CC BY
16
УДК 372.851
ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ЗАДАЧ МЕЖДУНАРОДНОГО КОНКУРСА «КЕНГУРУ» В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ
DIDACTIC VALUE OF THE TASKS IN THE INTERNATIONAL CONTEST "KANGAROO" IN TEACHING MATHEMATICS TO GIFTED CHILDREN
©2020
Л.Н. Евелина, А.Р. Хусаинова L.N. Evelina, A.R. Khusainova
Работа с одаренными детьми требует особого внимания со стороны учителей математики. В статье описано одно из направлений такой работы, а именно - использование задач международного конкурса «Кенгуру» в урочной и внеурочной деятельности в процессе обучения школьников математике. В методике использования задач учтены содержательные линии школьного курса математики, а также сложность задач и способ их решения. При этом большое значение уделяется поиску способа решения задачи как главному этапу ее решения, а также характеристике задачи с точки зрения ее роли и места в курсе математики основной общей школы. Внимание к задачам международного конкурса «Кенгуру» объясняется доступностью их использовании в учебном процессе вне зависимости от характера урочной или внеурочной деятельности, а также разнообразием задач как по сюжетному наполнению, так и по методам решения. Важно также, что работу с задачами можно организовать в индивидуальной, групповой или фронтальной форме.
Ключевые слова: работа с одаренными в области математики детьми; математические олимпиады; конкурс «Кенгуру»; подготовка к олимпиадам по математике; содержательные линии школьного курса математики; формы организации учебной деятельности; этапы решения задачи.
Working with gifted children requires special attention from math teachers. The article describes one of the aspects of such work - the use of the problems of the international competition "Kangaroo" in class and extracurricular activities in the process of teaching mathematics to schoolchildren. The methodology of using the problems takes into account the content lines of the school mathematics course, as well as the complexity of the problems and the way to solve them. At the same time, great attention is paid to finding a way to solve the problem as the main stage of its solution, as well as characterizing the problem in terms of its role and place in the mathematics course of the general school education. Focus on the tasks of the international competition "Kangaroo" is accounted for the availability of their use in the educational process, regardless of the nature of lesson or extracurricular activities, as well as a variety of tasks both in terms of plot content and methods of solution. It is also important that work with tasks can be organized in an individual, group or frontal form.
Keywords: work with mathematically gifted children; mathematical olympiads; contest "Kangaroo"; training for Olympiads in mathematics; content lines of the school course of maths; forms of educational activity organization; stages of solving the problem.
В последние годы в нашем государстве в число приоритетных задач развития школы включена работа с одаренными детьми, в том числе и в области математики [1 ; 2]. Так, в Распоряжении правительства Российской Федерации от 29 мая 2015 г. № 996-р в качестве ожидаемых результатов образовательной политики государства обозначено «создание условий для поддержки детской одаренности, развития способностей детей в сферах образования, науки, культуры и спорта, в том числе путем реализации государственных, федеральных, региональных и муниципальных целевых программ» [3].
Решение указанной задачи возможно лишь при систематической работе в данном направлении [4 ; 5]. В первую очередь, это подготовка и проведение олимпиад разного уровня: от школьных до всероссийских и международных. В настоящее время увеличилось количество форм их проведения: традиционные олимпиады, дистанционные, устные, заочные, нестандартные и другие виды олимпиад. Математические олимпиады стимулируют углубленное изучение предмета и развитие математических способностей обучающихся.
Подготовка учащихся к олимпиадам -это прежде всего организация их деятель-
ности по решению задач. Отметим, что задачи можно выбирать из различных источников: из учебников и учебных пособий, сборников олимпиадных задач и задач для проведения занятий математических кружков, причем источники эти могут быть как печатными, так и электронными.
Во время работы над задачами необходимо уделять внимание как содержательной ее части, так и процессуальной. При выделении основных теоретических фактов, включенных в программу основного курса математики (понятий, их свойств и отношений между ними), а также выходящих за ее рамки, очень важно устанавливать связи между различными математическими линиями с использованием разнообразных методов.
От школьников требуется способность управлять своей деятельностью на всех этапах решения задачи: от знакомства с условием и поиска способа решения до реализации выбранного способа и проверки полученного ответа.
Работу с одаренными детьми можно вести не только во время внеурочной деятельности, но и на уроках. В таких случаях предлагаемые обучающимся задачи не должны быть громоздкими и содержать сведения, выходящие за пределы школьной программы. Коллективное обсуждение различных вариантов решения подобных задач значительно повышает результативность работы над ними, что, несомненно, приводит к повышению интереса к предмету и раскрытию математических способностей обучающихся.
