CC BY
60
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫ
УДК 681.326
DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-10-783-791
ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ
С ОГРАНИЧЕНИЯМИ МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В. И. Сеньченков, В. М. Моторин, П. А. Грушковский
Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, 197198, Санкт-Петербург, Россия
E-mail: [email protected]
Рассматриваются особенности применения метода динамического программирования при построении оптимальных алгоритмов диагностирования систем со всеми видами ограничений. Приводится пример построения алгоритма, оптимального по критерию максимума средней вероятности получения правильного решения о техническом состоянии системы. Особое внимание обращается на формирование и проверку ограничений в промежуточных фазовых состояниях.
Ключевые слова: алгоритм, диагностирование, динамическое программирование, критерий, ограничения, оптимизация, проверка, техническое состояние.
Введение. Для построения алгоритма диагностирования системы, оптимального по некоторому заранее заданному критерию, необходимы следующие исходные данные: — множество изображений (формальных представлений)
e={Ei | i=0m} (i)
всех видов технического состояния системы, полученных в результате обучения [1], где
T
Ег = (eii, e,2, ..., егj, ..., ein) ; (2)
распределение вероятностей
Р ={ДЕг)| I = 0,т }; (3)
— множество проверок
п={Щ | -=тт}, (4)
на котором заданные виды технического состояния наблюдаемы (изображения Ег попарно различимы между собой), т.е. выполняется условие
V Ег, Еf е Е, г Ф/3 щ е П, вг, Ф е/7; (5)
— множества
А = {а,- | - = ТП}, В = {р, | - = ТП}, (6)
где а,- и Р- — вероятности ошибок Т-го и 2-го рода соответственно проверки
— множества
Т = ^(щ) | - = М}, С = {с(щ) | - = }, (7)
где t(%j), с(щ) — временные и трудовые затраты соответственно для выполнения проверки
На основе исходных данных (Т)—(7) в работе [2] сформулирована задача построения алгоритма, оптимального по критерию максимума средней вероятности получения правильного решения о техническом состоянии системы с учетом всех видов ограничений ([2],
выражения (22)). В исходных данных (1)—(7) и далее значения индексов г и/ используются так же, как и в [2].
Оптимизация процесса диагностирования с ограничениями методом динамического программирования. Диагностирование обладает свойствами марковского процесса [3], так как его перевод из любого состояния в другое полностью определяется предыдущим состоянием и выбранной в нем проверкой. Данный процесс может быть представлен как композиция относительно самостоятельных подпроцессов (Як-подалгоритмов), которые начинаются с промежуточных фазовых состояний Як. Фазовое состояние Яке Е имеет место при выполнении некоторого подмножества проверок из множества (4).
Оптимизация таких процессов производится различными методами дискретного программирования. Наиболее общим методом оптимизации процесса, обладающего свойствами марковского и допускающего декомпозицию, является динамическое программирование [4]. Но применение этого метода возможно в том случае, когда не только целевую функцию, но и ограничения (выражения (22), работа [2]) удается преобразовать к виду, пригодному для оценивания эффективности Як-подалгоритма диагностирования. Ввиду того что такие подалго-ритмы рассматриваются как самостоятельные, критерий их оптимальности предлагается сформировать, адаптировав указанные выше выражения к структуре Як-подалгоритма:
Г \
ЕО(/?£ ) = тах
ре т[ А(Пк)]
Е Рк (Е)
г: Еге/?к
П Ун (я у)
Vя 1 еПгк )
(8)
р
Пк = {я,- | я,- е П, V Ег е Як, V Ег е Як \{Ег}, ег - * — (9)
Е ¿1ткегяу = |^к|-1; (10)
я 1е Пгк
Мг - Е Рк (Е) Е 1 (я-) * 0; Мс - Е Рк (Е) Е с(я-) * 0. (11)
V: Ег^/?к я }еПгк г:: Еге^к я 1е Пгк
