Динамическая контактная задача о взаимодействии колеса с рельсом Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.31

В.Н. СТАРЧЕНКО, канд. техн. наук, доцент, ВУНУ (Украина) В.Г. БУРЯК, канд. физ.-мат. наук, доцент, ВУНУ (Украина)

ДИНАМИЧЕСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ КОЛЕСА С РЕЛЬСОМ

Наведено результаты теоретичного дослвдження динашчно! контактно! задач1 взаемодп колеса з рейкою, установлен! законом1рност1 змши модуля комплексно! амплиуди i кута зрушення фаз коливань ввд безроз-м1рно! частоти i безрозмiрноi маси.

Приведены результаты теоретического исследования динамической контактной задачи взаимодействия колеса с рельсом, установлены закономерности изменения модуля комплексной амплитуды и угла сдвига фаз колебаний от безразмерной частоты и безразмерной массы.

Results of theoretical research of a dynamic contact problem of interaction of a wheel with a rail are resulted, laws of change of the module of complex amplitude and a corner of shift of phases of fluctuations from dimen-sionless frequency and dimensionless weight are established.

Движение рельсовых транспортных средств осуществляется на принципе сцепления. При этом внешней силой, изначально необходимой для возможности движения, является сила трения между колесами и рельсами, которая возникает как реакция последних на приложение к сцепным колесам движущего крутящего момента или на тормозные оси - тормозного момента в процессе торможения. Трение определяет величину сцепления, поскольку с учетом упругости колеса и рельса их взаимодействие происходит по некоторой контактной поверхности, содержащей зону сцепления, характеризуемую коэффициентом статического трения, и зону скольжения, характеризуемую коэффициентом динамического трения, а с увеличением скольжения и при переходе от псевдоскольжения к собственно скольжению, на всей контактной поверхности действует уже только динамическое трение, которое существенно ниже статического. Следовательно, трение (сцепление) определяет не только возможность движения, но и ограничивает реализуемые тяговые усилия и величину тормозных сил [1].

Из всего множества факторов, в подавляющем большинстве имеющих случайный характер, к основным и определяющим силы трения (сцепления) между колесом и рельсом следует отнести вертикальную нагрузку (нормальное давление), физико-механические свойства материалов, профили контактных поверхностей и скорости их взаимного перемещения.

В теории контактного взаимодействия при определении формы и размера области контакта, а также величины и распределения поверхностных нормальных и касательных напряже-

ний, используется статическая нормальная нагрузка [2, 3, 4]. Известна работа К. Джонсона [5] по экспериментальной проверке теории Миндлина [6] при однонаправленном и осциллирующем воздействии сдвигающего (тангенциального) усилия.

Известные асимптотические методы (метод больших и малых лямбда - МБЛ, ММЛ) [7], предложенные для решения статических контактных задач, оказываются достаточно эффективными и при решении интегральных уравнений динамических контактных задач, ядра которых не являются осциллирующими.

Однако использование их для решения динамических контактных задач часто оказывается недостаточным, поскольку современные машины и механизмы обладают высокой динамичностью и при их расчетах на прочность необходимо учитывать инерционные силы.

Целью предлагаемой работы является исследование вертикальных колебаний жесткого колеса взаимодействующего с упругим рельсом

под действием силы Р = Рое1"', изменяющейся по гармоническому закону (рис.1).

Задача формулируется таким образом, что одна из компонент напряжения считается равной нулю на всей границе полуплоскости.

Приводятся три асимптотических метода исследования интегрального уравнения, к которому сводится эта задача для малых, средних и больших частот колебаний. Численное исследование задачи показывает, что с достаточной для практики степенью точности происходит смыкание приближенных решений, полученных для малых, средних и больших значений относительной частоты колебаний. Указанная задача для малых частот изучалась в работе [8].

1. Постановка задачи

Использование принципа предельного поглощения [9] приводит задачу к решению следующего интегрального уравнения: 1

$ Яе Х)]$ = 2пЛ5е (X), (1)

-1

IX < 1, Д = Ga-1,

1/2

Х = таа(р/0)1/2, Яе = Я1е (X) + ¡Я2е (X), 5е (X) = 5^ (X) + ¡52е (X).

Здесь 1) = ^е1®1 - неизвестная

функция распределения нормальных контактных напряжений под колесом; б8 (x)elтаt - величина перемещения колеса, вызываемого приложенной нагрузкой, причем 8^) = 5o(x)eHф,

где ф - угол сдвига фаз между колебаниями колеса и возмущающей нагрузки, 50(х) - модуль комплексной амплитуды колебания колеса, р, О -плотность и модуль сдвига упругого рельса.

