Динамическая модель спутных вихрей самолета у земли при порывистом градиентном ветре Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XXXVI

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2 00 5

№ 3 — 4

УДК 629.735.33.015.3 532.527

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СПУТНЫХ ВИХРЕЙ САМОЛЕТА У ЗЕМЛИ ПРИ ПОРЫВИСТОМ ГРАДИЕНТНОМ ВЕТРЕ

А. Б. МИЛЛЕР, А. Л. СТАСЕНКО

Поведение спутных вихрей тяжелого авиалайнера в окрестности аэропорта привлекает внимание исследователей как с точки зрения безопасности взлета/посадки следующих самолетов, так и оценки воздействия авиации на окружающую среду. В первом случае очевидным преимуществом обладают математические модели, позволяющие быстро предсказывать движение вихрей за авиалайнером и допускающие возможность непрерывной или дискретной коррекции их с учетом неожиданно изменяющихся погодных условий. В настоящей работе предложена и исследована модель, основанная на системе обыкновенных дифференциальных уравнений, дается сравнение ее численных решений с результатами летного эксперимента.

Прогнозирование перемещений мощных спутных вихрей тяжелых авиалайнеров в окрестности аэропорта представляет большой практический интерес для обеспечения безопасности взлета/посадки рейсовых самолетов с одновременным увеличением пропускной способности

аэропорта [1]. Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что пространственно-временная эволюция вихрей вблизи земли существенно отличается от их поведения на большой высоте. Отметим прежде всего основные черты и достигнутый уровень понимания рассматриваемых явлений.

Двухвихревая система складывается за самолетом уже на расстоянии 6—7 размахов крыла даже при использовании взлетно-посадочной механизации крыла, порождающей первоначально многовихревую систему [2].

Близость земли можно учесть в рамках модели невязкой жидкости введением двух «подземных» мнимых вихрей с противоположным направлением вращения. Скорости, индуцируемые ими, приводят к разбеганию в стороны реальных вихрей (рис. 1), так что их влияние друг на друга ослабевает.

Однако, как показывает опыт, движение вблизи земли даже уединенного вихря может быть довольно сложным. Так, в аэропорту Хитроу при помощи лазерного измерителя скорости был обнаружен неожиданный эффект - возвращение вихря с почти начальной мощностью в область глиссады приблизительно через 70 с после прохождения самолета [3]. Петлеобразное движение оси вихря над землей наблюдалось над аэропортом [4] (рис. 2), а также получено численно, на базе уравнений динамики турбулентного газа, например в [5].

Другое важное явление, возникающее в результате взаимодействия с землей, определяется как «отскок» вихря (рис. 2, 3). Это явление широко исследовалось в различных странах [4], [6], [7] как экспериментально, так и теоретически при помощи методов численной газодинамики. В результате к настоящему времени достигнуто следующее понимание роли вязкости воздуха в возникновении «отскока» вихря. Вихревая пара самолета индуцирует у поверхности земли пограничный слой, после отрыва которого в окружающей атмосфере возникают вторичные вихри противоположного знака. При наличии поперечного ветра эти дополнительные вихри имеют тот же знак, что и вихри приземного (градиентного) ветра, что усиливает эффект отскока

подветренного вихря самолета. При отсутствии ветра оторвавшийся погранслой рассматривается

в качестве доминирующего механизма отскока спутных вихрей.

О -.....

з .......

.....О

4

Рис. 1. Вихревая пара над поверхностью земли при штилевой погоде (штриховые линии) и при боковом ветре (штрихпунктир)

о 10 20 30 40 50 60 70 >0 90 100 НО 120 130 140 150

Рис. 2. Петлеобразный отскок наветренного вихря, зафиксированный в аэропорту Хитроу [4].

Высота полета 85 м, переменная поперечная составляющая ветра 1 — 2 м/с

Между тем, для решения поставленной проблемы достаточно иметь информацию о пространственно-временной эволюции осей спутных вихрей самолета.

80

■300 -200 -100 0 100 200 300

Рис. 3. Сравнение расчетов (сплошные линии) и результатов серии экспериментов (кружки, ломаная линия) в аэропорту Франкфурта-на-Майне. Расчетная траектория наветренного вихря близка к показанной на рис. 2. Штриховая кри-

вая — аналитическое решение для штиля. Посередине между левой (25Ь) и правой (25Я) взлетно-посадочными полосами находится лазерно-доплеровский

анемометр (ЬБЛ)

Отметим ряд успешных инженерных подходов, развитых с целью заменить трудоемкие решения континуальных уравнений динамики вязкого турбулентного газа (в частных производных) интегрированием кинематических соотношений. В [8] методом дискретных вихрей исследовано поведение вихревой пары у земли при наличии стабильного поперечного ветра постоянной (по высоте) скорости. Реальный вторичный вихрь также представлен набором дискретных вихрей той же качественной структуры, что и спутные вихри самолета. Получена картина петлеобразного движения последних.

