Декомпозиция развивающейся системы управления на компоненты ограниченной сложности Текст научной статьи по специальности «Математика»

тельном учете влияния Д1 ■ Д5 в знаменателях (3) ■ (6), расхождение теоретических и экспериментальных результатов уменьшается, однако требует и гораздо более объемных вычислений с помощью ЭВМ.

Как видно из рис. 2, предложенная методика позволяет получить вполне удовлетворительные результаты для оценки величины сдвигов фаз, возникающих в диодном смесителе при гетеродинном преобразовании частоты.

Приведенная методика с успехом может быть применена также и для расчетов коэффициентов передачи (потерь преобразования) диодных смесителей.

Литература

1. Белами Дж. Цифровая телефония: Перевод с англ. М., 1986. Гл. 7.

2. Амплитудно-фазовая конверсия / Под ред. Г.М. Крылова, М., 1976. С. 205-213.

3. Коротков К. С. Измерение сдвига фаз, вносимого смесителем в процессе преобразования в сигнал промежуточной частоты // Техника средств связи. Сер РНТ. 1991. Вып. 8. С. 41 - 46.

4. Коротков К.С., Малышков В.Е. Устройство для измерения амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик четырехполюсников с преобразованием частоты: А.с. СССР № 1538149 GOIR 27/28 // Опубл. 23.10. 90. Бюл. № 3.

5. Christopher J. Clark, Andrew A. Moulthrop, Michael S. Muha and Christopher P. Silva. Transmission Response Measurements of Frequency-Translating Devices Using a Vector Network Analyzer // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1996. Vol. 44. № 012. December. P. 2724 - 2737.

6. Коротков К.С. Гончаров М.Л. Седлецкий В.Б. Петров Г.В. Некоторые особенности построения балансных смесителей с СВЧ промежуточной частотой // Техника средств связи. Сер. РИТ. 1976. С. 38 - 46.

Кубанский государственный университет, г. Краснодар 13 апреля 2004 г.

УДК 681.5

ДЕКОМПОЗИЦИЯ РАЗВИВАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ НА КОМПОНЕНТЫ ОГРАНИЧЕННОЙ СЛОЖНОСТИ

© 2004 г. М.В. Савельев, Р.Ю. Исраилов

Задачи декомпозиции развивающейся системы на компоненты ограниченной сложности возникают в связи с компоновкой управления инженерной сети в конструктивные блоки, ограниченные по объёму и по числу внешних связей. [1-3, 5-7, 9]. Поскольку объём конструктивного блока практически ограничен, то в каждом блоке при компоновке системы может быть размещено лишь множество таких элементов, общий объём которых не превышает вместимости блока. Кроме того, конструктивные блоки соединяются между собой посредством соединений с ограниченным количеством связей. Тем самым накладывается ограничение на число внешних связей каждого блока с элементами других блоков. Формально рассматриваемая задача сводится к разбиению специально вводимого графа, являющегося подходящей моделью рассматриваемой инженерной сети, на подграфы ограниченной сложности.

Пусть имеется граф О = (V, и) и его подграф О0 = (V), и0), порождённый некоторым подмножеством вершин У0 с V, таким, что никакие две вершины из V - У0 не смежны. Пусть всем вершинам и рёбрам графа О0 приписаны некоторые натуральные числа, называемые их весами. Вес ребра и е и0 обозначается через р(и), а вес вершины /е V0 - через Каждое

множество Y с V0 характеризуется величинами w(Y) и д(У), определяемыми следующим образом:

w(Y) =Е V/, д(У) =\VY\+Z Р(и), (1)

/еУ иеиу

где VY - множество вершин из V - У0, смежных одновременно вершинам в Y и вершинам в У0 - Y, и ^ -множество рёбер из и0, инцидентных одновременно вершинам в Y и вершинам в У0 - Y. В дальнейшем для любого множества вершин {/,], ..., /} вместо д({/,],..., /}) пишем д(/, ],.., /). Например, в графе на рис. 1, в котором V—V0 = {Ь, £ к} для Y = {а, с, ё} имеем w(Y)=13, и={ае, ек}, VY={Ь, £ к} и д(Г) = 7. Пусть, кроме того, заданы два натуральных числа д и причём V > VI для каждого /е V0. Требуется найти (если возможно) разбиение Я множества V0 с минимальным числом классов V],...,Vтак, чтобы выполнялись

Я

следующие ограничения :

w(V■) < V, (2)

д^,) < д, (/ = 1,...,\Я\). (3)

В дальнейшем всякое такое разбиение Я множества V0 называется (д, w)-минимальным разбиением в графе О.

