CC BY
82
ДИФРАКЦИОННАЯ МОДЕЛЬ КВАЗИНЕПРЕРЫВНОГО ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ЛАЗЕРА С ПРОДОЛЬНОЙ ДИОДНОЙ НАКАЧКОЙ И АКТИВНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ ДОБРОТНОСТИ
Н.Р. Белашенков, С.В. Гагарский, М.З. Смирнов, П.Н. Фимин, В.Ю. Храмов
В работе приведены результаты теоретического исследования модели твердотельного лазера с продольной диодной накачкой в дифракционном приближении. Рассмотрены основные факторы, относящиеся к конструкции резонатора и геометрии возбуждения активной среды, влияющие на динамику формирования поперечной структуры излучения генерации. Рассчитаны поперечные профили амплитуды и фазы световых пучков на выходе лазера при различных режимах возбуждения активной среды и управления добротностью резонатора.
Введение
Одним из наиболее существенных отличий в моделях твердотельных лазеров с ламповой и диодной накачкой является необходимость учета пространственного распределения коэффициента усиления в активном элементе в случае лазера с диодной накачкой. Если тепловые аберрации активной среды так или иначе учитывались ранее при анализе режимов формирования поперечных мод в резонаторах лазеров с ламповой накачкой, то пространственной неоднородностью коэффициента усиления пренебрегали практически во всех случаях, за исключением, может быть, достаточно экзотических вариантов взаимного расположения ламп накачки и активного элемента, а также при анализе сравнительных характеристик ламповых отражателей. Ключевая роль пространственного профиля коэффициента усиления в лазерах с продольной диодной накачкой была отмечена в литературе давно [1, 2]. Однако в этих и большинстве последующих работ авторы не учитывали в своих моделях эффект насыщения усиления, ограничиваясь рассмотрением линейной задачи в приближении среднего по резонатору поля [3]. Это приближение в ряде случаев может вполне удовлетворительно описывать поперечное распределение амплитуды поперечных мод резонатора даже при условии насыщения усиления. В частности, к этим случаям относится рассмотрение таких конфигураций лазерного резонатора, при которых поперечный размер генерируемой моды существенно превышает радиус пучка накачки в активном элементе [4]. Данное соотношение является весьма характерным для микрочип-лазеров, однако модель, способная описывать более широкий класс резонаторов, должна учитывать эффекты насыщения в общем виде. Важность корректного рассмотрения нелинейности усиления в твердотельных лазерах с продольной диодной накачкой отмечалась многими авторами, но в большинстве случаев исследования ограничивались анализом энергетических аспектов проблемы. В частности, в работе [5] было выполнено исследование влияния радиуса пучка накачки в активном элементе на величину порога генерации и к.п.д. лазера с учетом эффекта насыщения активной среды. При этом было отмечено существенное различие полученных результатов и данных, вытекающих из линейного приближения. В работе [6] предложена теория расчета лазерных пучков с учетом насыщения усиления активной среды, основанная на формализме ЛВСБ матриц. В этой работе авторами впервые была предложена процедура учета нелинейности усиления тонкого активного элемента при его возбуждении пучком накачки с гауссовым профилем интенсивности путем модификации ЛВСБ матрицы эквивалентной гауссовой апертуры. В работе [7] была предложена модель, учитывающая не только амплитудные аберрации активного элемента, вызванные пространственно неоднородным распределением коэффициента усиления, но и фазовые аберрации, вносимые в лазерный пучок усиливающей средой при отстройке частоты излучения генерации от резонанса линии усиления.
Как и в традиционных лазерах с ламповой или поперечной диодной накачкой, оптимизация резонатора лазеров с продольной накачкой играет решающую роль при
обеспечении заданных энергетических и пространственных характеристик излучения генерации. В первом приближении можно считать, что наилучшие параметры излучения генерации твердотельного лазера могут быть получены в том случае, если в активном элементе обеспечено максимальное перекрытие лазерной моды и пучка накачки [8, 9]. В последние годы в ряде работ были опубликованы результаты исследований, направленных на создание моделей твердотельных лазеров с продольной диодной накачкой, которые можно характеризовать как простые и эффективные. В частности, к этим работам следует отнести, например, работы [10, 11], в которых авторы основное внимание уделяли построению точечных моделей лазеров, учитывающих поперечное распределение излучения накачки и генерации лишь в оптико-геометрическом приближении. Это приближения при аккуратном построении модели балансных уравнений является, безусловно, продуктивным, так как дает возможность производить эффективные оценки диапазона изменения основных энергетических и временных параметров выходного излучения. Однако более тонкие зависимости выходных параметров излучения от параметров накачки и лазерного резонатора, также как и вопросы устойчивости получаемых решений, можно исследовать лишь при условии учета дифракционных эффектов в моделях, построенных на основе решения дифракционного интеграла. Доказательством этого может служить, например, следующее: в работах [12, 13] авторы рассматривали динамику формирования основной поперечной моды лазерного резонатора и оценку влияния на выходную мощность и стабильность энергетических характеристик излучения геометрии резонатора лазера. В работе [12] был использован аппарат лучевых матриц, и полученные результаты позволили предсказать диапазоны изменения параметров лазерного резонатора, в которых наблюдается нестабильный характер динамики формирования пучка генерации. Позже в работе [13] те же авторы для расчета поперечного распределения амплитуды светового поля в резонаторе лазера использовали формализм дифракционного интеграла Гюйгенса, и это позволило обнаружить новые закономерности динамики генерации твердотельных лазеров с продольной диодной накачкой вблизи так называемых «критических» геометрий лазерного резонатора и, что самое главное, дало возможность объяснить их происхождение и сформулировать рекомендации относительно практического использования полученных результатов.