В дальнейшем под напряжениями, перемещениями и сдвигом фаз подразумеваются их амплитудные значения, истинные же значения

^¡та!

получаются умножением на е . Ядро к8(х) уравнения (1) имеет вид

да I I

к 8 (X) = $ К 8 (и)енМ^и, (2)

—да

к1

KЕ(и)=

где

4u2k^u2 - (1- is) - k2 kl = -Jи2 - (1 - is)2b2 ,

, (3)

к2 = ^и2 — (1 —18)]2, 2 1

Ь2 = ^(1 — 2у)/(1 — V),

8 - коэффициент пропорциональности, характеризующий внутреннее трение, V - коэффициент Пуассона. Функция К8(и) - четная, имеющая на вещественной оси два полюса и две пары точек ветвления, симметрично расположенных относительно начала координат.

2. Метод малых частот

Для нахождения равномерного предела от функции б8(х) при в—>0 контур интегрирования в представлении (2) на основании [10] деформируем таким образом, чтобы при в— 0 смещающиеся на вещественную ось полюсы и точки ветвления функции К8(и) не пересекали бы его. В таком случае уравнения (1) и (2) принимают вид

1

$ — X] 2пЛ5М, (4)

—1

IX < 1, Д = Ga-1.

k(x) = J K(u)e-ilxludu, Г

qß) = lim qs ß), k(x) = lim k s (x),

(5)

5(x) = lim 5s (x), K(u) = limK s (u), e ^ 0.

Контур Г в соотношении (5) совпадает с вещественной осью, отклоняясь от неё, лишь обходя все положительные особенности сверху, а отрицательные - снизу.

Представим интеграл в уравнении (5) в виде

J K(u)e-"xudu =J

K(u) -

A

0

2 2

u2 - c0

-ixu

A0 J

-ixu . e 1 1 du

г u2 - c2

du +

(6)

где A0 и со - постоянные. Учитывая, что

K(u) -

Ao

2 2 u2 - c2

= J

K(u) -

Ao

2 2 u2 - c2

-ixu. e 1 1 du =

-ixu, e 1 1 du,

и вычисляя второй интеграл в (6) с помощью теории вычетов, получим для ядра (5) следующее выражение:

-да

k(x) = 2 J

K(u) -

Ar

,,2 _2 u - c0

cos(xu)du -

niAo _-i|x|c0 c0

e

(7)

в которых

3

7

A! = D - (B + -E - Eln-)x2 + (--C +

2

X

2

-2

103 n 7 2 5BE 5E . 2 4

+-F+ — Fln-----ln—)x ,

24 2 x 12D 12D x

2 2 7

B1 = (2B + 3E - 2Eln-)x2 + (4C + -F -

X 3

2 4BE 2E2 4E2. 2. 4 - 4Fln— + + —---r^r- ln—)x ,

se (u) = 16(1 - b2 )u6 = 8A2 (3b2 - 3)u4 + + 8A4u2 - A6;

Здесь последнее слагаемое в правой части -половина вычета в полюсе Релея.

Применяя метод представления (7) в новой форме [8], получим асимптотические формулы,

А2 = 1-¡£ .

Используя для (3.1) такую же схему, как и в работе [10], получим функциональное уравнение в виде

Фп + (a)[K1E (а) + K2S (а)] =

nrAnli

:П+1

V2nan+1

+ E (а), (3.3)

ar = 4(1 - b2).

Рассмотрим систему функциональных уравнений, приведенную ниже (3.4)

X 3D D 3D x

_ 25 2 2BE E2

C1 = (4C + — F - 4F ln-----+

1 3 X 3D D

2E2 2. 4

+ — ln—)X4,

3D X

A2 =-MX2 - (7N + 5ME)X4, 2 Л v2 12D

B2 = 2M X2 + 4(N + M|)X4. (8)

Выражения для P1, P2, a1, a2, a3 остаются

прежними, тогда после преобразований и расчетов, имеем

A = -0.08081, D = 0.6999, L = 1.09954, B = -0.2442 , E = -0.2575, M = -0.4045, C = 0.03228, F = 0.02190, N = 0.03435. (2.6)

3. Метод средних частот

Запишем уравнения (1.1) и (1.2) в форме 1

J qe x)] = nAôe (x), (3.1)

-1

(jx| < 1, A = G/a),

ke (x) = J [[ (u) + K2S (u)]cos(xu)du, (3.2) 0

K1s(u) = 4u2(u2 - A2)1/2(u2 - A2b2)/ss(u); K2s (u) = 4(u2 - A2b2)1/2(u2 - A2 / 2)2 / /se (u);

Ф^р^Ж* (a) = arAn!i

;n+1

^V2nan+1 2

+ ^Ep- (a) -

1+

-ФоМ^^в (a) + 2E2-1(a),

— p2 -2

Фпр(а)К2е (а) = 2^+Г + 2е2

2+ 1 1— -Ф2,Р-1(а)К1е (а) + ^Ер-Ка).

