CC BY
2
УДК 517.958
doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-10
Дифференциальные изоморфизмы первого порядка канонических гиперболических уравнений
А. И. Фомин1, В. И. Титаренко2
Российский государственный университет имени А. Н. Косыгина (Технологии. Дизайн. Искусство), Москва, Россия Государственный университет управления, Москва, Россия 1fomin45@mail.ru, 2vera_xmel@mail.ru
Аннотация. Актуальность и цели. Для определения неизвестных решений канонических гиперболических дифференциальных уравнений для функций двух переменных представлялось актуальным установление связи дифференциальных изоморфизмов первого порядка этих уравнений с преобразованиями Лапласа. Материалы и методы. Для исследования изоморфизмов первого порядка применяется теорема о представлении изоморфизмов линейными дифференциальными трансляторами. Используются прямые действия с дифференциальными операторами. Результаты и выводы. Доказана теорема о том, что любой дифференциальный изоморфизм первого порядка между каноническими дифференциальными уравнениями с вещественно-аналитическими коэффициентами является композицией преобразований Лапласа первого и нулевого порядка. Это позволяет расширить область применения классических преобразований Лапласа.
Ключевые слова: каноническое уравнение, дифференциальный транслятор, преобразование Лапласа, порядок дифференциального гомоморфизма и изоморфизма, би-транслятор
Для цитирования: Фомин А. И., Титаренко В. И. Дифференциальные изоморфизмы первого порядка канонических гиперболических уравнений // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 1. С. 118-125. doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-10
The first-order differential isomorphisms of canonical hyperbolic equations
A.I. Fomin1, V.I. Titarenko2
1Russian State University named after A.N. Kosygin
(Technology. Design. Art), Moscow, Russia 2State University of Management, Moscow, Russia 1fomin45@mail.ru, 2vera_xmel@mail.ru
Abstract. Background. To determine unknown solutions of canonical hyperbolic differential equations for functions of two variables, it seemed relevant to establish the connection of the first-order differential isomorphisms of these equations with Laplace transformations. Materials and methods. To study the first-order isomorphisms, the theorem on the representation of isomorphisms by linear differential translators is applied. Direct actions with differential operators are used. Results and conclusions. The theorem is proved that any firstorder differential isomorphism between canonical differential equations with real analytic
© Фомин А. И., Титаренко В. И., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
coefficients is a composition of the first-order and zero-order Laplace transformations. This makes it possible to expand the scope of application of classical Laplace transformations.
Keywords: canonical equation; differential translator; Laplace transform; order of differential homomorphism and isomorphism; bittranslator
For citation: Fomin A.I., Titarenko V.I. The first-order differential isomorphisms of canonical hyperbolic equations. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(1):118-125. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-10
Введение
Многие задачи механики и математической физики приводятся к линейным однородным гиперболическим дифференциальным уравнениям второго порядка для функций двух переменных. В канонических координатах уравнения такого типа принимают вид [1]:
vxy + a(x, y)vx + b(x, y)vy + c(x, y)v = (dxy + adx + bdy + c)v = Pv = 0 . (1)
Частным случаем уравнений (1) являются уравнения Эйлера - Пуассона [1, 2].
Будем считать функции a(x,y), b(x,y), c(x, y), X(x,y) в общем случае
2
комплекснозначными, бесконечно дифференцируемыми в области OçR . Функции X, h = ax + ab _c , k = by + ab _c (h и k - инварианты Лапласа
уравнения (1)) ни в одной точке этой области не обращаются в нуль. Предложенные Лапласом в работе [3] дифференциальные замены зависимых переменных
Lx : v ^ u = Xv, L1 : v ^ u = (dy + a)v , L_1 : v ^ u_1 = (d x + b)v (2)
порождают преобразования, которые переводят уравнение (1) в новые канонические уравнения [4]:
PXu = uxy + aXux + bX uy + cXu = ^ P1u1 = (u1) xy + a1 (u1) x + b1 (u1) y + c1u1 = 0 ,
P_1u_1 = (u_1 )xy + a_1 (u_1 )x + b_1 (u_1 )y + c_1u_1 = 0 . (3)
Преобразования Лапласа устанавливают взаимно однозначные соответствия между решениями исходного уравнения и решениями преобразованных уравнений [1]. Кроме того, замены (2) индуцируют преобразования линейных дифференциальных операторов. В результате возникают равенства [4]:
P\-X = X-P, P1 • (dy + a) = (dy + ¿1) • P, P_1 • (dx + b) = (dx + b_1) • P . (4)
С точки зрения общей теории [5] равенства (4) означают, что операторы X, (Эy + a), (Эx + b) являются линейными дифференциальными трансляторами соответствующих типов. Трансляторы реализуют дифференциальные гомоморфизмы линейных однородных систем дифференциальных уравнений. И для понимания смысла теоремы, которая будет доказана, необходимо здесь привести простейшие сведения из теории дифференциальных гомоморфизмов [5]. Краткое изложение основных понятий этой теории есть в статьях
[5, 6], в которых вводились понятия битранслятора и порядка дифференциального гомоморфизма и изоморфизма.