В работе [9] развита модель динамики вихревой пары при полете на большой высоте и вблизи земли, основанная на представлении о деформируемой вихревой нити, движение которой определяется суммой локальной индуцированной скорости, определяемой по закону Био — Савара — Лапласа, и местной скорости стохастического турбулентного движения атмосферы.

Монотонный отскок вихря на высоту к«1У, качественно совпадающий с данными экспериментов [6], получен в работе [10] путем добавления в правую часть уравнения для вертикальной скорости вихря слагаемого, полученного на основе экспериментальных данных и численных результатов для самолетов В-747 и В-767.

Таким образом, накопленная полуэмпирическая информация и результаты продолжительных расчетов уравнений газодинамики вязкого газа позволяют в принципе прогнозировать перемещение вихрей над аэродромом в случае фиксированной ветровой обстановки. Однако в случае ее непредвиденных вариаций необходима более быстродействующая модель, которая позволила бы вносить регистрируемые приборами изменения и предсказывать пространственно-временную эволюцию спутных вихрей авиалайнера на ближайшие десятки секунд.

В настоящей работе вихрь представляется в виде вращающегося массивного гибкого жгута (медленно растущей погонной массы), сохраняющего свою «индивидуальность» в атмосфере и находящегося под действием суммы «внешних» сил: аэродинамической, Жуковского и «подъемной» силы, связанной с вертикальным градиентом горизонтальной скорости ветра. Описание динамики этого жгута в рамках системы обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет без труда учесть и любые временные изменения ветровой обстановки.

Доплер-лидарные измерения переноса вихрей при наличии ветра над аэропортом Франкфурта-на-Майне (см. рис. 3) [6], имеющем две параллельные ВПП, привели к некоторым важным выводам:

помимо самоиндуцированной скорости, горизонтальное перемещение вихря у земли определяется, в основном, поперечной компонентой ветра;

при оценке движения вихря нужно использовать среднее значение этой компоненты, измеряемой в области между параллельными ВПП;

часто наблюдается значительный эффект отскока вихрей.

Отметим, кроме того, что в расчетной части цитируемой статьи горизонтальные компоненты самоиндуцированной скорости аддитивно складывались со скоростью ветра; радиус

предварительные соображения дают возможность построить более сложную модель динамики вихревого жгута над твердой поверхностью.

Представим вихрь в виде жгута радиуса гс (ядро вихря), вращающегося как твердое тело (азимутальная скорость г? = со г, г < гс) и захватывающего с течением времени все большую массу, так что с учетом начального радиуса ядра вихря гс (0), как и в работе [6], имеем

На основе имеющихся данных для различных авиалайнеров возможна простая линейная интерполяция, связывающая начальный радиус вихря с размахом крыла Ь или начальным расстоянием между вихрями 1У: гс (0) ~ 0.043/. ~1У/20.

Поскольку движение вихрей является в принципе ускоренным, необходимо учитывать их присоединенную массу. Коэффициент присоединенной массы для бесконечно длинного цилиндра, как известно [12], равен единице. В результате (в дополнительном предположении о несжимаемости воздуха, рс ~ р,х) масса участка вихря единичной длины равна

Сила сопротивления при поперечном обдуве (в расчете на единицу длины цилиндра) равна

где — скорость потока, Ус— скорость цилиндра, измеряемые относительно неподвижной системы отсчета.

Коэффициент сопротивления аэродинамической силы, увлекающей вихрь, для цилиндра

Известно, что на сферическую частицу, вращающуюся с угловой скоростью со и движущуюся в покоящемся воздухе со скоростью V, действует сила Магнуса [13]

где а , — постоянный множитель.