Система (3.4) эквивалентна уравнению (3.3) и решается методом последовательных приближений, так для нулевого приближения получаем зависимости

aoAn!i

¡n+1

+ ^E22-(a) -

Ф^^)^ (a) =

= a0A!i

;n+1

jsv

1 ¡+ ~ E0- (a),

2V2nan+1 2 0

j = 1,2

K1B(u) =

z2s = iY

Vu2 - Be2(u2 - z| )(u2 - zj ) (u2 - Z32 )(u2 - z12 )(u2 - Z22 )'

K2s (u) =

Vu2 - Pe2(u2 - E2)2 (u2 - Z32 )(u2 - z12 )(u2 - Z22 )'

Ев = А /л/2,

где Вв = А, 21е = йв = АЬ;

I I I

г1в,г2в,г3в - корни функции вв(и), лежащие в верхней полуплоскости.

Выполнив преобразования для уравнений (3.4), с учетом точной факторизации для К18 (и) и К28 (и),имеем решение в виде

фПС(У) = А

k,n

с1пФ* (y) + Z—

(3.5)

k4 _ J (y - u)k-2 ф* e (u)du.

сП+1,п=n! / V^b c2+i,n =n! / V^

-i

ф18 (y) = -1Д2 er^V-iBTy + (ny)-1/2eiBey + r18eiZ1eyerfVi(z1e - B8 )y - ^e^y • • eif/i(Z2e- Be )y,

+

Ф2е(y) = -iA-1/2er^V- iDey + r3eeiDey + r4eeiEeyer^Vi(Ee- De )У,

r = i (zJe - Z1 e )(zJe - z2e )(zJe - z3e) . = 12

rJe = i / \ 1Б-:- 'J = 12

zJe(z1e - z2e ^Be + izJe

r3e =

л/Пу

1-i-

A4e

y(1-

z3e

r4e =~r

VKEe- De)

(Ee-DeP E

¡A3e (1- f^) + A4e • k5

k5 =

y(1-z3e) + z3e (3Ee- 2De) - E;2

Ee

2iE2(Ee- De)

Д 1e =

iB e z2e z2 e Д __ iDeE4

■9 '9 '2 ' A2e " ' z1e z2 e z3 e

2 2 2 z1ez2ez3e

A3e _ i(2Ee - z1e - z2e)-

A4e _-(Ee- z1e)(Ee - z2e)-

Здесь erf x - интеграл вероятности. Общее решение уравнения

да

JvJe(^)kJebc(^- x)jd^_nA5e(x),|x|

< да,

kJe(x) _ J KJe(u)cos(xu)du, i _ 1,2 0

может быть получено в виде

vJe (x) _ xAao

§e (x)

A;

+ Z (-1)

m

1

Je m_1

2m

k6

X

k6 _ BJm52m(x).

Приближенное решение уравнения (1.1) строится в форме

2 . . q(x) = Ит8,у^о Е Фп0[х(1 + X)]Ьс(1 — X)]/ .=1

/ V .8 (X), ] = 1,2. (3.6)

Заметим, что с учетом факторизации К.8(а) = К ++8(а)К—(а) при 8^ 0,1.

Построение следующих приближений системы (3.4) сопряжено с трудностями вычисления интегралов вида

а0Лп! ¡п+1

да+iC

А ШТ

— J

2ni J

K-e (Z)]|-

-да+iC

— фП+Р—■1(С)К28 (О[К—8 (С)]"1}^.

Однако, как будет показано ниже, с хорошей для практики степенью точности оказывается достаточным нахождение только ФП+.

