при малых ледовых скоростях. В этой же работе была получена зависимость прочности льда на одноосное сжатие от скорости
«Вопросы развития современной науки и техники» деформации льда. Полученные уравнения также использовались для анализа динамических взаимодействий на конструкции [18].
Значительный шаг в решении проблемы возникновения вибраций был сделан в статьях [19, 20], где описан процесс разрушения льда путем растрескивания. В статье [21] находи использование модель для описания взаимосвязи усилия и деформации (соотношение сил и деформаций в ранее созданных трещинах). Также были использованы положения механики разрушения, разработанные в статье [22].
В статьях [23, 24] описан принцип работы в области статического и динамического моделирования с помощью метода конечных элементов.
Итак, после всего вышесказанного будет резонно предположить, что для наиболее точного изучения динамического взаимодействия льда с гидротехническими сооружениями необходимо использовать численное моделирование. Далее подробно расскажем, что оно из себя представляет.
При запуске в производство какого-либо продукта или конструкции, инженерам необходимо доказать способность данного объекта выдерживать ожидаемые нагрузки в течение всего срока его службы. Ранее для этого создавались и испытывались физические образцы; однако данный метод является довольно затратным. Именно поэтому сегодня инженеры делают выбор в пользу численного моделирования методом конечных элементов, позволяющего вносить коррективы в проект непосредственно по ходу разработки.
Данный метод основан на разбиении больших сложных структур («моделей») на сетку, состоящую из дискретных элементов. Элементы связаны друг с другом в точках («узлах»), и создают непрерывную поверхность. Программное обеспечение создает наборы уравнений в соответствии с типами элементов и свойствами материала. Затем данные уравнения решаются численно и результаты решения представляются визуально. Конечно-элементные модели могут использоваться практически для любой комбинации типов нагрузки, включая сосредоточенные силы, моменты, давления и тепловые нагрузки.
VII Международная научно-практическая конференция Модели могут быть сконструированы для применения линейных или
нелинейных, статических или динамических нагрузок, а также сценариев, таких
как удары, потоки жидкости и газа, изгибы, теплопередача и анализ собственной
частоты.
Численные модели характеризуются тем, что значения необходимых величин можно получить в результате применения соответствующих численных методов. Все численные методы позволяют получить только частную информацию относительно искомых величин, поскольку для своей реализации требуют задания конкретных значений всех параметров, входящих в математическое соотношение. Для каждой искомой величины приходится по-своему преобразовывать математическую модель и применять соответствующую численную процедуру.
Численное моделирование воздействия льда на гидротехнические сооружения - довольно новое направление исследований. Моделирование хрупкого разрушения с переходом льда от сплошной сферы к дискретной с учетом пространственной анизотропии льда, зон высокого давления в области контакта с конструкцией, с учетом внешних и внутренних факторов, влияющих на ледовую нагрузку [25] - все эти признаки присущи сложному поведению льда, контактирующего с гидростатической конструкцией, и представляют собой определенную проблему при компьютерном моделировании данного процесса. Предварительное численное моделирование процесса взаимодействия позволяет ученым определить направление и область воздействия на конструкцию, что может снизить количество и стоимость необязательных полевых испытаний [26]. На сегодняшний день не существует моделей, полностью учитывающих всю специфику удара льда.
С другой стороны, практически с начала активного развития компьютерных технологий делаются попытки и разрабатываются модели для численного моделирования ледовых эффектов [27-32]. При разработке численных моделей особый интерес представляет метод конечных элементов; это инструмент, который позволяет решать многие задачи динамики и статики.
«Вопросы развития современной науки и техники» Моделирование выполняется в ANSYS, LS-DYNA, ABAQUS и других
доступных коммерческих программах.
Программное обеспечение ANSYS состоит из обширного семейства
удобных многоцелевых расчетных кодов, которые имеют много общего и
предназначены для удовлетворения потребностей пользователя при решении
широкого круга инженерных задач.
Основной продукт, пакет ANSYS/Multiphysics, предоставляет достаточно
полный программный инструмент. В дополнение к этому, компания создала
коды расчетов для подмножества специализированных, автономных программ
или модулей, расширяя удобство и функциональность программных
инструментов для анализа разработок [33].
