CC BY
81Немировский Ю.В., д-р физ.- мат. наук, проф.,
Болтаев А.И., аспирант
Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН
ДИАГРАММЫ ДЕФОРМИРОВАНИЯ БЕТОНОВ И ЖЕЛЕЗОБЕТОНОВ*
Разработан подход, позволяющий, используя результаты экспериментальных исследований, с единых позиций построить диаграммы деформирования бетонов и железобетонов при температурных и силовых воздействиях. Учитываются такие важные свойства поведения материала под нагрузкой как: существенная разносопротивляемость при растяжении и сжатии, и нелинейный характер зависимости между напряжениями и деформациями. Проведенные расчёты показывают достаточно хорошее соответствие полученных диаграмм экспериментальным данным.
Ключевые слова: диаграммы деформирования, бетон, железобетон, температурные напряже-
ния, растяжение, сжатие.
Бетоны различной номенклатуры получают в результате объединения разнообразных технологических приёмов обработки, в основном, каменных пород: дробление, смешивание, введение различного рода добавок, химических вяжущих и т.д. Регулирование состава бетонной смеси, температурного режима твердения и во-доцементного отношения позволяет создавать разнообразные материалы с широким спектром свойств. При этом, в конечных изделиях сохраняются главные качества скальных пород [1, 2]: а) разносопротивляемость при растяжении и сжатии; б) нелинейный характер зависимости между напряжениями и деформациями; в) наличие зон трещиноватости при высоких уровнях нагрузок, вызывающие появление необратимых деформаций при разгрузке.
Зависимость деформаций материала от величины прикладываемой нагрузки (диаграмма о~£) является его основной (паспортной) характеристикой, получаемой непосредственно из экспериментов и впоследствии используемой при расчёте конструкций. Отсюда ясно, что главнейшая задача экспериментатора заключается в возможно более точном построении графика о~£. Многочисленные испытания образцов бетонов и железобетонов в условиях растяжения (+) и сжатия (-) имеют хотя и подобные, но существенно несовпадающие диаграммы ст~£. Точки максимума этих диаграмм £±, о± являются точками начала разрушения при растяжении (+) и сжатии (-). В реальных сооружениях материал может деформироваться одновременно и в условиях сжатия и в условиях растяжения (например, при изгибе стержневых конструкций). Поэтому создание математической модели его деформирования должно осуществляться на отрезке:
-£*" < £ < £*+ (1) где £± - предельно допустимые продольные деформации бетонов при растяжении (+) и сжатии (-).
Для выполнения уточнённых расчётов де-формативности железобетонных элементов требуются разработки моделей, учитывающих нелинейный характер деформирования как бетона, так и арматурной стали. Принимая во внимание существенно разный характер искривления диаграмм деформирования бетона при растяжении и сжатии, их обычно аппроксимируют существенно различными математическими зависимостями в зоне сжатия (2) и зоне растяжения (3).
-£." < £ < 0 (2) 0 < £ < £+ (3)
Например, в работах [3,4] для бетонов каждая из ветвей диаграмм деформирования о~£ считается состоящей из двух участков: кубическая парабола от нулевой точки графика до точки, соответствующей началу образования магистральных трещин, и гипербола от указанной точки, до точки наиболее удалённой от начала координат. В работе [5] в каждой из подобластей (2), (3) участки диаграммы деформирования бетона аппроксимируются однотипными квадратичными параболами с разными коэффициентами. Считается, что в этих коэффициентах находит отражение влияние всевозможного спектра свойств используемых скальных пород и технологических режимов изготовления бетона конкретной марки и что их значения могут быть определены при обработке, например, по методу наименьших квадратов большой партии стандартных образцов бетона изготовленных по однотипной технологии. Это требует проведения достаточно сложной, дорогой программы специальных испытаний и редко реализуется в полной мере. Чаще всего испытания ограничиваются подпрограммами при низких уровнях нагружений, для определения начального модуля упругости и при уровнях нагружений близких к предельному состоянию, для определения пределов прочности и предельно допустимых деформаций при растяжении и сжатии.