Построив указанным выше образом приближенные решения q0(x) и ql(x) уравнения (1.1) для средних х в форме (3.6), соответственно, для случаев 5^) = 5, 5^) = 0X , можно получить силу и момент по формулам 1

Р = {б^^^^ = Р1 + ¡р2, (3.7) —1 1

М = {б^-^^ = М1 + ¡м2. —1

4. Метод больших частот

Запишем ядро (2.2) интегрального уравнения (2.1) в другой форме

= { К(и)е—¡Х ^и . (4.1) Г

Можно показать, что для х >> 1 ядро к(х) представимо в форме

0

1

e

1

-да

k(x)« -2ni

b15o(x)/ x + b2e-iCoX X

Ь1 = I Нти^о К(и), Ь2 = Пти^Оо (и - с0)К(и).

Здесь 5°(х) - дельта функция, с0 - положительный полюс функции К(и), лежащий на вещественной оси; Ь1 = Ь.

Подставив (4.2) в уравнение (2.1) получим

Я(х) + М |е-1о°^-= Ьз5(х), (4.3) Ь1 -1 Ьз = 1хА /Ь1.

Применяя для решения уравнения (4.3) символический метод, получим дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

р"(х) - ^(х) = Ьз [б''(х) + Оох25(х)|, (4.4)

А =х[оо(21Ь:/Ь1 - Оо)]1/2.

Аппроксимируя функцию 5(х) полиномом, найдем решение уравнения (4.4) в виде

Я(х) = Чо(х) + Я*(х),

(4.2) P = Pi + iP2 = -¿5(1 - b2)(Ji + J2). (5.2) Здесь принято

J1 = (1 - c0 )2(1 + in1)2 e-2xi - im1n2 [1 + + im2b-1 + m1 (x - ins )]e-2xbi + 4 / 3ic2m2x3 +

q0(x) = c1e^1X + c2e-^x,

(4.5)

где q1 (x) - частное решение неоднородного уравнения (4.4). Произвольные постоянные в решении (4.5) определим, подставляя его в (4.3) и приравнивая коэффициенты при одинаковых

степенях e 1 и e 1 .

5. Численное решение задачи Пусть 5(x) = 5 = const, (5 = 81 + i§2). Тогда по формуле (3.6) и первой формуле (3.7) запишем

qo(x) = bo[iQ(x)Q(-x) + S(x)S(-x)] ,(5.1) Q(x) = [I1 +12(1 + x)]er^Vix(1 + x) + d1[ls +

l4(1 + x)]-[x(1 + x)J-1/2e-ix(1+x) l5e-ixb(1+x)er^A/ix(1- b)(1 + x),

+

S(x) = [I3 + d2(1 + x)][x(1 + x)-1/2 Je-i

ixb(1+x)

+

+

dserf Vixb(1 + x) + [d4 + d5(1 + x)J

e-ixh (1+x)er^7ix(b - h1)(1 + x)

+ 4com2n4x2 + {4m2co [2 - co + i(m1n5 -

- m2n6 )J + 2ic2(1 - im1b-1 )2 + m2(1 - c2) •

• (m2 - 2i) + co(2 - co) + 2m1(m2n7 + in8 + + mfig);

J2 = (b - c0)2s2e-2xbi + 2i(h1 - b)-1{4/3s2 •

• m4x3 + 4m4(m3S2 + m4h1h2)x2 + 2[s2s3 + + m4(2m3h2h-1 + m4h3 )Jx + 2m3s2 + s3h2 •

• h-1 + m4(2m3h3 + im4s4)}e-ix/h1 + 2ic2h4 •

• b-1x - ico[s5h4 - 4bco(m3 - is3h1-1 - 6m3 •

• m4 + 4im4h-1)Jb-2;

b0 = -0.7143x, l1 = 0.7976- 0.2133i, l2 = -0.5527ix, l3 = 0.5642, l4 = 0.3118ix, l5 = 0.03252 + 0.1576i, d1 = 0.7071(1 - i); d2 = (-0.1282 + 0.3874i)x, d3 = -0.5714(1 + i), d4 = 0.5243 + 0.2223i, d5 = (0.1350 + 0.2685i)x, b = 0.5345,

c0 = z3 = 1.0783, h1 = 0.7071;

z1 = 0.5211 + 0.05321i, z2 = -0.5211 +

Л 1 1 Л 1

0.05321i,m2 = ib lz1z2,m1 =-ib l(z1 + b) •

I II A I

• (z2 + b), m3 = -i(z1 + z2 + h- ), m4 = -(z1 +

+ h1)(z2 + h1),h2 = -0.1315i,h3 =-15.115,

-1 2 -1

h4 = (1-im3h-| -2m4^,n1 = m1(1-b) + m2,

n2 = 4.4466, n3 =-2.6352,

-1

n4 = c0(i + m1b ) + m2(1 - 1/2c0),

n5 = -1.9849, n6 = 0.002842, n7 = -4.1474,

n8 = 2.2104, n9 = 5.8752, s2 = 0.1378,

-1 -1 -2 s1 = b 1- im3(h1 - b) - m4(h1 - b)

s3 = m2 + 2m4,s4 = 96.4547, s5 = -0.009224.