Материалы и методы
В работе используются обозначения статьи [5]: В - алгебра скалярных линейных дифференциальных операторов (л.д.о.) конечного порядка с бесконечно дифференцируемыми в области О с Ми или вещественно аналитическими комплекснозначными коэффициентами; В (г, т) - множество матричных л.д.о. Р = ||Ру|| размера г Xт с элементами Ру е В; Вт (Р) - подмодуль свободного левого В -модуля Вт ~ В(1, т) с образующими Р = ((,..., Рт); МР - фактормодуль Вт/Вт (Р); а: Вт ^ ШР - естественный эпиморфизм; V - левый унитарный В -модуль, и = (и1,...,ит)е Vm ; л.д.о. Р задает линейное отображение Р: Vm ^ Vг по правилу: Р{и = Рцщ +-----+ Р^тит, Ри = (Р^,...,Рги) . Пусть кегР = Vрm - подпространство решений системы Ри = 0 в В -модуле Vт , Р1 е В ( т1), Р2 е В(г2,т2).
Л.д.о. а! е В(1,т2) называется линейным дифференциальным
транслятором типа (Р1,Р2), если для некоторого ¿2 е В ( Г2) выполняется равенство Р^ = ¿2Р2 . Л.д.о. ¿2 называется битранслятором. Транслятор а! задает линейное отображение : РрТ2 ^ Рр!1, и возникает линейное отображение I линейного пространства Т (Р1,р) трансляторов типа (РЦ,р) в пространство ^т^ ^Р^^Р21). Это отображение не инъективно, точнее, Р2 Р1
ядро этого отображения задается равенством кегI ={а е В (1, т2): Вт1 а с Вт2 (р)} . От неоднозначности можно избавиться, если заменить
трансляторы гомоморфизмами фактормодулей. Дело в том, что равенство Р^ = ¿2Р2 эквивалентно включению Вт1 (Р1 )а1 с Вт2 (Р2). Поэтому транслятор типа (Р1, Р2) задает В -гомоморфизм фактормодулей ^ : Шр ^ Шр2
и отображение у1 : а ^ ^ является эпиморфизмом линейного пространства Т (1, Р2) на линейное пространство ^тв ((р1, Шр2) [5].
Связь элементов ^тв ((р1, Шр) с решениями систем уравнений Ри = 0, Р^у = 0 устанавливается согласно работе [5]. Любой гомоморфизм ^ модуля Шр в модуль V можно задать с помощью элемента и е Vp по правилу ^ = фи (а(р)) = ри, ре Вт . Отображение ф: Vрm ^ ЫипВ (ШР,V),
u , при этом оказывается изоморфизмом линейных пространств. Гомоморфизм ye homD (ШЩэ, Mp2) порождает стандартное линейное отображение у* : hom D ((P2,V ) hom D ((), ^e hom D ((p2,V (£) = £/.
2
Если v - решение системы P2V = 0, фv - соответствующий гомоморфизм
* / 2 \ 2
MMp2 ^ V, то у (v l = фv у - гомоморфизм Шр ^ V, которому соответствует решение u =(ф1) (ф^у) системы Pju = 0 [5]. Отображение laj связано с гомоморфизмом естественным образом, точнее, верно равенство:
Ф^ = (Ф? И.
Теперь естественными представляются следующие определения, понятия и утверждения. Элемент ye homD ((p1,Шр2) называется дифференциальным гомоморфизмом типа (Pj,Pj). Однородные системы линейных дифференциальных уравнений Pju = 0, P2V = 0 называются дифференциально изоморфными, если Mp ~ Ш^ . Порядком ord у дифференциального
гомоморфизма ye homd ((p^ Mp2 ) называется наименьший из порядков
дифференциальных трансляторов типа (Pj,P2), реализующих гомоморфизм у. Изоморфизм у: Ш^ ^ Ш^ имеет порядок (vj, V2), если ord y = Vj,
ord у-1 =V2 и изоморфизм у имеет порядок v , если ord у = ord у-1 =v .