Рис. 1

Данная задача является одной из разновидностей задачи компоновки развивающейся системы управления в конструктивные блоки [2, 5, 8 - 10]. Граф О = (V, V) в этом случае выступает в качестве модели компонуемой системы в виде инженерной сети: вершины в У0 сопоставляются элементам сети, а рёбра в и0 - множествам связей в сети, объединяющих пары вершин соответствующих элементов. Вес такого ребра равен мощности сопоставленного ему множества связей. Вершинами в V- У0 представляются узлы сети, объединяющие более двух полюсов (промежуточные узлы связей). Ребро, соединяющее вершину в V0 и вершину в V - V0, указывает на инцидентность в схеме соответствующих элемента и сети. Так, граф на рис. 1 является моделью сети, изображённой на рис. 2.

Рис. 2

В связи с указанной интерпретацией графа О вершины в Vo иногда называются элементными, а вершины в (V- V0) - узловыми.

Следует заметить, что рёбрами множества и0 при отображении сети графом О= (УЦ) не обязательно представлять все двухполюсные цепи; часть таких сетей может быть представлена вершинами множества V-V0. В частном случае, когда все сети отображаются вершинами в V—V0 (и ни одна - ребром в Ц0), граф О оказывается двудольным, но обычно более громоздким, так как ребру и е Ц0 приходится сопоставлять в двудольном графе р(и) дополнительных вершин и 2р(и) дополнительных рёбер.

Поскольку объём ^ конструктивного блока ограничен, а размеры ^^ реальных физических элементов т/ конечны, то в каждом блоке 1 при компоновке развивающейся системы может быть размещено лишь множество таких элементов, общий объём которых не превышает w. Отсюда следует ограничение (2) на w(VI) в постановке задачи. Кроме того, конструктивные блоки соединяются между собой посредством соединений с ограниченным числом q контактов. Тем самым накладывается ограничение (3) на число q(V1) внешних связей блока 1, т. е. связей элементов в блоке 1 с элементами других блоков. При подсчёте этого числа все дуги, принадлежащие одной и той же цепи, отождествляются с одной дугой, вследствие чего величина q(V1) вычисляется по приведённой выше формуле (1) при У=У. Общее количество конструктивных блоков, по которым распределяются элементы сети, должно быть наименьшим; отсюда - требование минимальности числа классов в разбиении Я.

Нетрудно видеть, что сформулированная задача является частной задачей декомпозиции типа I с подмножеством ограничений Д={В, С}. В ряде практических ситуаций в постановке задачи компоновки инженерных сетей присутствует лишь одно ограничение (2) - на сумму весов элементов сети, помещаемых в отдельный конструктивный блок. В этом случае задача существенно упрощается и решается как задача разбиения множества чисел [4]. Существуют также варианты задачи компоновки, в которых требуется минимизировать общее число межблочных связей при тех или иных ограничениях на блоки. В данной работе эти варианты не рассматриваются. Далее рассмотрим решение задачи построения (д, w) - минимального разбиения в графе О методом сокращённого обхода дерева поиска по принятой технологии.

Интерпретация. Множество У с V0 называется q-совместимым (несовместимым), если q(У) < q (соответственно, ж(У) < Множество У, являющееся одновременно q-совместимым и ^-совместимым, называется (д, ^-совместимым. Пусть X=Vo, Р -множество всех (д, ^-совместимых подмножеств в X и Р(ЯУ)=\ЯУ\. Тогда решение задачи для <Х, Р, К> является (д, ^-минимальным разбиением в графе О и может быть найдено методом сокращённого обхода дерева поиска. Определим необходимые для этого параметры метода.

