Декомпозиция векторного поля системы управления на основе построения оператора гомотопии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.71

Д. В. УЛЬЯНОВ

Омский государственный технический университет

ДЕКОМПОЗИЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРА ГОМОТОПИИ_________________________________________

В работе предложен метод разложения векторного поля динамической системы, основанной на построении оператора гомотопии. Рассмотрена декомпозиция векторного поля многопараметрической динамической системы. Построены инварианты для компонент декомпозиции векторного поля. Метод декомпозиции векторного поля динамической системы используется в работе для построения функций Ляпунова систем управления.

Ключевые слова: декомпозиция векторного поля, система управления, функция Ляпунова, декомпозиция Ходжа-Гельмгольца, оператор гомотопии.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 10-07-00032 и № 11-08-01349).

Введение. В 3-мерной теории поля известно разложение Гельмгольца векторного поля f(x)eR3 в области MeR3 на безвихревое (потенциальное) поле и бездивергентное (соленоидальное) поле [1, 2]: f(x) = = Уф(х) +VxA(x), где A(x) — векторный потенциал; j(x) — скалярный потенциал. Граничные условия разложения Гельмгольца: векторное поле Vф — нормальное к границе dM области M, векторное поле VxA, касательное к границе дМ. Градиент потенциальной функции Vф(x)= grad j(x) является наилучшей аппроксимацией векторного поля f(x).

Актуальность декомпозиции векторного поля для исследования динамических систем вида x' = f(x) обусловлена тем фактом, что использование скалярной потенциальной компоненты функции j(x) в качестве функции Ляпунова [3, 4]: V(x) = -j(x) позволяет оценивать устойчивость динамической системы, так как производная функции Ляпунова по времени: V = (VV(x))rf(x) = -(V<p(x))rf(x) в случае потенциального векторного поля f(x), равна V(x) = = -|^ф(х)||2<0.

Декомпозиция Гельмгольца может быть записана с использованием оператора Ходжа «*» для дифференциальных форм [2, 5]: f(x) = dф(x) +dA(x). Однако при n>4 оператор Ходжа 1-формам сопоставляет k-формы со значением k>3 и декомпозиция Ходжа — Г ельмгольца некорректна.

Цель настоящей работы — построение алгоритмов декомпозиции векторного поля гладкой динамической системы f(x)eR3; xeRn при n>2. Для выполнения цели в работе решена задача построения потенциальной и соленоидальной компонент векторного поля формированием оператора гомотопии для дифференциальной формы, соответствующей векторному полю f(x).

1. Декомпозиция векторного поля динамической системы. Для динамической системы:

Пусть в евклидовом пространстве с координатами хг...,х^п и метрическим тензором ді(х) = діі(х)=5..

п д

задано векторное поле V = ^ їі . Для соответству-

i=1

, следо-

ющей 1-формы <в = ^<вг■dxi имеем = .1

п І=1 ЛІ^і

вательно <в=^fidxi [6]. і=і

Построим из векторного поля скалярный потенциал применением оператора гомотопии с центром в хо = 0 для формы <в = ^х^х (см. приложение 1):

і і Й(ш) = |іх д/ ш(Ах)с/А, = |хгГ(Хх)гіА,. (2) о 1 о

Оператор гомотопии H удовлетворяет тождеству: ю = dHю+Hdю. Первый член разложения является

точной формой юв = d(Hco) = d

I хг f(Xx)dX Vo

, следова-

тельно, является замкнутой формой: dюв=d(d(Hю))=0. Если считать ф(х) = Н<в(х) скалярным потенциалом,

, д

то потенциальное векторное поле фх является

дх

дуальным форме: шв = d(HG))=фxdx .

Второй член разложения: юа — является анти-точной формой (по терминологии [7]) юа=ю —юв = = ю — d(H<в) = Hd<в, причем: Нюа=Н(Шю) = 0.

Из тождества ю = dHю + Шю = юв + юа следует, что dю = dюа , так как ddю =0. Поэтому антиточная форма ю инвариантна по отношению к преобразованию:

ю^ + Hfi; VD.єЛ2,

(3)

В случае, когда размерность евклидова пространства Rn четная, можно сформировать абсолютный инвариант по отношению к преобразованию (3):

x' = f(x); xeRn; f(x)eR3; f(0) = 0,

(1)

сформируем векторное поле X = f(x)— и соответ-

йх

ствующую дифференциальную форму ro = f(x)dx,

Ia = I(dco)/2 = J(da)a)n2 feR, M M

(4)

который является количественной характеристикой антиточной форме на многообразии Ме£п. Величи-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

47

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

48

на I не зависит от выбора точной части юв, поэтому является инвариантной по отношению к калибровке юв. В случае, если рассматриваемая система является гамильтоновой, а форма ю — симплектической, абсолютный инвариант 1а соответствует интегральному инварианту Лиувилля [6].

