ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАЧАЛА ДВИЖЕНИЯ УПРУГО СВЯЗАННЫХ ИНЕРТНЫХ ТЕЛ НА ПРИМЕРЕ ПОЕЗДА С УПРУГИМИ СЦЕПКАМИ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

2021

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 2 (53)

УДК 531.36

Дифференциальные уравнения начала движения упруго связанных инертных тел на примере поезда с упругими сцепками

И. П. Попов

Курганский государственный университет Россия, 640002, г. Курган, ул. Томина, 106-52 ip.popow@yandex.ru; 8-905-85-28-121

Режим трогания для наземного транспортного средства является наиболее тяжелым. Эффективным способом трогания поезда является выбор зазоров в сцепках. При этом вагоны приводятся в движение последовательно и инертная масса, а также сила трения покоя непосредственно в момент трогания минимальны. Этот способ, однако, имеет два существенных недостатка - малую фиксированную величину зазоров в сцепках, что ограничивает эффективность способа и ударный характер передачи импульса, и это отрицательно сказывается на состоянии конструктивных элементов поезда. Указанных недостатков можно избежать, если использовать упруго деформируемые сцепки. Целью работы является построение математической модели "легкого" трогания поезда с упругими сцепками. Смягчение режима трогания состава по существу обусловливается заменой одновременного трогания секций на поочередное.

Ключевые слова: ускорение; энергия; масса; секция; локомотив; вагон; колебания; демпфер.

БОТ: 10.17072/1993-0550-2021-2-45-51

Сила трения покоя значительно превосходит силу трения движения. Это приводит к тому, что режим трогания для наземного транспортного средства является наиболее тяжелым. Для поездов этот режим представляет настолько серьезную проблему, что иногда приходится принимать специальные меры, такие как использование песка в зоне контакта бандажа колеса с рельсом или вспомогательного локомотива [1].

Эффективным способом трогания поезда является выбор зазоров в сцепках. При этом вагоны приводятся в движение последовательно и инертная масса, а также сила трения покоя непосредственно в момент трогания минимальны.

Этот способ, однако, имеет два существенных недостатка - малую фиксированную величину зазоров в сцепках, что ограничивает эффективность способа и ударный характер передачи импульса, а это, в свою очередь,

отрицательно сказывается на состоянии конструктивных элементов поезда.

Указанных недостатков можно избежать, если использовать упруго деформируемые сцепки [2, 3].

Целью работы является построение математической модели "легкого" трогания поезда с упругими сцепками.

Расчет механической системы в составе массивных локомотива, вагонов и упругих сцепок является достаточно громоздким. Для его минимизации принимаются следующие допущения: сила развиваемая локомотивом, - величина постоянная; массы локомотива и вагонов равны между собой и составляют т.

Локомотив и один вагон

Уравнение сил, приложенных к локомотиву, имеет вид:

Ш2 X

Р = т~ГГ + к(XI - Х2), (1)

Ш

© Попов И. П., 2021

где х, X - перемещение, соответственно, локомотива и вагона, к - коэффициент упругости сцепки.

Силы, приложенные к вагону, удовлетворяют уравнению

0 = т ° Х - к (х - х) •

Л2 1 2

Из последнего уравнения следует:

т а хп

к аг

2 + Х2 •

(2)

Подстановка этого выражения в (1) дает

^ т а хп

— =--т-

к аг

Пусть

а х0 а Х'

т

т

^ + кх2 кх2 —

т2 а4х ~ а2хп

2 '-2т—г2-

к Ж2

аг2

■ — 2 •

Тогда (3) запишется в виде

2" + 2 ^ — кР •

т т

Характеристическое уравнение

г2 + 2 - — 0 •

(3)

(4)

(5)

т

Его корни равны

Г1,2 — ±М2~ •

т

Общее решение соответствующего однородного уравнения

2 — С со8.|2 + С2 8т./2 • т \ т

Частное решение в соответствии с (5) имеет вид 22 — А •

Подстановка его в (5) дает

2-А — -Р

т т

Откуда

А —

— 2т

Поэтому для ^ = 0 последнее выражение примет вид

2(0) — 0 — С со8./2—0 + С 81^/2—0 + —, \ т \ т 2т

Общее решение уравнения (5) находится как

//-ч к ^ . к —

2 — 2 + 22 — С со8./2— г + С2 8т./2— г +--•

\ т \ т 2т

В момент времени ^ = 0 сцепка не деформирована, следовательно, на вагон сила не действует и величина (4) равна нулю.

