CC BY
92
Ключевые слова: транспортная задача, промежуточный пункт, оптимизация, MS Excel Solver.
Glinenko L.K., Yakovenko Ye.I. Solving transportation problem with intermediate points using Excel Solver add-in
Availability of Excel Solver add-in for solving transportation problem with intermediate points as a linear programming problem with restricted flows balance in transport network nodes was considered. Model for finding optimal transit route in networks with arbitrary complexity is proposed.
Keywords: transportation problem, intermediate point, optimization, MS Excel Solver.
УДК378.1 Доц. О.О. Карабин, канд. фЬ.-мат наук; доц. О.Ю. Чмир,
канд. фЬ.-мат. наук - Львгвський ДУ безпеки життедгяльностг
ДИФЕРЕНЦ1АЛЬН1 ОПЕРАЦП ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
У процеа викладання вищо! математики значну увагу потрiбно придшити вив-ченню понять i теорем математичного аналiзу, яга використовуються у математично-му моделюванш. До таких понять належать диференщальш операци векторного поля. Розглянуто основш диференщальш операцп векторного поля (градieнт, диверген-щя, ротор). Показано !х суть з математично!, фiзичноi та мехашчно! точок зору. ОбГрунтовано необхщшсть !х детального вивчення у кура вищо! математики.
Ключовг слова: градieнт, дивергенщя, ротор, потенцiальне поле.
З метою удосконалення ф1зико-математично! тдготовки майбутшх фах1вщв важливою е повноцшна реал1защя м1жпредметних зв'язюв математики 1 ф1зики з шшими науками. Вища математика, як навчальна дисциплша, виконуе одну з головних функцш у процеа навчання, оскшьки !! поняття да-ють змогу ч1тко сформулювати закони 1 законом1рносп шших наук, а !! мето-ди дають змогу приймати обгрунтоваш ршення [2].
Жодне наукове дослщження не е повноцшним без побудови вщповщ-но! математично! модель Тому значну увагу в процеш викладання вищо! математики потр1бно придшити вивченню понять 1 теорем математичного та векторного анал1зу, як використовуються в математичному моделюванш.
Векторний анал1з з'явився в математичнш наущ завдяки У. Гамшьто-ну, який у 1843 р. розглянув поняття кватернюшв, а згодом, у 1853 р., у сво!й монографп вв1в поняття вектора та вектор-функцп. У 1846 р. Гамшьтон описав диференщальний оператор "набла", а також визначив скалярний та векторний добутки як операцп над нововведеними об'ектами. Векторна символь ка своею компактнютю та шварштшстю защкавила ф1зиюв, що видно з робгг Максвелла, а сучасного вигляду векторному численню надав Хевюайд у 1903 р. [1].
Мета ще! роботи - показати суть диференщальних операцш векторного поля з математично!, ф1зично! та мехашчно! точок зору, а також можли-вють застосування сучасних програмних пакепв для розв'язування задач.
На вивчення понять векторного анал1зу у вищш школ1, на жаль, придь ляють дуже мало часу, або !х вивчення виносять на самостшне опрацювання. При цьому не акцентують уваги на застосуванш цих понять у таких дисцип-лшах, як ф1зика, мехашка, термодинамжа та теплопередача та ш., а тому сту-
денти сприймають цi поняття як формальшсть, не бачачи перспектив !х вико-ристання. Серед наукових праць i3 проблем впровадження методiв матема-тичного моделювання у курс вищо1 математики потрiбно виокремити працi В.Г. Скатецького [3] i Т.В. Крилово1 [4]. Сучасш засоби навчання дають змо-гу активiзувати навчальний процес та унаочнити його. Поряд з традицiйними методами викладання, потрiбно застосовувати сучасне програмне забезпе-чення, за допомогою якого можна досягти економп часу та бшьшого защкав-лення студентiв. Ми пропонуемо у процесi викладання понять векторного анатзу застосовувати програму Maple для розв'язування задач. Але варто звернути увагу на те, що програмне забезпечення можна застосовувати тшь-ки тод^ коли студенти на належному рiвнi засво1ли вiдповiднi поняття та вмь ють ними оперувати, розумшть 1х суть. Щоб зрозумгги суть понять векторного аналiзу обов'язково треба вказувати на 1х практичне застосування.