Постановка задачи
В данной работе мы в силу уже отмеченных выше обстоятельств остановимся на рассмотрении осесимметричной задачи взаимодействия излучения накачки с активной средой и распространения излучения генерации в резонаторе. Прежде всего рассмотрим модель формирования фазовых и амплитудных аберраций активного элемента под действием накачки. Полагая, что коэффициент теплопроводности материала активной среды К является постоянным по объему лазерного элемента (при умеренных перепадах температуры это предположение не искажает физической картины), пространственное распределение температуры Т(г,г) можно найти из уравнения:
- КАТ (г, г) = Мр1р (г, г) (1)
где ¡лр - коэффициент поглощения активной среды на длине волны излучения накачки, 1р(г,г) - пространственное распределение интенсивности накачки в активном элементе.
Будем полагать, что поперечное распределение интенсивности пучка накачки описывается колоколообразной функцией вида
1р (г) = 1р0 exp(- 2г у со2р ) (2)
где 1ро - интенсивность излучения накачки на оси пучка, а>р - радиус пучка накачки по уровню 1/е2 интенсивности, а параметр N может принимать значения 1, 2, 3.
При N=1 поперечное распределение интенсивности пучка накачки будет иметь вид функции Гаусса, характерной для излучения, полученного непосредственно с выхода оптической системы, формирующей пучок диодного лазера. Необходимость принятия к рассмотрению профилей интенсивности накачки, отвечающих значениям параметра N выше 1, диктуется практическими соображениями, так как при использовании волоконных систем доставки излучения накачки с последующей его фокусировкой непосредственно в активный элемент лазера именно эти функции наиболее точно описывают возникающее в этом случае поперечное распределение интенсивности накачки в активной среде.
Пренебрегая нелинейным поглощением, распределение накачки в активной среде запишем в виде:
1р (г, z) = ^ (г)ехр(-црг) (3)
Далее, решив уравнение (1) с граничными условиями Неймана (3-го рода) для температуры на боковой поверхности и торцах активного элемента вида
п•У(Т) • K = ^ •(( - Тт1 ), (4)
где п - единичный вектор внешней нормали к поверхности, Tcol - температура хладагента на боковой поверхности элемента и на его торцах, h - коэффициент теплопередачи, а также с граничным условием (дТ/ д г ) = 0 на оси активного элемента, определим показатель преломления активной среды, используя выражение
п(г ) = по + P [Т (г )- Т ] + б • [Т (г ) - ^ (г )], (5)
r
где Т0 = 2^2 • | Т(г)• г • ёг - средняя температура по сечению активного элемента радиуса
0
г
Я, п0 - показатель преломления, соответствующий температуре То, Тт (г) = 2г-21Т(г') • г' • ёг'
0
- средняя температура по внутренней части сечения радиуса г, Р и б - термооптические коэффициенты активной среды, п0 = псо1 + дп/д Т •(Т0 - Тсо1).
При условии, что эффектами нелинейного поглощения излучения можно пренебречь, амплитудные аберрации активного элемента лазера обусловлены только неоднородным пространственным распределением коэффициента усиления в активной среде а(г,г). Исходное распределение ненасыщенного коэффициента усиления в активной среде до момента включения режима активной модуляции лазера а0(г,г), определим по формуле
«0 (г, 2 ' Т • 1Р (г, 2). д, (6)
где - сечение вынужденного перехода, Т1 - время продольной релаксации активной среды, ур - частота излучения накачки, д - квантовый выход накачки.
Таким образом, будем считать, что функция а0(г,г) с точностью до множителя соответствует пространственному распределению интенсивности накачки в активном элементе.
