Декомпозиция векторного поля системы управления на основе построения оператора гомотопии decomposition of the vector field of Control system by constructing a homotopy operator Текст научной статьи по специальности «Математика»

А

нализ и синтез систем управления

УДК 519.71

ДЕКОМПОЗИЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРА ГОМОТОПИИ1

С.Н. Чуканов, Д.В. Ульянов

Предложен метод разложения векторного поля динамической системы, основанный на построении оператора гомотопии. Отмечено, что векторные поля динамических систем могут классифицироваться на основе 8УЭ-декомпозиции потенциальной компоненты векторного поля. Метод декомпозиции векторного поля динамической системы применен для построения функций Ляпунова систем управления.

Ключевые слова: декомпозиция векторного поля, система управления, функция Ляпунова, декомпозиция Ходжа—Гельмгольца, оператор гомотопии.

ВВЕДЕНИЕ

В трехмерной теории поля известно разложение

3 3

Гельмгольца векторного поля !(х) е [ , х е [ , в области О е [на безвихревое (потенциальное) поле и бездивергентное (соленоидальное) поле [1, 2]: 1(х) = Уф(х) + Ух А(х), где А(х) — векторный потенциал; ф(х) — скалярный потенциал. Граничные условия разложения Гельмгольца: векторное поле Уф — нормальное к границе ЗО области О, векторное поле Ух А — касательное к границе ЗО. Градиент потенциальной функции Уф(х) = §гаёф(х) является наилучшей аппроксимацией векторного поля ^х).

Актуальность декомпозиции векторного поля для

исследования динамических систем вида х = !(х) обусловлена тем фактом, что использование скалярной потенциальной компоненты функции ф(х) в качестве функции Ляпунова [3, 4] Г(х) = — ф(х) позволяет оценивать устойчивость динамической системы, так как производная функции Ляпунова

по времени V (х) = (У Г(х))т1Г(х) = -(Уф(х))т]Г(х) и в

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 05-01-00146-а и № 06-01-00030).

случае потенциального векторного поля !(х) имеет

вид V (х) = —||Уф(х)||2 < 0.

Декомпозиция Гельмгольца может быть записана с помощью оператора Ходжа «*» для дифференциальных форм [2, 5]: ^х) = йф(х) + *^А(х). Однако при п > 4 оператор Ходжа 1-формам сопоставляет к-формы со значением к > 3 и декомпозиция Ходжа—Гельмгольца некорректна.

Цель настоящей работы — построение алгоритмов декомпозиции векторного поля гладкой динамической системы !(х) е х е при п 1 2. Для этого в работе решена задача построения потенциальной и соленоидальной компонент векторного поля формированием оператора гомотопии для дифференциальной формы, соответствующей векторному полю ^х).

1. ДЕКОМПОЗИЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ x = f(x)

Для динамической системы x = f(x), x е 1R", f(x) е 1R", f(0) = 0, сформируем векторное поле

д

X = f(x)— и соответствующую дифференциальную д x

форму ю = f(x)dx в дульном базисе (dx,, —) = 8,,..

\ 1 д Xjl 1

Построим из векторного поля скалярный потен-

циал применением оператора гомотопии с центром в точке х0 = 0 для формы ю = 1(х)Ох;

Н(ю) = | (х^ - (Г(кх)Ох)ак = | х1(кх)ак.

0 х 0

Оператор гомотопии Н удовлетворяет тождеству ю = О(Ню) + НОю (см. Приложение 1). Первый член разложения — точная форма юе = О(Ню) =

= ОI Гх" 1( кх)ак|, следовательно, он является за-

]х г(кх)ак|, следовательно, он является

мкнутой формой; Оюе = О(О(Ню) = 0. Если считать ф(х) = Ню(х) скалярным потенциалом, то потен-

д

циальное векторное поле фХ— дуально форме

Зх

юе = а(Ню) = ф'Х ах.

