Дифференциальные уравнения в частных производных для композиций гиперболических и тригонометрических функций в комплексной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №4/2016 ISSN 2410-700Х_

Здесь Fm - сила присоединенных масс, вызванная инерционным взаимодействием фаз, F' - аналог

силы вязкого трения Стокса, Fß - аналог силы Бассэ, проявляющейся при высоких частотах из-за нестационарности вязкого пограничного слоя около границы с твердой фазой, - динамическая вязкость жидкости, 7]m, 7] ^, 7]в - коэффициенты, зависящие от параметров пористой среды. Нижний индекс

] = S, l будем относить к параметрам скелета и жидкости в порах.

Список использованной литературы:

1. Городецкая НС. Волны на границе пористо-упругого полупространства / / Акустический вестник. 2005. Т. 8. № 1-2. С. 28.

2. Губайдуллин А.А., Кучугурина О.Ю. Распространение слабых возмущений в трещиновато-пористых средах// ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 5. С. 816.

3. Дунин С.З., Нагорное О.В. Особенности прохождения упругих волн через пористые насыщенные среды. Т. 5 / / Сб. трудов научной сессии "МИФИ- 2007". М.: МИФИ, 2007. С. 55.

© Лысенко Д. В., Дмитриев В.Л., 2016

УДК 514.116

Никонова Елена Николаевна

канд. ф.-м. н., доцент ЧГПУ им. И.Я. Яковлева»,

г. Чебоксары, РФ E-mail: [email protected] Копылов Виктор Иванович канд. ф.-м. н., доцент ЧГПУ им. И.Я. Яковлева»,

г. Чебоксары, РФ E-mail: [email protected]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ДЛЯ КОМПОЗИЦИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

Аннотация

В статье рассматриваются дифференциальные уравнения первого и второго порядка в частных производных для композиций тригонометрических функций, таких как

^(бнХх + гу)), як(со8(х + гу)), ек(Бт(х + ту)), ек(соб(х + ту)),... Показано, что все эти функции удовлетворяют дифференциальному уравнению первого порядка д/ ■ д/ д2 / д2 / п

— = т — и дифференциальному уравнению второго порядка —— Л--— = 0 в частных производных.

ду дх ду дх

Исследованию сложных тригонометрических функций в вещественной области посвящены работы [1]-[5]. Актуальность темы заключается в том, что результаты статьи представляют определенный вклад в теорию дифференциальных уравнений в частных производных, в теорию композиций функций. Результаты можно применять при преподавании математического анализа, теории функций комплексной переменной.

Ключевые слова

Дифференциальные уравнения, частные производные, сложные тригонометрические функции, композиция

функций.

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №4/2016 ISSN 2410-700Х_

Теорема 1. Функции u = sh(sin( х + iy)) и v = ch (sin(x + iy)) являются решениями дифференциального уравнения

= 1-

ду дх

Доказательство. Вычисляя частные производные от функции и = ^к(8т( х + 1у)), находим, что

ди

— = ек (б1п( х + 1у )) соб( х + 1у ),

дх

ди

— = 1ек (б1п( х + 1у)) соб( х + 1у ).

ду

Из формул (2) вытекает формула (1).

Вычисляя частные производные от функции V = ек (вт( х + 1у)), находим, что

ду

— = зк(8т( х + 1у )) соб( х + 1у),

дх

ду

— = 1$к(8т( х + 1у)) соб( х + 1у ).

ду

(1)

(2)

(3)

Из формул (3) вытекает, что функция и = ек (Бт(х + 1у)) также удовлетворяет уравнению (1).

Теорема доказана.

Теорема 2. Функции и = ^к(8т( х + 1у)) и V = ек (Бт(х + 1у)) являются решениями дифференциального уравнения второго порядка

дV , д2/

= 0.

су2 ах2

Доказательство. С помощью формул (2) находим, что 'д 2u

(4)

дх2 С 2u

= sh(sin(x + iy)) cos (х + iy) - ch(sin(x + iy) sin(х + iy),

ду2

= -sh(sin( х + iy)) cos2 (х + iy) + ch (sin( х + iy) sin( х + iy),

С 2u

дх2

etu dy

= u cos2 (х + iy) + v sin( х + iy), = u cos2( х + iy) + v sin( х + iy).

