Дихотомия решений линейной автономной системы ФДУ нейтрального типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Р.К. Романовский, Е.М. Назарук

Омский государственный технический университет, г. Омск

ДИХОТОМИЯ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ФДУ

НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

1. Начиная с середины прошлого века в теории устойчивости интенсивно изучается тип поведения динамических систем, получивший название «экспоненциальная дихотомия». В 60-е - 80-е годы построены основы теории, получены приложения к теории нелинейных колебаний, проблеме обратимости дифференциальных операторов, проблеме усреднения дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами [1-5]. В последние 20 лет получен ряд новых важных результатов по этой проблематике методами теории полугрупп ([6-8], см. также ссылки в книге [6] и обзоре [7]), продолжены исследования по применению прямого метода Ляпунова к анализу дихотомии [8-10].

Данная работа посвящена исследованию дихотомии для подкласса функциональнодифференциальных уравнений (ФДУ). Рассматривается задача Коши для линейной автономной системы ФДУ нейтрального типа

и г

X (*) -

I

а а

ГёТ (5)1 X (* - 5 ) =

\ёЕ (5 )1 X (* - 5 ),

* > а,

| I

\ V 1

I I I 1

V 0 1 0

|

(1)

[Х [0,а] = V ( *)е Е

93

Здесь

Е = С ([0, а] □ N),

Р,Т

- матрицы порядка N ,

а

0 < V0

(^ ) < С»,

Т липшицева на [О, а]. (2)

Под решением понимается непрерывная функция X : [0,») □ N, удовлетворяющая

при * < а

начальному условию (1), при * > а соотношению, получаемому из (1) интегрированием по отрезку [ а ,*] .

ЛЕММА 1. Задача Коши (1), (2) эквивалентна разностной задаче Коши в банаховом пространстве Е

к = Гх„-^

К

^ Е = Р е Е,

„ = 1, 2,...,

(3)

где

х„ (* ) = х( * + па), I е[0,а], Г = (I - В)-1 А , операторы А,В : Е ^ Е

даются

формулами

Ад) = р (а) + р (р,* ) + | ёт | ё[^ (5 )]р (т + а - 5 ),

X

Вр = | [ёТ ( 5 )]р (* - 5 ) + | ёт

т

Iё [ р ( 5 )~\р (т - 5 )

0 0 0

а а

р(р, *) = |ё[Т (5)]р (* + а - 5 ) - | [ёТ (5 )]р (а - 5 )

* а

0

I

ЛЕММА 2. Г - компактный оператор Е ^ Е .

Из структуры спектра компактного оператора в банаховом пространстве следует: спектр Г состоит из точки 0 и не более чем счетного множества собственных чисел с возможной предельной точкой 0 .

ТЕОРЕМА 1. Собственные числа Я Ф 0 оператора Г даются формулой

Я = е“4 , ёе! Д(£ ) = 0,

(5)

где

ёЕ (з).

I

I

Приведем краткие пояснения. Пусть ^ - корень уравнения (5) и вектор

И Ф 0 из □

N

таков, что

Д(^ ) И = 0 . Прямым вычислением с учетом формул (4) нетрудно убедиться, что пара

Х = /а , р (I ) = г^И удовлетворяет соотношению

Гр = Хр . Обоснование того, что

формула (5) исчерпывает все собственные числа Г , требует привлечения более тонких рассуждений.

2. Решение задачи Коши (3) дается формулой

х = Г„р,

„ = 1,2,.... Будем говорить,

что имеет место экспоненциальная дихотомия решений задачи Коши (1), (2), если фазовое пространство Е распадается в прямую сумму подпространств

Е = Е1 + Е2 Е„ Ф{0}, (6)

а

а

0

0

п

так, что для решений эквивалентной задачи Коши (3) имеют место при некоторых /И, V > 0 оценки

1 р е E ^ Г>

n

< de

— vn

Vn P ,

vn

(7)

р е E2 ^ Г р

> de P , n = 1,2,... .

ТЕОРЕМА 2. Для того, чтобы имела место экспоненциальная дихотомия решений задачи Коши (1), (2), необходимо и достаточно, чтобы множество корней уравнения (5) не пересекалось с мнимой осью и при этом хотя бы один корень лежал в полуплоскости

Re^ > 0 .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим

о- (Г). *(Г)

соответственно спектр и множество собственных чисел

Л ф 0

оператора Г . Имеем:

(Г) = * (Г) + {0} , при этом внешность любого круга

Л < const

содержит конечное число точек Л е s (Г) . С учетом этого и тео-

ремы 1 требования теоремы 2 означают распад

сг(Г) = 0-1 + 02

спектра Г в сумму непустых множеств, лежащих соответственно внутри и вне окружности

Х = 1 на положительном расстоянии от нее, при этом 02 конечно: при некотором Г < 1

о = 0 +

Х е 5

Г , Х < г ,

0 = Х ,...,Х е 5 Г , Х

1

> .