Второй член разложения — антиточная форма юа (по терминологии работы [6]); юа = ю — юе = ю —

- О(Ню) = НОю, причем Нюа = Н(НОю) = 0. Пример 1. Рассмотрим пример динамических уравнений для компонент вектора угловой скорости х = (х1 х2 х3)т при вращательном движении твердого тела с главными компонентами тензора инерции (100 80 60) и при действии на твердое тело управляющего вектора момента т = (—0,1х1 —0,1х2 —0,1х3)т:

100 х , = 20х2х3 — 0,1х1;

80 х2 = —40х1х3 — 0,1х2;

60 х3 = 20х1х2 — 0,1х3.

Построим дуальную дифференциальную форму: ю = (20х2х3 — 0,1х1)^х1 + (—40х1х3 — 0,1х2)йХ2 + (20х1х2 —

— 0,1х3)йЦ, к которой применим оператор гомотопии с

х0 = 0: ф(х) = Н(ю(х)) = -0,05( х, + х2 + х3). Отсюда

точная форма: юе = ^(Ню) = ^(—0,05( х, + х2 + х3)) = = —0,1х1^х1 — 0,1х2^х2 — 0,1х3йЦ; соответствующее ду-

альное потенциальное векторное поле: Хе = —0,1х1

дх,

— 0,1х2—- — 0,1х3—-. Векторное поле, дуальное анти-

2 д х2 3 д х3

точной форме: X = 20х~х,-А- — 40х,х„ + 20х,х~ .

а 2 3 дх, 1 3 дх2 1 2 дх3

Если выбрать в качестве скалярной функции Ляпунова функцию К(х) = —ф(х) = 0,05||х||2, К(х) > 0, при ||х|| > 0, К(х) = 0, при ||х|| = 0, то V(х) = —0,01 ||х||2, V(х) < 0, при ||х|| > 0, V (х) = 0, при ||х|| = 0. ♦

2. ДЕКОМПОЗИЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ х = А(х)х

В Приложении 2 показано, что гладкая динамическая система х = 1(х), 1(0) = 0, может быть

представлена в форме х = А(х)х. В свою очередь, выражение А(х)х может быть декомпозировано в форме

А(х)х = ^(х) + К(х))х,

(1)

где а(х) = 0,5(А(х)-А(х)т) и К(х) = 0,5(А(х)+А(х)т) — кососимметрическая и симметрическая компоненты матрицы А(х) соответственно.

д д Для векторных полей ^х)х— и Щх)х— пост-

д х Зх

роим соответствующие дифференциальные формы

в дуальном базисе; = ^(х)х)Ох и юк = (И(х)х)Ох.

Применим оператор гомотопии с центром х0 = 0 для формы ю^

Н(ю/х)) = Н^(х)хОх) =

1

= | (хА) - ^('х)кхОх)ак =

= | х^(кх)кхОк = 0.

0

Применив оператор гомотопии с центром х0 = 0 для формы юК, получим скалярную потенциальную функцию

ф(х) = Н(юк(х)) = Н (И(х)хОх) =

= | (хд|х^ - (Щкх)кхОх)ак =

|х7Щкх)кхак = хт й (х)х.

(2)

Так как Н(ю/х)) = 0, то Н(юА(х)) = Н(А(х)хОх) = = Н(юк(х)) = ф(х). Следовательно, потенциальное (градиентное [7]) векторное поле системы

_ = ЗН( юк( х)) = дф( х)

Зх

Зх

со скалярным потенциалом ф(х) = Н(юк(х)). Тангенциальное векторное поле системы можно представить в форме

1(х) = А(х)х - Г (х) = А(х)х

— Зф (х) Зх

1

0

0

1

0

д

1

Если A(x)= A, то p(x) = H(®R(x)) = J xTR(Ax)AxdA,

0

= 0,5х Rx, и потенциальное векторное поле системы Г = Rx; тангенциальное векторное поле Г = Jx.