Рассмотрим в качестве примера задачи математического конкурса «Кенгуру» и покажем возможности их применения при изучении с учащимися основной школы основных содержательных линий школьного курса математики на уроке и во внеурочной деятельности.
Международный математический конкурс «Кенгуру» [6 ; 7] давно приобрел популярность среди педагогов и учащихся школ. Его основным достоинством стали доступность участия и предоставленная каждому
школьнику возможность с высокой степенью вероятности проявить свои математические способности.
Россия включилась в конкурс с 1994 года. С тех пор количество его участников (учащихся 2-10 классов) стабильно растет [6 ; 7 ; 8].
Задачи конкурса распределены по трем разделам различной сложности и оцениваются в баллах - от 3 в первом разделе до 5 в третьем. Каждый раздел содержит 10 задач.
Объединяя задачи по каким-либо общим признакам, организаторы выделяют пять их категорий. Рассмотрим эти категории, а также примеры заданий.
Первая категория - «Классификации». В таких задачах надо подсчитать количество каких-то объектов: геометрических фигур, стрелок, точек и т.д. Прежде чем начать подсчет, полезно разбить эти объекты на группы и сначала провести нужные подсчеты в каждой группе отдельно.
Также следует назвать задания на выделение и подсчет конкретных фигур, представленных на рисунке.
Вторая категория - «Наглядные задачи» («Что мы видим на картинке?»). Чтобы решить эти задачи, обычно достаточно просто внимательно рассмотреть рисунок. А иногда надо придумать нужный рисунок самостоятельно.
Задачи третьей категории можно отнести к логическим. Они требуют умения рассуждать, доказывать, а иногда и просто перебирать варианты: «Что будет, если...».
Например:
1. В трёх одинаковых сосудах находятся различные вещества: корица, соль и сахар. На сосудах написано: «Корица», «Соль» и «Корица или сахар», но содержимое каждого сосуда не соответствует надписи. Узнайте, какое вещество находится в сосуде с названием «Корица».
(А) корица; (В) сахар; (С) соль; (О) нельзя определить.
2. Старый гном разложил свои сокровища в три цветных сундука, стоящих у стены: в один - драгоценные камни, в другой -
золотые монеты, а в третий - магические книги. Он помнит, что красный сундук правее, чем драгоценные камни; магические книги правее, чем красный сундук. В каком сундуке лежат магические книги, если зеленый сундук стоит левее, чем синий?
(А) в синем; (В) в зеленом; (С) в красном; (О) гном что-то запомнил неверно.
Для решения задач четвертой категории нужно подсчитать количество комбинаций (наборов) каких-то объектов: монет, палочек, клеточек или просто чисел, то есть задачи этой группы можно отнести к комбинаторным.
Например:
В корзине сидят котята: 2 черных, 2 рыжих и 1 полосатый. Сколькими способами можно выбрать трех котят так, чтобы они все были разной окраски?
Пятый тип задач - «Конструкции». Чтобы решить их, нужно либо придумать какую-то подходящую конструкцию, либо внимательно рассмотреть уже готовую. Также это могут быть задачи на выбор среди данных фигур тех, которые определяют нужную конструкцию (с указанием на присутствие лишней фигуры среди данных).
Анализируя конкурсные задания и распределяя их в соответствии с предложенной организаторами типологией, мы пришли к выводу, что в ней нашли отражение не все задания. Это позволило нам ввести иную классификацию задач - основанную на способах их решения.
Сначала были выделены задачи, базирующиеся на включенных в школьный курс фактах. Все они были разделены на задачи базового уровня, для решения которых достаточно знаний школьной программы и умений тщательно анализировать содержание задачи (условие и требование), и «креативные».
Среди базовых были выделены:
1) задачи, решаемые с помощью арифметических действий.
Например:
Сколько пятиметровых прыжков надо сделать Кенгуру, чтобы преодолеть ди-
станцию длиной 5032 м +5032 дм + 5032 см + 5032 мм?
(А) 1116; (В) 1117; (С) 1118; (Б)1119; (Е) 1120;
2) задачи, решаемые с помощью алгебраических выражений, включая уравнения и неравенства.
Например:
Капитан Флинт и несколько пиратов нашли сундук с золотыми монетами. Они разделили монеты поровну. Если бы пиратов было на 4 меньше, то каждый получил бы на 10 монет больше. Если бы монет было на 50 меньше, то каждый пират получил бы на пять монет меньше. Сколько золотых монет было в сундуке?