Далее будет подробно разобран процесс создания динамической модели
взаимодействия льда с гидротехническим сооружением с дальнейшим ее
анализом.
Исследование было проведено с помощью численного моделирования в пакете ANSYS (динамическое моделирование взаимодействия толщи льда с гидротехнической конструкцией была проведено в модуле «Explicit Dynamics»). Плоское ледяное поле считалось твердым телом. Разрушение ледового поля при введении в него опоры конструкции моделировалось методом удаления отдельных конечных элементов при достижении в них критерия разрушения.
В этой статье была принята наиболее распространенная модель теории прочности Мора-Кулона (рис. 5) со следующими основными допущениями численной модели:
моделируется хрупкое разрушение льда при относительно высоких скоростях деформации льда. Предполагается, что до разрушения льда ему свойственны только упругие свойства. Не учитываются пластические и вязкоупругие свойства, возникающие при низких скоростях деформации льда;
численная модель не в полной мере воспроизводит эффект масштабного эффекта ледовой нагрузки (в основном из-за того, что природа данного эффекта
VII Международная научно-практическая конференция до конца не изучена). Этот факт необходимо учитывать при анализе результатов
моделирования;
за счет удаления конечных элементов скопление фрагментов льда в зоне воздействия льда на опору конструкции не учитывается.
Рис. 5. Графическое представление моделей материалов по теории прочности [171]
Для наиболее правдоподобного поведения льда при столкновении с гидротехническим сооружением модель была построена в комплексе АКБУБ (рис. 6).
Рис. 6. Численная модель прямоугольного бетонного блока и ледяного поля с соответствующими граничными условиями
«Вопросы развития современной науки и техники» На этом рисунке показано ледяное поле, которое врезается в блок из бетона B50, который служит опорой для конструкции.
Параметры льда, использованные для создания его модели, представлены в табл. 1.
Таблица 1. Параметры льда для его численного моделирования [3]
Параметр Единицы измерения Значение
Плотность кг/м3 910
Модуль Юнга ГПа 5
Коэффициент Пуассона - 0,34
Объемный модуль ГПа 5.21
Модуль сдвига ГПа 1,86
Предел прочности на сжатие МПа 2.0
Предел прочности на растяжение МПа 0,7
Говоря же о характеристиках морского льда, используемых при разработке модели, необходимо, как уже было сказано выше, учитывать нюансы процесса исследования, а также факторы, способствующие их изменению. Таким образом, данные в табл. 1 параметры должны быть переменными, зависящими, к примеру, от скорости деформации льда и времени, в течение которого лед находился без воздействия внешних усилий [4].
Ледяному полю были заданы ограничения на поперечное смещение (на рис. 6 - сторона B и противоположная ей) по осям У и Z. Сила, заставляющая ледяное поле двигаться к бетонному блоку, была приложена со стороны С. Бетонный блок ограничен смещением по оси X. Гравитационные силы и гидродинамический эффект воды не учитывались.
Пример разрушения ледяного поля показан на рис. 7. Во-первых, стоит отметить, что острые края прямоугольного блока концентрируют напряжения в толще льду в месте начального контакта точно в углах соприкосновения; отсюда же ледяное поле начинает разрушаться. После того, как лед треснет по углам
VII Международная научно-практическая конференция блока, основное давление падает на его центральную часть. Наблюдается повышенная плотность зон высоких напряжений давления льда. Далее, при окончательном разрушении торцевой части льдины зоны повышенного давления занимают уже незначительную часть общей площади контакта, проявляясь в краевых местах по площади зоны контакта.
Рис. 7. Этапы разрушения льда, показанные в программном
комплексе А^У8
Во многих источниках упоминается, что нагрузка на конструкцию от ледового поля передается через зоны высокого давления, которые в основном сосредоточены в средней части зоны контакта льда с конструкцией [34]. Причина тому - хрупкое разрушение льда и неплотный контакт льда с целью. Модель выше удовлетворяет этим условиям.
Библиографический список:
1. Ким, С.Д. Определение ледовых нагрузок на конструкции континентального шельфа по стандартам разных стран / С.Д. Ким, О.М. Финагенов, Т.Э. Уварова // Ведущая газовая наука. - 2013. - Т.3, .№5. - С. 97-103.