откуда

С учетом этого

о-—,

2т

— и к _ . /„ к —

2 —--С08./2— г + С 81П,/2— г +--• (6)

2т \ т \ т 2т

В соответствии с (4)

г , — т . „ к

I 2аг —--. — 8т./2— г -

2т у 2к V т

^ т - к — „

-С2\— со^/2— г +--г + С,

\2к \ т 2 т

г , — /Г—

х — ^аг — — С08./2— г -2 1 2 ы \ т

т

4к

+ -

т 4 т

к —

-С,— 8т4/2— г+—г2 + Сг + С • 2 к

С учетом (2), (4), (6) и (7)

(7)

— /.к „ т . /_ к —

х —--С08./2—г + С— 81П./2—г +---

2к \ т к V т 2к

—

4 к

к

т

+— С08./2— г - С — 8т./2— г +

т

2 к

к

т

— 9

+—г + Сг + С4 4т

Ох, — к . —

^ ——1 — — Л/2—81^-/2— г +

аг 2к у т \ т

к т

+С9, 2--со8 ./2— г -

тк

— и— .

к

--, 2—8т./2— г - С. 12--С08. 2— г + +

4к V т

т

кт

к

т 2 к

т

—

+—г + С3, 2т

Оу, — \.к „ .к т . I.к

а ——1 — — 2—С08./2— г - С 2--81П./2—г -

аг 2кт \ т тк V т

— „ к

к т .

—

--2—С08./2—г + С 2--81п ./2—г +--

4к т

т

т 2к

т 2т

—

х (0) — 0 — — со8./ 2—0 -

4к

т

т I — —

-С— 81^ 2—0 +-02 + С0 + С,

2 к

т 4 т

— —

— + С4 — 0, С4 —--•

4к 4 4 4к

V

2

У2(0)=о=-с т+сз,

V 2к

^(0) = 0 = 02]^ т - т + Сз =

\ т к \ т 2к

=с2Л ^ т+с,

2\ т 2к 3

-С2Л/т + С3 = 0

+ С = 0 2Л,2к 3

С = 0, с = 0.

Окончательное решение:

г [ж Г 2 Г

X =--соя./—t +--1 +--,

4к V т 4т 4к

г

X, =-СоЯЛ-1 + -

2 4к

г

* • - Г

4т 4к

+

Г к 1т

Г

Г к

2т 2 \ 2к 2^2кт 4л/2кт '

Уместно сравнить эти показатели с

соответствующими величинами недеформируемого состава.

Г Г Г 2

а = —, V =— t, х = — t , 2т 2т 4т

/ ч Г к2 т Гк2

X (Т2 ) =---=-,

v ' 4т 4 2к 32к

Г к

( \ _ Г к ¡т _ (Х) = 2т 2\2к " 4\/2кт '

V (х.

X (^2) _ Гк2/(32к) + Г/(4к)

Х(Х2 )

Г к2/(32к )

= 1 -

32 4к2

для

1,81,

VI (х2 ) _ Г (2у/2кт) + Г к/ (^У2кт)

v (х2)

Г к/ (442кт)

Г . 2к Г

V =—I-ят.!—t +--1,

2^2кт у т 2т

Г . 2к Г

----1 +--1 .

2у/2кт \ т 2т

Г

2к Г

а =—соя./—t +— 2 т \ т 2 т

Г

2к Г

V

1 (Х2 ) =

2к к т —--Я1П .--./ — +

2*Дкт \т 2\2к

= 1 + -! к

а, 64.

Отношение для кинетических энергий локомотива [4] составляет

Е1 (х2)

Е (х2)

= 2,69.

а2 =--соя./—t + -

2 т \ т 2 т

Характерный отрезок времени х2 (индекс "2" означает количество составных частей поезда) для рассматриваемого случая определяется из условия максимального растяжения упругой сцепки. При этом

/ л Г _ Г /2к"

а (Хг)--= 0 или-соя.—х2 = 0,

2т 2т \ т

Полученные соотношения наглядно демонстрируют, что трогание состава с упругими сцепками значительно легче, чем недеформируемого.

Локомотив и два вагона

Уравнения сил, приложенных, соответственно, к локомотиву и вагонам, имеют вид:

Г = тШ ^Х' + к (х - X),

Л2

2 к _к _к /т

т 2 2' 2 2\2к

За время х2 локомотив пройдет расстояние

, ч Г /2к к / т

X (х,) =--соя4--.--+

у ' 4к \ т 2\2к

Г к2 т Г Гк2 Г

4т 4 2к 4к " 32к 4к

и разовьет скорость

Г

к(X - X) = т 22 + k(х - X),

, / \ Ш2 Xз

к (X - X) = т—г3 .