В случае, когда размерность евклидового пространства Rn нечетная можно сформировать относительный инвариант по отношению к преобразованию (3):

|а)(с(ш)п У = |ша^ша)п Ут. еЯ, (5)

SMI

8М

так как, в соответствии с теоремой Стокса,

|ai(d(£i)k *= Jdfa^da))* 1 ]=

ЭМ

\dma(d03a)k 1 = \{dwaf

получаем абсолютный инвариант в четномерном пространстве.

Основным результатом первого раздела является алгоритм нахождения инварианта антиточной компоненты дифференциальной формы: абсолютного — (4) и относительного — (5), а также инварианта точной компоненты дифференциальной формы.

2. Декомпозиция векторного поля динамической системы х' = А(х)-х. В приложении 2 показано, что гладкая динамическая система х' = ^х);^0) = 0 может представлена в форме х' = А(х)-х. В свою очередь, правая часть выражения А(х)-х может быть декомпозирована в форме [8]:

A(x)-x=(J(x) + R(x))-x,

(6)

где J(x) = 0,5-(A(x)—A(x)T) — кососимметрическая компонента матрицы A(x); R(x) = 0,5-(A(x)+A(x)T) — симметрическая компонента матрицы.

Для векторных полей J(x)x— и R(x)x— постро-

дх дх

им соответствующие дифференциальные формы в дуальном базисе: coj = (J(x)x)dx и coR = (R(x)x)dx .

Пусть A(x)=A. Применим оператор гомотопии с центром x0=0 для формы юу

Н(а^(х)) = Н((3 (х)х)йх) = | іх (рЯ,х)іх)іЯ, = о

1

= /хгЛхі*А. = 0. (7)

о

Применив оператор гомотопии с центром х°=0 для формы получим скалярную потенциальную функцию ф(х):

ф(х) = н(о>к(х))=Н(^(х)х)гїх)=

1 1 1

|ixФ&x)dx)dX = |xтЮ^xdX = —xтRx. (8)

Так как ЩюДх)) = 0, то H(юA(x)) = H(юR(x))=ф(x). Следовательно, потенциальное векторное поле системы:

_ ЭН(юк(х)) _ 5ф(х)

Я

Эх

Эх

■ Rx.

(9)

Тангенциальное векторное поле системы ft(x) можно представить в форме:

ft(x)=A-x-f (x)=Jx.

(10)

Применим оператор внешнего дифференцирования (exterior differentiation) для формы roR: do>R = = d((Rx)dx) = 0, и для формы roj

П П

daj= d((jx)dx)=22 л xj = dtoA .

i=ij=i

Компонентам разложения: ю = dHro + Hdro = юв + + юа можно сопоставить: (o>A)is = roR=(Rx)dx; (юА)а = = roJ=(Jx)dx.

3. Декомпозиция векторного поля многопараметрической динамической системы. Динамическая система x' = A(x)-x зависит от одного параметра — времени. Рассмотрим многопараметрическую динамическую систему

дх , ч — = А1(т)-х;

(11)

которая зависит от т параметров: х=(х1,^.,хт).

Запишем соотношения для г-ой динамической системы с использованием фундаментальной матрицы Х(т,т0)=Х(т):

~~х0 = Aj(x)-X(i)x0;

дх і

(12)

или в форме: Эт1Х-Х-1 = А., где Х(т0) = 1, х0 = х(х=0). Если существует путь зависимости параметров от времени х({) = (х1({),^., xm(t)), то результат интегрирования дифференциальных уравнений динамической системы зависит от выбранного пути.

Преобразование Х(х^д(х)-Х(х) приводит к преобразованию А.:

А. ^-д-1А. + а-^.д.

Представим дифференциальную форму

А (т)едхЛ1, соответствующую многопараметриче-

ш

ской динамической системе: ADS(x)-dX■X'

где А1-(х)=2а/(т)Т7; А/^)!^ Те д — инфинитези-

] „ „ мальные генераторы конечномерной матричной лиевой группы (любая неособая квадратная матрица М^т><т может быть представлена как элемент матричной группы лиевой GL(m)).

Введем дифференциальную 2-форму FDS(x)еgх хЛ2^т): ^5(т) = + АтлАВ5.

Так как при преобразовании Х(х)^д(х)-Х(х) форма FDS преобразуется как: FDS^g-1FDSg, то величина Тт^В5) инвариантна по отношению к преобразованию:

Х(тНд(т)-Х(т).

(13)

Поэтому при четном т можно сформировать абсолютный инвариант по отношению к преобразованию (16):

1а-|Гг(н)т2с R.