Выражение (8) задает условие максимума целевой функции, т.е. средней вероятности ЕО(Як) получения правильного решения о техническом состоянии системы при реализации Як-подалгоритма; Пк — множество проверок в подалгоритме; Пгк — множество проверок в г-й ветви подалгоритма; А(Пк) — алгебра подмножеств проверок на множестве Пк; т[А(Пк)] — множество перестановок на элементах алгебры А(Пк); угу (я -)— величины, которые определяются на основе решающих правил [5] и вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода проверок тс,-; Рк(Ег) — вероятность возникновения г-го вида технического состояния системы, уточненная по результатам предыдущих проверок, с помощью которых реализован переход от начального фазового состояния Е к рассматриваемому Як:
Рк(Е' > = ЕР(Р(Е/) • ^ (12)
Е/ е/?к
Выражениями (9)—(11) задаются ограничения. Соотношение (9) указывает, что каждое подмножество Пгк содержит проверки я-, на которых изображения в г-й ветви Як-подал-горитма попарно различимы между собой. Выражением (10) задается правило остановки процесса диагностирования из состояния Як, где |^к | — мощность индексного множества изображений в данном фазовом состоянии; &ткег я - — размерность ядра отображения [6],
реализующего переход процесса диагностирования с помощью проверки п,- из предыдущего фазового состояния в последующие. Конечное фазовое состояние Яг = {Ег} представляет идентифицированный вид технического состояния системы.
Выражениями (11) определяются ограничения на средние затраты временных и трудовых ресурсов для выполнения проверок по определению /-го вида технического состояния, принадлежащего фазовому Затраты не должны превышать максимально допустимых величин М1 и Мс соответственно.
Сформулированная оптимизационная задача позволяет в любом из фазовых состояний выбрать наиболее эффективную проверку по заданному критерию. Такая возможность вытекает из принципа оптимальности Беллмана [7], согласно которому проверка, выбираемая в конкретном фазовом состоянии, должна быть оптимальной вне зависимости от того, каковы были предшествующее фазовое состояние и выбранная в нем проверка.
Процесс выбора проверок начинается с рассмотрения фазовых состояний, содержащих по два элемента. Очередная проверка находится из условия обеспечения максимального значения целевой функции при выполнении заданных ограничений, т.е. решается задача (8)—(11). В фазовых состояниях, включающих три элемента, к уже найденной проверке добавляется новая, которая также выбирается на основе решения задачи (8)—(11). В таком порядке процесс выбора проверок продолжается до начального фазового состояния. В каждом фазовом состоянии возможен выбор только из множества Пк попарно различимых между собой проверок:
П = (л-1 еП, 3 Е/ ,Е г е Щ :в- * в- }. (13)
В процессе обратного прохождения от начального фазового состояния = Е к конечным непосредственно формируется алгоритм диагностирования из оптимальных проверок. Значения средней вероятности и средней продолжительности получения решения о техническом состоянии системы, а также среднее значение затрат трудовых ресурсов в соответствии с построенным алгоритмом определяются по формулам [5]: ( \
ED = £ P(Ei)
i=0
П у и(n j)
; ET = ^ P(E,) £ t(n}); EC = £ P(E,) £ c(nj). (14)
i=0 я ;еП j i=0 я ;еПг-
Алгоритм диагностирования может быть представлен ориентированным древовидным графом. Вершинам граф-дерева соответствуют фазовые состояния Ri, Rk, а дугам — исходы проверок п е П,, причем начальное состояние Rk =E обозначается корневой вершиной, промежуточные вершины обозначают промежуточные состояния Rk е E, а висячие вершины — конечные Ri, i = 0,m . Путь от E к Ri является i-й ветвью алгоритма. Подмножество П е П включает проверки, входящие в i-ю ветвь алгоритма, а условие (10) — это последовательность переходов по i-й ветви от состояния Rk к конечному.