2 3 Л2 Из последнего уравнения следует:

(8)

(9)

т а X,

к Л

+ X, .

2 ' Л3

(10)

Производная этого выражения равна

/ х0 т а XI а XI

к Л4

'

Подстановка последних двух выражений в (9) дает

2

т а х2 _

~~ 2 + 2х2 хз ^

1 к йг1 т2 а4х — а2х ~ — а2х

И + 2 х - х —

',2 Ал - и Ал ■ 2 , -,,2 + 2хз хз

+

+2

к2 аг4 к аг2 к аг2

2 12 т а х „ т а х

к2 аг4 1 3 к аг2 + х •

(11)

Производная этого выражения равна

а2 х _ т2 а6 х + а4 х , а2 х3

+-

аг2 к2 аг6 "к аг4 ' аг2

Подстановка полученных выражений в (8) дает

— т3 а6 х „ —2 а4 х — а2 х.

■ + 3-

к к агь к2 аг4 к аг2

+

+■

—2 а4 х „ — а2 х

+ 3-

к2 агА к аг

2 + х3

— а2 х.

к аг

т3 а6х „ т2 а4х „ т а2х

2 .-з

2,

- + 4

к3 аг6 к2 агА к аг2

а6х „ к а4х „ к2 а2х к2 —

—г + 4--Г + 3——53 — "Г • (12)

аг т аг т аг т

Пусть

аг2

■ — 2 •

Тогда (12) запишется в виде "" , /1 к « , а к2 к2—

2 + 4 — 2 + 3—^ 2 —-— •

т т т

Характеристическое уравнение

г4 + 4-г2 + 3—1 — 0 •

(13)

(14)

т

т

+С3 со8./—г + С 81^—г •

2 о к 4- к 2 о к 2 к

г —-2 — ±—— , г1 —-3~ , г2 —--:

т т т т

г1,2 3 — • г3,4 — ±М— •

\ т \ т

Общее решение соответствующего однородного уравнения

2 — С со8./3г + С 81П./З—г + \ т \ т

\к [к —г + С 81и./—I т у т

Частное решение имеет вид 22 — А •

Подстановка его в (14) дает

3к;А — к• А — — •

т т 3т

Общее решение находится как

„ ¡Зк „ . /3к 2 — 2 + 22 — С со8.— г + С 81п л—г + У т у т

+С3 со8./кг + С 8т /кг + — • (15) V т V т 3т

В соответствии с (13) ¡3к

Г 7 ^ I т . /3к _ /т /3к 12аг — С.— 8т. /—г - С2д/— со8,/—г + V 3к V т V 3к У т

~ \т . \к ~ \т к — _

—8"Ч —г - С * —соЧ —г+з—г+С •

(16)

г , „ т Зк _ т . /3к ■ IVаг — —С — со8./—г -С2—8т./—г -Зк У т Зк У т

„ т к т . к -С3 — со8./—г - С4 — 8т./—г -к у т к V т

— 9

+—г + С5г + С •

6т

С учетом (10), (13), (15) и (17)

т „ /Зк т _ . /Зк

х ——С со8.— г +— С 8т л— г +

к У т к У т

(17)

к т

к

+—С со8./кг +—С 81п./ г +—-—

к

. (Г

т -г V т

т —

к Зт

_ т / Зк _ т . Зк -С—со8,/—г - С2 — 81^ л—г -3к \ т Зк V т

_ т , к -ц — со^—г -

т . — 2

8тЛ —г +—г + С5г + С —

к У т 6т

2т / Зк 2т . / Зк — — С со8.1—г +--С 81пЛ/—г +

Зк \ т Зк \ т — —

+— +—г2 + С5г + С,

Зк 6т

(18)

ОХ.