Вивчення будь-якого фiзичного явища зводиться до встановлення за-лежностей мiж величинами, що характеризуюсь це явище. Для складних фь зичних процесiв, в яких визначальш величини можуть iстотно змiнюватися в просторi i часi, встановити залежшсть мiж цими величинами дуже важко. На допомогу приходить метод математично! фiзики, який базуеться на тому, що обмежуеться промiжок часу та з усього простору розглядаеться лише елемен-тарний об'ем. Вибранi таким чином елементарний об'ем dv, i елементарний промiжок часу dr, в межах яких розглядаеться процес, з математично! точки точку зору е величинами нескшченно малими, а з фiзичноl точки зору - величинами ще достатньо великими, щоб в !х межах можна було таорувати дис-кретну будову середовища. Отримана таким чином залежшсть е загальним диференцiальним рiвнянням певного процесу [4, 5].
Складовими частинами диференцiального рiвняння е диференщальш операцп. До них належать градiент, дивергенцiя, ротор (вихор) [6]. Розгляне-мо цi операцп та !х фiзичний i математичний змiст. Вивчення цих понять ви-магае розумшня понять скалярного та векторного добутку з аналогично! ге-ометрп.
Частина тривимiрного простору R3, кожнiй точщ М яко! поставлено у вщповщнють значення деяко! скалярно! величини u (M), називають скаляр-ним полем. З математично! точки зору, скалярне поле е функщею трьох змш-них. Прикладами скалярних полiв е поле температури певного тша, поле гус-тини певного неоднорiдного середовища, поле вологосп повiтря, поле атмосферного тиску, поле потенцiалiв заданого електростатичного поля тощо. Фi-зичш скалярнi поля не залежать вщ вибору системи координат: величина u е функцiею лише точки M i, можливо, часу (нестацiонарнi поля).
Градiентом поля u(x; y; z) у точщ M називають вектор, координатами якого е значення частинних похщних функцп у точщ M, його позначають
У процеш викладання потрiбно наголосити на тому, що саме в нап-рямку градiента поле мае найбiльшу швидкiсть змши, а в напрямку, перпен-
grad u
du r du r du r —i + — j + — к. dx dy dz
дикулярному до градiента, швидкiсть змiни поля дорiвнюe 0, оскiльки саме ця властивють мае широке практичне застосування.
Тепер акцентуемо увагу на фiзичному змюп градiента, який випливае з самого означення. Вектор grad u не залежить вщ вибору системи координат, а його модуль i напрям у кожнш точцi визначаеться самою функцiею ы (М). Наприклад, якщо з'еднати точки тiла, що мають однакову температуру, то отримаемо так звану iзотермiчну поверхню. Температура в тт змiнюеться тiльки в напрямках, що перетинають iзотермiчнi поверхш. При цьому найбiльший перепад температури на одиницю довжини вiдбуваеться в нап-рямку нормалi до iзотермiчноl поверхнi i е не чим шшим як градiентом тем-ператури.
Розглянемо векторне поле та основш поняття, яю з ним пов'язанi.
Якщо кожнш точщ М простору (або частини простору) поставлено у вщповщнють деякий вектор и (М), то кажуть, що задано векторне поле. Фь зичними прикладами векторних полiв е електричне поле системи електрич -них зарядiв, яке характеризуеться в кожнш точщ вектором напруженосп Е, магнiтне поле, утворене електричним струмом i яке характеризуеться в кожнш точщ вектором магштно! шдукцп В, поле тяжшня, утворене системою мас i яке характеризуеться в кожнш точщ вектором сили тяжшня ^, що дiе в цш точцi на одиничну масу, поле швидкостей потоку рiдини, яке описуеться в кожнш точщ вектором швидкосп V. Фiзичнi векторнi поля не залежать вiд системи координат: в кожнш точщ М вектор а(М) повшстю визначаеться сво!м модулем |а(М)| i напрямом.
