Динамическая модель механизма с параллельной кинематикой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.865.8

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕХАНИЗМА С ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ КИНЕМАТИКОЙ

В.А. Смирнов, Л.Н. Петрова

DYNAMIC MODEL OF THE MECHANISM WITH PARALLEL KINEMATICS

V.A. Smirnov, L.N. Petrova

Представлена методика получения уравнений динамики механизма с параллельной кинематикой, имеющего штанги переменной длины.

Ключевые слова: динамическая модель, механизм с параллельной кинематикой, гексапод.

The presented methods of the derivation of the dynamic equations for the mechanism with parallel kinematics with variable-length barbells.

Keywords: dynamic model, mechanism with parallel kinematics, hexapod.

Перспективность использования механизмов с параллельной кинематикой при построении технологического оборудования в силу ряда их положительных качеств не вызывает сомнений [1]. При проектировании технологического оборудования, построенного на основе таких механизмов, возникает потребность в решении задач кинематики и динамики.

Решение задач кинематики позволяет связать между собой при помощи математических зависимостей выходные координаты механизма с его обобщенными координатами: прямая задача связана с определением выходных координат по известным обобщенным; цель решения обратной задачи - определение обобщенных координат по заданным выходным. Составление уравнений кинематики рассмотрено во многих публикациях, например [1, 2]. Эти уравнения могут использоваться при анализе рабочего пространства механизма с параллельной кинематикой [3], а также при решении траекторных задач применительно к технологическому оборудованию, построенному на основе подобных механизмов [4].

Динамический анализ позволяет учитывать такие параметры конструктивных элементом технологического оборудования, как масса и моменты инерции. Прямая задача динамики - определение параметров движения элементов оборудования и возникающих в них усилий при заданных усилиях приводов - представляет интерес при проверочных расчетах и при моделировании функционирования оборудования. Решение обратной задачи динамики - определение усилий приводов, необходимых для обеспечения движения исполнительного органа оборудования в заданном направлении или с заданным усилием - представляет интерес как с позиций управления оборудованием, так и с позиций проектирования: получаемая в ходе решения этой задачи информация о характере движения элементов оборудования (линейных и угловых скоростях и ускорениях) с учетом их массо-инерционных характеристик и возникающих в них усилиях может использоваться в прочностных расчетах.

При решении задач динамики возникает необходимость в получении уравнений, позволяющих описывать поведение оборудования с учетом массо-инерционных характеристик его элементов, т. е. в построении динамической модели. Эти уравнения позволят осуществлять моделирование работы оборудования на качественно более высоком, по сравнению с уравнениями кинематики, уровне, в том числе обеспечивая исследования динамических погрешностей при решении траекторных задач.

Рассмотрим динамическую систему, в которую входят механизм типа «гексапод» [1] и приводы, обеспечивающие движение элементов этого механизма. Гексапод включает в себя подвижную платформу, соединенную с основанием с помощью шести штанг, способных изменять свою длину (рис. 1). Примем, что обобщенными координатами q} для этого механизма являются величины, связанные с длинами штанг.

Для составления уравнений динамики данной динамической системы можно воспользоваться уравнениями Лагранжа 2-го рода [5]:

£

Л

где Т

ґ дТЛ

дц]

дТ

дд,

= 0., у=1,6,

(1)

кинетическая энергия системы; Q -

обобщенная сила, соответствующая у'-й обобщенной координате.

Рассмотрим одну из штанг переменной длины (рис. 2). Штанга состоит из двух частей: нижней массой тхн и верхней массой т1В, соединенных посредством поступательной кинематической пары. Определим кинетическую энергию этой штанги.

Нижняя часть штанги может рассматриваться как твердое тело с одной закрепленной точкой А,, поэтому ее кинетическая энергия может быть записана в следующем виде [5]:

ч я-

J . со . + J . со . + J . со-,

_ х\н х\н пн у\н /і н

со... со,.