Для нахождения пространственного распределения излучения генерации в резонаторе и на выходе лазера будем применять итерационную процедуру Фокса и Ли. Чтобы сократить количество итераций, необходимое для расчета поперечного распределения комплексной амплитуды фундаментальной пространственной моды резонатора, будем использовать в качестве начального (затравочного) излучения пучок с поперечным распределением комплексной амплитуды, соответствующим пространственному профилю пучка накачки.
Активный элемент лазера представим в виде набора плоскопараллельных слоев толщиной Дг с однородным по координате 2 распределением коэффициента усиления. Число слоев будем выбирать в каждом случае, исходя из критерия погрешности результата, не превышающей 5%.
Будем учитывать насыщение усиления активной среды, используя известное соотношение Франца-Нодвика, и рассчитывать пространственное распределение плотности энергии излучения генерации на каждом проходе через активный элемент в каждом его слое по формуле
^+1, (г )= 1п{ехр[, (г )А2][ехр^(г)]-1]+1}, (7)
при этом изменения коэффициента усиления будем учитывать, используя формулу [+1 (г) = [ (г )• ехр[ж,; (г)- +и (г)], (8)
где г - порядковый номер слоя активного элемента по ходу распространения излучения в резонаторе, ] - номер прохода излучения через активный элемент, а функция W(г) нормирована на плотность энергии насыщения активной среды.
Основные результаты
Рассмотрим задачу моделирования на примере твердотельного УЛО:Кё3+ лазера с продольной накачкой излучением диодного лазера с длиной волны Л,р=810 нм и активной модуляцией добротности резонатора. Оптическая схема твердотельного лазера представлена на рис. 1.
2 14 3
А А Г г
Рис.1. Оптическая схема твердотельного лазера с продольной диодной накачкой: 1 - активный элемент; 2 - вогнутое зеркало с радиусом кривизны отражающей поверхности Рт= 400 мм; 3 - плоское выходное зеркало с коэффициентом отражения на длине волны генерации г=60%; 4 - модулятор добротности резонатора с мгновенным включением.
Выберем для анализа кристалл УЛО:Кё3+ с геометрическими размерами а=03 мм, 1а.э=8 мм и концентрацией ионов неодима, отвечающей коэффициенту поглощения излучения накачки ¡лр=3 см- . Будем полагать, что излучение накачки направлено в активный элемент по оси резонатора со стороны вогнутого зеркала и сфокусировано на торцевой поверхности активного элемента, обращенной к вогнутому зеркалу, причем а>р=0.9 мм. Коэффициент отражения вогнутого зеркала на длине волны генерации будем полагать равным 1. Длину резонатора выберем равной 155 мм. Для кристалла УЛО:Кё3+ используем следующие значения термооптических коэффициентов: Р=1.0-10"5 (1/К), 0=0.6-10-5 (1/К). Учтем также, что для этого кристалла показатель преломления при температуре Тсо1=20 °С равен псо1=1.816, термический коэффициент показателя преломления составляет дп/дТ =9.86-10-6 (1/К), коэффициент теплопроводности равен К=0.14 Вт/(см К), время продольной релаксации Т/=0.25-10"3 с, сечение вынужденного перехода с%=8.8-10"19 см2, а квантовый выход накачки ^=0.99. Примем, что боковая поверхность активного элемента охлаждается водой, а торцевые поверхности -воздухом. Для водяного охлаждения коэффициент теплопередачи будем полагать равным Им,=1.13 Вт/(см2 К) [14], а для воздушного - Иа=0.01 Вт/(см2 К) [15].
На рис. 2 представлены результаты расчета пространственного распределения температуры активного элемента и изменения его показателя преломления при мощности диодной накачки, равной 10 Вт.
0 0.25 0.5 0.75 1
2/1.,
0.25 0.5
2/1
0.75 1
а)
0
Рис. 2. Распределение температуры (а) и изменения показателя преломления (б) в плоскости симметрии активного элемента
На рис.3 представлены поперечные профили изменения показателя преломления в активном элементе при различных значениях средней мощности накачки.
5.0 -1-1-1-
3.75
2.50
1.25
0е—-1-1-1-—^
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0
г/а
Рис. 3. Поперечные распределения изменения показателя преломления активного элемента при средней мощности накачки 10 Вт (кривая 1), 30 Вт (кривая 2) и 60 Вт (кривая 3).
В настоящей модели лазера излучение накачки может иметь импульсно-периодический характер и представлять собой последовательность квазипрямоугольных импульсов с различной скважностью. При этом значение средней мощности Ра, определяющее процессы формирования фазовых аберраций активного элемента, и значение импульсной мощности Рр, характеризующее амплитудные аберрации активного элемента, вообще говоря, могут различаться.
На рис. 4 представлены рассчитанные интегральные по импульсу модулированной добротности поперечные распределения интенсивности излучения генерации на выходном зеркале лазера при различных соотношениях средней и импульсной мощности накачки.