Средняя вероятность получения правильного решения о техническом состоянии системы при реализации Rk-подалгоритма, который начинается с проверки nj, определяется выражением [8]
Dk(nj) = £ Pk(Е,)Рк{ъ /R*(nj)), (15)
i:E teRk
где Pk ^Ri / R* (nj)) — вероятность правильного определения i-го вида технического состояния системы по i-й ветви Rk-подалгоритма, начинающегося с проверки щ. Условие выбора оптимальных проверок может быть представлено как
Dk (nj ) = max Dk (ns ) (16)
nsenk
при выполнении ограничений (9)—(11).
Условные вероятности Pk / R* (nj)) в выражении (15) определяются по формуле Байеса [9]:
Рк{{ //^*(к.) )
р (Ъ) гк {/<(к. )//?г)
г: Е,е Як.
(17)
X Р(Я/)Рк {¿¡(К!)/Я/)
/ :Е /
Обратные условные вероятности Рк {/?г- (к.)//?/) в выражении (17) характеризуют вероятность получения ошибочных решений при диагностировании, когда по результатам проверок п. е Пг£ вместо /-го вида технического состояния, в котором находится система, фиксируется /-й вид. Данные вероятности представляются как произведения
Рк {{.)/*/ )= П У/ (Ку). (18)
К ;еЦк
Пример. Построить алгоритм диагностирования системы, оптимальный по критерию максимума средней вероятности получения правильного решения о техническом состоянии. Функциональная схема системы представлена на рис. 1. Доступны проверки п1—п6 каждого из блоков 1—6 соответственно. Каждая проверка имеет два возможных исхода:
1 2 к .■, если е. > 0 (положительный); п .■, если е. < 0 (отрицательный).
Рис. 1
Исходные данные (1)—(7) сведены в табл. 1, здесь Е0 и Е1,_,Е6 — соответственно работоспособное и неработоспособные технические состояния, соответствующие отказам блоков 1—6. Максимально допустимый расход ресурсов: М = 8, Мс = 11.
Таблица 1
Е Проверка п. Р(Ег)
П1 П2 Пз П4 П5 П6
Ео 1 1 0,94 1 0,97 1 0,619
Е, -0,98 -0,89 -1 -0,97 -1 -0,94 0,039
Е2 0,86 -0,95 0,87 -0,96 0,92 0,85 0,054
Е3 0,84 0,87 -0,91 -0,92 0,96 0,90 0,109
Е4 1 0,91 0,99 -0,94 0,87 0,93 0,084
Е.5 0,96 0,90 0,92 0,91 -0,86 -0,98 0,026
Е6 0,94 0,88 0,84 0,99 1 -1 0,069
А 0,012 0,03 0,07 0,02 0,01 0,06 XX Р(Е/) = 1 г=0
В 0,02 0,05 0,08 0,03 0,008 0,09
т 3 2 2 4 5 1
с 7 4 8 5 2 4
1. Определение фазовых состояний и подмножеств допустимых проверок. Для заданного множества
Е = Еь ^ ^ Е4 E5, Е6} (П1)
необходимо найти все возможные фазовые состояния Як процесса диагностирования и соответствующие им подмножества допустимых проверок Пк. Из условия (5) следует, что в начальном фазовом состоянии (П1) все проверки п1—п6 допустимы. Фазовые состояния Як, которые могут быть получены из начального состояния Е при положительном к. и отрицатель-
ном п2 исходах каждой проверки, формируются на основе подхода, предложенного в работе
[2]. Из табл. 1 видно, например, что проверка П4 дает положительный исход в работоспособном состоянии Ео, а также при отказах Е5 и Еб, следовательно
п4 : Е ^ /?14 ={Ео, Ез, Еб}. (П2)
Отрицательный исход проверки п4:
п2: Е ^ /?к24 = {Е1, Е2, Ез, Е4}. (П3)
Отображения (П2) и (П3) показаны так, как это принято в работе [2]. В соответствии с выражением (13) в фазовом состоянии допустимые проверки образуют подмножество
П^ = {П5, Пб},
а в состоянии /?^4 —
П^ = {П1, П2, Пз, П5, Пб}.