у- & • СО . , (2)

£\НХ[Н \Н Х\Н

2 х\ну\н Х\Н *1 н

где компоненты тензора инерции нижней части штанги и проекции угловой скорости со]Н

записаны для осей связанной со штангой подвижной системы координат АхХ*нУхн2*н. Компоненты тензора инерции при этом будут постоянными величинами. Если оси системы координат

КхХ*ИУ*н2\н являются главными осями инерции для нижней части штанги в точке А,, то выра-

жение для кинетической энергии примет следующий более простой вид:

J . со2. +У . со2. +У . со2.

у1 __ 'МД -4#______ \Н %______&\Н ЧЯ

Верхний элемент штанги совершает сложное пространственное движение. Кинетическая энергия этого элемента в соответствии с теоремой Кёнига будет складываться из двух составляющих: кинетической энергии движении центра масс С1В в предположении, что в нем сосредоточена вся масса элемента, и кинетической энергии вращения элемента вокруг центра масс:

Т\В=Т"М +С- (4)

Первое слагаемое в (4) можно записать следующим образом:

1 I |2

(5)

тц.м. 1\в

Скорость УС)В точки С,

ус1В

= ІА,^!^ |<аЗ, + д}, следовательно.

,|В определяется как

2 , . _ ,2

с°\ + Ч\ (так как Щ -1- Ч\) и

с\в

1 в

1а,сш|2(^ +^.в +^.в)+?,2.,

где 4] - производная по времени обобщенной координаты. В качестве обобщенной координаты можно принять длину штанги - расстояние между шарнирами А, и В,, однако с целью упрощения математических выкладок примем за обобщенную координату длину |А,С]Д1. Тогда

тц.м

1\в

-m,

лв

(6)

Второе слагаемое в (4) можно записать аналогично (2):

Txf--

К* +JY* ^ +J7' ®7*

х\в *\в г\в 'лв 'лв

x\by\b Х\в ^іг ^Y\bz\b у\в Z\B ^ZxgXig^ZxB^XiB ’

где система координат СхвХхв^*^хв связана с верхним элементом. Так как проекции вектора на сонаправленные оси равны, то последнее выражение можно переписать в виде

’ JKвіїв03х\н \и JhBy'\BЮІЇн az*H Jz'wx;BCOz\h 60x*\„ ’ ^

если принять, что соответствующие оси систем координат С1ВХ1Л71В21В и AxXxнYxнZxн сона-правлены.

С учетом (6) и (7) выражение для кинетической энергии верхнего элемента штанги можно записать как

1 \ъвЯ\ + ы2х;н (ЩвЧх + 3у-,„) + (т\вЯ\ + Лл.) + ®7.*„ ) ~

чв

Х\в ‘

У\н

Yl в ‘

Z\H

Z\B ‘

- J , ,(0.0). -J . . СО , СО . — J . , СО . СО . .

ВДВ Ххн YXH Y]BZ]B Y]H ZXH Z]BX]B ZiH XW

Полная кинетическая энергия штанги равна

(Щb<1\+JX;B+JХ{н ) + а);н^m\B4A+JY-+JY-H) + <о~.д (m\B^+Jz-u+Jz;H ) + ЩВЧ\

1 2 ~ Юх1н \'н (Jx\by;b+Jx’wy’h ^ “ ®у,*я юг\н (Jy'bz{b+JyI„z\h ^ ~ mz'H ^х\н z\Bx\B + Jz\Hх\н ^

■2

(8)

Аналогичные выражения должны быть составлены для каждой штанги механизма.

Для определения проекций угловой скорости на оси системы координат AxX*xhYxhzIh можно использовать следующие кинематические уравнения:

сох\н=Ънcosг'"; \'н=у™ ; ю7'н=АнsinУ\н ■ (9)