2т Зк

Зк

—2 —--\ —С 81п./—г

аг

Зк\т

т

2т Зк_ Зк — _ +—л/—С со^^— г +—г + С —

3кут У т Зт

2 /Зт„ . Зк

— —л/—С 81^^/—г +

3 \ к у т

2 /Зт „ ¡Зк — „ ..... +Ч\ -ТС2со^г ^г + С5, (19) ^ к У т Зт

<^2 \3к . Зк —

а — —2 — -2С со8. — г - 2С 81п.— г +--•

аг у т У т Зт

С учетом (11), (20), (18) и (17)

(20)

т Зк т . ¡Зк — т

х —-2С— со8.1—г - 2С2— 81п./—г +----+

к У т к У т Зт к

. 2т „ /Зк . 2т „ . / Зк 2—

+2—С со8.1—г + 2—С 81п./—г +--

Зк V т Зк у т Зк

V

3

V

2 Г 2 . _ . _ _ т 3 к

+-1 ++2С^ + 2С6 + С— соя. — t +

6 т 3 к М т

_ т . 3к _ т /к

+С2-ят. I—t + С — соя. / —t +

3к \ т к \ т

^ т . к Г 2 „ „ +С.— ят.—t--1 - СЛ - С =

к

т 6т

„ т /3к _ т . /3к

= -С1 ^7соя\ _t - С2 ^7ят*'—t 3к V т 3к

„ т /к _ т . , к +С3 — соя.1—t + С— ятч/—t -к \т к

Г Г

. [к зт — t V т

+—+—t + С/+С, к 6т

dхí

I т

3 к

т

3 к

V =—1 = С,Л— ятл—t - СЛ— соя Л—t -

dt

\ 3к

т

3к

т

„ /т . к _ (т /к Г _

-С-' тт + \ тС0Ч т+зтt+С-.

(21)

3к ^ к Г а = ц соя./—t - С соя./—t +—. \ т у т 3т

В соответствии с (20)

а2(0) = -2С = 0, С .

3т 6т

В соответствии с (15)

2(0) = 0 = — + С + —, С .

6т 3т 2т

В соответствии с (18)

X2(0) = £С + Г + С6 = 0,

3к 3к

Г Г 4Г

-+-+С6 = 0, С6 =--.

9к 3к 9к

В соответствии с (21), (16) и (19)

*(0)=-С^^/3к+^+С-=0,

Vз(0) = - С^+С = 0, С = 0 ,

^ (0) = 2./—С2 + С = 0, С = 0, С = 0. 3 \ к

Окончательное решение:

Г [Эк Г [к Г 2 5Г

,=--соя.1—t--соя./—t +--1 +--

18к V т 2к \т 6т 9к

Г

3к Г

Г

X =— соя./—t +--1--,

9к

т 6т

9к

Г 3к Г к Г 2 4Г

--соя.—t +--соя./—t +--1--

18к \т 2к \т 6т 9к

Г . 3к Г . к Г

V =-1-8тл/-1 +--ят.—t +--1,

6ы3кт \т 2у кт \т 3т

Г . /3к Г

v2 =----ят.—t +--1,

3у/3кт \ т 3т

Г . /3к Г . Гк Г

V =—I-Л—t--ят.)—t +--1,

6ы3кт \т 2у/ кт \т 3т

Г [3к Г [к Г

- соя.— t +--соя. /—t + -

6т

т 2т Г

а, =--соя.— t + -

т 3т Г

3т

т 3т

Г 3к Г к Г

—соя. I—t--соя. I—t +--

6т \ т 2т V т 3т

Характерный отрезок времени х3 для

рассматриваемого случая определяется из условия максимального растяжения упругой сцепки.

При этом

Г

а1(х3) = 0

3т

Г

3к Г

[к ч_х

\ т

или — соя. — х3 +--соя ., I—х = 0

6 т \ т 2 т

2оя\/3л/—Х + соя. / к 3 \ т \ т

Решение последнего уравнения имеет вид:

Х + соя./—х = 0 .

ДХ3 = 0,

V т

—Х = 0,427к, х = 0,427кл/— . За время х3 локомотив пройдет расстояние

/ ч Г 3к _ /т

X (Х) =--соя.--0,427^^/--

13 18к ' \к

соя. к • 0,427к/ — + 2к \к

+-

Г 6 т

Г к

0,427к

Л2

5Г

9к

• 0,427к -

18

1 1

—соя0,427к + - ( 0,427к)2 + -2 6К ' 9

Г к

^ ^— соя л/3 • 0,427к -1 соя 0,427к 18 2

+

+1 (0,427к)2 + -

Г

= 0,78 ~ к

и разовьет скорость

а =

, . Г . /3к _ ¡т

^^ = ^ и, 51п\ _ • 0>427к"Г + 6ы3кт V т V к

81„ ¡1 • 0,427кт + Г0,427кЩ =

2^кт \т \ к 3т V к

Г 1 г

—7=я1Пл/3 • 0,427к

+

1 1 1 Г +-ят0,427к + — 0,427к | = ^=.