Кроме указанных выше сил, на тело, перемещающееся в сдвиговом слое параллельно твердой поверхности со скоростью (V — Ус) , действует «подъемная» сила, перпендикулярная

поверхности. Для случая медленного (ползущего) движения сферы радиуса гс эта сила была получена в работе [14] в виде

ядра вихря вычислялся по формуле гс (/) = /'2 (0) + 5-10 4 Г0/ , что равносильно принятию для

турбулентной вязкости значения = 10-4 • Г0. (Согласно экспериментальным данным, вязкость

ядра вихря связана с циркуляцией соотношением ус =асГ, где ас □ 10-4 -НО-5 [6], [11].) Эти

,2

(ґ) = 4\^ + гс2(°).

ГГГ=^Роо2гс|Уе-Ус|(Уе-Ус),

равен единице, св = 1 (это верно в широком диапазоне чисел Рейнольдса □ 102 -НО5, [12]).

^Утта^ х

На единицу длины вращающегося цилиндра будет действовать сила Жуковского

Г^аУРоо^ х( с- Е),

Г8аґ =6.46ругс2(У-УД

ду

лі/2

= Я?1 • 0.343г,

1 дУг

V ду

ЛІ/2

В последнем выражении мы выделили тангенциальную компоненту силы Стокса

Г81=6тгцгс(У-Ус).

Сконструируем аналогичную (квазисэффмановскую, верхний индекс с]8) силу, действующую на обтекаемый цилиндр, предполагая, что она также должна зависеть от нормальной компоненты градиента тангенциальной скорости \дУг/ду\, от вязкости (только

теперь уже турбулентной), от характерного размера (радиуса) цилиндра гс и, наконец, от тангенциальной компоненты силы сопротивления (только теперь это уже не сила Стокса, а сила аэродинамического сопротивления на единицу длины):

= е

А1 су

(ГГ'':)

Гс дК

Vo0 ду

ЛІ/2

а

где — безразмерный подгоночный коэффициент, который можно получить из сравнения расчетных и экспериментальных данных.

Отметим, что близкое выражение для подъемной силы, обусловленной сдвигом ветра у поверхности земли, может быть получено из решения невязкой задачи для цилиндра, малого по сравнению с характерным масштабом изменения величины ветра. В этом случае «сдвиговая» подъемная сила равна по модулю

^СДВ=Ро>Е-Ус|Г

СДВ :

где Г — циркуляция вокруг цилиндра, обусловленная сдвигом ветра:

Г = ГІ1 V (11= II п*У-<І8 = Є¥г —2

СДВ

||

г<гп

ду

В результате получаем

Т7 2 |Л/ л/ і дУг

^сдв =РооЪГС |УЕ -Ус

Уравнения неустановившегося движения вихря с учетом нестационарности ветра примут

вид:

= У,

ау.

і

сіґ 2%гс (Ї)

+^|Уе-Ус|(Пе-Пс)

І71

|УЕ-У^УЕ^УСУ- х( Е- с).

ЛІ/2

(1)

1 ду:

ду

с1у:

&

где г,, (хс, ус, ) — точка на оси вихря, со = гД27ігс2 — суммарная скорость «внешнего

потока», индуцированная остальными тремя вихрями (см. рис. 1), и поперечного градиентного атмосферного ветра У“. Ниже выписаны компоненты для подветренного (правого) вихря:

(Fs) = — V 2%

( f Ус, ~Ус2

L2+(yCl -Ус,)

1-exp

^+(jq-jc2)

4 vt

Усі +Ус2

L2 +(}'Cl +Ус2)

1-exp

^+(^1 +Ус2)

4vt

AA

1-exp

f 2\\ Усj

4v„f

//

1-exp

( n I \2\

L +(yCl +Ус2)

4vt

1-exp

L2+(yCl~yC2) 4v„f

+^2)

^2+(jCl-jC2)

L =

“c2’

zCj, zC2 , vC| , yC2 — координаты подветренного (индекс 1) и наветренного (индекс 2) вихрей.

Коэффициент otj положен равным 2п, что соответствует решению задачи об обтекании невязкой жидкостью вращающегося бесконечного цилиндра. Действительно, в этом случае подъемная сила, действующая на единицу длины цилиндра, равна

Г/ = Роо (Щ - Ус ) х ех • Г = Роо (V2 - Vc ) х -2nrc2.

Принятое нами значение aj хорошо согласуется с наблюдаемой длиной волны

синусоидальной неустойчивости дальнего следа (□ 102 м при скорости полета в диапазоне 200-^300 м/с). Наши расчеты, проведенные для большой высоты, дают тот же порядок длины волны при otj □ 10. Теоретическое значение длины волны нарастающих колебаний вихревого жгута X = 8.6lv приведено в работе [15].