Уравнения (9) выводятся аналогично кинематическим уравнениям Эйлера [5] при условии, что поворот штанги в двухстепенном шарнире А, рассматривается как совокупность двух последовательных поворотов: вокруг связанной со штангой оси АхХхн на угол Зи,, вокруг связанной со штангой оси AXYXH на угол ухн. Углы &хн и у]Н определяют пространственную ориентацию системы координат AxXxhYxhZxh относительно некоторой неподвижной системы координат. Пусть в качестве неподвижной выступает система координат AxXxhYxhZxh . При решении задач кинематики для заданных значений обобщенных координат q, могут быть определены координаты (х^, у™н, z™H ) точки Схн (или любой другой точки, принадлежащей нижнему элементу штанги и лежащей на оси AXZXH) в этой неподвижной системе координат. Так как пересчет координат при развороте систем координат на углы 9ХН и ухн описывается произведением матриц

"1 0 0 > 'cosy 0 - sin уN

Ад - 0 cos .9 sin .9 , Ar 0 1 0

ч0 - sin i9 cosi9y 4sin/ 0 cos^ ,

то можно записать

хслн =зт/1Я |А,С1Я|; уС]Н соз;к1Я |А,С1Я|; уС]Н — соэ<9,// соэ^^ |А1С1//1,

откуда получаются два простых выражения для определения углов Зхн и ухн по известным координатам точки Схн:

Х('ун • о -ягс*о—Сш I с у, Чн- агс1ё

|ЛіЧя| 2СХН

Продифференцировав (10) по времени:

•ЯЛ НП -НП _ нп ■нп

_ с\н п _ СтУсхн Усхн схн

7хн ~~ Г-----7-------7 ’ ~ ^72 ^71

АГ I -хнп Ус +2гП

ХС]Н *схн схн

можно переписать выражения (9) как функции от координат точки Схн :

нп -нп „нп -нп

= гсщУц Усш^с,„ „

х\н ,,яя 2 . нп 2 Усхн + 2схн

с нп ХС\Н

\

|А,СЬ

; со . =

хнп

ХСх„

ЇІН "а С I2 -хнп'‘ ^чЧя] хсхн

нп ■нп _ нп -нп нп

_ СшУС\Н УС\Н С1 н с\н

(I) * — 1..-...1 -- - - -

(11)

Выражения (11) входят в уравнение (8) кинетической энергии штанги. При составлении уравнений Лагранжа 2-го рода потребуется дифференцирование (8) по обобщенным координатам

и скоростям. Координаты (х™ , у™н , ), входящие в (11), являются функциями обобщенных

координат ql, однако получение этих функций в явном виде затруднительно. Поэтому целесообразно представить проекции угловой скорости в следующем виде: доз . дсо. дсо.

а уравнения (11) использовать для численного определения частных производных угловых ско-дсох. да)у. дсо2.

ростей-----—, -----—, -----—. При этом координаты и скорости, входящие в (11), определяются

дя, 3?,

численно при решении прямой задачи кинематики как функции обобщенных координат д,.

Кинетическая энергия Тпп подвижной платформы как абсолютно твердого тела будет определяться следующим образом:

гр ___грЦ.М . пгВр

1ПП -1ПП ±1ПП>

где - кинетическая энергия движения центра масс подвижной платформы в предположении, что в нем сосредоточена вся масса платформы; Гяя - кинетическая энергия вращения платформы вокруг центра масс. Аналогично (5) можно записать:

ггЦМ 1 I- I2 ?пп - 2тпп\спп\ ’

где тпп - масса платформы; уСпп - скорость центра масс платформы. Величину |уС/ш | целесообразно выразить через обобщенные координаты д1 следующим образом:

1 , дЧ. , дЧ,

где модуль радиус-вектора центра масс подвижной платформы |гС/ж | определяется через координаты центра масс (хСш, ус , гС////) в некоторой неподвижной системе координат, например,

ОХУ2\ \?спп |= д/хсш + Усш + 2спп ■ Входящие в (12) частные производные находятся из решения задач кинематики. При моделировании координаты (хСдя, ус , гс ) можно принять в качестве выходных координат механизма.

Свяжем с подвижной платформой систему координат CnnX'Y'Z' (см. рис. 1), такую, что ее оси являются главными осями инерции платформы. Если известны компоненты тензора инерции подвижной платформы в точке Спп относительно осей этой системы координат, то аналогично (3) можно записать, что

J со2, +Jt со2: +J, со2'

грВр _ Х'пп х'пп Y'm Y'nn z'nn z'nn

Inn ~ - ,

где проекции вектора угловой скорости могут быть определены в виде дсо_. дсо дсо

со

У----------mLq,,coi = У--------------------^-q,, 03 , =V

‘ У ПП ‘ ^ 2'гг ГГ « '

"пп — 9#, гяя ^ dq.