Гомоморфизм ye homd ((p,Шp ), y = V , является изоморфизмом
V 1 2 / aJ
тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм у 1 такой, что
12 11 —1 1 2 2 верны равенства: у у = у у = у = id1, уу = у у = у = id2, где
idl, id2 - тождественные отображения Мр1 ^ Мр и Мр2 ^ Мр2 соответственно. Следовательно, системы Р^ = 0, Р>у = 0 дифференциально изоморфны тогда и только тогда, когда существуют линейные дифференциальные трансляторы е Т(Р1,Р2), а2 е Т(Р2,Р1) такие, что выполняются равенства: аа = е™1 +Х1Р1, а2#1 = в™2 + Х2Р2, А,1 е В(«1,/), ^2е В(«2,/2), а е™1, е™2 - единичные матрицы соответствующих порядков [5].
Результаты и выводы
Возвращаясь к каноническим уравнениям, будем считать, что: Р1 = д ху + а1дх + Ь1ду + С1 , Р2 = дху + а2дх + ¿2ду + c2, Ь = ((а1)х + - с1) ,
к = (¿1)у + аД -С1, ^2 = ((а2)х + а2*2 -^2 = (^)у + а2^ -^2 .
Предположим дополнительно, что коэффициенты л.д.о. р, Р2 являются вещественно аналитическими функциями. Такая функция либо тождественно равна нулю, либо отлична от нуля на плотном в области О множестве. Докажем следующую теорему.
Теорема о дифференциальных изоморфизмах первого порядка канонических дифференциальных уравнений. Любой дифференциальный изоморфизм первого порядка между каноническими дифференциальными уравнениями вида (1) с вещественно аналитическими коэффициентами является композицией преобразований Лапласа первого и нулевого порядка.
Доказательство. Предположим, что канонические уравнения Р\и = 0, Р^у = 0 связаны дифференциальным изоморфизмом первого порядка. Тогда должны существовать л.д.о. ¿¡1 = х + ^Эу + 21, ¿¡2 = Худх + ^ду + Z2 и функции А,1( х, у), X 2( х, у) такие, что выполняются равенства:
аа = 1+Х1Р1, а2а1 = 1+X 2 Р2. (5)
Выражение ар(х,£) = £ аа(х)^а, £ = ,)е Си, -ЧО1,
|а|=к
называется главным символом скалярного л.д.о. Р = ^ аа(х)да порядка к .
|а|<к
То есть а р( x, ^ =ар2( x, ^ = ^1^2 , а а]а2( х О = , аа2ах( x, О = Х ,
аа,(х, О = Х& +1^2, аЙ2(х, £) = Х2^ + 1При умножении скалярных
л.д.о. главные символы перемножаются, поэтому должны выполняться равенства: (Х^ + )(Х2^ +1^2) = = . Следовательно, Х1 = X2 = X и Х1Х2 = 0, У1У2 = 0 , Х1Г2 + Г1Х2 = X . Функции Х1, Г1 не могут одновременно обращаться в нуль, функции Х2,12 тоже не могут одновременно обращаться в нуль. Поэтому возможны только два типа л.д.о. первого порядка, реализующих взаимно обратные дифференциальные изоморфизмы: а = Х1дх + 21, а2 = 12ду + 22 или а1 = ^ду + 21, а2 = Х2дх + 22 . Для определенности рассмотрим первый случай:
ДО х + ^Огд у + 22) = ВДд ху + ВДд х + (ВД) х + адд у +
+ ((1 (22) х + 2122) = 1 + X(д ху + щд х + Ь1д у + С1), (Г2ду + 22)ДО х + 21) = УДО ху + (Г2(Х1)у + 22Х )д х + 1 ^ду +
+(12 (21)у + 2221) = 1 + X(дху + а2дх + ¿2ду + С2).
Приравнивая коэффициенты при производных, получим: ХГ = X, Х122 = Аль ВД) х + 21^2 = №>1, Х1 (22) х + 212 2 = 1 + Xc1; 1 21 = Xb2, 12 (Х1)у + 22Х1 = Xа2, 12 (21)у + 2221 = 1 + Xc2 .