Использованное нами расслоение суммарной силы на аддитивные компоненты, разумеется, не имеет строгого обоснования, поскольку выражения для каждой из них получены в своей области параметров. Поэтому его нужно рассматривать как некоторое модельное описание, справедливое при асимптотическом переходе к малым числам Рейнольдса. Аналогичные гипотезы аддитивности сил различной природы принимались и ранее при моделировании динамики как шаровых частиц, так и самолетных струй [12], [16] — [18].

Еще одно замечание, принадлежащее рецензенту настоящей статьи, вынесено в Приложение.

Легко видеть, что уравнению (1) удовлетворяет тривиальный случай движения вихря с постоянной скоростью вдоль горизонтальной поверхности: dVc jdt = 0 при Vc = Vv. Как известно, в этом случае сила притяжения пары противоположно вращающихся вихрей в точности уравновешивается силой Жуковского. Таким образом, второе слагаемое в приведенном выше уравнении является поправкой к силе Жуковского при Vc Ф vs.

Рис. 4. Динамика вихревых жгутов за тяжелым (типа В-747, левая колонка) и средним (типа А-320, правая колонка) самолетами

На рис. 4 приведены результаты расчетов эволюции спутных вихрей самолетов двух классов: тяжелого (типа B-747), и среднего (типа A-320), — в трех проекциях (сверху, сбоку и сзади). Соответствующие значения размаха крыла и постоянной за самолетом циркуляции: 60 м, 641 м2/с; 34 м, 314 м2/с. Высота пролета обоих самолетов над левой взлетно-посадочной полосой одинакова: Н = 70 м. Правая полоса параллельна левой на расстоянии 520 м. Скорость ветра линейно изменяется с высотой: у°° [м/с] = 1 + 0.05у [м]; кроме того, на нее наложен постоянный

\2^

по высоте «порыв» со скоростью V

= 10 м/с, У“(0) = 1 м/с; время т = 20 соответствует максимуму порыва, ао = 0.05с -2 — числовая постоянная, характеризующая его длительность; коэффициент квазисэффмановской силы ач§ = 1, коэффициент при силе Жуковского а} = 2п, v° = 1 м2/с.

(х) = (у“(шях)-У“(0))ехр(-а0 (X-т)2). Принято =

Под действием порыва вихревая пара вначале сносится по ветру, причем вихри остаются параллельными при взгляде сверху. При этом наветренный вихрь уходит вверх, а подветренный «тонет», расхождение по высоте вихревых осей достигает 30 м. Заметим, что полученный поворот вихревой пары под действием ветра соответствует результатам расчетов [5], учитывающих приземный пограничный слой и образование вторичного вихря. В наших расчетах вторичный вихрь и обмен завихренностью между вихрями не принимались во внимание, однако учет сил Жуковского и Сэффмана приводит к правильному предсказанию поворота вихревой пары в плоскости, перпендикулярной их осям.

После прохождения максимума порыва подветренный вихрь «всплывает», а наветренный «падает» ниже него. Продолжая колебаться по высоте (подветренный с постоянной, а наветренный с нарастающей амплитудой), вихри «разбегаются» в разные стороны. Примечательно, что наветренный вихрь возвращается на левую полосу, а подветренный пересекает правую приблизительно в одно и то же время X = 100—110 а Эта ситуация чрезвычайно важна для принятия решения о посадке следующего самолета.

Итак, видны следующие характерные явления: обычное разбегание вихрей в стороны из-за влияния близости земли; снос вихрей ветром (в результате при X« 100 с вихри находятся в окрестности обеих полос); отскок вихрей от земли; при порыве — уход вверх наветренного и вниз — подветренного вихря, причем эти явления резче выражены для более легкого самолета.

Колебательный режим динамики вихревой пары (в том числе и нарастающие колебания вихрей на большой высоте) можно объяснить, заметив, что для одного вихря уравнение (1) без учета аэродинамической силы и силы Сэффмана математически тождественно уравнению движения заряженной частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях. Роль магнитного поля играет вектор угловой частоты вращения вихря, роль электрического поля — вектор У^ах , обусловленный наличием внешнего ветра. Известно, что в скрещенных полях частица движется по трохоиде — кривой, получающейся при движении точки, находящейся на некотором фиксированном радиусе вращающегося диска при параллельном переносе его центра. Такую же кривую описал бы и центр вихря в проекции на плоскость {у, 2], если бы можно было пренебречь действующей на него аэродинамической силой. Участки траектории вихря, соответствующие этому типу движения, хорошо видны на рис. 4 (средний самолет, вид сзади, петлеобразные участки в левом нижнем углу). Аналогичные траектории можно наблюдать и в демонстрациях с вращающимся цилиндром.