-Чг

(13)

Для определения частных производных в (13) можно использовать кинематические уравнения Эйлера [5]:

= Ynn sin $пп sin <Рпп + Кп ьоьфлл > аУ'пп =li/nns'm &пп cosФпп ~ &nn s’n Фпп >

®^'яя ~^пп cos$nn +Фпп ’ где углы прецессии у/пп , нутации &1Ш и чистого вращения <рпп определяют разворот системы координат CnnX'Y'Z' (соответственно, разворот платформы) относительно осей некоторой неподвижной системы координат, например, OXYZ. При моделировании целесообразно принять эти углы в качестве выходных координат механизма; связь этих углов с обобщенными координатами определяется из решения задач кинематики.

Полная кинетическая энергия элементов механизма равна Тг ^г,+тпп .где / = 1,6.

Найдем производные кинетической энергии, необходимые для записи уравнений Лагранжа:

6 ЯГ ЯГ 6 0;

dqj dqj dq}

miB + mnn ■

rr JL, 9 Я-

cnn 1 V cnn

я Я Я,',

dq, ы dq,

<=i

d dTz __ d

dt dq dt

iB + mnn

(=1

dq, i=i dq,

-я,

-ll.

Щв + mrm

ТСля V-ТСяя к

/=i

dq, tt dq,

■я,;

дТу ^ дТ, dT,

1 n

dq} ttdq} dq}

/=i

дсо . 6 дсо .

4,1 +»»«,?/

дсо... 6 9®.,.

+ {miBq2+J ,, +J . m"iqJ

Y,B Y,H dqj fa 9(7,,

6 9®,.

V1_____yjh_

fa dqn

Яп

б 9© .

fa dqn

dco_

q,i

+

<miBq2+J . +J . )----^ x

zm zm Qq

j

6 дсо .

xH^rLqn+ mieqj

1П dq„

6 дсо.

Г—

fa дЯп

q,-i

-KJ . ,+j . .)

xiBYm XiHYm

9®,. 6 9ty^.

il

+

9ба,. 6 дсо . дсо . в дсо .

Ym У1 zm zm 'ST Ym

dqj fa dqn Л dqj dqn

+ (J * * J * .)^

v ziBx,B ziHxm ’

dm. 6 дсо. дсо. 6 дсо.

zm 'V хт „ , x,h 'ST z<h „

dqj Itt dqn

dqj n=i

дсо

дсо в дсо

х-

пп dqj dqn

дсо 6 дсо

г

дсо

пп

z'r.

Г

пп dqj fa dqn

пп dqj fa dqn

-qa-

Обобщенные силы Q, присутствующие в рассматриваемой динамической системе, определяются активными силами в приводах, силами веса элементов штанг и подвижной платформы, а также некоторой внешней силой, например, силой резания.

Пусть внешняя сила Рвн приложена в точке Свн (см. рис. 1) с координатами (х'вн > Увн ’ 2'вн ) в связанной с подвижной платформой системе координат СШХ'У'Т; направление действия этой силы определяется направляющими косинусами 1ВН, твн, пвн в неподвижной системе координат, например, ОХУ2. Элементарная работа этой силы равна скалярному произведению вектора силы на изменение радиус-вектора точки Свн ее приложения:

=РвН ■ дгсвн • Если изменение радиус-вектора точки Свн вызвано изменением обобщенной

1ВН - хвн ' и,свн координаты д], то можно записать:

*св„ = &свн +дусвн + &свн

дх

вн

дУвн^ +д2вн

дЦ\ дЧ\ &1\

где і , у , к - единичные векторы системы координат ОХУЕ; частные производные по обобщенной координате рассчитываются с использованием уравнений кинематики. Элементарная работа в этом случае равна:

дАвн -

илвн

*ВН

дЧ\

+ т

ду.