ё 1

Из изложенного следует

Предложение 1. Векторное поле динамической системы х = !(х) = A(x)x может быть декомпозировано на потенциальное Г = дф(х^ и тангенциаль-

ё Зх

ное Г.(х) = A(x)x — дф ( х^ векторные поля, где ска-

1 Зх

лярная потенциальная функция ф(х) определяется выражением (2). ♦

Пример 2. Рассмотрим пример декомпозиции линей-

( ^

5 2 4 4 7 6

6 8 9

ной системы x = Ax; A =

. Симметрическая ком-

понента матрицы A: R = 0,5(A + A ) =

г \ 5 3 5

3 7 7

5 7 9

; кососим-

метрическая компонента: J = 0,5(A — A) =

f \

0 -1 -1

1 0 -1

1 1 0

Применим оператор гомотопии с центром х = 0 к симметрической части дуальной дифференциальной формы и получим скалярный потенциал:

Ф(х) = Н(ю„(х)) =

= IWx J

" \ 5 3 5

3 7 7

5 7 9

X xdx

dX =

= 1 xT

f \ 5 3 5

x = H(rnA(x)).

3 7 7 5 7 9

Следовательно, потенциальное (градиентное) векторное поле

f = М- = Rx =

g 0x

r \ 5 3 5

3 7 7

5 7 9

x,

а тангенциальное векторное поле

ft = f - fg

= (A - R)x = Jx =

f \

0 -1 -1

1 0 -1

1 1 0

x. ♦

3. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ФОРМ ю„

Рассмотрим преобразование вектора состояния

динамической системы x = A(x)x, x = Sy, и поставим задачу нахождения класса эквивалентности дифференциальных форм wR = (R(x)x)dx при различных матрицах преобразования S е SO(n). Применим метод SVD (singular-value decomposition) для определения эквивалентности форм wR. Для

матрицы M е [m х n существует SVD-декомпози-ция M = USV*, где U, V е [m х m — унитарные мат-

Srro m х n

е [ — диагональная матрица с неотрицательными числами. Для матрицы M е [ n х n SVD-декомпозиция может быть представлена в

форме M = STSS = S-1SS, S е SO(n). Если сингулярные собственные значения ст, = Ей упорядочены: (i > j) ^ (ст. l ст.), то матрица Z однозначно оп-

,1

ределяется матрицей M. Значения ст, определяются

из выражения ct,(M) = MTM) = ,Дг(MMT), где A,,(L) — собственные значения матрицы L.

Представим скалярную потенциальную функцию (p(x) динамической системы x = A(x)x в фор-

T ~

ме (2): p(x) = H(®R(x)) = x R (x)x. SVD-декомпо-

зиция матрицы R (x): R (x) = S SS, S е SO(n) позволяет классифицировать скалярный потенциал на основе определения сингулярных собственных значений — диагональных элементов матрицы S. Преобразованием вектора состояния x = Sy скалярная потенциальная функция приводится к диагональной форме:

p(y) = 0,5yTSy = 0,5 £ ст,y2 .

Матрица Е = diag(ст1 ст2 ... стп) не зависит от выбора матрицы преобразования S е БС(п), т. е. представление скалярной потенциальной функции в форме (2) инвариантно по отношению к преобразованию х = Sy; S е БС(п).

Изложенное позволяет сформулировать Предложение 2. Динамические системы, представленные в форме х = A(x)x, можно классифицировать сингулярными собственными значениями

матрицы II (х) скалярной потенциальной функции

т ~

динамической системы (2) ф(х) = х I (х)х, причем классификация инвариантна по отношению к преобразованиям вектора состояния системы х = Sy, S е Б6(п).

i

о

1

Пример 3. Для скалярного потенциала оператора го-мотопии из Примера 2

г 1 5 3 5 1 2 2

х = - (5 х1 + 6х1х2 + 7 х2 + 14х2х3 +

ф(х) = 2 хт

3 7 7 5 7 9

5 3 5 1т -0,374 0,816 -0,441 X

3 7 7 х = 2х -0,577 -0,577 -0,577

5 7 9 у 1 С I -0,726 0,039 0,687 у 1

-0,374 -0,577 -0,726 0,816 -0,577 0,039 -0,441 -0,577 0,687

х.