(А) 80; (В) 100; (С) 120; (Б) 150; (Е) 250;
3) задачи логического характера, при решении которых используются различные понятия и алгоритмы.
Например:
Сколько из чисел 2010, 20 100, 2 010 020, 201 002 010, 2 010 020 100 делится на 12?
(А) 5; (В) 4; (С) 3; (Б) 2; (Е) 1.
Или другая задача:
Миша выбирает несколько чисел из набора 1, 2, ., 10 так, чтобы ни одно выбранное число не было в два раза больше другого. Какова наибольшая возможная сумма таких чисел?
(А) 37; (В) 39; (С) 41; (Б) 42; (Е) 45;
4) задачи, при решении которых используются геометрические фигуры и их свойства.
Геометрические задачи имеют большое значение в развитии пространственных представлений и критического мышления. Разрезания, разбиения, составления различных комбинаций из фигур и их частей становятся для школьников увлекательным занятием. Здесь уместно организовать среди них соревнования и конкурсы: кто быстрее найдет ответ к задаче и получит нужную фигуру. Заметим, что геометрические задачи можно предлагать учащимся любых классов с учетом уровня их геометрической подготовки [9 ; 11 ; 12].
Целью включения задач «Кенгуру» в уроки математики является развитие познавательного интереса обучающихся и повышение уровня их математического развития. Ее достижение зависит от рационального сочетания конкурсных задач всех типов в программном материале по математике. Поэтому необходимо проследить связи между различными разделами школьного курса и выделенными нами категориями задач.
Рассмотрим, каким образом задачи могут быть включены в различные темы курса математики основной школы.
Одна из ведущих содержательных линий школьного курса математики - числовая. Основной целью изучения натуральных чисел в 5-м классе является систематизация и обобщение сведений, полученных о них в начальной школе. При повторении натуральных чисел есть возможность использования в учебном процессе арифметических задач «Кенгуру».
Например: В каком из следующих чисел квадрат цифры десятков равен утроенной сумме цифр сотен и единиц?
(А) 192; (Б) 741; (С) 385; ф) 138; (Е) 231.
Главными в решении данной задачи становятся запись числа в позиционной системе счисления (десятичной), понятие разряда в записи числа, значение цифры в записи числа. Поиск решения включает систематизацию всех перечисленных сведений.
В это же время происходит знакомство с различными дробными числами и формируются навыки выполнения действий с ними.
Например. Сколько получится, если
1 1
разделить на
■ ?
9
(С)
(А) 1
111111111 1
999999999
(Б)
12345679 ' (Е) 12345679?
Р)
9
111111111 ;
999999999;
В данной задаче важен не только смысл записи числа в виде обыкновенной дроби, но и действия с дробными числами, (в частности, деление обыкновенных дробей), признаки делимости чисел на 9 и способность быстро выбрать ответ среди предложенных.
Или такая задача: Число К составляет
4
7
~ от числа Ь, а число Ь равно ~ от числа М,
число N представляет собой треть числа М, а число Р в полтора раза меньше числа N. Чему равно отношение К: Р?
22 4 1 14
(А) 7; (Б) —; (С) -; р)-; (Е) у.
Интерес к данной задаче на уроке можно объяснить возможностью формирования у школьников умений сравнивать два числа и выражать зависимость между ними с позиции как меньшего, так и большего из данных чисел. Рассуждения при решении задачи оказываются полезными для учащихся с различным уровнем развития математических способностей.
Позже в школьном курсе математики появляются новые виды записи чисел: степени, логарифмы, корни. И снова актуальными для формирования умений производить вычисления, используя прикидку результата, становятся задания конкурса «Кенгуру».
Например: какое из чисел является кубом натурального числа?
(А) 6,4-10п; (Б) 6,4-1013; (С) 6,4-1014; р) 6,4-1015; (Е) 6,4-1018.
В данном случае стандартный вид записи числа не позволяет быстро найти ответ к задаче. Но, если заменить число 6,4 на произведение 64-10-1, можно заметить, что для ответа на поставленный вопрос достаточно выяснить, является ли степень числа 10 в записи всего числа, с учетом полученного произведения, полным кубом.
Заметим, что подобные задания, с одной стороны, вызывают у школьников интерес, а с другой стороны, требуют от них осмысленного применения знаний.
Аналогично можно использовать задачи конкурса и при изучении других тем школьного курса математики: «Преобразование буквенных выражений», «Уравнения и неравенства», «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», «Функции и графики», «Геометрические фигуры» [9-13].
