CC BY
17
|х*(0-Л0|^[о ,, |«*(0-ц 0 при Исследуя ин-
тегральные уравнения (6) для приближённых решений хк ({), ик О), можно доказать, что функции {хк (г), ик (?)} (к = 1,2,...) равномерно ограничены и равностепенно непрерывны, откуда и получим сходимость последовательности «*(/)} к решению задачи (1) - (3) в пространстве непрерывных вектор-функций.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андреева Н. Л. Алгоритм решения линейно-квадратичной задачи оптимального управления // Математика и её приложения: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. Вып. 2. С. 56 - 57.
2. Андреева Н. Л. Интегральные уравнения с малым параметром для решения линейно-выпуклой задачи оптимального управления // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С. 6 - 7.
3. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука,
1980.
УДК 519.61
Е. В. Бабенкова, Ю. П. Васильев
ДЕМПФИРОВАНИЕ МЕТОДА СЕКУЩИХ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С НЕДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
В работе [1] рассматривается демпфированный метод секущих приближенного решения нелинейного уравнения. В данной статье на основании работ [2, 3] предлагается построение модифицированного метода секущих с демпфирующим множителем для приближенного решения нелинейных уравнений с недифференцируемыми операторами.
Пусть такие уравнения имеют вид
Р(х) = 0, (1)
где Р:ОсЯ" Л" недифференцируемый оператор, действующий в области £> конечномерного банахова пространства Я".
Рассмотрим итерационный процесс с формулой
=*к -а-кАЧ'Хк-1 ~хк)~1Р(хк),к = 0,1..... х_ьх0€Д (2)
, х0 - начальные приближения; ее £ - демпфирующий множитель, подавляющий скачки отклонений от нуля невязки и увеличивающий скорость сходимости итераций [1]; 3 — линейный оператор, аппроксимирующий производную Гато некоторого дифференцируемого оператора
10
Р] с параметром НеО/,аЯп. Определим его следующим
образом (например, для матрицы Якоби) [1]:
J(x, = + V1)" Wx + hnen)-F\ (*) jj,
(3)
где
J:DjxDhcRn xR" -> L(Rn), х + А,е' е D, А, Ф 0, i = U, (*, А) е RnxR",
е' - i-й базисный (координатный) вектор.
Предположим, что 0 е /{"является предельной точкой для Dh и отображение У является консистентной аппроксимацией для Р{ на D0 с Dj,
то есть lim У(х, А) = Р\(х) (равномерно по х е D0), где А е D^(см. [1]). А-» О
1. Предположим, чтоР/, F = Р — Рх удовлетворяют на D условию Липшица с постоянными и Л] соответственно.
Для обоснования сходимости итерационного процесса (2) - (3) доказывается
ТЕОРЕМА 1. Пусть в открытом шаре S0 (х0, р) для А е Dh Г\ Sh (0, р) существует J~\x,h) и выполняются условия:
\)\E-P;{x)J-\x,h)\<y, 0<у;
2) \j-\x,h)\<k, 0<\;
3)|Р(х0)||<7, 0<г), г' = г + к1Л<\, х0 еDh nSA(0,p);
4) шар S (х0, гх) = \ ||х - х01 < гх, гх = - —-- [• <= 50 (д:0, р), где посто-
1 1-aoJ
янная а0 определяется в ходе доказательства теоремы.
Тогда в шаре существует решение х' уравнения (1):
Р(х) = 0, к которому сходится последовательность приближений (2) - (3) с
a*=minjl,—- . (4)
[
Доказательство. Обозначим z^ = -■/(*£,i -P(xji). Рассмотрим функцию Р(хк + tzk), где t - числовой параметр. Имеет место оценка
¡P(xk+tzk)-P(xk)-tP{(xk)zk)\\<^k0\\zkf +Ц2к\\ .
Тогда
И** +' ч )| < ф - /|+)||+у *<л2 И** )12='
где у' = у + к{к < 1. Минимум функции *Р(г) достигается в точке
* = <х*(см. (4)).
Следовательно, для процесса (2) справедливо неравенство
( п Vе/
V 1 )
* *
По построению очевидно, что 0<ад <а^ <...<1, и из (4) видим,
что, начиная с некоторого номера к все а^ = 1 (если ад = 1, то получаем обычный метод секущих). Таким образом, построенный модифицированный метод секущих с демпфированием (2) - (3) сходится.«
Замечание. Из доказательства видно, что для реализации алгоритма полученной первой модификации метода секущих требуется знание оценок ко,у', что не всегда эффективно с практической точки зрения.
2. Для метода секущих с демпфирующим параметром рассмотрим вторую модификацию.
Очевидно, в (2) вектор =—3(х^,х/с_1 - Р{хк) указывает направление, по которому можно улучшать приближения, а параметр выбирается таким, чтобы норма \Р{хк + <хк2к I была по возможности меньше. Рассмотрим функции
= = 'е[0,1].
Пусть последовательность {а д.}, О < а^ <1 удовлетворяет условиям
П[1-у] = 0, т]к(ак)<\\1к(а.к). (5)
ТЕОРЕМА 2. Пусть в открытом шаре 50(д:0, р) и для И е £>Л п (0, р), существует У-1 (х, И) (см. (2)) и выполняются условия:
1) 0<Х;
2) |Р(*0)|<?7, 0<л, -х0 е/>А п5Л(0,р);
3) шар £(х0,г2) = *о|| - г2> гг = 2^л}<= 50(х0,р).
Тогда в шаре S(x0,r2) существует решение х* уравнения (1), к которому сходится итерационный процесс (2) - (3) с из (5).
Доказательство. Рассмотрим строго возрастающую последова-
т к-1/ а
тельность Sm = а0 + X«* П 1 - -Г к=1 i=oV ^
00 ( а Л
О <sm <2. Если J~[ 1--= 0, то s = lim sm=2 (см. [3]). Отсюда по ин-
I—0V 2 J т-+с0
дукции нетрудно доказать оценки
)|| < п (i - у)л, h -*oN < я* -
из которых следует фундаментальность последовательности {х^} и существование пределов
¡Р(х* )|| = lim IIР(хк )|| = 0, х* = lim хк, II II £-»00 ¿->00
где х* - решение (1).и Замечания.
1. Для получения последовательности {а к} может быть применен способ последовательного половинения а к и ряд других приёмов с проверкой условий (5) [3].
2. В качестве примеров рассматривались нелинейные уравнения с недифференцируемым оператором Ван дер Вардена и др.
3. В конкретных случаях удачным выбором J и а^ удается получить демпфирование скачков приближений и значительное ускорение сходимости. В общем случае скорость сходимости линейная. Для дифференцируемого оператора в уравнении (1) получается асимптотически квадратичная скорость сходимости [3].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М., 1975.
2. Зинченко А. И. О приближенном решении функциональных уравнений с не-дифференцируемыми операторами // Мат. Физика: Респ. межвед. сб. Киев, 1973. Вып. 14. С. 55 - 58.
3. Фридрих Ф. Об одном видоизменении методов Ньютона и градиентного для решения нелинейных функциональных уравнений // Методы вычислений. Л., 1966.
С. 22-29.
. Она сходится, и справедливы оценки