З математично! точки зору, векторним полем е функщя вигляду и(х, у, х) = ых(х, у, ¿)1 + ыу(х, у, х)] + ы2(х, у, х)к ,
де: ых, ыу, ых - функцп трьох змшних.
Векторне поле тiсно пов'язане з поняттям градiента, а саме, якщо воно зб^аеться в областi О з полем градiента деякого скалярного поля ы(М)
а = grad ы , (1)
то таке векторне поле а(М) називають потенцiальним в областi О.
Функщю ы(М) називають скалярним потенщалом векторного поля а(М). Якщо а = (Р, Q, Я), то iз рiвностi (1) випливае, що
р ды ^ ды ^ ды дх ду дх
1нколи потенцiалом векторного поля а називають таку функщю ы, що а = -grad ы .
Розглянемо, наприклад, поле тяжшня точково! маси т, розмщено! в
початку координат. Воно описуеться вектор-функщею
— т г
^(М ) = -у—г,
y - гравггацшна стала, r = xi + yj + zk, r =|r|=^/х2 + y2 + z2 . З такою силою дie це поле на одиничну масу, розмщену в точщ M (х, y, z). Поле тяжшня е по-тенцальним. Його можна подати у виглядi градiента скалярно! функцп Ym
u(M) = -—, яку називають ньютонiвським потенцiалом поля тяжшня точково1 r
маси m. Дiйсно,
du д (1 ^ ( 1 \dr ym д / Г2-2-2 \ х
= Ym \-\ = ym I —_ I =-- Uх2 + y2 + z 2 ) = -ут —.
дх дх V r J v r J дх r дх \ / r
. ди y ди z
Аналогiчно, — = -ym , — = -ym —, звiдси By r дz r
ym i r r r\ m r —-grad и =--— (х + yj + zk) = -y—r = F(M).
Тепер розглянемо, як можна здiйснити подiбнi обчислення за допомо-
ym
гою програми Maple. Нехай дано функщю u(M) = -—, де y - гравггацшна
r
стала, r = х + yj + zk, r = r |= ^х2 + y2 + z2 . Обчислимо ll градiент. Для цього потрiбно пiдключити бiблiотеку linalg, тобто введемо операцiю
> restart: with(linalg):
у дiалоговому вiкнi програми та натискаемо J. Далi вводимо функщю, градiент яко! шукаемо
> u:=gamma*m/sqrt(xA2+yA2+zA2); та натискаемо J . Одержуемо
ym
и := . .
•у/х2 + y2 + z2
Знайдемо градiент функцп и. Для цього використаемо команду > grad(u,[x, y, z]);
та натискаемо J. Таким чином одержуемо
ymx ymy ymz
(х2 + y2 + z2)3/2 ' (х2 + y2 + z2)3/2 ' (х2 + y2 + z2)3/2 '
За допомогою програми Maple можна також побудувати зображення векторного поля, яке задае градiент функцп и. Для цього задамо параметри y = 6,67 -10-11Ы-м2/кг2 та m = 1 кг.
Щдключимо пакет, за допомогою якого можна побудувати зображення векторного поля. Для цього введемо команду в дiалоговому вжш Maple
> restart: with(plots): та натискаемо J. Вводимо функцю и
> u:= 6.672*10A(-11)*1/sqrt (xA2+yA2+zA2); та натискаемо J . Одержуемо
.667200000010-10
u :=----
yj x2 + y 2 + z2
Далi вводимо команду графiчноl побудови > gradplot3 d(u, x = -3.3, y = -4.4, z = -6.6, axesfont = [TIMES, ITALIC,10], color = black, labelfont = [TIMES, BOLD,14], labels = [x, y, z], thickness=2, scaling = CONSTRAINED, style = patch, axes = frame);
та натискаемо J. Тодi одержуемо зображення векторного поля (рис.)
Рис. Графiчне зображення векторного поля
Розглянемо тепер електричне поле точкового заряду е, розмщеного в
початку координат. Воно описуеться в точщ М (х, у, х) вектором напруженосп
— ке г Е(М) = — г. г
Це поле також е потенщальним полем. Його можна подати у виглядi
Е = -gгad | — | Функцiя и(М) = — називаеться потенцiалом електричного по-^ г ) г
ля точкового заряду е.