Аналогично формируются состояния ¡к из Е с помощью остальных проверок. Для каждого из них определяются допустимые проверки по формуле (13) и новые фазовые состояния, которые получаются с помощью этих проверок.
Процесс продолжается до получения состояний ¡к, содержащих не более двух элементов. Найденные состояния упорядочиваются по числу содержащихся в них элементов и заносятся в графу 1 (табл. 2; в данной таблице информация представлена выборочно). Состояния ¡0, ¡1,...,Рб являются конечными и в таблицу не заносятся. Подмножества допустимых проверок П7, П8,...,П40 в фазовых состояниях ¡8,...,Я40 соответственно заносятся в графу 2 (табл. 2).
Таблица 2
Определение оптимальной проверки в каждом фазовом состоянии
¡к Пк П/ Ок(П)
1 2 3 4
¡7={ ^ Е2} П7={П2, П4} П4 0,9774
¡8={ Е0, Е3} П8={П3, П4} П4 0,974б
¡17={ ^ Еб} П17={Пз} П5 0,9915
¡18={ ^ ^ Е3} П18={п2, ^ П4} П2 0,9б52
¡19={ E0, E2, Е4} П19={П2, П4} П4 0,9б71
¡24={ E0, E5, Еб} П24={п5, Пб} Пб 0,9499
¡27={ ^ E2, E3, Е4} П27={П2, П3, П4} П4 0,931б
¡28={ E0, E2, E3, Еб} П28={П2, П3, П4, Пб} П2 0,9257
¡34={ ЕЬ E2, E3, Е4} П34={П1, П2, П3, П5, Пб} П2 0,9194
R35={E0,E2, ^ E4, Еб} П35={П2, П3, П4, Пб} П4 0,9237
R40={E0,E1,E2,E3,E4,E5, Еб} П40={П1, П2, П3, П4, П5, Пб} П4 0,9071
Для каждого фазового состояния ¡к находится оптимальная проверка по критерию (8)—(11). Так, в ¡24={Е0, Е5, Еб} допустимы проверки из множества П24={п5, пб}. Средняя вероятность получения правильного решения о техническом состоянии системы при реализации ¡24-подалгоритма, начинающегося с проверки п5, определяется в следующей последовательности:
— формируются фазовые состояния (из табл. 1), в которые переводит процесс диагностирования проверка п5 из состояния ¡24:
к5 я10={Е0, Е6}, п2 я5={Е5};
— определяются условные вероятности (18), для вычисления величин угу(п/) используются выражения (20) и (21) из работы [2]:
Р>4 ^¡(К5)^0) = (1 "«5)(1 "«6) = (1- 0,01)(1- 0,06) = 0,9306; Р24 (*о(*5 ) / ) = Р5Р6 = 0,0007; Р>4 {/?*(К5 ) / /?6) = (1" «5)Р6 = 0,0891; Р24^¡(К5)^0) = «5=0,01; Р24(я^)/^) = 1 "р5=0,992; Р24(я^)/^) = «5=0,01; Р>4 (^бО^)/^) = (1 "«5)«6= 0,0594; Р>4 ) = Рз(1 "Р6) = 0,0073;
Р24 ¿6* (К5 )/ Лб ) = (1" «5 )(1" Р6) = 0,9009;
— находятся условные вероятности (17):
Р,4{/?0//?0*(К5) ) =
=_Р(/?0)Р24 )_=
_Р(/?0)Рм {{¡(К5)//?0)+ Р(^)Р>4 {((^//фР(^)Р24 {(5)/^)
0,619 • 0,9306
0,619 • 0,9306 + 0,026 • 0,0007 + 0,069 • 0,0891
Р,4{/?5//?5*(К5) Р(/?5)Р24 {/?5*(К5)//?5
= 0,9894;
Р(/?5 )Р24 {{ (К5)^5 ) + Р(Ъ )Р24 {5* (К5 ) /Ъ
Р,4{/?6//?6*(К5)
Р(Ъ)Р24 (^(Ю/Ъ
Р(/?6 )Р24 { ( (К5)/ ^ ) + Р^0 )Р24 (6* (К5 ) /Ъ
-Р^6)Р24 (¡(К5)^6)
= 0,7894;
-Р^5)Р24 (б^)//^)
= 0,6271;
— находятся уточненные вероятности (12) видов технического состояния Е0 , Е5 и Е6:
Р(Е0) = 0,619
Р24(Е0) ="
= 0,8669;
Р(Е0) + Р (Е5) + Р(Е6) 0,619 + 0,026 + 0,069 ' Р24 (Е5 ) = 0,0364; Р,4(Е6) = 0,0967; — вычисляется искомая средняя вероятность (15):
^24 (К5) = Р24 (Е0)Р24 {( (К5)) + Р24 (Е5)Р>4 (Ъ (К5 )) + Р24 (Е6)Р24 (¿6 ¡5 )) =
= 0,8669 0,9894 + 0,0364 0,7894 + 0,0967 0,6271= 0,9471. Для проверки п6 значение средней вероятности £>24^) = 0,9499 вычисляется аналогичным образом. В соответствии с условием (16) в качестве оптимальной в фазовом состоянии Я24 выбирается проверка п6. Полученный результат заносится в графы 3 и 4 (табл. 2).