2. Лобанов, В.А. Моделирование льда в задачах с заменой конечных элементов / В.А. Лобанов // Дифференциальные уравнения и процессы управления. - 2013. - Т.1, №4. - С. 19-29.
«Вопросы развития современной науки и техники»
3. Харченко, О.В. Основные свойства льда для его численного моделирования / О.В. Харченко // Материалы региональной научно-практической конференции «Молодежь и научно-технический прогресс». - 2020. - Т.1, №1. - С. 380-383.
4. Дарков, А.В. Сопротивление материалов / А.В. Дарков, Г.С. Шапиров. -М: Средняя школа, 2013. - 654 с.
5. Вершинин, С.А. Воздействия льда на сооружения Сахалинского шельфа / С.А. Вершинин, П.А. Трусков, К.В. Кузмичев. - М: Гидростроймост, 2005. -205 с.
6. Ведяков, И.И. Динамические ледовые нагрузки и колебания морских нефтегазопромысловых сооружений / И.И. Ведяков, В.К. Востров, В.В. Третьяков // Строительная механика и расчет сооружений. - 2014. - Т.1, №26. - С. 69-78.
7. Востров, В.К. Строительные проблемы российского шельфа и автоколебания ледостойких стационарных нефтегазопромысловых сооружений / В.К. Востров, В.В. Третьяков // Журнал нефтегазового строительства. - 2015. -Т.1, №2. - С. 44-51.
8. Мацкевич, Д.Г. Исследования льда на платформе «Grand Point» / Д.Г. Мацкевич, У. Спринг, В. Тилко и др. // Химиздат. - 2007. - Т.1, №21. - С. 217-220.
9. Бычковский, Н.Н. Ледовые строительные площадки, дороги и переправы / Н.Н. Бычковский, Ю.А. Гурьянов. - Саратов: Саратовский государственный технический университет, 2005. - 260 с.
10. СП 35.13330.2011. Мосты и трубы: утвержден приказом Министерства регионального развития Российской Федерации (Минрегион России) от 28 декабря 2010 г. №822 и введен в действие с 20 мая 2011 г. - URL: https://docs.cntd.ru/document/1200084849 (дата обращения: 22.04.2021). - Текст: электронный.
11. Каптелин, С.Ю. Испытание сооружений динамическими нагрузками / С.Ю. Каптелин // Известия Петербургского университета путей сообщения. -2014. - Т.1, №2. - С. 92-99.
VII Международная научно-практическая конференция
12. Ziemer, G. Ice model tests with a compliant cylindrical structure to investigate ice-induced vibrations. Proceedings of International Conference on Offshore Mechanics and Arctic Engineering. USA. June, 2014. URL: https://www.researchgate.net/publication/286518744_Ice_Model_Tests_With_a_Co mpliant_Cylindrical_Structure_to_Investigate_Ice-Induced_Vibrations (24.04.2021).
13. ISO 19906:2010(Е). Промышленность нефтяная и газовая. Арктические морские сооружения. - URL: https://www.iso.org/standard/33690.html (дата обращения: 24.04.2021). - Текст: электронный.
14. СП 38.13330.2011. Нагрузки и воздействия на гидротехнические сооружения (волновые, ледовые и от судов): актуализированная редакция СНиП 2.06.04-82*: утвержден приказом Министерства регионального развития Российской Федерации (Минрегион России) от 29 декабря 2011 г. №635/12 и введен в действие с 01 января 2013 г. - URL: https://docs.cntd.ru/document/1200095522 (дата обращения: 25.04.2021). - Текст: электронный.
15. ФЗ №384. Технический регламент о безопасности зданий и сооружений: принят Государственной Думой 23 декабря 2009 г. - URL: https://docs.cntd.ru/document/902192610 (дата обращения: 25.04.2021). - Текст: электронный.
16. Мансуров, М.Н. Критические ледовые воздействия на морские нефтегазовые сооружения / М.Н. Мансуров, В.К. Востров // Вести газовой науки. - 2017. - Т.1, №17. - С. 119-128.
17. Шхинек, К.Н. Воздействия льда на береговые сооружения / К.Н. Шхинек, С. Лосет, О. Гудместад, К. Хойланд. - СПБ: Лань, 2010. - 272 с.
