CC BY
38
УДК 541.11
АЛЕКСЕЕВ Вадим Петрович, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой общей и экспериментальной физики Ярославского государственного университета имени П.Г. Демидова. Автор 93 научных публикаций, в т.ч. 10 учебных пособий
АКСЁНОВ Кирилл Валерьевич, аспирант кафедры общей и экспериментальной физики Ярославского государственного университета имени П.Г. Демидова. Автор 12 научных публикаций
ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ
НА ОСНОВЕ БЫСТРОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Статья посвящена цифровой фильтрации сигналов на основе быстрого вейвлет-преобразования при моделировании колебаний шахты реактора. В работе дается пример фильтрации сигналов на основе быстрого вейвлет-преобразования в условиях специальной задачи, приведены характеристики и преимущества такой фильтрации.
Вейвлет, частота дискретизации, быстрое вейвлет-преобразование (БВП)
Введение. При моделировании процесса механических колебаний шахты реактора по данным сигналов ионизационных камер с целью создания программного комплекса, позволяющего проводить дополнительную диагностику вибрационного состояния шахты и регистрировать дополнительные вибрационные характеристики, возникает необходимость проведения цифровой фильтрации сигнала, отвечающей специальным требованиям. Необходимой особенностью проводимой математической обработки данных является сохранение информации о текущей фазе и амплитуде частотных составляющих сигнала.
Фильтрация на основе преобразования Фурье с его бесконечно протяженным тригонометрическим базисом не подходит для анализа и фильтрации нестационарных сигналов. Оконное Фурье-преобразование также малоэффективно.
При анализе нестационарного сигнала, когда важно определить момент изменения час© Алексеев В.П., Аксёнов К.В., 2011
тотной составляющей, обычно используются различные типы линейных фильтров, реализуемых в цифровой форме - аналоговые фильтры с бесконечной импульсной характеристикой, цифровые фильтры с бесконечной или с конечной импульсной характеристикой, характеризующиеся способами и особенностями задания передаточной характеристики и т.д. [1]
Альтернативой использования линейных фильтров является использование нелинейных фильтров, как и Фурье-преобразование использующих разложение сигнала на базисные функции, которые имеют в отличие от тригонометрического базиса Фурье-преобразования конечную область определения. Такими функциями являются вейвлеты, с помощью которых возможно исследовать рассматриваемый сигнал, используя смещение по-разному сжатых и сдвинутых вариантов единственной функции и в некоторых случаях дающих существенные преимущества перед линейными фильтрами.
Постановка задачи. Исходный сигнал в цифровой форме имеет частоту дискретизации 100 Гц и длину 65536 точек, т.е. длительность временной реализации составляет около 11 мин. В этом сигнале во всем диапазоне частот, который может рассматриваться на основе теоремы Котельникова, т.е. 0-50 Гц, присутствует белый шум, и на этот белый шум в диапазоне частот 3-9 Гц наложен сигнал, несущий информацию о колебательном, нестационарном процессе (колебания негармонические).
Рассматриваемый сигнал необходимо отфильтровать в диапазоне частот 3-9 Гц, при этом в полученном обработанном сигнале должна сохраниться информация о текущей фазе и амплитуде колебаний. Кроме того, фильтрация должна происходить непрерывно в режиме online по мере поступления сигнала с максимальной точностью и не вносить искажений в полученный результат. Такие условия диктуются использованием фильтруемого сигнала в процедуре непрерывного математического моделирования колебательной системы и синхронизации получаемого сигнала с сигналами других датчиков [2].
Используемые методы. Доказано, что любую функцию можно представить в виде суперпозиции вейвлетов, и существует устойчивый численный алгоритм вычисления коэффициентов при таком разложении [3]. Эти коэффициенты полностью характеризуют функцию, кроме того, ее можно точно восстановить по ним:
sj,k = J f(x)(P],k(x)dx ,
dj,k = J f(x/j,k(x)dx,
да
где f(x) = X sjn,kPjnk(x) +
k = -да
да да
+ X X dj,k¥j,k(x).
j = Jnk = -да
Функции p и / называются скейлинг (масштабирующей) функцией и материнским
вейвлетом (или просто вейвлетом) соответственно, или широкополосными и узкополосными фильтрами, т.к. они фильтруют компоненты сигнала на больших и малых масштабах. Второе слагаемое указывает на флуктуации (разности d) во все более мелких интервалах с большими j (/-уровень, к-номер интервала). Коэффициенты S.k описывают средние значения сигнала $дд - окончательная средняя величина сигнала), те. первым слагаемым можно пренебречь на бесконечном интервале.
Для функций р и / определено условие нормировки:
да
|р(х)^ = 1
— да
и условие осцилляций или знакопеременности:
да
| / (х )йх = д
— да
Из соотношений
2М — 1
р(х) = л/~2 ^ hкр(2х — к )
к = д
2М — 1
и /(х) = 42 ^ gkP(2k — 1)
к=д
определяются вейвлет-коэффициенты К = ^2 \ р( х )р( 2х — к )йх
и g к = ( — 1) К2М — к — 1 ,
где М определяет число вейвлет коэффициентов Кк и gk.
С использованием свойства ортогональности масштабирующих функций
|р(х)р(х — т )dx = д ,
откуда ^ КкКк + 2т = д , условия ортогональ-
к
ности вейвлета полиномам до степени М-1 (гладкость и знакопеременность)
| х”щ(х)dx = 0 (х = 0,1,..., М — 1)
откуда
X (- 1)к^к = о
и условия нормировки
J (р{ х )dx = 1 откуда ^ hk = 42
к
определяются вейвлеты Добеши, а точнее, вейвлет-коэффициенты вейвлета Добеши. Например, для М=2 из системы уравнений:
<
к0к2 + к1к3 = 0 h0 — h¡ + h2 — к3 = 0
— кі + 2к2 — 3к3 = 0 к„ + к, + к-. + к. = 42
определяются вейвлет-коэффициенты, определяющие вейвлет Добеши D4.