Рис.4. Поперечные распределения интенсивности излучения генерации на выходном зеркале лазера при различных значениях средней и импульсной мощности накачки. а) Ра=10 Вт, Рр=10 Вт; б) Ра=10 Вт, Рр=30 Вт; в) Ра=30 Вт, Рр=30 Вт
Из рис.4 (а, б) видно, что увеличение импульсной мощности без изменения средней приводит к некоторому уменьшению поперечного размера пучка на выходном зеркале, что связано с проявлением так называемого «index guiding» эффекта, т.е. затягивания и сжатия пучка генерации в активном элементе с неоднородным колоколообраз-ным профилем коэффициента усиления. На рис.4 (б,в) представлены поперечные распределения интенсивности излучения генерации при накачке активной среды излучением, имеющим одинаковую импульсную, на различную среднюю мощность. Полученные результаты иллюстрируют влияние фазовых термоиндуцированных аберраций активного элемента на модовую структуру излучения генерации. Видно, что поперечный размер пучка генерации на выходе лазера увеличивается с ростом средней мощности, что можно объяснить изменением параметров устойчивости резонатора.
Заключение
Представленная в настоящей работе теоретическая дифракционная модель формирования поперечных мод квазинепрерывного УЛО:№3+ лазера с продольной диодной накачкой в режиме активной модуляции добротности учитывает основные факторы, влияющие на характеристики выходного излучения, а именно: конфигурацию резонатора, пространственно-энергетические параметры излучения накачки, амплитудные аберрации активной среды твердотельного лазера с учетом насыщения усиления, фазо-
вые термооптические аберрации активного элемента, вызванные его неравномерным нагревом излучением накачки. Наибольший интерес представляет оценка влияния «index guiding» эффекта, приводящего к уменьшению поперечного размера внутрирезона-торной моды с увеличением импульсной мощности накачки, определяющей величину коэффициента усиления активной среды.
Литература
1. F.Salin, J.,Squier, "Gain guiding in solid-state lasers", Optics Letters, 17, 19, 13521354, (1992)
2. G.K.Harkness, W.J.Firth, "Transverse modes of microchip solid state lasers", J. Mod. Opt., 39, 10, 2023-2037, (1992)
3. C.Serrat, M.P. van Exter, N.J. van Druten, J.P.Woerdman, "Transverse mode formation in microlasers by combined gain- and index-guiding", IEEE J. Quantum Electron., 35, 9, 1314-1321, (1999)
4. N.J. van Druten, S.S.R.Oemrawsingh, Y.Lien, C.Serrat, M.P. van Exter, , J.P.Woerdman, "Observation of transverse modes in a microlaser with combined gain and index guiding", J. Opt. Soc. Am. B, 18, 12, 1793-1804, (2001)
5. F.Sanchez, M.Brunel, K.Ait-Ameur, "Pump-saturation effects in end-pumped solidstate lasers", J. Opt. Soc. Am. B, 15, 9, 2390-2394, (1998)
6. E.J.Grace, G.H.C.New, P.M.W.French, "Simple ABCD matrix treatment for transversely varying saturable gain", Opt. Lett., 26, 22, 1776-1778, (2001)
7. A.J.Kemp, R.S.Conroy, G.J.Friel, B.D.Sinclair, "Guiding effects in Nd:YVO4 microchip lasers operating well above threshold", IEEE J. Quantum Electron., 35, 4, 675681, (1999)
8. P.Laporta, M.Brussard, "Design criteria for mode size optimization in diode-pumped solid-state lasers", IEEE J. Quantum Electron., 27, 10, 2319-2326, (1991)
9. F.Sanchez, A.Chardon, "Pump size optimization in microchip lasers", Opt. Commun., 136, 405-409, (1997)
10. R.Kapoor, P.K.Mukhopadhyay, J.George, "A new approach to compute overlap efficiency in axially punped solid state lasers", Optics Express, 5, 6, 125-133, (1999)
11. J.K.Jabczynski, J.Kwiatkowski, W.Zendzian, "Modeling of beam width in passively Q-switched end-pumped lasers", Optics Express, 11, 6, 552-559, (2003)
12. M.-D. Wei, W.-F.Hsieh, C.C.Sung, "Dynamics of an optical resonator determined by its iterative map of beam parameters", Opt. Commun., 146, 201-207, (1998)
13. C.-H.Chen, M.-D.Wei, W.-F.Hsieh, "Beam-propagation-dominant instability in an axially pumped solid-state laser near degenerate resonator configurations", J. Opt. Soc. Am. B, 18, 8, 1076-1083, (2001)
14. Зверев Г.М., Голяев Ю.Д. Лазеры на кристаллах и их применение. М.: Радио и связь, 1994.
15. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и проблема расходимости лазерного излучения. Новосибирск: Наука, 1979.
