CC BY
24
УДК 66.077
Жежера Н.И.1, Тюков Н.И.2 ©
1 2 Профессор, доктор технических наук; магистрант.
Оренбургский государственный университет
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ШАХТНОЙ ПЕЧИ ОБЖИГА ИЗВЕСТНЯКА КАК ОБЪЕКТА АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПО
РАЗРЕЖЕНИЮ ПЕЧНЫХ ГАЗОВ
Аннотация
Разработано дифференциальное уравнение для шахтной печи обжига известняка как объекта автоматического управления по разрежению печных газов. Составленное дифференциальное уравнение устанавливает взаимосвязь между разрежением печных газов в шахтной печи для обжига известняка и массовым расходом и давлением воздуха, поступающего в шахтную печь на горение, расходом и давлением печных газов, выходящих через регулирующий клапан из шахтной печи. Дифференциальное уравнение преобразовано к операторному виду и определены типовые динамические звенья. На основе выделенных типовых динамических звеньев составлена структурная схема шахтной печи для обжига известняка как объекта автоматического управления по разрежению печных газов.
Ключевые слова: вертикальная печь; обжиг известняка; печные газы; разрежение; давление; расход; дифференциальное уравнение; элементарные динамические звенья; объект управления; линеаризация; структурная схема.
Keywords: vertical kiln; calcination of the limestone; kiln gases; vacuum; pressure; flow rate; differential equations; elementary dynamic units; the object of control; linearization; dynamic schema.
На рисунке 1 изображена принципиальная схема шахтной печи для обжига известняка [1], используемая на сахарных заводах для получения извести и углекислого газа. Шахтная печь для обжига известняка состоит из шахты 1 цилиндрической формы с загрузочным устройством 2 в верхней его части и выгрузочным устройством 3 в нижней части.
© Жежера Н.И., Тюков Н.И., 2016 г.
Рис. 1. Принципиальная схема шахтной печи для обжига известняка
В горизонтальных сечениях шахты 1 печи размещены короб отсоса печных газов 4 и короб 5 для подачи воздуха в печь, установленный на фланце 6. Газовый насос 7 своим входным патрубком и трубопроводом 8 соединен с коробом отсоса печных газов 4. Нагнетательный патрубок насоса 7 трубопроводом 9 подключен к коллектору печных газов 10. Нагнетательный патрубок вентилятора 11 трубопроводом 12 соединен с коробом 5, а всасывающий патрубок - с калорифером (не показан).
К блоку управления 13 подключены управляемые клапаны 14, 15, 16, 17, 28, а также датчики температуры 18, расхода 19 и разрежения 27. Вихревая труба 20 соединена через клапан 14 с трубопроводом 9, ее «холодный» конец 24 через клапан 15 подключен к коллектору печных газов 10, а «горячий» конец 26 через управляемый клапан 17 - к трубопроводу 12. Датчик 27 разрежения расположен на коробе 4 отсоса печных газов, регулирующий клапан 28 расположен на трубопроводе 8, соединенным с одной стороны с коробом отсоса печных газов 4, а с другой - с всасывающим патрубком 8 газового насоса 7 отсоса печных газов.
Шахтная печь для обжига известняка работает по следующему технологическому процессу. Определенное по технологическим регламентам количество известняка и твердого топлива (каменного угля) через загрузочное устройство 2 подают с помощью скипового подъемника в шахту 1 печи. Подогретый в калорифере воздух на горение поступает в шахтную печь от вентилятора 11 через короб 5. Из короба 4 отсоса печных
газов через регулирующий клапан 28 и трубопровод 8 печные газы с температурой, воспринимаемой датчиком 18, отводятся газовым насосом 7 через клапан 16 к коллектору печных газов 10.
Датчик 27 разрежения, подключенный к коробу 4 отсоса печных газов, измеряет в коробе 4 и верхней части печи разрежение и передает сигнал в блок управления 13. По сигналам от блока управления 13 регулирующий клапан 28, установленный на трубопроводе 8, изменяет разрежение в коробе 4 отсоса печных газов и в верхней части шахтной печи 1 для обжига известняка.