М

(16)

При нечетном т в соответствии с формулой гомо-топии Картана можно сформировать относительный инвариант по отношению к преобразованию (13):

W

8М

Л1 + 1

т-1/

Гг ЛлР, 2

dt

eR, (15)

где Ft= d(tA) + (tA)л(tA). Например, при т = З:

W

дМ

Тт

AaF АлАлА

3

= J[7r

дМ

АлгіА-ь—Ал Ал А 3

(16)

получаем инвариант Чженя—Саймонса [9].

Для случая, когда генераторы T.еR: FDS=dADS, и абсолютный инвариант (13) динамической системы редуцируется к инварианту (4), а относительный инвариант (18) динамической системы редуцируется к инварианту (5).

Основным результатом третьего раздела является алгоритм нахождения инварианта дифференциальной формы, соответствующей многопараметрической динамической системе: абсолютного (14) — для случая четного количества параметров; и абсолютного (15) — для случая нечетного количества параметров.

4. Исследование устойчивости линейных стационарных систем. Для исследования устойчивости линейных стационарных систем вида:

х' = А-х + 2цВг;х,В, 6Rn;AeRn

(17)

Щ = ~a(xXBi'VV) = -«(хХВ/Г (Rx) (20)

где коэффициент a(x)eR; a(x)>0.

Определим требование, налагаемое на a(x), требуемое для обеспечения условия V(x)<0 при |x|*0.

Предположим, что при |x|*0: ^B^Rx)2 *0 и dim

span{BTR, B.TRAf....,B.:rRAn-1;z=1,...,m} = n, то есть

У(х) = -хг (r2 + Rj)x -<x£(Rx,B;)2 =

i

= -xr(R2+Rj)x-a2(BfRx)P<0. (21)

i

Неравенство (21) — условие Ляпунова обеспечения устойчивости системы (17), выполняется выбором такого значения a>0:

сфф

xr(R2+RJ

Е(в

;Vx^0,

(22)

с обратной связи в форме: и = К-х, обычно выбирается в качестве функции Ляпунова такая функция У(х) [10]: У(х) = хТ-Р-х>0; р.>0; р...^=0; У(0) = 0, для которой матрица К обеспечивает выполнение условий для производной по времени У(х):У <0, при |х|*0 и У = 0, |х| = 0. Однако выполнение условия у<0, при |х|*0 ограничивает использование функций Ляпунова для исследования устойчивости диссипативных систем, поэтому в настоящее время известны способы исследования устойчивости построением функций Ляпунова, для которых выполняется слабое условие V < 0, при |х|*0[3, 4, 11].

Рассмотрим метод построения функции Ляпунова в форме: У(х)=—ф(х), где потенциал ф(х) определяется применением оператора гомотопии ф(x) = H(юR(x)) к симметрической компоненте дифференциальной формы и^=^х^х, R=1/2(A+AT) соответствующей динамической системы:

У(х) = -^хг^-х>0, (18)

для которой производная по времени равна:

Г \

У(x) = (x,VУ} = -xг(R2+R:гJ)x-(Rx)г , (19)

V I У

так как VVг(x) = grad(Vг(x))=—R•x, и х = ^+Л)-х + £ц,-В,. Однако при ц = 0; |х|*0 условие

У(х)< 0 может не выполняться.

Для обеспечения выполнения условия У(х)<0 при |х|*0 выберем диссипативное управление в форме [11]:

при котором выполняется условие У(х)<0 , при |x|*0 и У(х)=0, при |x|=0.

Основным результатом четвертого раздела является метод нахождения коэффициента а(х) — (22) в законе формирования диссипативного управления — (20) для обеспечения условия Ляпунова устойчивости системы (17),

Приложение 1 [7, 12]. Метод оператора го-мотопии. Обозначим элементы тангенциального векторного пространства в точке xsR11:Х(х) =

П Q

= 2^(х)---(x);^eR; элементы котангенциального

1=1 дх-і

пространства (дифференциальные формы): со(х)=

П

= ^jcoi(x)dxi,o)ieR. Для дифференциальных форм !=1

можно ввести дифференциальный оператор d со свойствами:

1) d(ro1+ ю2) = dro1 + dro2;

2) d(p = a)(x) = -^-dx,-;

дх(

3) d(dro) = 0,

и оператор внутреннего произведения (interior product):

( lXro)(X1 Xp-1)=ffl(X,X1 Xp-1);

для случая k = deg(ю) = 1: гХю = ю(Х).

Согласно лемме Пуанкаре, если локальная область иеМ стягивается в точку и форма ю — замкнутая, то существует такая форма а в и, что ю = da. Получение формы а по значениям формы ю может быть основано на построении оператора гомотопии Н:Л*^ЛІ_1, действующего на форму ю:

(НшХх)=Гї, ю(Ы)-Хк~Чх; k = deg(ro),

o^-x‘L

При k=1;x0=0: (НшХх)=}г s to(Ax)dX.