вн

вн

ддх

+ п

дг

вн

вн

дд

рвнт\ >

1 У

что позволяет записать составляющую обобщенной силы <2Х, определяемую внешней силой:

/ „ ~ _ Л

а

5А

рвн

вн

8дх

дх

вн

вн

+ т

дУ

вн

л ВН " опиш л

дчх ддх ддх /

Составляющая обобщенной силы (.)х, определяемая силой веса подвижной платформы, запишется следующим образом:

+ п

дг

вн

ВНЕШ

дг,

рпп

Спп

ддх

™ппё-.

где 2Спп - соответствующая координата центра масс подвижной платформы в неподвижной системе координат 0ХУ2; g - модуль ускорения свободного падения.

Составляющие, определяемые силами веса элементов раздвижных штанг, равны:

а

рпп

дгнп

огс,н

ддх дъ

где частные производные рассчитываются для координат соответствующих центров масс в любой неподвижной системе координат, оси которой сонаправлены осям ОХУ2.

Выражение дляу'-й обобщенной силы примет следующий вид:

б,

дх

вн

вн

дд.

+ т

ду.

вн

вн

дд.

+ п

дг

вн

вн

дд

+

J

дг,

С[7П тпп+£

дг.

нп

сш

дд

дЧ]

дгнп

Е С-т

дд.

ІВ

ё+Р,,

где Р] - активная сила, соответствующаяу'-й обобщенной координате.

Активные силы могут задаваться через статические Р] = РСГ](и г <?,, 9,) или динамические

х }Р} + Р] ~РСТі(и],д],д]) характеристики приводов [6], где uJ - управляющее воздействие, т] -

постоянная времени привода.

Полученные выражения для обобщенных сил и производных кинетической энергии после подстановки в (1) позволяют получить 6 (по числу степеней свободы) дифференциальных уравнения 2-го порядка, описывающих динамику рассмотренной системы.

Литература

1. Обрабатывающее оборудование нового поколения. Концепция проектирования / В.Л. Афонин, А.Ф. Крайнев, В.Е. Ковалев и др.; под ред. В.Л. Афонина. - М.: Машиностроение, 2001.-256 с.

2. Манипуляционные системы роботов / А.И. Корендясев, Б.Л. Саламандра, Л.И Тывес и др.; под общ. ред. А.И Корендясева. - М.: Машиностроение, 1989. -472 с.

3. Bulca, F. The kinematics and workspace analysis of platform mechanisms: a thesis submitted to the Faculty of Graduate Studies and Research in partial fulfilment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy / F. Bulca. - Montreal: Department of Mechanical Engineering McGill University, 1998.

4. Смирнов, B.A. Алгоритм управления механизмом с параллельной кинематической структурой /В.А. Смирнов, В.Б. Федоров//Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение». -2005. - Вып. 7. -№ 14 (54). - С. 23-27.

5. Бухголъц, Н.Н. Основной курс теоретической механики (часть вторая) // Н.Н. Бухголъц. -М.: Наука, 1972.-332 с.

6. Коловский, М.З. Динамика машин / М.3. Коловский. - Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1989. - 263 с.

Поступила в редакцию 16 октября 2008 г.

Смирнов Владимир Алексеевич. Кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматизация механосборочного производства» Южно-Уральского государственного университета. Область научных интересов - современные методы управления технологическим оборудованием.

Vladimir A. Smirnov. The candidate of engineering science, senior lecturer of «Mechano-Assembly Automation» department of the South Ural State University. Professional interests: modem methods of control of manufacturing equipments.

Петрова Лина Николаевна. Старший преподаватель кафедры «Автоматизация механосборочного производства» Южно-Уральского государственного университета. Область научных интересов - анализ и синтез оборудования на основе механизмов с параллельной кинематикой.

Lina N. Petrova. Senior lecturer of the «Automatization of Mechanical Assembly Production» department of the South Ural State University. Professional interests: analysis and synthesis of machinery on the basis of mechanisms with parallel kinematics.