После нахождения оптимальных проверок во всех фазовых состояниях выполняется процесс обратного прохождения. В начальном фазовом состоянии Я40={Е0,Е1,Е2,Е3,Е4,Е5,Е6} оптимальной является п4 (табл. 2). Она и будет первой в синтезируемом алгоритме. Данная проверка переводит процесс диагностирования в фазовые состояния Я24 и Я34:
^4 ¡40^ ¡24={Е0, Е5, Еб}, п4 ¡40^ ¡34={Е1, Е2, Е3, Е4}.
В состоянии ¡24 оптимальная проверка — пб, причем
^б ¡24 ^ ¡0={Е0}, П2 ¡24 ^ ¡17 ={Е5, Еб}.
Состояние ¡0={Е0} является конечным. Таким образом, подмножеством оптимальных проверок для определения работоспособного состояния системы является П0={п4, пб}. В состоянии ={Е5, Еб} оптимальная проверка — п5 (табл. 2), при этом
^5:^17^ ¡б={Еб}, ¡5={Е5}.
Состояния ¡5 ={Е5} и ¡б={Еб} являются конечными, следовательно, для определения отказов пятого и шестого блоков существует одно и то же подмножество оптимальных проверок, т.е. П5= Пб ={п4, пб, п5}. Аналогично находятся подмножества оптимальных проверок для определения отказов остальных блоков системы.
В каждом фазовом состоянии в процессе обратного прохождения проверяются ограничения (11). Например, в состоянии ¡24:
Ы, - £ ^(Е,-) £ = Ы,-(Р24(Е0) • 'К) + Р24(Е5)(б) + ^5» +
V: яуеП,24
+Р24 (Еб ) ((лб ) + г (л5 )) = 8 - (0,8бб9 • 1 + 0,03б4 • 1 + 0,09б7(1 + 5)) = 8 -1,49 = б,51 > 0;
Ыс - £ Р24(Е,) £ с(/ = 11 -4,27 = 7,73 >0.
V: Е,^/?24 *;еП, 24
Оптимальный алгоритм диагностирования системы в виде ориентированного граф-дерева показан на рис. 2. Из алгоритма видно, что ограничения (9) и (10) для каждой ветви алгоритма и в каждом фазовом состоянии выполняются. Характеристики процесса диагностирования, которые определяются выражением (14), принимают значения:
ЕО = Р(Е0)(1 -а4)(1 -Об) + Р(Е1)(1 -Р4)(1 - Р2)(1 -в5) + Р(Е2)(1 - Р4)(1 -Р2)(1 -«5) + +Р(Е3)(1 -Р4)(1 -а2)(1 -Р3) + Р(Е4)(1 -Р4)(1 -а2)(1 -а3) +Р(Е5)(1 -а4)(1 -Рб)(1 -Р5>+
+Р(Еб)(1-а4)(1 -Рб)(1-а5) = 0,907;
ЕТ = б,57; ЕС = 10,92.
