CC BY
33
Чепасов В.И.
Заведующий кафедрой информационных систем и технологий, доктор технических наук, профессор,
Харченко Д.А.
Аспирант кафедры информационных систем и технологий,
Черкасова О.Ю.
Ассистент кафедры информационных систем и технологий
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В РАСЧЕТЕ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СХЕМ
В статье показано использование корреляционного, факторного, регрессионного анализов для определения полиномиальных моделей параметров электрических схем. Сделано сравнение экстремальных значений мощности в случае детерминированного и статистического подхода.
Рассмотрим следующую элементарную электрическую схему:
Ян
Я
К-ВН
Е - ЭДС источника, В - внутреннее сопротивление источника, Ом ¿н - сопротивление нагрузки, Ом Рисунок 1.
Мощность на нагрузке будет определяться [1]: Е
Рн = (■
-)2*Ян
(1)
Будем изменять параметры схемы Е, Явн Ян в небольших задаваемых пределах ДЕ, ДЯвн ДЯн от задаваемых исходных значений параметров Е, Я Я .
о вно, но
Считая Е , Я Я средними значения_ ____ ___о вно, но ^
ми е, Я вн , Я н , а ДЕ, ДЯвн АЯн - средними квадратическими отклонениями стЕ, ^Явн,^Ян, построим по этим статистическим характеристикам нормализованную матрицу исследования, в которой параметрами-столбиками будут параметры схемы Е, Ян, Явн и две мощности:
2
1) точная Рт =
Е
Ян в реализации;
2) случайная Рсл, значения которой будут определяться по среднему значению мощности
/ — \2
Р=
Е
*
Ян и по среднему квадрати-
ческому отклонению:
о р = АР = 2 •
Е
:Ян•АЕ +
Е2* (вн - Я
2*Е2 *Ян *АЯвн (н + Я вн ^
(2)
Здесь в(2)
АЕ=сте, АЯ =ар , А Я =стЯ .
Е н Ян7 вн Явн
Строчки-наблюдения в матрице исследования - это соответствующие генерации значений параметров-столбиков Е, Ян Явн Рт, РСЛ.
В таблице 1 точное значение мощности РТ1 определяется:
рт =
Е
2
*Я
ні
(3)
Случайное значение мощности РСЛ1 определяется по Р и по стр при генерации.
Значения в параметрах-столбиках 1, 2, 3, 5 имеют нормальное распределение:
1) параметр Е с математическим ожиданием Е и средним квадратическим отклонением
аЕ=АЕ;
2) параметр Ян с математическим ожиданием Я Н и средним квадратическим отклонением = АЯ ;
Ян н
3) параметр Явн с математическим ожиданием Я вн и средним квадратическим отклонением = А Я ;
Явн вн
5) параметр РСЛ с математическим ожиданием Р и средним квадратическим отклонением стр (формула 2).
В четвертом столбике параметр Рт может иметь распределения, отличающиеся от нормального.
Таблица 1. Матрица исследования
наблюдение 1 2 3 4 5
Е Ян ЯЕН Рт Рсл
1 Еі Ян1 Явні Рті Рслі
2 Е2 Ян2 К-вн2 РТ2 Р СЛ2
п Еп Янп Явнп Ртп РСЛп
*
Для практического исследования были взяты следующие параметры распределений:
- для Е Е = 5, АЕ = 0,1;
- для Ян Ян = 2, АЯн = 0,1;
- для Явн КВН = 1, А Явн= 0,1.
По этим данным определялись для генерации Р и стр (формула 2).
Для определения парных обусловленностей на матрице исследования был проведен корреляционный анализ [2].
Результаты корреляционного анализа:
параметр 1 - (Е - ЭДС источника)
1,00 0,04 0,12 0,42 0,03
Рті =
Наиболее сильная корреляция:
(РТ - мощность
Е V
*Яні в каждой реализации)
с параметром
2
коффициент корреляции = 0,422
параметр 2 - (Я - сопротивление нагрузки (Ом))
0,04 1,00 0,08 - 0,26 0,03
Нет сильных корреляций.
параметр 3 - (Явн - внутреннее сопротивление источника (Ом))
0,12 0,08 1,00 -0,82 -0,10
Рті =
Наиболее сильная корреляция: с параметром - (РТ - мощность
2Т *1
Еі
чЯні + Явні у
Яні в каждой реализации)
коффициент корреляции = - 0,822
параметр 4 - (РТ - мощность
Рті =
Е
2
чЯні + Явні у
ні в каждой реализации)
0,42 -0,26 -0,82 1,00 0,10
Наиболее сильная корреляция: с параметром - (Е - ЭДС источника) коффициент корреляции = 0,422 с параметром - (Явн - внутреннее сопротивление источника (Ом)) коффициент корреляции= - 0,822
параметр 5 - (РСЛ - распределенная по нормальному закону мощность)
0,03 0,03 -0,10 0,10 1,00
Нет сильных корреляций.