Параметры метода. Представляя, как обычно, подмножества некоторого множества булевыми векторами, нетрудно понять, что при согласованной нумерации вершин в X и их весов булев вектор а представляет подмножество вершин У тогда и только тогда, когда он представляет подмножество ЩУ) весов этих вершин (в множестве весов всех вершин). Следовательно, алгоритм ф2 [4], перечисляет (в виде булевых векторов) все максимальные ^-совмес-тимые подмножества чисел из ЩУ), содержащие вершину наибольшего веса. Очевидно также, что каждое (д, ^-совместимое подмножество в У с X является q-совместимым подмножеством некоторого максимального ^-совместимого подмножества 2 с У.

4

2

3

В связи с этим алгоритм перечисления ф для рассматриваемой задачи предложено представлять как композицию (последовательное выполнение) двух алгоритмов - ф2 и ф3. Алгоритм ф2 в любом У с X перечисляет все максимальные ^-совместимые подмножества в Q, содержащие вершину у0 наибольшего веса, а алгоритм ф3 для каждого Q е ф2(У) перечисляет все такие его ^-совместимые подмножества, содержащие вершину у0е У, которые являются объединениями некоторых максимально плотных подмножеств из Q. Множество А с Х называется плотным, если для любого непустого подмножества С с А имеет место д(С) > д(А). По определению, каждый элемент в X образует плотное множество. Конкретная реализация алгоритма ф3 и обоснование его допустимости (в композиции с ф2) будут даны ниже. Операция у исключает из 2= ф(У) всякое такое множество А е 2, для которого в 2 найдётся множество В ^ А со свойством д(А) > д(В). Допустимость этой операции доказывается нижеследующим утверждением.

Граничная функция определяется так же, как в задаче о разбиении множества чисел, а именно F0(У) = =тах(к, I), где 1=\м>(У)1м>] и к - наименьшее целое такое, что в ряду wi1 >... > wiг для {¿I,..., ¿г} = У имеет место wik + wik+1 < -м.

В качестве начального разбиения может быть принято разбиение Я0, получаемое с помощью любого из приближённых алгоритмов р3 или р4, описанных далее.

Свойства плотных множеств и допустимость алгоритма перечисления. Установим некоторые свойства плотных множеств, опираясь на которые, докажем допустимость данных выше алгоритма перечисления ф и операции сокращения у . Эти же свойства понадобятся для обоснования предлагаемой конкретной реализации алгоритма ф 3.

Утверждение 1. Пусть А, В и С - некоторые непустые попарно непересекающиеся подмножества в X и А и В есть плотное множество; тогда д(А и В и С) < < д(В и С) и д(С)< д(В и С).

Доказательство. Введём следующие обозначения для любых непересекающихся подмножеств К, Ь,..., Б вХ

]кь=]киь, Укь...Б=Ук п УьП ... п У8, д(КЬ)=\Укь\ + £ р(и).

ие]КЬ

Пусть Ъ = X - (А и В и С), тогда имеют место следующие легко проверяемые равенства:

д(А иВ)=д(АВ)+д(ВС)+д(А2)+д(В2)-\УАвс\-\Ув\-

-\Уас2\-\Увс2\ + \Уабс2\, (4)

д(А и В) =д(АС)+д(АВ)+д(С2)+д(В2)-\УАвс\-\УАвг\-

-\УАСх\-\УВСх\ + \УАВС21 (5)

д(А) =д(АВ)+д(АС)+д(А2)-\ Уавс\-\Уавв\-\ Уас2 + \Уавс^ (6) д(В) =д(АВ)+д(ВС)+д(В2)-\ Уавс\-\Уавв\-\ Увс2 + \Уавс^ (7) д(С)=д(АС)+д(ВС)+д(С2)-\УАвс\-\УАС2\-\Увс2\ + \Уавс2,

д(А и В и С)=д(А2)+д(В2)+д(С2)-\Ув\-\Увсг\-

-\УАС2\-\УАВС2\. (8)

Из свойства плотности множества А и В следует д(А) > д(А и В) и д(В) > д(А и В), откуда, ввиду (6), (7) и (4), имеем

д(АВ) - д(ВС)>д(В2) - \ Увс2\, (9)

д(АВ) - д(А2)>д(АС) -\Уас\

Вычитая (9) и (8) из (5), получим

д(В и С) - д(С) = д(АВ) - д(ВС)+ д(В2) - \ Уав2\,

д(В и С) - д(А и В и С) = д(АВ) - д(А2)+д(АС) - \ УАВС\.