х получим потенциальную

+ 9 х3 + 10х1х3) получим 8УБ-декомпозицию

ф(х) = 2 хТ

15,838 0 0 0 3,774 0 0 0 1,389 При преобразовании вектора состояния у =

С -0,374 -0,577 -0,726 1 0,816 -0,577 0,039 -0,441 -0,577 0,687 , функцию в диагональной форме ф(у) = 0,5уТЕу = = 0,5(1,538 у2 + 3,774у2 + 1,389 у2) и компоненты векторного поля в координатах у = (у1 у2 у3)т:

дФСУ) Му) дФ(У)1 = (1,538у1 3,774у2 1,389у3)Т. ♦

ч дух ду2 ду^ 123

4. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ ВИДА х = Ах + Ви

Для линейных стационарных динамических

систем х = А(х)х + Bu с управлением u = Кх выберем в качестве функции Ляпунова функцию [8, 9]; Г(х) = хтРх > 0, pii > 0, p.. iф . = 0, Г(0) = 0, для которой

= хт((А + ВК)тР + P(A + BK))x.

Если декомпозировать матрицу А на кососим-метрическую и симметрическую части в форме (1);

А = J + И; J = 0,5(А - Ат); И = 0,5(А + Ат), то мат-т

рица (АР + РА) будет симметрической, так как

матрицы ^тР + PJ) и (ИтР + РИ) — симметрические, и обеспечение устойчивости сводится к нахождению такой матрицы К, которая обеспечит выполнение условия

хт(АтР + РА)х < хт((ВК)тР + Р(ВК))х. Из изложенного следует

Предложение 3. Для линейных динамических систем вида х = Ах + Ви, В = diag(Ь11 Ь22 ... Ьпп), с управлением и = Кх и функцией Ляпунова Г(х) = ||х||2,

Р = I е х п, условие стабилизации может быть представлено в виде условия для потенциальной функции (2);

ф(х) = хтИх < -хтВКх,

(3)

где И = 0,5(А + А) — симметрическая компонента матрицы А. ♦

В неравенстве (3) используются компоненты вектора состояния х. В следующем примере показано, как можно получить оценку компонент матрицы К, которая не зависит от вектора состояния х, ||х|| > 0.

Пример 4. Для системы х = Ах + Ви при А =

( ^

5 2 4

4 7 6

6 8 9

С 1

5 3 5

3 7 7 5 7 9

и и е К3, В = I е К3 х 3, получим Я = (г..) =

, г, у = 1,...3, и условие (3) выполняется для

матрицы К = (к.) =

-11,26 0 0 0 -16,72 0 0 0 -24,65 у

, X. !

г, у = 1...3, так как справедливо неравенство г. х; + 2гг.. х х.

+ г..х2 < I 1 + —— I (Г.х2 + г..х2), Ух, х. е К, г.. > 0, . 1 [—— 4 » 1 . 1 '' '' . ' » '

г. > 0, г, у = 1,... 3, которое следует из неравенства (^ц х; —

— ^т^х.)2 > 0, Ух;, х е К. Следовательно, оценка максимальных значений компонент матрицы к.. следующая:

гц I1 + + -Ш=\ < 11,26 < -кп;

л/г11г22 л/г11г33у

г221 1 +

г331 1 +

г12| |'23|

л/г11г22 л/г22г33 | г1з| | г23 |

л/г11г33 л/г22г33

< 16,72 < — к22; < 24,65 < —к33. ♦

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Метод оператора гомотопии [6, 10]. Обозначим элементы тангенциального векторного простран-

п д

ства в точке х е К": Х(х) = £ Дх)— (х), ^ е К, эле-

¡' = 1

дх;

менты котангенциального пространства (дифференци-

п

альные формы): ю(х) = £ ш;(х)йх;, е К. Для диффе-¡' = 1

ренциальных форм можно ввести дифференциальный оператор d со свойствами ^(ш1 + ш2) = ^ш1 + ^ш2;

dф = ю(х) = dx.; d(dw) = 0; и оператор \ внутреннего

дх; '

произведения векторного и ковекторного поля X \ ю

со свойствами: X \ f = 0; X \ ю = ю(Х); X \ (ш1 + ш2) =

= X \ ш1 + X \ ш2. Построим оператор гомотопии Н — линейный оператор, действующий на форму ю(х): 1

(Ню)(х) = |((х,-x0í)дХ) \ ю(Хх)Хк- 1с1к, к = аев(ю). При о '

к = 1, х0 = 0: (Ню)(х) = |^х,-—^ \ ю(А,х)й?Х,. Свойства опе-

ратора гомотопии:

dH + Hd =

(H(Hm))(x;) = 0; (Hw)( x0) = 0;

* dx J J H = 0.