Например, в теме «Числовые неравенства» целесообразно для обсуждения в классе предложить такую задачу:
Числа а и Ь таковы, что 4<а<6, 1<Ь<2. Какое из следующих чисел обязательно меньше 9?
(А) 2а-3Ь; (В) а+2Ь; (С) 3а-Ь; (Б) 8Ь-2а; (Е) 13Ь-а.
В такой необычной постановке задачи видится вполне стандартная процедура выполнения действий с числовыми неравенствами. При этом важно помнить о том, что при умножении на положительное число знак неравенства не меняется, а при умножении на отрицательное - меняется на противоположный; кроме того, неравенства одинакового смысла можно складывать.
Решение различных уравнений сводится, как правило, к решению уравнений стандартных типов: линейных, квадратных, иррациональных, логарифмических и др. Запись уравнения в общем виде /(х) = 0 не всегда осознается учениками с позиции входящего в него неизвестного. Так, если имеется уравнение /(Ц.х)), то учащимися оно воспринимается так же, как уравнение относительно х. Именно по этой причине нередко появляются ошибки в решении простейших уравнений, в которых аргументом становится некоторое выражение, а не одна из переменных. Уместно предложить школьникам такую задачу: корни уравнения /(х) = 0 - числа 1 и -2. Тогда корнями уравнения /(2х) = 0 являются числа
1
1
(А) 1 и -2; (В) -- и 1; (С) - и -1; (Б)
2 и -4; (Е) -2 и 4.
При изучении свойств четырехугольников, вписанных в окружность, можно рассмотреть следующую задачу:
Трапеция АВСБ с основанием АВ вписана в окружность. Угол АБВ равен
65°, а угол БВС равен 35°. Тогда угол А равен:
(А) 70°; (В) 75°; (С) 80°; (Б) 105°; (Е) невозможно определить.
Рассмотренные задачи конкурса «Кенгуру» можно использовать в учебном процессе постоянно, на различных этапах урока, с разной целью: для повышения интереса учащихся к изучению математики, развития мыслительных операций (анализа, синтеза, абстрагирования, сравнения, обобщения), формирования нестандартных подходов к решению задачи, систематизации и обобщения методов решения задачи и др.
Подводя итог, следует отметить, что возможности включения задач международного математического конкурса «Кенгуру» в процесс обучения математике в школе весьма разнообразны. С задач конкурса можно начать урок или занятие, при этом урок может относиться к урокам открытия новых знаний, урокам закрепления и применения усвоенного материала, урокам формирования навыков применения знаний на практике или урокам обобщения и систематизации учебного материала. Учитель может использовать задачи конкурса в качестве заданий для самостоятельной работы, групповых заданий по определенным темам. Очень важно, чтобы методическая схема включения задач «Кенгуру» в урок была тщательно продумана учителем.
Рассмотрим решения некоторых задач, предлагаемых школьникам на занятиях математического кружка [14].
Задача 1. Назовем число интересным, если его сумма цифр - простое число. Вася заметил, что 2018 - интересное число. Найдите последнюю цифру следующего интересного числа.
(А) 9; (В) 0; (С) 1; р) 2; (Е) 3.
Решение.
Простое число - это натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя -единицу и самого себя.
Проверим, является ли сумма цифр числа 2018 простой: 2+0+1+8=11, да, является. Проверим следующее число - 2019;
сумма его цифр 2+0+1+9=12 - число не является простым. Продолжим и рассмотрим число 2020; сумма цифр 2+0+2+0=4 - число не является простым. Следующее число -2012; сумма его цифр равна 2+0+2+1=5 -число является простым. Следовательно, следующим интересным числом является 2021, его последняя цифра - 1.
Ответ: (С) 1.
Задача 2. Произведение двух положительных чисел в три раза больше одного из них и на 9 больше другого. Чему равно это произведение?
(А) 7; (Б) 11; (С) 12; (О) 15; (Е) 24.
Решение. Рассмотрим два положи-х ау. т-г х
Пусть в 3 раза Тогда возможно равенство . Разделим обе части равенства на
тельных числа ху
меньше
х > О,
получим 3 = у. Из второго условия
следует, что а так как из перво-
го условия у = 3, то х = 4. Произведение чисел: ху = 4-3 = 12. Ответ: (С) 12.
Задача 3. На отрезке КА длиной 8 см
КЕ = - КА
отметили точки Е, N, G так, что 4 ,
7
КМ =- КА 8
1
ЕО = - КА , 2 . В каком порядке
расположены точки?