Вейвлет-преобразование имеет самый широкий круг использования [4], при этом наиболее часто используемым способом его реализации является быстрое дискретное вейвлет-преобразование (БВП). При быстром вейвлет преобразовании используется не исходный сигнал, а предыдущий уровень коэффициентов d, при этом конкретная форма вейвлетов даже не выписывается, а используются величины коэффициентов функциональных уравнений h. Схема проведения быстрого вейвлет-преобразования приведена на рис. 1.
Рис. 1. Принципиальная схема проведения быстрого вейвлет-преобразования
Каждая шкала вейвлет-коэффициентов содержит информацию о сигнале в виде коэффициентов, которые вычисляются с помощью итерационной процедуры быстрого вейвлет-преобразования:
+1,к =^ hmsj,2k+т dj+1,к =^ ё,
т^ ]' ,2к+т
где ёк = ( - 1)кКм - к -1 ,
и з0,к =| ^х)р(х - к^х = f(k), т.к. коэффициенты я0к представляют собой локальные
средние значения исходного сигнала.
По полученным коэффициентам 5 и d возможно численно восстановить исходный сигнал при помощи процедуры обратного вейвлет преобразования.
Проводя обнуление уровней коэффициентов, соответствующих фильтруемым частотам, производится фильтрация сигнала при помощи нелинейного фильтра на основе быстрого вейвлет-преобразования.
Фильтрация сигнала. На первом этапе произведем быстрое вейвлет-преобразование сигнала. Для наглядности используем сигнал, последовательно составленный из десяти отрезков, представляющих из себя десять синусоид длиной 6553 точки с единичной амплитудой и с периодами колебаний от 1 до 10 Гц. На рис. 2 представлены коэффициенты быстрого вейвлет-преобразования, проведенного при помощи вейвлета Добеши D8 (М=4), такого сигнала с шагом по вертикальной оси амплитуд, равным 10.
На рис. 3 представлена передаточная характеристика нелинейного фильтра на основе БВП. При этом производится обнуление всех уровней вейвлет-коэффициентов, кроме четвертого, в результате чего после проведения обратного БВП получается отфильтрованный в требуемом диапазоне частот сигнал. Кроме этого, для наглядности не обнулялись также четвертый и пятый уровни (на рисунке видна полоса пропускания 2-9 Гц), а также третий и четвертый уровни (полоса пропускания 3-14 Гц). Также на рисунке
Рис. 2. Коэффициенты вейвлет-разложения d, полученные с помощью быстрого вейвлет-преобразования рассматриваемого сигнала (на нулевом уровне отображен сам сигнал)
приведена разность фаз исходного и отфильтрованного сигнала.
Выводы. Приведенный выше алгоритм фильтрации удовлетворяет всем предъявленным к нему требованиям, не требует длительных вычислительных процедур и реализуется путем присоединения получаемого сигнала к имеющейся временной реализации в ходе моделирования колебательной системы в режиме on-line. При этом БВП и обратное БВП проводится не для всего рассматриваемого интервала сигнала (11 мин.), а по мере получения данных для короткого интервала сигнала и только до четвертого уровня разложения.
Необходимо отметить, что границы частотного интервала пропускания сигнала будут более крутыми в случае увеличения длины вре-
меннои реализации сигнала, в то время как увеличение частоты дискретизации сигнала, например, в два раза только добавит еще один высокочастотный уровень вейвлет-коэффициентов.
Таким образом, проведение специальной цифровой фильтрации сигналов с целью создания программного комплекса, позволяющего проводить дополнительную диагностику вибрационного состояния шахты путем моделировании процесса механических колебаний и расчета дополнительных вибрационных характеристик в режиме реального времени, реализуется при использовании быстрого вейвлет-преобразования, имеющего в рамках данной задачи ряд преимуществ перед стандартными алгоритмами фильтрации.
Рис. 3. Амплитудно-частотная характеристика и фазо-частотная характеристика нелинейного фильтра, реализуемого при помощи быстрого вейвлет-преобразования
Список литературы
1. Дьяконов, В.П., АбраменковаИ.В. Матлаб, обработка сигналов и изображений: спец. справочник. СПб., 2002.
2. Алексеев В.П. Аксенов К.В. Моделирование вибрации шахты внутрикорпусной реакторных установок типа ВВЭР-440(230) по данным сигналов штатных ионизационных камер аппаратуры контроля нейтронного потока // Вестн. Помор. ун-та. Сер.: Естеств. науки. 2009. №9 4. С. 47.
3. ДреминИ.М., Иванов О.В., НечитайлоВ.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук. 2001.
4. Яковлев А.Н. Введение в вейвлет-преобразования. Новосибирск, 2003.
Alekseev Vadim, Aksyonov Kirill
DIGITAL SIGNAL FILTERING BASED ON THE FAST WAVELET TRANSFORM
The article is devoted to the digital signal filtering based on the fast wavelet transform for the core barrel vibration modeling. The example of signal filtering based on the fast wavelet transform filtering in conditions of a special problem is given in the article, characteristics and advantages of this filtering being adduced.
Контактная информация: Аксенов Кирилл Валерьевич e-mail: kirvalaks@rambler.ru
Рецензент - ПоповВ.Н., доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математики Северного (Арктического) федерального университета