„ дих диу дих . — , „ .
Величину--1--н--називають дивергенцiею поля и (М) i позна-
дх ду дх
чають одним iз символiв divU або Уи. Якщо символiчно позначити V як
( д д д Л
вектор з координатами I —,—,— I, то дивергенщю можна розглядати як ска-^дх ду дх)
лярний добуток вектора V та векторного поля U (M). Слово дивергенщя озна-чае розбiжнiсть. Дивергенщя характеризуе густину джерел даного векторного поля в розглянутш точщ Нехай двовимiрним векторним полем е сукуп-нiсть напрямкiв найшвидшого спуску на земнш поверхт, то на мюцезнахо-дження вершин та улоговин вкаже дивергенщя, яка буде додатною у вершинах i вщ'емною в улоговинах. Якщо U = v е полем швидкостей пiд час проть кання газу або потоку рщини, то div U дорiвнюе швидкостi збiльшення нес-кiнченно малого об'ему. Якщо U = F е силою, то divU е роботою (потужтс-тю потоку).
Знайдемо дивергенцiю вектора u = (3x2, -4у3, - sin z) у програмi Maple. Для цього шдключимо бiблiотеку linalg, ввiвши операцiю
у дiалоговому вжш програми та натиснувши J. Далi вводимо вектор u, градiент якого шукаемо
Якщо розглянути векторний добуток символiчного вектора V i вектора U:
то отримаемо вектор, який називають ротором векторного поля U i познача-ють rotU. З мехатчно! точки зору, векторний добуток - це момент вектора. Пд дiею цього моменту векторне поле може обертатись. При цьому rot U е вектором подвоено! кутово! швидкостi обертання поля. Справд^ розглянемо тверде тiло, яке обертаеться навколо осi Oz iз сталою кутовою швидкiстю ю . Векторне поле швидкостей v(M) точок цього тша можна подати у виглядi
> restart: with(linalg):
> u:=([3*xA2, -4*ул3, -sin (z)]);
та натискаемо J. Одержуемо
u := [3x2, -4y3, - sin(z)] Знайдемо дивергенцiю вектора u, ввiвши операцiю > diverge(u, [x, y, z]);
та натиснувши J. Одержуемо
6 x - 12y2 - cos(z)
i j к
д д д дх ду dz
ux uy uz
i j к
v(M) = [m r] = 0 0 m = -myi + mxj. x у z
Знайдемо ротор поля швидкостей v(M):
rotv =
i J k
д д д
dx dy dz
-my mx 0
-0i + 0 j + 2mk = 2mk.
Таким чином, rot v e сталим вектором, напрямленим уздовж oci обер-тання Oz, а його модуль дорiвнюe подвоeнiй кутовiй швидкостi обертання ть ла: \rotv\ = 2m .
Команда curl (и, [x, y, г]) у програмi Maple визначае ротор тривимiр-ного вектора u. Знайдемо ротор вектора v = (-my,mx,0). Пiдключимо бiблi-отеку linalg, ввiвши операцiю
> restart: with(linalg): та натиснувши J. Далi вводимо вектор v, ротор якого шукаемо
> v:=vector([-omega*y, omega*x, 0]); та натискаемо J. Одержуемо вектор v, а саме v:= [-my,mx,0]. Знаходимо ротор вектора v за допомогою операцп
> curl(v,[x, y, г]);
Отримуемо координати вектора [0,0, 2m ].r rr
Розглянемо потенцiальне поле r = xi + yj + zk . Його потенщал
r
'Т
x2 + y2 + z 2
Обчислимо ротор цього поля:
rot r =
i J k
д д д
dx дy дz
x y z
- 0i + 0 j + 0k = 0.
Взагал^ ротор довiльного потенцiального поля дорiвнюe нулю. Тому кажуть, що потенщальне поле е безвихровим.