При расчетах было принято V = 0.3.

Используя формулы (4.4), (4.5) и (3.7), для случая 5(x) = 5 = const, получим

-1

q0(x) = H|R ch(^x) + T P = 2H •[(R^1)-1sh^1 + T]

(5.3)

H

4cox2b2A5

T

b

Ь(2Ь2 + ю0Ь)' 4хЬ2 ^ = (1еоХ + ^1)еХ1 + (1еох-^1)е-Х1.

Здесь находится по второй формуле (4.4), а Ь2 = 0.1661.

Результаты вычислений Р>Р1/Д, Р'2=Р2/А по асимптотическим формулам (2.5), (5.2) и второй формуле (5.3) для малых, средних и больших х приведены в таблице 1,

( Р* =-а51 -рб2, Р2 = р51 - аб2).

Таблица 1.

п по (2.5) по (5.2) по (5.3)

а в а в а в

0.25 1.37 0.962 1.65 0.436 0.0194 0.812

0.50 1.55 1.44 1.98 1.01 0.120 1.45

0.75 1.66 1.74 2.37 1.78 0.324 1.99

1.00 1.52 1.77 2.72 2.80 0.636 2.49

1.25 0.964 1.48 2.91 4.05 1.06 2.99

1.50 0.329 1 .1 7 2.82 5.43 1.56 3.54

1.75 0.086 0.972 2.40 6.79 2.12 4.18

2.0 0.317 0.864 1.66 7.95 2.67 4.91

2.25 0.444 0.800 0.707 8.67 3.17 5.72

0,62

0,4

0,2

rzrz.— _г ——

[// / > М*=20 ф

</

V \

N. 5*а

—---

3,14

ВЫВОДЫ:

1.Приведен вывод интегрального уравнения с учетом принципа предельного поглощения и изучены свойства ядра этого уравнения.

2. Асимптотические методы достаточно эффективны при решении интегральных уравнений динамических контактных задач, ядра которых являются осциллирующими.

3. При решении методом средних частот применена точная факторизация функции ядра интегрального уравнения и построено эффективное решение до численного анализа.

5. Проведенные исследования показали, что с достаточной для практики степенью точности происходит смыкание приближенных решений для малых и средних частот в диапазоне 0.5 — Х — 1 , для средних и больших частот в диапазоне 1.5 — Х — 2.25 . Это позволяет исследовать все основные характеристики задачи при любых значениях параметра х .

6. Приведенные математические методы могут быть рекомендованы для уточненных расчетов в транспортном и общем машиностроении.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1.

На Рис. 2 показаны зависимости 50 и ф от безразмерной частоты х при разных значениях безразмерной массы М . Величина модуля ком-

г *

плексной амплитуды о0 уменьшается, а угол сдвига фаз ф увеличивается с ростом х и М*, что вполне соответствует физическому смыслу задачи.

Старченко В.Н. К вопросу о трении и сцеплении при взаимодействии колеса с рельсом. // Вюн. Схщноукр. нац. ун-ту. -2003. - №9(67). - С. 129135.

Johnson K. L. Contact mechanics. Cambridge University Press, Cambridge, 1985. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. - М.: Наука, 1980. Kalker J. J. Transient phenomena in two elastic cylinders rolling over each other with dry friction. -Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech., 1970, 37, p. 677.

Johnson K. L. Surface Interaction between Elasti-cally Loaded Bodies under Tangential Forces. Proc. Roy. Soc., Ser. A, vol. 230, 1955, p. 531. Mindlin R. D. Compliance of Elastic Bodies in Contact. J. Appl. Mech. , vol. 16, №3, 1949, p. 259268.

Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. -М.: Наука, 1974. Буряк В.Г. Динамическая контактная задача для упругой полуплоскости. Изв. АН СССР. МТТ, 1972, № 6.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1966. 10. Бабешко В. А. Об условиях излучения для упругого слоя. Докл. АН СССР, 1973, т. 213, № 3.

9.

0.5

1.5

Рис. 2.