На рисунке 2 приведена схема модели шахтной печи для обжига известняка как объекта автоматического управления по разрежению печных газов. Она содержит пневматическое сопротивление 3, эквивалентное сопротивлениям 4, расположенное на входе воздуха в шахтную печь, емкости 5 (зон подготовки и обжига известняка в шахтной печи) и регулирующего клапана 6 (28 на рисунке 1), расположенного на выходе печных газов из шахтной печи по разрежению. Сопротивления 4 моделируют форсунки, пропускающие воздух в печь через короб 5 (рисунок 1).
Рис. 2. Схема модели шахтной печи для обжига известняка как объекта автоматического управления по разрежению печных газов
Для емкости, пневматического сопротивления, расположенного перед емкостью, и регулирующего клапана (рисунок 2) динамический процесс представим в виде
V шр = О - о2, (1)
ш
где У2 - объем печных газов в емкости 5, кг/м3; О] и О2 - массовый расход печных газов в емкость 5 и из этой емкости, кг/с; I - время, с.
Для газовых сред известно [2] уравнение Р/р = РТ . После дифференцирования
этого выражения по плотности среды и давлению, оно принимает вид ШР2 = РТШр или
Ш//Л=РТШр/Ш1. Подставив это выражение в уравнение (1), получим
А. = о1 - О2. (2)
РТ Л
Принимаем докритической скорость печных газов из шахтной печи через клапан 6 (рисунок 2). Для докритического движения газов через регулирующий клапан массовый расход О2 определяется по выражению [3]
о2 =тр2к^рр-, (3)
где ц2 - коэффициент расхода печных газов для клапана; Р2 - площадь сечения клапана, через которое проходят печные газы, м2; Ка - коэффициент, вычисляемый по
формуле из работы [2] по коэффициенту адиабаты; Р2, Р3 - давление печных газов в емкости 5 и после регулирующего клапана 6, Па.
Расход печных газов через сопротивление 4 определим по формуле для расхода газов через щели [4]
Оф = [
р ф
2
4 ГР - Р2 ) ,
' 4 \Рг
з
где Оф - расход печных газов через сопротивление 4, м /с; Шф - внутренний диаметр сопротивления, м; Р и Р2 - давление печных газов, Па; р г - плотность печных газов, кг/м3; ф - коэффициент расхода печных газов для пневматического сопротивления.
Учитывая, что массовый расход воздуха Оф, кг/с, и объемный расход Оф, м/с,
взаимосвязаны выражением Оф = Оф ■ рг, тогда
Оф =фР^ррг (Р-Р2).
Так как воздух проходит через
п
параллельно соединенных дросселей 4
(форсунок), тогда массовый расход воздуха в шахтную печь О1 , м3/с
Ох = п ■ ^Р4^л/2Рг (Р - Р2 )
или
О1 = [■¥2^2рг (Р - Р2),
(4)
где ¥2 = п ■ пШф / 4 - площадь проходных сечений параллельно расположенных
дросселей (форсунок), через которые проходит воздух в шахтную печь. Подставив соотношения (3) и (4) в уравнение (2), получим
V ёР2
= [■ ¥гррг■(р-Р2)-т¥г^РЛРкт Рз)
пгп ' 1 V I г \ 2 / #22 а II
™ (5)
ЯТ ш
Так как уравнение (5) нелинейное, его обычно линеаризуют. Принимаем переменными величинами в уравнении (5) ¥1, ¥2, Р, Р2 и Р3, для которых установившиеся значения принимают вид:
¥1®¥10; Р2®Р20; Р2®Р2о; Р®Ро; Рз®Рзо. (6)
Если переменные величины выразить через постоянные начальные значения и приращения, тогда:
¥1 =¥т+А¥ь- ¥2=¥2о+Л¥2; Р=Ро+ЛР; Р2=Р2о+ЛР2; Рз=Рзо+АРз. (7)
Разложим в ряд Тейлора правую часть выражение (5) по переменным первого порядка ¥1,¥2,Р, Р2 и Р3, считая его функцией М(¥1,¥2,Р, Р2 Р3...).