С учётом (16), (17) и неравенств д(В2) > \УАВг\, д(В2)> \Увс2\, д(АС)> \Уавс \ и д(АС)> \Уас\ правые части последних равенств положительны. Таким образом, д(В и С) > д(С) и д(В и С) > д(А и В и С). Утверждение доказано (и представлено на рис. 3).

Рис. 3

Следствие 1. Пусть К и Ь - соответственно плотное и произвольное подмножества в X такие, что КпЬ=В Ф 0, В Ф К и множество Ь д-совместимо; тогда д-совместимы и множества К и Ь и Ь - К.

Следствие вытекает из утверждения 1 в случае А и В =К и В и С = Ь.

Опираясь на последнее утверждение, нетрудно установить допустимость алгоритма ф. В самом деле, рассмотрим произвольное (д, ^-минимальное разбиение Я1 в графе О, заданное в дереве Бф путём, проходящим через вершину, сопоставленную множеству У, и содержащее в качестве одного из классов некоторое множество В с Q е ф2(У), не являющееся объединением плотных подмножеств в Q. Пусть тогда А есть плотное множество в Q такое, что А п В = = СФ0 и СФА. Рассмотрим все те блоки В1,..., Вг разбиения Я1, которые содержат элементы из А. Очевидно, что тогда В/ п А = С/ Ф 0 и С/ Ф А для каждого / = 1,..., г. Поэтому, в силу следствия 1, множества

А и В, В1 -А,..., Вг-А д-совместимы. Заменим в Ях блоки В, В1,..., Вг множествами А и В, В1-А,..., Вг-А. Повторяя, пока возможно, указанное преобразование, придем, в конце концов, к (д, ^-минимальному разбиению, в котором каждый класс, являющийся подмножеством в Q, есть объединение максимальных, плотных подмножеств из Q. Этим допустимость алгоритма ф установлена.

Утверждение 2. Пусть А, В и С - некоторые непустые попарно непересекающиеся подмножества в X такие, что д(А)>д(А и В), тогда д(В и С) > д(С).

Утверждение 2 доказывается аналогично утверждению 1.

Следствие 2. Если в условиях утверждения 2 множество В и С ^-совместимо, ^-совместимо и множество С.

Покажем теперь допустимость операции сокращения у. Для этого смотрим произвольное (д, w)-минимальное разбиение Й1 в графе О, представленное в дереве путём, проходящим через вершину, сопоставленную множеству У, и содержащее в качестве класса некоторое множество К, для которого в ф (У) существует множество Ь э К со свойством д(К) > д(Ь). Пусть К1, ..., Кг суть все те классы в Й1, которые содержат элементы из Ь , т. е. К пЬ = М{ Ф 0 для каждого I =1,..., г. Ввиду непересекаемости классов в К1 имеет место Ь-М, э К для каждого / = 1,..., г. Если для некоторого I£ {1,..., г} выполняется д(Ь-М) < д(Ь), то д(К) > д(Ь-М}) и по определению у в перечне у ф (У) найдётся множество Ь — Ь-Mi , для которого д(К) > д(Ь ). В этом случае множество Ь примем за Ь, и повторим для него приведённые рассуждения с самого начала. В конце концов, будет найдено множество Ь э К такое, что д(К)> д(Ь) и д(Ь-М) > д(Ь) для всех ,= 1,..., г. Тогда при любом ,е {1,..., г} для множества Ь - М, М, и К, - Мъ выполнены условия утверждения 2 при А = Ь - Mi , В = Mi и С = К - Mi , поэтому на основании следствия 2 имеет место д-совместимость каждого множества К - М. Заменим в класс К множеством Ь, а классы Кь..., Кг множествами К\-Ь,..., Кг-Ь; в результате получим (д, w)-минимальное разбиение, содержащее В в качестве одного из классов. Этим допустимость операции у установлена.

