CC BY
28
Чепасов В.И., Харченко Д.А., Черкасова О.Ю.
Оренбургский государственный университет
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В РАСЧЕТЕ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СХЕМ
В статье показано использование корреляционного, факторного, регрессионного анализов для определения полиномиальных моделей параметров электрических схем. Сделано сравнение экстремальных значений мощности в случае детерминированного и статистического подхода.
Рассмотрим элементарную электрическую схему (рис. 1).
Мощность на нагрузке будет определяться
[1]:
Ян + ЯЛ
-)2 • Я
н
(1)
Будем изменять параметры схемы Е, Явн , Ян в небольших задаваемых пределах ДЕ, ДЯвн , ДЯ от задаваемых исходных значений параметров Е , Я , Я .
* о7 вно 7 но
Считая Е , Я , Я средними значениями
__ ___ ___ о’ вно ’ но *
Е, Явя , Ян , а ДЕ, ДЯвн , ДЯн - средними квадратическими отклонениями оЕ, оквн, оЯн , построим по этим статистическим характеристикам нормализованную матрицу исследования, в которой параметрами-столбиками будут параметры схемы Е, Я , Я и две мощности:
1)точная Рт =
\2
у Ян + ЯДЯ у
• Ян в реали-
зации
2) случайная Р , значения которой будут определяться по среднему значению мощности
Р =
\2
Ян + Ядя
• Ян и по среднему квадрати-
ческому отклонению
Рисунок 1.
Е - ЭДС источника, В Явн - внутреннее сопротивление источника, Ом Ян - сопротивление нагрузки, Ом
О р = АР =
(Ян + Ядя ]2
• Ян•АЕ +
' (Ядя ~ Ян]*
2 * Е2 * Ян * АЯдя
(Ян + Ядя
(2)
Здесь в (2)
АЕ = о Е, АЯн = О я,
н , АЯВН = О Явн
Строчки-наблюдения в матрице исследования - это соответствующие генерации значений параметров-столбиков Е, Ян , Явн , Рт, РСЛ:
В таблице 1 точное значение мощности Рт определяется:
РГг =
2
у Янг + ЯДЯг у
• Ян
(3)
Случайное значение мощности определяется по р и по о^ при генерации.
Значения в параметрах-столбиках 1,2,3,5 имеют нормальное распределение:
1) параметр Е с математическим ожиданием Е и средним квадратическим отклонением о Е = ДЕ ;
2) параметр Ян с математическим ожиданием Ян и средним квадратическим отклонением о яя = ДЯя;
3) параметр Явн с математическим ожиданием Ядя и средним квадратическим отклонением о„ = ДЯ ;
Явн вн7
Таблица 1. Матрица исследования
Наблюдение 1 2 3 4 5
Е Ян Явн Рт рсл
1 Еі Ян1 Явн1 РТ1 РСЛ1
2 Е2 Ян2 Явн2 РТ2 РСЛ2
п Еп Янп Явнп Р т п РСЛп
+
5) параметр Рст с математическим ожиданием р и средним квадратическим отклонением о^ (формула 2).
В четвертом столбике параметр Рт может иметь распределения, отличающиеся от нормального.
Для практического исследования были взяты следующие параметры распределений:
- для Е Е =5, Д-Е'=0,1;
- для Ян Ян =2, ДЯн =0,1;
Я
ДЯ
=1, АЯ =0,1.
По этим данным определялись для генерации р и о^ (формула 2).
Для определения парных обусловленностей на матрице исследования был проведен корреляционный анализ [2].
Результаты корреляционного анализа:
параметр 1-(Е-эдс источника)
1,00 0,04 0,12 0,42
Наиболее сильная корреляция:
с параметром-(Е-эдс источника) коффици-ент корреляции= 0,422
с параметром-(Явн -внутреннее сопротивление источника(ом)) коффициент корреляции = -0,822
параметр 5-(РСЛ -распределенная по нормальному закону мощность)
0,03 0,03 -0,10 0,10 1,00
Нет сильных корреляций
Для определения групповых обусловленностей был проведен факторный анализ [4,5].
Результаты факторного анализа (табл. 2 - 6)
0,03
Наиболее сильная корреляция: с параметром - (Рт-мощность
РГг =
2
Янг + ЯДЯг
• Яні в каждой реализации)
коффициент корреляции= 0,422
параметр 2-(Я -сопротивление нагрузки(ом))
0,04 1,00 0,08 -0,26 0,03
Нет сильных корреляций.