Ы(¥х ¥ ,Р,Р2 ,Рз) = Ы(¥х, ,¥2о ,Ро ,Р20 ,Рзо) +
'ЭМЛ
д¥
А¥1 +
+
(эмЛ
VЭ¥2 У0
А¥2 +
ам ЭР
АР +
(эмл
V ЭР2 л
10
( зллЛ
ар2 +
эм
V ЭР3 Л
АР3.
(8)
Согласно соотношению (8) формула (5) принимает вид
^ ^ ■,/2РПР=РП I+Гэ[[ ]
+
ЯТ ж
э[ [■ ¥Гл/2рг (Р-Р2)
ЭР
Э¥
А¥1 +
АР +
'Э[ [■ ¥ ■ ррр, -(Р -Р2)]Л
эР
АР
0
0
0
&Р2Ка
Р2(Р2 -Р3)
РТ
/0
&Р2Ка
/2(/2 - Р3)
РТ
ЭР
&Р2 Ка
Р2(Р2 -Р3)
РТ
ЭР
АР
/0
тР2ка.
р2(р2 - Р3)
РТ
ЭР
АР3.
(9)
/0
В выражении (9) сначала определяются производные, а потом производится подстановка установившихся значений из выражений (6) вместо переменных параметров
■Ф-Рю -ррг -(Р, - Р20 ) + ФРрг "(Р0 - Р20 )АР1 +
У2 ШР2 РТ Ш/
+ Ф- Р10
Рг
•\/2Рг 'Р - Р20 )
-М2Р20Кс
АР + ф-Р1
-Рг
10
"\/2Рг '(Р) - Р20 )
АР
Р20(Р20 Р30) -тК Р20(Р20 Р30)Ар -
-^2Р20Ка
V РТ
(2Р20 -Р30)
РТ
2РТ
Р20(Р20 Р30)
АР2 + ^20^
Р
20
2РТ,
Р20(Р20 Р30)
АР3.
(10)
рт v рт
Рассматривая установившееся движение печных газов из шахтной печи, выражение (5) при значениях соотношений (6) принимает вид
V ШР20
ф-Ргл/Р ' (Р0 Р20 ) т2 Р20 Ка ^
Р20 (Р20 Р30 ) =
РТ
= 0
(11)
РТ Ш
Производная от постоянной величины ШР20/йг равна нулю, а поэтому и выражение (11) равно нулю. Это уравнение характеризует установившийся расход печных газов через составляющие элементы схемы, которая приведена на рисунке 2, а именно
О0 = Ф- Р10-Л/2р-(Р0 - Р20 ) = ^20^
Р20 (Р20 Р30 )
РТ
(12)
Если из уравнения (10) вычесть уравнение (11), а затем разделить обе части выражения на установившееся значение расхода Оо , тогда получим
У2 ЩР^ О0РТ шг
АР
• +
1
АР -
1
Рш 2-(Р0-Р20) 2-(Р0-Р20)
АР -
АР
Р
20
(2Р20 Р30) АР + Р
20
2Р20(Р20 Р30) 2Р20(Р20 Р30)
После упрощения выражение (13) принимает вид
АР3.
(13)
V ШР2
АР,
• +
1
АР. Ар2
О„РТ Л Р„ 2 -(Р„ - Рга) Р2
Р20 (Р0 - Р20 ) + Р30Р0 . (Р0 - Р20 )Р20 (Р20 - Р30 ).