Следует также иметь в виду, что при реализации методов математического моделирования и построении расчётных схем, методик, алгоритмов и программного обеспечения, позволяющих решать конкретных задачи расчётов реальных конструкций, учёт большого количества разнообразных участков диаграммы деформирования приводит к весьма сложным уравнениям, которые либо допускают решение лишь сравнительно узкого класса задач [2], либо требуют введения дополнительных параметров, для определения которых необходимы специальные эксперименты [1]. Учитывая эти обстоятельства в работе [6] для всех марок бетонов во всей области допустимых деформаций (1) вводится единая аппроксимация диаграммы деформирования в виде кубической параболы. В результате на отрезке деформаций (1) будем иметь зависимость:
а = Ех£ + Е2£2 + Е3£3 (4)
ст Ек
о = — ,Ек = — ,(к = 1,2,3)
где ст0 - обезразмеривающий параметр напряжений (например, предел прочности некоторой марки бетона на сжатие).
При проведении большой экспериментальной программы испытаний коэффициенты Ек в выражении (4) могут быть определены с помощью стандартных процедур метода наименьших квадратов (МНК). На рис.1. сплошной линией показаны кривые деформирования бетона разных марок, полученные с помощью МНК, а точками экспериментальные данные из [7, 8]. Из рисунка видно, что кривые практически точно совпадают с экспериментальными значениями. Следовательно, аппроксимационная зависимость (4) способна достаточно хорошо описывать поведения бетона под нагрузкой на всей области деформирования (1).
Рис. 1. Аппроксимация диаграмм деформирования на основе МНК
(E2(£t)2 + £3(£ + )3 = СТ*+
При ограниченных испытаниях можно исходить из следующих соображений: поскольку коэффициент Et в (4) соответствует начальному модулю упругости, то его можно определить на основе стандартных испытаний определения модулей упругости соответствующих материалов. Если в результате программы предельных испытаний удалось определить параметры о*т и £±, то для определения коэффициентов Е2 и Е3 получим уравнения (5):
Е,
(Е2(£* ) — -Ёз(£* ) = —ст* + El£, . решение которых имеет вид:
Е? =
Е? =
(£i)2(03+(02(^)3 ' (£+)2(-ffr + £1£r)-(£D2(ff«+-gi£«+) (£i)2(£-)3 + (£-)2(£t+)3 '
(5)
(6)
Обработка многочисленных экспериментальных данных позволяет установить для бетонов некоторые корреляционные связи между начальным модулем упругости Е0 и величинами и е± [8...11]. Однако, учитывая влияние на величины £±,Е0 и свойств и вида компонентов бетонной смеси, структуры бетона, технологических параметров, возраста образцов и других факторов, следует отметить, что данные зависимости, являющиеся в основном функциями прочности бетона, носят частный характер и обеспечивают лишь приближённую их оценку. Так, например, в работе [9] для тяжёлых бетонов приводится линейная связь между £7 и о*-. Однако, графики испытания бетонов на сжатие полученные в [7] не согласуются с данной зависимостью. В другом исследование [11] автор на основе проведённых испытаний приходит к выводу о том, что невозможно составить точную единую формулу для определения деформации бетонов в функции только предела прочности. Тем не менее, данные корреляционные связи
позволяют, опираясь на наиболее известную и достоверную для бетонов характеристику о*- , вычислить все коэффициенты Ег, Е2 и Е3 необходимые для построения диаграммы деформирования.
Так, например, для тяжёлого бетона эти зависимости по данным [8.. .11] примут вид: £? = 5,35*105(стГ)0'5, Ё0 = 3,34*105(ст+)1/3, ст+=0,3(стГ)2/3, £Г=(0,ШГ+100)10-5 . ( )
Для проверки возможности получения достоверных диаграмм деформирования построим их, опираясь на соотношения (7) и формулы (6). Определённая корректировка коэффициентов в соотношениях (7) позволяет получить кривые, лежащие весьма близко к диаграммам, полученным экспериментальным путём [7, 8]. Данные кривые изображены на рис.2, точками показаны величины взятые из эксперимента, линиями - по уравнению (4). Максимальное отклонение по вертикаль полеченных кривых от экспериментальных данных составляет 0,07а*-.