18. Gurtner, A. Experimental and Numerical Investigations of Ice-Structure Interaction: PhD Thesis / A. Gurtner. - Norway: Norwegian University of Science and Technology, 2009. - 182 p.
19. Peyton, H.R. Sea Ice Forces. Ice Pressure against Structures. National Research Council of Canada, Ottawa, Technical Memorandum No. 92. - P. 117-123.
«Вопросы развития современной науки и техники»
20. Nandan, H. Ice induced vibration implementation of Maattanen model and development of design supplements / H. Nandan, A.H. Younan, L. Deng // Proceedings of the 21st International Conference on Port and Ocean Engineering under Arctic Conditions, Montreal, Canada, July 2011. - P. 510-519.
21. Shkhinek, K.N. Global ice load dependency on structure width and ice thickness / K.N. Shkhinek, S. Loset, T. Karna // Proc. of 17th Int. Conf. on Port and Ocean Eng. under Arctic cond. (POAC-03). Trondheim, 2003. - P. 45-57.
22. Sand, B. Nonlinear finite element simulations of ice forces on offshore structures: Thesis for the degree of philosophy doctor. - Lulea: Lulea University of Technology, 2008. - 436 p.
23. Derradji-Aouat, A. Explicit FEA and constitutive modeling of damage and fracture in polycrystalline ice - simulations of ice loads on offshore structures / A. Derradji-Aouat // Proc. of 18th Int. Conf. on Port and Ocean Eng. under Arctic cond. (P0AC-05). Potsdam, NY, 2005. - P. 22-35.
24. Gurtner, A. Experimental and Numerical Investigations of Ice-structure Interaction: Thesis for the degree of philosophy doctor / Trondheim: Norwegian University of Science and Technology, 2009. 368 p.
25. Lu, W. Cohesive Zone Method Based Simulations of Ice Wedge Bending: a Comparative Study of Element Erosion, CEM, DEM and XFEM // Proc. of 21st IAHR international Symposium on Ice. Dalian, 2012. - P. 76-81.
26. Салганик, E.A. Вибрации шельфовых сооружений при действии льда / Е.А. Салганик, К.Н. Шхинек // СПб: Инженерно-строительный журнал. - 2014. -Т.1, №4. - С. 38-47.
27. Martonen, P. Non-linear finite elements simulations of level ice forces on offshore structures using a multi-surface failure criterion / P. Martonen, A. Derradji-Aouat, M. Maattanen, G. Surkov // Proc. of 17th Int. Conf. on Port and Ocean Eng. under Arctic cond. (POAC-03). Trondheim, 2003. - P. 25-39.
28. Gurtner, A. Numerical simulation of ice action to a Lighthouse / A. Gurtner, M. Bjerkas, W. Kuhnlein, P. Jochmann, I. Konuk // Proceedings of the ASME 2009
VII Международная научно-практическая конференция 28th International Conference on Ocean, Offshore and Arctic Engineering, 2009. - P.
175-183.
29. Barrenblatt, G.I. The Mathematical Theory of Equilibrium of Cracks in Brittle Fracture. Advances of Applied Mechanics, 1962. - Vol. 7. - P. 55-129.
30. Daiyan, H.Numerical Simulation of the Ice-Structure Interaction in LS-DYNA. 8th European LSDYNA Users Conference, Strasbourg, 2011.
31. Sand, B. Nonlinear finite element simulations of ice forces on offshore structures: PhD Thesis, Lulea University of Thechnology, 2008. - 241 p.
32. Шорр, Б. Ф. Расчетно-экспериментальное исследование эффективности защиты вертолетного двигателя от попадания посторонних предметов / Б.Ф. Шорр // Вестник УГАТУ. 2018. - Т.3, №69. - С. 44-49.
33. Жидков, А.В. Применение системы ANSYS к решению задач геометрического и конечно-элементного моделирования. Учебно-методический материал по программе повышения квалификации «Информационные системы в математике и механике» / А.В. Жидков. Нижний Новгород, 2006. - 115 с.
34. Политько, В.А. Воздействие ледовых полей на одно- и многоопорные гидротехнические сооружения с вертикальной' опорной' частью: дис. ... канд. тех. наук. М., 2018. - 142 с.