Подставим X = Х^ в равенства Х^2 = , 1221 = Xb2 . Получим равенства: 22 = 1^1, 21 = Х1Ь2 . Заменив 21,22 в равенствах а1 = Х^х + 21 и
а2 = Г2Эу + , получим «1 = Х^дх + ¿2), «2 = (ду + а1). Подставим Х = Х^, = Х^, ^2 = ^2а1 в равенства Х^)х + 27 = ХЬ и Х^)х + +22 = 1+ Хсь Получим: (У2)х + Ь 272 = ¿172, Х^^ + ВД^ + +^а^72 = 1 + Х^^. Ь272 Подставим выражение Ь272 = ¿172 - (72)х в последнее равенство, получим:
ВД)х<1 + ВД^)х + Х^ВД -(72)х) = ВД^)х + ВДа^ = 1 + ВД^ ,
Х7 ((а) х + «Ь - С1) = 1, Х7 к = 1.
Аналогично, подставим X = Х7, 22 = 72а1, 21 = ХЬ в равенства 72(Х1)у + 22Х1 =Ха2 и 72(21)у + 2221 = 1 + Хс2. Получим: (Х1)у + а 1Х1 = = а2Хь 72(Х1)у ¿2 + 72Х^)у + 72Ь2аХ = 1 + Х^. Подставим а1 Х1 = = а2Х1 - (Х1)у в последнее равенство. Найдем:
72(Х1)уЬ2 + 72Х1(Ь2)у + 72^^Х1 -(Х1)у) = 1 + ВД^ , 72Х1(Ь2)у + 72Х1а2Ь2 = 1 + Х^, 72Х1((Ь2)у + «2^ -о2) = 1, Х^ = 1.
Из равенств ХТк = 1, ХТ^ = 1 следует, что функции Х1, 72, к2, к и X = Х^ не обращаются в нуль ни в какой точке области О и выполняется равенство к = к2 . Умножим обе части равенства аа = 1 + ХР справа на л.д.о. а1. Получим равенство Й1<52«1 = «1 +ХР1<51 . Умножив обе части равенства «2«1 = 1 + ХР2 слева на а1, получим равенство ¿51 ¿2«1 = «1 + «1ХР2. Сравнив полученные равенства, найдем, что верны равенства: «1ХР2 = ХРа, Ра = (1/Х)(^1Х)Р2 . Последнее равенство означает, что л.д.о. «1 является линейным дифференциальным транслятором типа (Р^,Р2), т.е. «1 е Т(Р1,Р2). Аналогично показывается, что л.д.о. «2 является линейным дифференциальным транслятором типа (Р2,Р), т.е. «2 е Т(Р2,Р1). При этом операторы «1 = Х^д х + Ь2), 052 = 72 (д у + «1) являются произведениями операторов умножения на функции Х1, 72, которые не обращаются в нуль ни в какой точке области О, на л.д.о. первого порядка (дх + Ь2) и (ду + а^ соответственно.
Будем теперь считать, что Х1 = 1, л.д.о. «1 примет вид а1 = (дх + Ь2). Совместим обозначения формул (3) и (4) с обозначениями, принятыми при доказательстве теоремы об изоморфизмах: Р_1 ^ Р1, Р ^ Р2, Ь ^ Ь2 ,
Ь_1 ^ ^. Теперь очевидно, что транслятор «1 = (дх + Ь2) е Т (Р1,Р2) прямо связан с заменой переменной Р- : V ^ и-1 = (дх + Ь) в формулах (2). Такая замена индуцирует преобразование Лапласа первого порядка. Умножение на нулевую функцию Х1 порождает преобразование Лапласа нулевого порядка. Поэтому в общем случае дифференциальный изоморфизм первого порядка, порожденный транслятором «1 = Х^дх + Ь2), действительно является произведением преобразований Лапласа нулевого и первого порядка. Таким же об-
разом рассматривается случай транслятора ¿2 = (dy + a\). Наконец, аналогично рассматривается второй случай: пара операторов ¿j = Yjdy + Zj, ¿2 = x + Z2 . Теорема доказана.
Заключение
Связь дифференциальных изоморфизмов первого порядка гиперболических дифференциальных уравнений 2-го порядка для функций двух переменных с преобразованиями Лапласа установлена, о чем свидетельствует доказательство теоремы. Если уравнения связаны дифференциальным изоморфизмом первого порядка, то можно одно из уравнений преобразовать с помощью простой замены зависимой переменной. В результате получатся уравнения, связанные классическим преобразованием Лапласа первого порядка, и это позволяет проще решать задачи механики, описываемые каноническими дифференциальными уравнениями.