о, МПа. 22 —» » •♦ М 250
1 7 М 200
1 2 12 ГМ 15 0
7 7
2 2
00 5 1, 01, 52,
-8 £*103
■Аналитическая
♦ Экспериментальная
0
0
Рис. 2. Аппроксимация диаграмм деформирования на основе зависимостей (6-7)
В таблице 1 приведены значения коэффициентов Ёк, а также значения о^т и £± для различных марок бетона, полученные по двум выше описанным способам. В методе 1 для нахождения коэффициентов Ек использовался МНК , а в методе 2 Ёк и а* , £± определялись с помощью корреляционных соотношений (7) и фор-
мул (6). Анализируя коэффициенты Ек , полученные по двум разным методам, можно заметить большое расхождение. Однако это не свидетельствует о плохом уровне аппроксимации, так как графики полученные с помощью данных коэффициентов лежат довольно близко друг к другу см. рис. 1, 2.
Таблица 1
Коэффициенты аппроксимации_
^~~~~^^^-Характеристики Марка бетона ^^^^^^ Ег 103МПа Е2 10бМПа Ез 109МПа 10"3 10"3 МПа а* МПа
М150 Метод 1 32,33 24,61 6,40 0,067 -1,125 1,65 -14,4
Метод 2 24,40 7,30 -2,58 0,071 1,18 1,78
М200 Метод 1 31,30 17,36 4,02 0,078 -1,375 2,17 -20,6
Метод 2 27,30 9,50 0,30 0,080 1,55 2,25
М250 Метод 1 31,76 13,02 1,74 0,088 -1,875 2,81 -25,2
Метод 2 29,30 8,33 -0,85 0,086 1,82 2,58
Следует ещё раз отметить, что метод 2 определения коэффициентов Ек является достаточно приближенным в связи со сложностью нахождения достоверных значений Ек и ст* , е± по о*-. В свою очередь метод 1 достаточно точно аппроксимирует диаграмму деформирования бетона и может быть с уверенностью использован в описание поведения материала под нагрузкой.
Для железобетона с коэффициентом армирования ^ в продольном направление, безразмерное напряжение ст может быть представлено в форме (8).
ст = + (1 -я)аб. (8)
где ста и од - соответственно безразмерные напряжения в арматуре и бетонных прослойках. В общем случае арматура, как и бетон, может обладать свойством раносопротивляемости [12, 13] и в диапазоне деформаций (1) ввиду совместной работы имеет одинаковые деформации
Стб = Е1(е - адТ) + _ Т Т = т~0'
£. Поэтому для ста можно получить представление в форме:
ста = Э1£ + 02£2 +£>3£3. (9)
Для одинаково сопротивляющихся материалов будем иметь И2 = 0. Тогда для железобетона в диапазоне деформаций (1) будем иметь:
а = ЕХ£ + Е2£2 + Еъ£ъ. (10)
^ = + (1 - ¿)Ек, (к = 1,2,3). Наряду с механическими воздействиями бетонные и железобетонные элементы могут подвергаться нагреву или охлаждению температурой некоторого уровня Т (безразмерная). При относительно низком уровне Т все базовые характеристики материалов будут при изменении Т сохранять постоянные значения (Е1,Е2,Ез,01,02,0з,£*,£? - константы), а зависимости между напряжениями и деформациями будут иметь вид для бетона:
и для арматуры:
Ста = Dt(£ - «аЛ + D2
«а =
Е2(£ - адТ)2 + £30 - адТУ.
аб = ВД.
(£-ааТ)2 +Д3(£-«а^)3. = «а^О.
(11)
(12)
(14)
здесь аб, аа - коэффициенты линейного расши- деформацией £ и температурой Т для железобе-рения бетона и арматуры, Т0 - обезразмериваю- тона:
щий параметр. Подставляя (11) и (12) в равен- ст = Р0 + Р1£ + Р2£2 + Р3£3. (13)
ство (8) получим связь между напряжением ст,
ГР0 = -Т^аа + (1 - + Т2(^Э2а^ + (1 - р)Е2а%) + + (1 -
= ^ + (1 - ^)Е1 - 2Т(^02аа + (1 - у)Е2аб) + 3Г2(^Д3а| + (1 - р)Е2а1), Р2 = + (1 - ^)Е2 - 3Г(^Д3аа + (1 - м)^з«б), 1Р3 = ^з + (1-М)^З.