При рассмотрении пары вихрей получается система уравнений для пары связанных осцилляторов переменной массы, анализ которой выходит за рамки данной работы.

На рис. 2 и 3 показано сравнение расчетов и данных наземного эксперимента. Рис. 2 заимствован из сборника [4]. На нем приведены данные доплер-лидарных измерений положений вихревой пары самолета B-747-200. Высота полета 85 м, поперечная составляющая ветра 1—2 м/с, ветер переменный; 2С — поперечная координата, измеряемая от экспериментальной установки. Виден характерный отскок наветренного вихря на 37 с. Аналогичный, но происходящий позднее отскок получен в наших расчетах для высоты полета Н = 70 м и

сдвигового градиентного ветра У°° [м/с] = 1 + 0.05у [м] (условия аэродрома Франкфурта-на-Майне, см. рис. 3). Тонкие сплошные линии на рис. 3 — наш расчет, сплошная жирная линия — результат обработки серии доплер-лидарных измерений [6], штриховая линия — аналитическое решение для штиля.

Подчеркнем, что решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с выверенными экспериментом подгоночными коэффициентами теории (например, ачЯ, а^ для определения положения вихря обладает следующими преимуществами:

появляется возможность считать в режиме реального времени, в отличие от уравнений Навье — Стокса или их обрезанного (параболизованного) варианта, требующих создания баз данных, нейросетей и т. п.;

текущий ветер (метеоданные об изменении скорости ветра с высотой) мгновенно учитывается при решении ОДУ.

Предположим, например, что изменяющееся по сравнению с расчетным положение вихря фиксируется лазерной плоскостью и приемником рассеянного излучения; это новое измеренное положение вихрей может приниматься за новые начальные условия, и счет начинается снова. При решении уравнений Навье — Стокса такая коррекция, следующая почти мгновенно за начальными данными, вызывала бы серьезные затруднения.

Выводы. 1. Построена новая модель динамики вихревой пары самолета, учитывающая близость земли и градиентный порывистый приземный ветер, основанная на системе обыкновенных дифференциальных уравнений и представлении о силах, действующих на вихрь, дающая хорошее согласование с результатами наземных и летных экспериментов.

2. Модель дает возможность производить расчет в режиме реального времени с учетом коррекции положения вихрей и меняющейся ветровой обстановки, что позволяет использовать ее при разработке системы обеспечения вихревой безопасности взлета/посадки.

3. Представление о силе Жуковского, действующей на единицу длины вихря, дает возможность объяснить различные колебательные режимы вихревых жгутов.

Приложение. Авторы считают целесообразным привести ценное замечание рецензента настоящей статьи Г. Г. Судакова, позволяющее подтвердить «сконструированную» ими физическую модель методами классической гидродинамики:

«...уравнения, предложенные в данной работе, могут быть получены с помощью формальной процедуры, описанной в книге Л. И. Седова «Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики». — М.: Наука.— 1966. На стр. 27 этой книги дана формула, описывающая силы, действующие на жидкий контур С, произвольно движущийся в жидкости в инерциальной системе отсчета. Течение вне контура С (но не внутри!) предполагается потенциальным. Эта формула имеет вид (здесь выброшен член, ответственный за изменение циркуляции):

ір е( у и (& ) . ей (

X + гУ = —II — I й2 + р------------—— + ір |—| 2

С \ й2) йґ2 С

где р — плотность жидкости; і — мнимая единица; X + іУ — сила, действующая на контур;

2*(ґ) — координата центра тяжести контура С (в данном случае — недеформируемого, но

движущегося), S — площадь контура С; 2 — комплексная координата; w — комплексный потенциал; ґ — время. В общем случае вне контура С разложение для комплексной скорости имеет вид

Г 1 р 1

---= V -

й2 2пі 2 - 2* 2пі

(2 - 2‘)

где р (X) — дипольный момент, У — скорость потока жидкости, Г — циркуляция скорости по

контуру С. Подставляя последнюю формулу в формулу Седова и беря интегралы с помощью вычетов по бесконечно удаленному контуру, получим основную формулу для сил, действующих на контур С:

X + іУ = —ір

V — -

Г + р£—— + ір—. н йґ2 Н йґ

Как показано в книге Л. И. Седова, в случае движения твердого тела в покоящейся (на бесконечности) жидкости дипольный момент, вызванный взаимодействием твердых стенок тела с жидкостью, имеет вид

й *

р = (*! + /А, 2 ) .