(5)

Из формул (5) следует, что д и + д и = о Таким образом, функция и = 8т(8т(х + 1у)) удовлетворяет

ду2 дх2

уравнению (4).

Из формул (3) вытекает, что

'д2 V

дх2 д 2u

Су

= ch (sin( х + iy)) cos2 (х + iy) - sh(sin( х + iy) sin( х + iy), = -ch (sin( х + iy)) cos2 (х + iy) + sh(sin( х + iy) sin( х + iy);

д2 v

дх2 д2 v

Су

= -v cos2 (х + iy) + u sin(х + iy), = v cos2(х + iy) - u sin(х + iy).

<

<

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №4/2016 ISSN 2410-700Х_

д2 v д2 v .

Из формул (6) вытекает, что —- +--- = 0, т. е. функция v = ch(sin(x + iy)) удовлетворяет

ду дх

уравнению (4).

Теорема доказана.

Теорема 3. Функции u = sh(cos(x + iy)) и v = ch (cos(x + iy)) являются решениями дифференциального уравнения (1).

Теорема 4. Функции u = sh(cos(x + iy)) и v = ch (cos(x + iy)) являются решениями дифференциального уравнения второго порядка (4).

Теорема 5. Функции u = sh(tg (x + iy)) и v = ch (tg (x + iy)) являются решениями дифференциального уравнения (1).

Теорема 6. Функции u = sh(tg (x + iy)) и v = ch (tg (x + iy)) являются решениями дифференциального уравнения второго порядка (4)

Теорема 7. Функции u = sh(ctg (x + iy)) и v = ch (ctg (x + iy)) являются решениями дифференциального уравнения (1).

Теорема 8. Функции u = sh(ctg (x + iy)) и v = ch (ctg (x + iy)) являются решениями дифференциального уравнения второго порядка (4).

Доказываются теоремы 3-8 аналогично теоремам 1 и 2. Из результатов вытекают следующие предложения. Теорема 9. Композиции тригонометрических функций

sh(sin(x + iy)), ch(sin(x + iy)), sh(cos(x + iy)), ch(cos(x + iy)), sh(tg (x + iy )), ch (tg (x + iy )), sh(ctg (x + iy )), ch (ctg (x + iy )) удовлетворяют дифференциальному уравнению первого порядка (1). Теорема 10. Композиции тригонометрических функций

sh(sin(x + iy)), ch(sin(x + iy)), sh(cos(x + iy)), ch(cos(x + iy)), sh(tg (x + iy )), ch (tg (x + iy )), sh(ctg (x + iy )), ch (ctg (x + iy )) удовлетворяют дифференциальному уравнению второго порядка (4).

Список использованной литературы

1. Копылов, В. И. Исследовательские задачи по математике в средней школе: монография / В. И. Копылов. -Чебоксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2007. - 338 с.

2. Копылов, В. И. Сложные тригонометрические функции // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. - 2004. — №1 (39). - С. 10-18.

3. Копылов, В. И. Системы дифференциальных уравнений для сложных тригонометрических функций второго порядка / Алгебра. Теория чисел : сб. науч. тр. Вып.2.Чебосксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2010. - с. 50-61.

4. Копылов, В. И., Пудова, Е. Л. Исследование сложных тригонометрических функций второго порядка / Алгебра. Теория чисел : сб. науч. тр. Вып.2.Чебосксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2010. - с. 105-111.

5. Копылов, В. И., Пудова, Е. Л. Исследование композиции логарифмической и тригонометрических функций / Алгебра. Теория чисел : сб. науч. тр. Вып. 3.Чебосксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2011. - с. 5865.

6. Копылов, В. И. Алгебра. Дискретная математика. Приложения дифференциальных уравнений: избранные труды / В. И. Копылов. - Чебоксары: Чуваш. гос. пед. ун-т, 2014. - 118 с.

© Никонова Е.Н., Копылов В. И., 2016