1 { } { ( )

} 2 { 1

т} ( ) к

Отсюда следует ([1], С.71) распад (6), где

Ек = Рк Е , проекторы Рк вычисляются по

формуле Рисса Р =

-1

I (XI - Г) ёЯ,

Р = I - Р ,

при этом спектр сужения Г на ин-

1 2п і

г

2

1

Х =г

вариантное подпространство

Ек - множество

(7к . С учетом этого формула Рисса

Г„р =

2П

I

Х =г

1

Х„ (Х1 - Г)-рХ, р е Е ,

дает после перехода к оценке нормы интеграла первую оценку (7) при ^

I I

= г тах

(Х1 - г)-1

, V = 1п . Оператор Г : Е ^ Е имеет ог-

1 Х =г

2 2

Г

раниченный обратный

Г-1

со спектром {Х-1,...,Х-1} в круге

Х < Г . При

р е Е имеем

р=(Г-1 )n гпр = 1

1 m

J Лп (Л/ — Г) Грс1Л.

2 т Х

Х =г

Выполняя оценку сверху и выражая отсюда

Г„р

, получим вторую оценку (7) при том же V и ^

2

1 2

= ^r max

(л/—г-1 )—1 1—1

. Обозначая

d = max (d ,d

) , получим оценки (7) в

2 L

Л =Г

окончательном виде.

Невыполнение требований теоремы 2 означает: либо множество

* (Г)

лежит в круге Х <1, либо Х = 1 для некоторого

ЛЕ s(г) .В первом случае в(6)

E1 = E,

E = {0}

95

и не выполняется требование

Ek Ф {0} . Пусть имеет место второй случай:

Гр = Лр,

Л = 1, р Ф 0. Имеем:

Гр

= Лпр = р

= const Ф 0 . С другой стороны, пред-

полагая выполненным разложение (6), (7), получим:

р = р1 + (р2 , Рк є Ек , откуда следует:

либо

Гр

^ 0 (случай р2 = 0 ), либо

Гр

^ (случай р2 ф 0 ). Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ. В случае Т = 0

теорема 2 - критерий дихотомии для линейной автономной системы ФДУ запаздывающего типа. ПРИМЕР. Рассмотрим задачу Коши

и г

|х (I )

I

| sx(t - з)ds = х (/ -1), t > 1,

\л V 0 \

I

(8)

Здесь

Iх [»1 = Р (t )е Е

N = 1, Е = С ([0,1] □ ) ,

[0, 0 < з < 1,

Г 1 1

р = \

А(% ) = % | 1 - | зв~%-| - в~%.

I1,

з = 1,

V 0 ]

Вычисления при % Ф 0 дают

А(% ) = #-‘ (е( + %- -1).

1) % = О,

Имеем

О £□

о ф 0 ^ А(% ) = (о ) 1 (в0 - о2 -1) ф 0;

2) А^ ^ = 2 в2 - < - , А (1) = в1 > 0 , поэтому

А(%

при некотором

I 2 I I

4 1 4

о

I 2 I

I )

Тем самым выполняются оба условия теоремы 2, и имеет место экспоненциальная дихотомия решений задачи Коши (8).

Библиографический список

1. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. -М. : Наука, 1970.

2. Аносов, Д. В. Некоторые гладкие динамические системы / Д. В. Аносов, Я. Г. Синай // Успехи математических наук. -1967. - № 5(137). -С. 107-172.

3. Левитан, Б. М. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения / Б. М. Левитан, В. В. Жиков. -М. : Изд-во МГУ, 1978.

4. Мухамадиев, Э. М. Об обратимости дифференциальных операторов в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций / Э. М. Мухамадиев // Докады АН СССР. -1961(1971). - С. 47-49.

5. Романовский, Р. К. Экспоненциально расцепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными / Р. К. Романовский // Матем. сб. - 1987. - 133, 3. -С. 341-355.

96

6. Chicone, С. Evolutional semigroups in dynamical systems and differential equations /

С. Chicone, Y. Latushkin. - Providense, R. I., 1999.

7. Баскаков, А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А. Г. Баскаков // Известия РАН. Сер. Математика. - 2009. - 73, 2. - С. 3-68.

8. Баскаков, А. Г. Гиперболические полугруппы операторов и уравнение Ляпунова /

А. Г. Баскаков, А. А. Воробьев, М. Ю. Романова // Математические заметки. - 2011. - 89, 2.

- С. 190-203.

9. Романовский, Р. К. Об экспоненциальной дихотомии линейных систем с почти периодической матрицей / Р. К. Романовский, Л. В. Бельгард //Сиб. мат. журнал. - 2009. - 50, 1.

- С. 190-198.

10. Р.К. Романовский, Л.В. Бельгарт, «Об экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости», Дифференциальные уравнения, 46:8 (2010), 125-1134.