Рис. 2
Полученные значения ЕТ и ЕС свидетельствуют, что средняя продолжительность диагностирования и средние затраты трудовых ресурсов для алгоритма в целом (выражения (22), работа [2]) не превышают допустимых величин. Значение средней вероятности ЕО является максимальным.
Полный и корректный учет ограничений при построении алгоритмов — это одно из ключевых условий повышения достоверности диагностической информации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сеньченков В. И. Процедура обучения при разработке моделей контроля технического состояния сложных систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2010. Т. 53, № 1. С. 3—8.
2. Сеньченков В. И., Некрасов И. Н. Ограничения в задачах построения оптимальных алгоритмов определения технического состояния системы // Изв. вузов. Приборостроение. 2014, Т. 57, № 10. С. 5—11.
3. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: КНОРУС, 2011. 448 с.
4. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М.: Радио и связь, 1989. 179 с.
5. Сеньченков В. И. Модели, методы и алгоритмы анализа технического состояния. Saarbrücken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013. 377 с.
6. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1979. 623 с.
7. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления / Под ред. Б. С. Ра-зумихина. М.: Наука, 1969. 118 с.
8. Дмитриев А. К., Юсупов P. M. Идентификация и техническая диагностика. М.: МО, 1987. 521 с.
9. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. школа, 2004. 479 с.
Сведения об авторах
— д-р техн. наук, профессор; ВКА им. А. Ф. Можайского, кафедра специальных технических систем космических комплексов; E-mail: [email protected]
— канд. техн. наук, доцент; ВКА им. А. Ф. Можайского, кафедра специальных технических систем космических комплексов; E-mail: [email protected]
— адъюнкт; ВКА им. А. Ф. Можайского, кафедра специальных технических систем космических комплексов; E-mail: [email protected]
Поступила в редакцию 15.05.15 г. космических комплексов
Валентин Иванович Сеньченков
Виктор Михайлович Моторин
Павел Анатольевич Грушковский
Рекомендована кафедрой специальных технических систем
Ссылка для цитирования: Сеньченков В. И., Моторин В. М., Грушковский П. А. Построение оптимальных алгоритмов диагностирования с ограничениями методом динамического программирования // Изв. вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58, № 10. С. 783—791.
DESIGN OF OPTIMAL ALGORITHMS FOR DIAGNOSTICS
UNDER RESTRICTIONS USING THE DYNAMIC PROGRAMMING METHOD
V. I. Senchenkov, V. M. Motorin, P A. Grushkovskiy
A. F. Mozhaysky Military Space Academy, 197198, St. Petersburg, Russia E-mail: [email protected]
Peculiarities of the dynamic programming method application to development of optimal algorithms of diagnostics of systems with all kinds of constraints are considered. An example of design of an algorithm which is optimal according to the criterion of maximum average probability of correct decision on the technical condition of the system is presented. Special attention is paid to formation and constraint checking in the intermediate phase states.
Keywords: algorithm, diagnostics, dynamic programming, criterion, constraints, optimization, validation, technical condition.
Data on authors
Valentin I. Senchenkov — Dr. Sci., Professor; A. F. Mozhaysky Military Spaœ Academy, Department of Special Technical Systems of Spaœ Complexes; E-mail: [email protected]
Viktor M. Motorin — PhD, Associate Professor; A. F. Mozhaysky Military Space Academy,
Department of Special Technical Systems of Space Complexes; E-mail: [email protected] Pavel A. Grushkovskiy — Adjunct; A. F. Mozhaysky Military Space Academy, Department of
Special Technical Systems of Space Complexes; E-mail: [email protected]
For citation: Senchenkov V. I., Motorin V. M., Grushkovskiy P A. Design of optimal algorithms for diagnostics under restrictions using the dynamic programming method // Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zave-deniy. Priborostroenie. 2015. Vol. 58, N 10. P. 783—791 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-10-783-791