Описанi диференщальш операцп векторного поля фiгурують у мате-матичних моделях фiзичних процешв. Так, в основнiй гiпотезi математично! теорп теплопровiдностi, величина теплового потоку через будь-яку iзотермiч-
ну поверхню дорiвнюе -К —, де К - коефщент теплопровiдностi речовини,
дп
Зу
а--похщна вщ швидкостi вздовж зовнiшньоl нормалi до поверхнi, а це не
Зп
що шше, як grad V. Операцiя дивергенцп виникае у диференщальному рiв-
31:
нянш теплопровiдностi — = adiv(gradt) + /(х, у, 2,т), де 1 - шукана функцiя
дт
температури, т - час, а - коефщент, який характеризуе середовище, /(х,у,т) - функщя, що описуе внутрiшнi джерела тепла.
u
Як бачимо, диференцальт операцп векторного поля мають глибокий фь зичний змiст i поряд з тим мають символiчний математичний характер. У проце-d викладання вищо! математики студентам та курсантам тех^чних вузiв потрiб-но особливо акцентувати увагу на цих поняттях, показувати на прикладах, де са-ме ц поняття виникають у фiзицi та технiцi, звертати увагу на символiчний характер цих понять, а також поряд з традицшними методами викладання вико-ристовувати сучасн iнформацiйнi засоби, що дасть змогу активiзувати навчаль-ний процес, покращити його яюсть, сприятиме глибшому засвоенню матерiалу'
Л1тература
1. Александрова Н.В. Формирование основных понятий векторного исчисления / Н.В. Александрова // Историко-математические исследования. - М. : Изд-во "Наука", 1982. -№ 26. - С. 205-234.
2. Деркач М.И. Проблема совершенствования преподавания математики / М.И. Деркач, Ю.Е. Обжерин, А.Ф. Хрусталёв. - Севастополь : Изд-во СевНТУ. - 2010. - Вып. 105. - С. 27-34.
3. Скатецкий В.Г. Математическое моделирование физико-химических процессов / В.Г. Скатецкий. - Минск : Изд-во "Высш. шк.", 1981. - 141 с.
4. Крилова Т.В. Проблеми навчання математики в техичному вуз1 / Т.В. Крилова. - К. : Вид-во "Вища шк.", 1998. - 438 с.
5. Карслоу Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. - М. : Изд-во "Наука", 1964. - 464 с.
6. Исаченко В.П. Теплопередача / В.П. Исаченко. - М. : Изд-во "Энергия", 1975. - 488 с.
7. Овчиннжов П.Ф. Вища математика / П.Ф. Овчиннжов. - К. : Вид-во "Технжа", 2000. - Ч. 1. - 552 с.
Карабин О А., Чмир О.Ю. Дифференциальные операции векторного поля
Значительное внимание в процессе преподавания высшей математики следует уделять изучению понятий и теорем математического анализа, которые используются в математическом моделировании. К таким понятиям принадлежат дифференциальные операции векторного поля. Рассмотрены основные дифференциальные операции векторного поля (градиент, дивергенция, ротор). Показана их суть с математической, физической и механической точек зрения. Обоснована необходимость их тщательного изучения в курсе высшей математики.
Ключевые слова: градиент, дивергенция, ротор, потенциальное поле.
Karabyn O.O., Chmyr O.Yu. Differential operations in the vector field
In higher mathematics we have to pay great attention to teaching the notions and theorems of math analysis, which are used in mathematical modelling. Differential operations of vector field are one of these notions. This work deals with the main differential operations of vector field (gradient, divergence, rotor), which have been analyzed from mathematical, physical, and mechanical point of view. The importance of their detailed studying at the lessons of higher mathematics has been explained.
Keywords: gradient, divergence, rotor, potential field.
УДК 519.[728.4+714] Доц. В.1. Ящук, канд. екон. наук;
асист 1.1. Тучковська, канд. екон. наук - Львгвська КА
1НФОРМАЦ1ЙН1 СИСТЕМИ БЕЗПЕКИ РОЗДР1БНО1 ТОРГ1ВЛ1
Висвгглено сучасш шформацшш системи безпеки, зокрема: охоронно-тривож-но1 сигналiзащi, вщеоспостереження, 1Р-вщеоспостереження, контролю касових опе-рацш, управлшня доступом, оповщення та озвучування, захисту вщ крадiжок, за-