2 3 ) 4ы

Уместно сравнить эти показатели с соответствующими величинами для недефор-мируемого состава:

Г Г Г 2

а = —, V = — £, X =-£ ,

3т 3т 6т

л:(х3) = :г" 6т

0,427к т

v, ^ к у

Л2

= 0,3Г, к

Г (т Г

у(х3 ) = • 0,427к/т = 0,45

3т ' V к

X (х3)

4тк

х (Х3 )

V (х3) v (х3)

= 2,6,

= 2,22.

Отношение для кинетических энергий локомотива составляет

Е (Х3)

Е (Х3)

= 4,93.

Заключение

Применение упруго деформируемых сцепок решает проблему трогания тяжелого поезда.

В таблицу сведены перемещения, скорости и кинетические энергии локомотива для моментов максимального растяжения упругой сцепки, отнесенные к соответствующим параметрам недеформируемого состава.

Приведенные перемещения, скорости

и кинетические энергии локомотива

Количество X (х) V (х) Е1 (х)

секций поезда х (х) V (х) Е (х)

2 1,81 1,64 2,69

3 2,6 2,22 4,93

Полученные соотношения наглядно демонстрируют, что трогание состава с упругими сцепками значительно легче, чем недеформируемого. При этом, чем больше число вагонов, тем больше преимущество первого над вторым.

Смягчение режима трогания состава по существу обусловливается заменой одновременного трогания секций на поочередное. Выше этот процесс описан для инерционных сил. Применительно к силе трения покоя механизм будет подобным, т.е. преодолевается не вся сила трения покоя одновременно, а поочередно преодолеваются ее малые части.

Полученные выражения для перемещений, скоростей и ускорений локомотива и вагонов имеют гармонические составляющие [5 -7] . Для исключения продольных колебаний [8-10] состава после достижения максимального растяжения сцепки следует механически блокировать возможность ее гармонического сжатия с последующей выборкой упругой деформации, например, с использованием демпфирующих устройств.

Список литературы

1. Попов И.П. Инертно-емкостной накопитель энергии для маневрового тепловоза // Мир транспорта. 2019. Т. 17, № 3. С. 8287. https://doi.org/10.30932/1992-3252-2019-17-3-82-87.

2. Попов И.П. Механические аналоги реактивной мощности // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2015. № 3(30). С. 37-39.

3. Попов И.П. Условно-ортогональные механические мощности // Оборонный комплекс - научно-техническому прогрессу России. 2019. № 4(144). С. 15-17.

4. Попов И.П. О мерах механического движения // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2014. № 3(26). С. 13-15.

5. Попов И.П. Комплексные представления для расчета механических систем при гармонических процессах // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2020. № 3(50). С. 66-78. БО1: 10.17072/1993-0550-2020-366-78.

6. Попов И.П. Мультиинертный осциллятор // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2020.

№ 1(48). C. 60-64. DOI: 10.17072/19930550-2020-1-60-64.

7. Popov I.P. Free harmonic oscillations in systems with homogeneous elements // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2012. Vol. 76. Iss. 4. P. 393-395. DOI: 10.1016/j.j appmathmech.2012.09.005

8. Popov I.P. Application of the Symbolic (Complex) Method to Study Near-Resonance Phenomena, Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 2020, Vol. 49, № 12. P.

1053-1063^ Б01: 10.3103/S1052618820120122.

9^ Попов И.П. Резонансы сил и скоростей // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2019. № 4(47). С. 62-66^ Б01: 10Л7072/1993-0550-2019-4-62-66^

10^ Попов И.П. Вынужденные колебания механических систем в установившемся режиме // Машиностроение. 2019. № 4(61). С.13-19^

Differential equations of the start of motion of elasticly coupled inert bodies on the example of a train with elastic couplings

I. P. Popov

Kurgan State University; 106-52, Tomina st., Kurgan, 640002, Russia ip.popow@yandex.ru; 8-905-85-28-121

The starting mode for a ground vehicle is the most difficult. An effective way to pull off a train is to select coupling clearances. In this case, the cars are set in motion consequently, and the inert mass, as well as the static friction force immediately at the moment of starting, are minimal. This method, however, has two significant drawbacks - a small fixed value of the gaps in the couplings, which limits the effectiveness of the method and the shock nature of the impulse transmission, which negatively affects the state of the structural elements of the train. These disadvantages can be avoided by using elastically deformable couplings. The aim of this work is to construct a mathematical model of "easy" starting of a train with elastic couplings. The softening of the starting mode of the train is essentially due to the replacement of the simultaneous starting of the sections with alternate ones.

Keywords: acceleration; energy; mass; section; locomotive; carriage; vibrations; damper.