параметр 3-(Явн-внутреннее сопротивление ис-точника(ом))
0,12 0,08 1,00 -0,82 -0,10
Таблица 2. Сумма квадратов нагрузок по факторам
Номер фактора Сумма квадратов нагрузок
1 1,795
2 1,175
3 1,001
4 1,027
Таблица 3. Объединение по фактору 2
Номер Название параметра Нагрузка
1 (Е - эдс источника) 0,9983
Таблица 4. Объединение по фактору 4
Номер Название параметра Нагрузка
2 (Ян - сопротивление нагрузки (ом)) 0,9957
Наиболее сильная корреляция: с параметром - (РТ-мощность
РГг =
2
Янг + ЯДЯг
• Яні в каждой реализации)
коффициент корреляции= -0,822 параметр 4-(РТ-мощность
РГг =
2
Янг + ЯДЯг
• Яні в каждой реализации)
0,42
-0,26 -0,82 1,00
0,10
Таблица 5. Объединение по фактору 1
Номер Название параметра Нагрузка
3 (Явн - внутреннее сопротивление источника (ом)) 0,9836
4 (Рт - мощность, Ртг =( Е ] • ЯнР ^ Ян; + ядяі 0 -0,9024
Таблица 6. Объединение по фактору 3
Номер Название параметра Нагрузка
5 (Рсл - распределенная по нормальному закону мощность) 0,9981
С целью определения количественных обусловленностей Рт и РСЛ ступенчатым регрессионным методом Брандона были построены полиномиальные модели для них и по этим моделям определены вклады, оценки количественной обусловленности [3].
Модель PT -мощность , Pr =
в каждой реализации
2
RHi + RB
■ R
Hi-
Таблица 7. Вклады параметров-аргументов в модели PT
Номер Название параметра Вклад в модель
1 (Е - эдс источника) 0,0288
2 (Ян - сопротивление нагрузки (Ом)) 0,0000
3 (Квн - внутреннее сопротивление источника (ом)) 0,9712
PT =-4,278735-0,3739672*x1+ 0,2488057*x1*x1+8,923355-3,430732*x3
*-умножение
Таблица 8. Характеристики модели PT
Модель P закону мощность
сл распределенная по нормальному
PcJI =-2919,007+1771,204*x1--358,0916*x1*x1+24,12168*x1*x1*x1+ +112,3791-160,4532*x2+75,88009*x2*x2--11,87551*x2*x2*x2+13,50826--24,86397*x3+25,90298*x3*x3--9,002192*x3*x3*x3 *-умножение
Характеристики модели Значения
Коэффициент детерминации 0,97
Средняя абсолютная ошибка 0,07
Средняя ошибка в процентах 1,24
Таблица 9. Вклады параметров-аргументов в модели Pcm
По построенным моделям для Рт и РСЛ находились максимальные и минимальные значения этих параметров для соответствующих областей генерации Е, Ян , Явн.
Сравнительная таблица экстремальных мощностей в табл. 11.
Согласно локализации экстремальных значений мощностей (таблица 11 - экстремальные мощности) значения Е, Ян , Явн в точках максимума и минимума Рт, РСЛ ,точного Р незначительно отличаются друг от друга.
Отличия значений самих мощностей не превышают допустимых границ, определяемых математической статистикой.
То есть, при условии небольших изменений параметров схемы можно использовать следующую методику определения количественных обусловленностей параметров схемы и оптимизации этих параметров:
1. Задаем средние значения и средние квадратические отклонения каждого из параметров схемы.
2. Строим нормализованную матрицу исследования.
3. Корреляционным анализом определяем качественные парные обусловленности.
Номер Название параметра Вклад в модель
1 (Е - эдс источника) 0,0078
2 (Ян - сопротивление нагрузки (ом)) 0,0091
3 (Явн - внутреннее сопротивление источника (ом)) 0,9830
Таблица 10. Характеристики модели Pcjl
Характеристики модели Значения
Коэффициент детерминации 0,43
Средняя абсолютная ошибка 0,16
Средняя ошибка в процентах 2,85
Таблица 11. Экстремальные мощности
MAX, MIN мощности Е Ян Явн
Модельная PTlnaX=6,72 5,22 2,22 G,8
Модельная PT,nm=4,48 4,75 2,22 1,17
Модельная P СЛшах=6,12 5,22 1,75 G,8G
Модельная Pc^^S^ 5,G5 1,95 1,17
точная Ршах=7,32 5,22 1,75 G,8G
точная Ршіп=4,36 4,75 2,22 1,17
4. Факторным анализом определяем групповые качественные обусловленности.
5. На связанных параметрах строим методом Брандона полиномиальные модели.
6. Определяем по построенным моделям вклады параметров-аргументов, количественную оценку обусловленностей.
Список использованной литературы:
7. На базе моделей находим максимальные и минимальные значения параметров на определенном пространстве аргументов.
Очевидно, эта методика будет достаточно эффективна для больших схем, для которых получение функциональных зависимостей параметров является практически невозможным.
1. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. - М.: Высшая школа, 1981. - с илл.
2. Бендат Д. Ж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. - М.: Мир, 1974.
3. Brandon D. B. Developing Mathematical Models for Computer Control, USA Journal, 1959, V.S,N7.
4. Харман Г. Современный факторный анализ.-М.:Сатистика, 1972.
5. Иберла К. Факторный анализ.-М.:Статистика, 1980.