Список литературы
1. Аксенов А. В. Линейные дифференциальные соотношения между решениями класса уравнений Эйлера - Пуассона - Дарбу // Современная математика и ее приложения. 2004. Т. 12. С. 3-37.
2. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям с частными производными. М. : Изд-во иностранной литературы, 1957.
3. Laplace P. S. Recherches sur le calcul integral aux differences partielles // Memoires de l'Academie royale des Sciences de Paris. 1773/77. P. 341-402. [Перепечатано: Oeuvres completes. Paris : Gauthier-Villars, 1893. Vol. 9. P. 5-68].
4. Фомин А. И., Титаренко В. И. Система определяющих уравнений для линейных дифференциальных трансляторов первого порядка семейства канонических гиперболических уравнений // Научная дискуссия: вопросы математики, физики, химии, биологии : сб. ст. по материалам XL Междунар. науч.-практ. конф. Вып. 4 (32). М. : Интернаука, 2016. С. 15-27.
5. Фомин А. И. Преобразования Лапласа как дифференциальные изоморфизмы // Научная дискуссия: вопросы математики, физики, химии, биологии : сб. ст. по материалам XLIV-XLVIII Междунар. науч.-практ. конф. Вып. 8-12 (35). М. : Интернаука, 2016. С. 5-12.
6. Fomin A. I. Differential Homomorphisms of Linear Homogeneous Systems of Differential Equations // Russian Journal of Mathematical Physics. 2012. Vol. 19, № 2. P. 159-181.
References
1. Aksenov A.V. Linear differential relations between solutions of the class of Euler-Poisson-Darboux equations. Sovremennaya matematika i ee prilozheniya = Modern mathematics and its applications. 2004;12:3-37. (In Russ.)
2. Trikomi F. Lektsii po uravneniyam s chastnymi proizvodnymi = Lectures on partial differential equations. Moscow: Izd-vo ino-strannoy literatury, 1957. (In Russ.)
3. Laplace P.S. Recherches sur le calcul integral aux differences partielles. Memoires de l'Academie royale des Sciences de Paris. 1773/77:341-402. [Reprinted: Oeuvres completes. Paris: Gauthier-Villars, 1893;9:5-68].
4. Fomin A.I., Titarenko V.I. System of defining equations for linear differential translators of the first order of the family of canonical hyperbolic equations. Nauchnaya diskussiya: voprosy matematiki, fiziki, khimii, biologii: sb. st. po materialam XL Mezhdunar. nauch.-prakt. konf. Vyp. 4 (32) = Scientific discussion: issues of mathemat-
ics, physics, chemistry, biology: proceedings of the 40th International scientific and practical conference. Issue 4 (32). Moscow: Intemauka, 2016:15-27. (In Russ.)
5. Fomin A.I. Laplace transforms as differential isomorphisms. Nauchnaya diskussiya: voprosy matematiki, fiziki, khimii, biologii: sb. st. po materialam XLIV—XLVIII Mezhdunar. nauch.-prakt. konf. Vyp. 8-12 (35) = Scientific discussion: issues of mathematics, physics, chemistry, biology: proceedings of the 44th - 48th International scientific and practical conference. Issue 8-12 (35). Moscow: Internauka, 2016:5-12. (In Russ.)
6. Fomin A.I. Differential Homomorphisms of Linear Homogeneous Systems of Differential Equations. Russian Journal of Mathematical Physics. 2012;19(2):159-181.
Информация об авторах / Information about the authors
Александр Иванович Фомин
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Институт экономики и менеджмента, Российский государственный университет имени А.Н. Косыгина (Технологии. Дизайн. Искусство) (Россия, г. Москва, ул. Малая Калужская, 1)
Aleksandr I. Fomin Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of the sub-department of higher mathematics, Institute of Economics and Management, Russian State University named after A.N. Kosygin (Technology. Design. Art) (1 Malaya Kaluzhskaya street, Moscow, Russia)
E-mail: fomin4S@mail.ru
Вера Ивановна Титаренко
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и информатики, Институт информационных систем, Государственный университет управления (Россия, г. Москва, Рязанский проспект, 99)
E-mail: vera_xmel@mail.ru
Vera I. Titarenko
Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of the sub-department of mathematics and computer science, Institute of Information Systems, State University of Management (99 Ryazanskiy avenue, Moscow, Russia)
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 15.05.2023
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 25.09.2023 Принята к публикации / Accepted 10.11.2023