При повышении величины температурных воздействий начиная с определённого уровня (уровня термочувствительности) в бетоне происходят существенные структурные изменения вследствие разницы температурного деформирования цементного камня и наполнителей, нарастания процессов дегидратации, увеличение трещиноватости на границах фазовых материа-
лов. Всё это требует разработки специальных программ испытаний для установления закономерностей термомеханического деформирования за пределами термочувствительности [14, 15].
Поскольку нам не удалось найти в литературе данных испытания материалов за пределом термочувствительности, то здесь мы ограничим-
ся соотношениями (11-14), относящимися к диапазону температур не выходящих за уровень термочувствительности.
Выводы. В данной работе разработан подход позволяющий, используя результаты экспериментальных исследований, с единых позиций построить диаграммы деформирования бетонов и железобетонов при температурных и силовых воздействиях. Проведенные расчёты показывают достаточно хорошее соответствие полученных диаграмм экспериментальным данным.
*Работа выполнена в рамках гранта РФФИ № 14-01-00102.
БИБИЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Драгон А., Мруз З. Континуальная модель пластического поведения скальных пород и бетона // Механика деформируемых твёрдых тел: Направления развития. Мир, 1983. С. 163-168.
2. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона. М.: Стройиздат, 1974. 316 с.
3. Бенин А.В., Тананайко, О.Д. Нелинейное деформирование и трещинообразование массивной железобетонной конструкции / Роль механики в создании эффективных материалов конструкций и машин XXI века: Труды Всероссийской научно-технической конференции. Омск: СибАДИ, 2006. С. 88-92.
4. Бенин А.В., Елизаров С.В., Тананайко О.Д. Численное сопоставление различных моделей для описания нелинейного поведения бетона при плоском напряжённом состоянии // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов: труды XIX Международная конференция. СПб.: Дом Учёных, 2002. С. 76-81.
5. Мищенко А.В., Немировский Ю.В. Нелинейное деформирование бетонных элементов при продольно-поперечном изгибе // Известия вузов. Строительство. 2013. №4. С. 3-12.
6. Немировский Ю.В. Метод расчёта композитных стержневых систем из разномодуль-ных материалов // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Материалы V Всероссийской научной конференции. Томск: Изд-во ТГУ, 2006. С. 288-290.
7. Исследование мостовых и тоннельных конструкций. Сборник статей / Под ред. действ. чл. Акад. строительства и архитектуры СССР проф. Г.К. Евграфова. М.: Трансжелдориздат,
1960. 192 с.
8. Ящук В.Е., Курган П.Г. О связи напряжения-деформации растянутого бетона // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1981. №12. С. 12-17.
9. Михайлов В. В., Емельянов М. П., Дудо-ладов Л. С., Митасов В.М. Некоторые предложения по описанию диаграммы деформаций бетона при загружении // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1984. №2. С. 23-27.
10. Безгодов И. М. О соотношениях прочностных и деформативных характеристик бетона при сжатии, растяжении и растяжении при изгибе // Бетон и железобетон. 2012. №2. С. 2-5.
11. Цискрели Г.Д. Сопротивление растяжению неармированных и армированных бетонов. М.: Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1954. 152 с.
12. Расчёт конструкций, работающих в упруго - пластической стадии. Сборник статей // Под ред. А.В. Геммерлинга. М.: Госстройиздат,
1961. 335 с.
13. Пространственные конструкции в Красноярском крае. Сборник статей // Под ред. Н. П. Абовского. Красноярск, 1985. 191 с.
14. Олимпиев В.Г., Зенков Н.П. Исследование прочностных, деформативных свойств тяжёлого силикат бетона при воздействие высоких температур // Огнестойкость строительных конструкций, вып. 3. М.: ВНИИПО, 1975.
15. Милованов А.Ф. Расчёт жаростойкости железобетонных конструкций. М.: Стройиздат, 1975. 232 с.
Nemirovsky Yu. V., Boltaev A.I.
STRAIN DIAGRAMS OF CONCRETE AND REINFORCED CONCRETE
The approach allows using the results of experimental studies, with one voice to build a stress-strain diagram of concrete and reinforced concrete under the temperature and power effects. Taking into account such important properties of the material behavior under load as a significantly different resistance in tension and compression and non-linear nature of the relationship between stress and strain. Conducted calculations show fairly good agreement with experimental data obtained diagrams.
Key words: strain diagram, concrete, reinforced concrete, thermal stress, tension, compression.