20
АР2 +
Р
20
2Р20(Р20 Р30)
АР3
или
^2 Р О0РТ йг
+
Р (р - р ) + р р
1 20 У 0 0
2 (Р0 - Р20 )Р20 (Р20 - Р30 )
А Р,
АР АР,
Э
Э
Э
+ ^-г АР +--АР3. (14)
( , —20-Ар 3
2 ' (Р0 — Р20 ) 2Р20 (Р20 — Р30 )
Запишем уравнение (14) так, чтобы в нём были отношения АР/Р0; АР2/Р20 и АР3/Р30.
V ■ Р
у 2 1 20
d
f АР, ]
V Р20 J + Р20 (Р - Р20 )+ Р30Р0 АР = Щ +
G0RT dt 2(Р0 Р20 )(Р20 Р30) Р20 F10 F20
Р АР Р Р АР
+ ^jP-)— +-р2Р-Ар3. (15)
2 ■ (Р0 _ Р20 ) Р0 2Р20 (Р20 _ Р30 ) Р30
V2 Р20 „ АР AF Вводим обозначения: 2 20 = 1Ь; -= x(t) ; —1 = b(t);
G0 RT P F,n
APl = y(t); DFL = m(t); -АР3 = W(t); P20 (P0 P20)+P30 P0 =
Р F Р 2(Р - Р )(Р - Р ) 1
20 20 30 0 20 20 30
P Р P
0 Р20 30
1 '
2 ■ (P0 P20 ) 2P20(P20 P30)
Уравнение (15) после подстановки соотношений (16) принимает вид
(16)
Ть — + к4у(Х) = Ъ(Х) - т(X) + к5х(X) + к6п(X) . (17)
ёХ
Если дифференциальное уравнение (17) преобразовать по Лапласу, тогда
(Т^ + к1)у (^) = Ъ(^) - т(^) + к2х(5) + к3п(5) , (18)
где Б-оператор Лапласа.
Структурная схема модели шахтной печи как объекта автоматического управления по разрежению печных газов, состоящая из обобщенного пневматического сопротивления, расположенного на входе воздуха в шахтную печь, и регулирующего клапана, расположенного на выходе печных газов из шахтной печи, построена по выражению (18) и приведена на рисунке 3.
Рис. 3. Структурная схема модели шахтной печи как объекта автоматического управления по разрежению печных газов
По каждому входному параметру относительно выходной величины объекта автоматического управления по структурной схеме (рисунок 3) можно определить передаточную функцию. Например, для разрежения Р2 в шахтной печи относительно площади проходного сечения регулирующего клапана, который изменяет отвод печных газов из шахтной печи в атмосферу, передаточная функция имеет вид
2 = у(5)/т(5) = 1 / (Гъ5 + к ) .
Таким образом, разработано математическое описание шахтной печи для обжига известняка как объекта автоматического управления по разрежению печных газов. Составленное дифференциальное уравнение устанавливает взаимосвязь между разрежением печных газов в шахтной печи для обжига известняка и массовым расходом и давлением воздуха, поступающего в шахтную печь на горение, расходом и давлением печных газов, выходящих через регулирующий клапан из шахтной печи. Дифференциальное уравнение преобразовано к операторному виду и определены типовые динамические звенья. На основе выделенных типовых динамических звеньев составлена структурная схема шахтной печи для обжига известняка как объекта автоматического управления по разрежению печных газов.
Литература
1. Патент РФ № 2431096, кл. F27B1/00. Шахтная печь для обжига сыпучего материала. Авторы изобретения: Емельянов С. Г., Кобелев Н. С., Алябьева Т. В., Овчаренко О. А, Журавлёв А. Ю., Дюмин А. С. Приоритет от 23.11. 2009. Опубл. 10.10.2011. Бюл. №11.
2. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика: учебник для вузов. М-во высш. и средн. образования СССР. - Изд. 2-е перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1987.- 440 с.
3. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем: учеб. пособие для вузов. Мин-во высш. и средн. специал. образования СССР. - Изд. 4-е перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1978. -736 с.
4. Нагорный В.С., Денисов А. А. Устройства автоматики гидро- и пневмосистем. - М. : Высшая школа, 1991.-367 с.