Для определения групповых обусловленностей был проведен факторный анализ [4, 5]. Результаты факторного анализа:
Таблица 2. Сумма квадратов нагрузок по факторам
номер фактора Сумма квадратов нагрузок
1 1,795
2 1,175
3 1,001
4 1,027
Таблица 3. Объединение по фактору 2.
номер название параметра нагрузка
1 (Е - ЭДС источника) 0,9983
Таблица 4. Объединение по фактору 4
номер название параметра нагрузка
2 (Ян - сопротивление нагрузки (Ом)) 0,9957
Таблица 5. Объединение по фактору 1.
номер название параметра нагрузка
3 (Явн - внутреннее сопротивление источника (Ом)) 0,9836
4 (Рт - мощность, Рт, =1—Е— *кн,) ^ Я*+ Я вн.0 -0,9024
Таблица 6. Объединение по фактору 3
номер название параметра нагрузка
5 (Рсл - распределенная по нормальному закону мощность) 0,9981
С целью определения количественных обусловленностей Рт и РСЛ ступенчатым регрессионным методом Брандона были построены полиномиальные модели для них и по этим моделям определены вклады, оценки количественной обусловленности [3].
Модель Рт - мощность,
/ ^ \2
Рті =
Еі
чЯні + Явні у
ні в каждой реализации: Рт = - 4,278735 - 0,3739672*х1+ 0,2488057*
*х1*х1+8,923355-3,430732*х3
* - умножение
Таблица 7. Вклады параметров-аргументов в модели Рт
Номер Название параметра Вклад в модель
1 (Е - ЭДС источника) 0,0288
2 (Rb - сопротивление нагрузки (Ом)) 0,0000
3 (Rhb - внутреннее сопротивление источника (Ом)) 0,9712
Таблица 8. Характеристики модели Рт
Характеристики модели Значения
Коэффициент детерминации 0,97
Средняя абсолютная ошибка 0,07
Средняя ошибка в процентах 1,24
Модель Рсл - распределенная по нормальному закону мощность
Рсл =-2919,007+1771,204*x1-358,0916*x1*x1+ +24,12168*x1*x1*x1+112,3791-160,4532* *x2+75,88009*x2*x2-11,87551*x2*x2*x2+ +13,50826-24,86397*x3+25,90298*x3*x3-9,002192*x3*x3*x3 *-умножение
Таблица 9. Вклады параметров-аргументов в модели Рсл
Номер Название параметра Вклад в модель
1 (Е - ЭДС источника) 0,0078
2 (Ян - сопротивление нагрузки (Ом)) 0,0091
3 (Явн - внутреннее сопротивление источника (Ом)) 0,9830
Таблица 10. Характеристики модели Рсл
Характеристики модели Значения
Коэффициент детерминации 0,43
Средняя абсолютная ошибка 0,16
Средняя ошибка в процентах 2,85
По построенным моделям для РТ и РСЛ находились максимальные и минимальные значения этих параметров для соответствующих областей генерации Е, Ян Явн.
Сравнительная таблица экстремальных мощностей:
Таблица 11. Экстремальные мощности
MAX , MIN мощности Е Ян Явн
Модельная Ртшах=6,72 5,22 2,22 0,8
Модельная Ртшіп=4,48 4,75 2,22 1,17
Модельная Р СЛшах=6,12 5,22 1,75 0,80
Модельная Рслшіп=5,32 5,05 1,95 1,17
Точная Pmax=7,32 5,22 1,75 0,80
Точная Pmin=4,36 4,75 2,22 1,17
Согласно локализации экстремальных значений мощностей (таблица 11 - экстремальные мощности) значения Е, Я Я в точках макси-
^ ’ н, вн
мума и минимума Рт, РСЛ, точного Р незначительно отличаются друг от друга.
Отличия значений самих мощностей не превышают допустимых границ, определяемых математической статистикой.
То есть при условии небольших изменений параметров схемы можно использовать следующую методику определения количественных обусловленностей параметров схемы и оптимизации этих параметров:
1. Задаем средние значения и средние квадратические отклонения каждого из параметров схемы.
2. Строим нормализованную матрицу исследования.
3. Корреляционным анализом определяем качественные парные обусловленности.
4. Факторным анализом определяем групповые качественные обусловленности.
5. На связанных параметрах строим методом Брандона полиномиальные модели.
6. Определяем по построенным моделям вклады параметров-аргументов, количественную оценку обусловленностей.
7. На базе моделей находим максимальные и минимальные значения параметров на определенном пространстве аргументов.
Очевидно, эта методика будет достаточно эффективна для больших схем, для которых получение функциональных зависимостей параметров является практически невозможным.
Список использованной литературы:
1. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. - М.: Высшая школа, 1981. - с илл.
2. Бендат Д.Ж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. - М.: Мир, 1974.
3. Brandon D.B. Developing Mathematical Models for Computer Control, USA Journal, 1959, V.S,N7.
4. Харман Г. Современный факторный анализ. - М.: Сатистика, 1972.
5. Иберла К. Факторный анализ. - М.: Статистика, 1980.