(А) КОША; (Б) КЕОКА; (С)ККЕОА; (О) КЕ^А; (Е) К^ЕА.
Решение. По условию задачи отрезок
КА=8 см. Тогда КЕ = ~КА = 2 см. Отло-
4
жим
точку
Е
от
точки
К.
КМ = ~КА = 7 см. Отложим точку N от 8
точки К так, что ЕО = ~ КА = 4 см. От-
2
ложим точку G от точки Е.
Ответ: (Б) КЕОКА.
Задача 4. За круглым столом сидят 24 попугая - зеленые и синие. Синие попугаи всегда говорят правду, а зеленые всегда лгут. Десять попугаев сказали: «Мой сосед справа такого же цвета, как и я», а остальные сказали: «Мой сосед справа не такого цвета, как я». Сколько зеленых попугаев за столом?
(А) 8; (Б) 10; (С) 12; р) 14; (Е) 16.
Решение. Рассмотрим ситуацию относительно левого соседа. Если мы посмотрим на зелёного попугая, то сосед слева, если он синий, скажет: «Мой сосед справа не такого цвета, как я». А если сосед слева зелёный, то он скажет: «Мой сосед справа не такого цвета, как я». Следовательно, для зелёных попугаев справедлив ответ их соседа слева: «Мой сосед справа не такого цвета, как я». Таких ответов 24-10, то есть 14.
Проверим, не встречается ли эта фраза, если мы посмотрим на синего попугая. У него сосед слева, если он синий, скажет: «Мой сосед справа такого же цвета, как я». А если сосед слева зелёный, то он скажет: «Мой сосед справа такого же цвета, как я». Следовательно, для синих попугаев справедлив ответ их соседа слева: «Мой сосед справа такого же цвета, как я». Таких ответов насчитывается 10.
Следовательно, за столом 14 зеленых попугаев.
Ответ: (О) 14.
Школьники с интересом воспринимают такие задачи и с удовольствием их решают. Опыт организации математического кружка с учащимися 5-7 классов позволяет говорить о важности и полезности подобных задач.
* * *
1. Концепция поддержки одаренных детей. URL: http://www.menobr.ru/materials/164/30058/ (дата обращения: 09.09.2019).
2. Стратегии развития и воспитания в Российской Федерации на период до 2025 года. URL: http://static.government.ru/media/files/f5Z8H9tgUK5Y9qtJ0tEFnyHlBitwN4gB.pdf (дата обращения: 21.09.2019).
3. Распоряжение правительства Российской Федерации от 29 мая 2015 г. №996-р. URL: https://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/70957260/ (дата обращения: 09.11.2019).
4. Приказ Минобрнауки России от 24 февраля 2016 года №134 «Об утверждении Перечня подлежащих мониторингу сведений о развитии одаренных детей» (зарегистрировано в Минюсте России 21.04.2016 № 41894). URL: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_197195/ (дата обращения: 09.10.2019).
5. Федеральные государственные образовательные стандарты основного общего (среднего общего) образования. URL: https://fgos.ru/ (дата обращения: 09.11.2019).
6. Кенгуру : российская страница международного математического конкурса-игры «Кенгуру». URL: https://mathkang.ru/ (дата обращения: 10.09.2019).
7. Все задачи «Кенгуру» / ред. Т.А. Братусь [и др.]. СПб. : Левша, 2003. 146 с.
8. Кенгуру-2012 : сборник задач междунар. математического конкурса для школьников. Задачи. Решения. Итоги / сост. Т.А. Братусь [и др.]. СПб. : Левша, 2012. 80 с.
9. Математический клуб «Кенгуру». Вып. 8. Математика на клетчатой бумаге / сост. Е.А. Рисс. СПб. : Левша, 2003. 28 с.
10. Математический клуб «Кенгуру». Вып. 12. Книжка о дюймах, вершках и сантиметрах / сост. Н.А. Жарковская. СПб. : Левша, 2005. 28 с.
11. Математический клуб «Кенгуру». Вып. 22. Трисекция угла / сост. Д.В. Максимов. СПб. : Левша, 2014. 28 с.
12. Математический клуб «Кенгуру». Вып. 23. Флексагоны. Коллекция «Кенгуру» / сост.: Н.А. Жарковская, Д.В. Максимов. СПб. : Левша, 2016. 30 с.
13. Глядя на график : альманах / сост. Е.А. Рисс. СПб. : Девиз, 2015. 104 с.
14. Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике 2018 года / сост.: С. Берлов, К. Кохась, Д. Ростовский [и др.]. М. : МЦМНО, 2019. 160 с.