Утверждение 3. Если К и Ь суть плотные множества в X и К п Ь=МФ0, то К с Ь или Ь с К.

В самом деле, если это не так, то МФ К или МФ Ь. В этом случае, в силу утверждения 1, д(К-М)<д(К) или д(Ь-М)<д(Ь), что противоречит плотности множества К или Ь соответственно.

Следствие 3. Различные максимальные плотные подмножества любого множества вершин в X не пересекаются.

Утверждение 4. Пусть А\...,Ат для т > 2 суть плотные попарно непересекающиеся подмножества в X такие, что среди любых I из них Ад,..., Ац для 2 < I < т-1 имеется хотя бы одно такое подмножество А^ ] е {'ь..., ц}, для которого д(А3) < д(Ай и... и Ац). Тогда множество А=А, и •• иАт плотное, если и только если д(А,)>д(А) для каждогоу=1,..., т.

Доказательство. Необходимость очевидна. Достаточность. Рассмотрим произвольное непустое подмножество В с А и покажем, что д(В)>д(А). Возможны следующие случаи:

1) B сAj для некоторого j {1,..., т}; тогда, ввиду плотности Aj, g(B)>g(Aj)>g(A);

2) B = An и... и An для некоторых i1,..., i, и 2<l<m-1; тогда 3je {ib..., i,} (g(B)>g(Aj)>g(A));

3) B = А Л и ... и A,, и C, где 1< l< m-1 0 Ф С с с a,, +1, для некоторых ib..., il+1. Тогда по утверждению 1 g(B)>g(B и а,, +1) - g(All и ... и а,, +1). Если l = m- 1, то Ал и ... и Ад=A и, следовательно, g(B) > >g(A). Если же l< m-1, то по доказанному в случае 2 g(A й и... и А , +1) > g(A) и снова g(B) > g(A). Утверждение доказано.

Подмножество А с V0 называется связным в графе G, если связны подграф GA , порождённый А, или граф (K, Z), в котором К есть множество компонент графа Ga и {ab} e Z, если и только если существует по крайней мере одна такая вершина в V - V0, которая смежна в G некоторым вершинам каждой из компонент а и b и несмежна вершинам вне подграфа GA.

Утверждение 5. Любое плотное множество вершин А с V0 связно в графе G.

Это утверждение следует из того, что неравенство g(C) > g(A) для непустого С с А возможно лишь тогда, когда существуют вершины ie C и j e А - C такие, что i и j смежны в G друг другу или некоторой вершине ke V-V0, не смежной вершинам из V0 -А.

Работа выполнена в рамках проекта РФФИ -№ 01-03-00-332.

Литература

1. Абрамов Н.Н. Водоснабжение: Учебник для вузов: 3-е изд. М., 1982.

2. Буч Г. Объектно-ориентированное проектирование с примерами применения: Пер. с англ. М., 1992.

3. Гриценко Ю.Б. Применение геоинформационных технологий при эксплуатации водопроводных сетей // Геоинформатика. Теория и практика. Вып. 1 / Под ред. А.И. Рюмкина, Ю.Л. Костюка. Томск, 1998. С. 225-234.

4. Гриценко Ю.Б., Жуковский О.И. Проблемно-ориентированные компоненты ГИС «Водоканал» // ГИС для оптимизации природопользования в целях устойчивого развития территорий: Материалы междунар. конф. 1-4 июля 1998г. Барнаул,1998. С. 451-454.

5. Евдокимов А.Г., Тевяшев А.Д. Оперативное управление потокораспределением в инженерных сетях. Харьков, 1980.

6. Манюк В.И., Каплинский Я.И., Хиж Э.Б. и др. Наладка и

эксплуатация водяных тепловых сетей: Справочник. М., 1988.

7. Трофимов А.М., Панасюк М.В. Геоинформационные системы и проблемы управления окружающей средой. Казань, 1984.

8. Щербаков В.Г. Вопросы идентификации параметров трубопроводных систем гидравлических сетей: Дис. ... канд. техн. наук. Томск, 1979.

9. Jackson M.A. A Principles of program Design. N.Y., 1975.

10. Landerforce B. Theoretical Analysis of Information System. Lund, 1966.

30 апреля 2004 г.

Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)