о

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

Свойства оператора гомотопии:

1) dH + Hd=I;

2) (Н(Ню))(х.) = 0;(Ню)(х.0) = 0;

3) I д н = о.

X,--

СХ1

Первый член разложения формы ю = d(Hю) + + Hdю — точная форма юг=d(Hю) является замкнутой; форма юа=Шю является антиточной. Для случая ю = dф получим: (Шф)(х) = ф(х)— ф(х0).

Приложение 2. Метод приведения к форме х' = А(х)-х. В работе [13] представлен точный метод приведения гладкой динамической системы: х' = ^х); ^0) = 0; х, f(x)еRn; к форме х' = А(х)-х; A(x)еRnхn: (п V1

А=(а.); а!у(х)= ^(х)х;.,||х||^0. Выбор матри-

и=1 ^

цы А не является однозначным так замена т.— ф(х) х^; т..к + ф(х)х. не меняет формы представления.

Заключение. Рассмотрен метод декомпозиции векторного поля динамической системы на основе построения оператора гомотопии. Рассмотрена декомпозиция векторного поля многопараметрической динамической системы. Построены инварианты для компонент декомпозиции векторного поля. Метод декомпозиции векторного поля динамической системы может быть использован для построения функций Ляпунова систем с диссипативным управлением.

4. Зубов, В. И. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение) / В. И. Зубов. — М. : Высшая школа, 1984. — 232 с.

5. Multimedia tools for communicating mathematics / ed. K. Polthier, J. Rodrigues. — Springer-Verlag, 2002. — P. 241 — 264.

6. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. — М. : Эдиториал УРСС, 2006. — 416 с.

7. Edelen, D. G. B. Applied Exterior Calculus / D. G. B. Edelen. — John Wiley&Sons, Inc, 1985. — 472 p.

8. Wang, Y. Generalized Hamiltonian realization of time-invariant nonlinear systems / Y. Wang, Ch. Lia, D. Cheng // Automatica. - 2003. - Vol. 39. - P. 1437- 1443.

9. Balachandran A. P., Marmo G., Skagerstam B. S., Stern A. Classical topology and quantum states. - World Scientific, 1991. -356 p.

10. Сейдж, Э. П. III. Оптимальное управление системами /

Э. П. Сейдж, Ч. С. Уайт. - М. : Радио и связь, 1982. - 392 c.

11. Jurdjevic, V. Controllability and Stability / V. Jurdjevic, J. F. Quinn // Journal of Differential Equations. - 1978. - Vol 28. -P. 381-389.

12. Hudon, N. Equivalence to Dissipative Hamiltonian Realization / N. Hudon, K. Hoffner, M. Guay // Proceedings of the 47-th Conference on Decision and Control, Cancun, Mexico. 2008. -P. 3163-3168.

13. Cheng, D. Pseudo-hamiltonian realization and its application / D. Cheng, T. Shen, T. J. Tarn // Communications in information and systems. - Dec. 2002. - Vol. 2, № 2. - P. 91-120.

Библиографический список

1. Saffman, P. G. Vortex dynamics / P. G. Saffman. -Cambridge University Press. - 1992. - 312 p.

2. Chukanov, S. . Definitions of invariants for n-dimensional traced vector fields of dynamic systems / S. Chukanov // Pattern Recognition and Image Analysis. - 2009. - Vol. 19, № 2. -P. 303-305.

3. Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. - М. : ГИФМЛ, 1959. -211 с.

УЛЬЯНОВ Дмитрий Владимирович, аспирант кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

Адрес для переписки: дгау^эх@1М.ш

Статья поступила в редакцию 25.10.2012 г.

© Д. В. Ульянов

Книжная полка

51/С23

Сборник задач по высшей математике : учеб. пособие для бакалавров вузов, обучающихся по направлениям и специальностям в области техники и технологии. В 2 ч. / В. Н. Земсков [и др.] ; под ред. А. С. Поспелова. - М. : Юрайт, 2012.

Ч. 1. - 1 о=эл. опт. диск ^^ОМ). - ISBN 978-5-9916-1369-9. -978-5-9692-1209-1.

В сборнике содержатся задачи по основам математического анализа, векторной алгебре и аналитической геометрии, линейной алгебре, дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных, кратным интегралам и дифференциальным уравнениям. Приведенные краткие теоретические сведения, иллюстрируемые большим количеством разобранных примеров, позволяют использовать сборник для всех видов обучения, а также для самостоятельной работы студентов. Соответствует государственному образовательному стандарту нового поколения.