Первый член разложения формы ю = d(Ню) + Нсйю — точная форма юе = d(Ню) является замкнутой; форма юа = НЫш является антиточной. Для случая ю = dф получим: (Н^ф)(х) = ф(х) — ф(х0).

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Метод приведения к форме х = А(х)х. В работе [11] представлен точный метод приведения гладкой динамической системы х = ^х), ^0) = 0, х, ^х) е К", к форме х = А(х)х, А(х) е К" х ": А = (а) а^.(х) =

( " 21-1

= I 2 х*| /¡(х)Хр ||х|| ф 0. Выбор матрицы А не является \ = 1 '

однозначным: так, замена т^ — ф(х)хк на тк + ф(х)х;. не меняет формы представления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрен метод декомпозиции векторного поля динамической системы на основе построения оператора гомотопии. Предложен метод оп-

ределения эквивалентности векторных полей на основе 8УЭ-декомпозиции потенциальной компоненты векторного поля. Метод декомпозиции векторного поля динамической системы может быть применен для построения функций Ляпунова

систем управления вида х = 1(х), 1(0) = 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Saffman P.G. Vortex dynamics. — Cambridge: Cambridge University Press. — 1992. — 312 p.

2. Chukanov S.N. Definitions of invariants for n-dimensional traced vector fields of dynamic systems // Pattern Recognition and Image Analysis. — 2009. — Vol. 19, N 2. — P. 303—305.

3. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: ГИФМЛ, 1959. — 211 с.

4. Зубов В.И. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). — М.: Высшая школа, 1984. — 232 с.

5. Multimedia tools for communicating mathematics / Ed. K. Polthier, J. Rodrigues. — Berlin: Springer-Verlag, 2002. — P. 241—264.

6. Edelen D.G.B. Applied Exterior Calculus. — N.-Y.: John Wiley & Sons, Inc., 1985. — 472 p.

7. Wang Y., Lia Ch., Cheng D. Generalized Hamiltonian realization of time-invariant nonlinear systems // Automatica. — 2003. — Vol. 39. — 2003. — P. 1437—1443.

8. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С. III. Оптимальное управление системами. — М.: Радио и связь, 1982. — 392 p.

9. Wang Y, Cheng D., Ge S.S. Approximate Dissipative Hamiltonian Realization and Construction of Local Lyapunov Functions // Systems and Control Letters. — 2007. — Vol. 56. — P. 141—149.

10. Hudon N., Hoffner K, Guay M. Equivalence to Dissipative Hamiltonian Realization // Proc. of the 47-th Conference on Decision and Control, Cancun, Mexico, 2008. — P. 3163—3168.

11. Cheng D., Shen T., Tarn T.J. Pseudo-hamiltonian realization and its application // Communications in information and systems. — 2002. — Vol. 2, N 2. Dec. — P. 91—120.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Ю.В. Рутковским.

Чуканов Сергей Николаевич — д-р техн. наук, Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, ® (3812) 23-67-39, И ch_sn@mail.ru,

Ульянов Дмитрий Владимирович — аспирант, Омский государственный технический университет, ® (3812) 65-20-84, И grayfox@list.ru.

о

W.

Не забудьте подписаться!

Подписку на журнал «Проблемы управления» можно оформить в любом почтовом отделении (подписной индекс 81708 в каталоге Роспечати или 38006 в объединенном каталоге «Пресса России»), а также через редакцию с любого месяца, при этом почтовые расходы редакция берет на себя. Отдельные номера редакция высылает по первому требованию.