Коэффициенты А1, А2 называются коэффициентами присоединенных масс. В

рассматриваемой задаче появление дипольного момента может быть вызвано нелинейным

(й2* V

йґ ’ й2

V

где V — скорость ветра. Тогда в первом приближении

V У

и мы формально получаем уравнения, приведенные в статье. Разумеется, функциональный вид коэффициентов X, у остается при этом неопределенным, но он может быть выписан, например по аналогии с движением твердого тела, как и указано в статье. В любом случае, правильность модели проверяется лишь путем сравнения результатов расчета с результатами расчета по 2D RANS или другими аналогичными моделями. Следует отметить, что при данном выводе совершенно неважно, каким образом порожден дипольный момент — взаимодействием жидкости с твердыми стенками тела или другим механизмом».

ЛИТЕРАТУРА

1. Вышинский В. В., Стасенко А. Л. Струйно-вихревой след самолета: проблемы экологии и безопасности полета. Математическое моделирование // РАН. — 1999.

Т. 11, № 4.

2. Soudakov G. G. Engineering model of the wake behind the aircraft // Trudy TsAGI. — 1999. Vol. 2641.

3. Корнеева Т. Лидары. Новые возможности для атмосферных исследований // Электроника: наука, технология, бизнес. — 1998, № 3—4.

4. Vaughan J. M., Brown D. W., Constant G., Facock J. R., Foord R.

Structure, trajectory and strenght of B-747 aircraft wake vortices measured by laser // AGARD-CP-584. — 1996.

5. Pakin A. Application of a modified q-m turbulence model to simulation of twodimensional vortex gas motion // Trudy TsAGI. — 1997. Vol. 2627.

6. Kopp F. Doppler lidar investigation of wake vortex transport between closely spaced parallel runways // AIAA J. — 1994. Vol. 32. N 4.

7. Hinton D. A. Wake vortex data collection // Memphis International Airport. — 1995. d.a.hinton@larc.nasa.gov.

8. Белоцерковский Ал. С., Гиневский А. С., Погребная Т. В.,

Шипилов С. Д. Моделирование дальнего вихревого следа магистральных самолетов Ту-204 и Ил-96 на взлетно-посадочных режимах // ТВФ. — 2002, № 6.

9. Soudakov V. G. Nonlinear asymptotic model of the far vortex wake behind an aircraft flying through the turbulent air // Trudy TsAGI. — 1999. Vol. 2641.

10. Bobylev A. V., Kuzmin V. P., Yaroshevsky V. A. Mathematical simulation of the wake vortices effect on aircraft motion during automatic landing // Trudy TsAGI. —

1997. Vol. 2627.

11. El-Ramly. Aircraft trailing vortices, a survey of the problem // Carleton Univ., Ottawa, Canada, Nov. 1972. Report No. ME/A 72-1.

12. Birkhoff G. Hydrodynamics.— Princeton, New Jersey: Princeton Univ. Press. —

1960.

13. Соу С. Гидродинамика многофазных систем. — М.: Мир. — 1971.

14. S af fman P. G. Lift on a small sphere in a slow shear flow // J. Fluid Mech. — 1965.

Vol. 22; Corrigendum 1968. Vol. 31.

15. Crow S. C. Stability theory for a pair of trailing vortices // AIAA J. — 1970. Vol. 8,

N 2172.

16. J a c q u i n L., G a r n i e r F. On the dynamics of engine jets behind a transport aircraft. In: The Characterization and Modification of Wake from Lifting Vehicles in Fluids. —

Trondheim, Norway, 1996, May 20—23.

17. Гринац Э. С., Стасенко А. Л. Модели струй двигателей самолета в поле спутных вихрей // Ученые записки ЦАГИ. — 1996. Т. XXVII, № 1 —2.

18. Стасенко А. Л., Толстых А. И., Широбоков Д. А. Динамика деформируемых капель у поверхности крыла в вязком воздухе // Изв. РАН, МЖГ. — 2002, №

5.

p = XS

--V

dV

dz dt

ddp = js:

'Z-iSdV

, dV_ Y dz

взаимодействием течения внутри ядра вихря с внешним потоком, т. е. р = р