CC BY
13
УДК 539
ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ТРАНСЛЯЦИОННО-АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ ПРИ КРУЧЕНИИ
STRAINED STATE OF ANISOTROPIC BODIES THROUGH TORSION Б. Г. Миронов, Т. В. Митрофанова B. G. Mironov, T. V. Mitrofanova
ФГБОУ ВПО « Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары
Аннотация. Рассматриваются соотношения теории трансляционной анизотропии при кручении. Исследовано деформированное состояние тела. Показано, что характеристики являются прямыми линиями, вдоль которых касательные напряжения сохраняют постоянное значение.
Abstract. The article considers the correlation of the theory of translational anisotropy through torsion. The strained state of the body is researched. It is shown that the characteristics are straight lines along which the shear stresses remain constant.
Ключевые слова: идеальная пластичность, кручение, трансляционная анизотропия, перемещения, деформация.
Keywords: perfect plasticity, torsion, translational anisotropy, displacement, deformation.
Актуальность исследуемой проблемы. Использование новых методов пластической деформации является одним из наиболее перспективных направлений в создании мелкокристаллических материалов с уникальными свойствами. В качестве способа деформации часто выбирают кручение.
Материал и методика исследований. В работе используются апробированные модели механического поведения тел и математические методы исследования, результаты не противоречат исследованиям других авторов. Кручение изотропных цилиндрических и призматических стержней в случае, когда боковая поверхность стержней свободна от касательных нагрузок, а также в случае, когда боковая поверхность стержня находится под действием внешнего переменного давления, рассмотрено в работах [2], [5], кручение анизотропных цилиндрических и призматических стержней - [2], [4]. В работе [3] определено предельное состояние сектора анизотропного кругового кольца при кручении.
В настоящей статье рассматривается предельное состояние трансляционноанизотропных тел при кручении.
Результаты исследований и их обсуждение. Из работы следует, что характеристики соотношений, описывающих как напряженное, так и деформированное состояние тела, совпадают. При этом характеристики являются прямыми линиями, вдоль которых касательное напряжение сохраняет постоянное значение.
В работе исследуется предельное состояние тела в случае трансляционной идеальнопластической анизотропии. Предполагается, что предельное условие для напряжения в случае трансляционной анизотропии имеет вид [1]
(t -ki)2 + (туг -k2)2 = k2, (1)
где txz ,tyz - касательные напряжения, k1, k2, k - const.
Компоненты напряжения удовлетворяют условию
^х = ^z =txy = О,
Эг Эгу
Эх Эу
= 0.
Положим
(2)
txz = к (в) cos в, t = к (в) sin в, =tg в.
y t
(3)
Подставляя выражения (3) в (2), имеем
(к' cos в - к (в) sin в)— + (к' sin в + к (в) cos в)— = 0, к' = dk.
Эх Эу dO
Система уравнений для определения характеристик (4) имеет вид
dx = dy = dO к' = dк
к' cos в- к (в) sin в к' sin в + к(o)cosO 0 , dв
Из (5) получим, что угол в есть угол наклона характеристики к оси х и вдоль ха-
рактеристики выполняется соотношение в = const.
С учетом (3) условие (1) запишется в виде
tXz +t = к2 (в), (6)
(4)
(5)
где
к (в)=^cos^-mW i -p2sin2 (в-m),
р = 4кі2 + к22, tgm=к-.
к1
(7)
Определим деформированное состояние тела. Из соотношений ассоциированного закона пластического течения получим:
Єх = Єу = Є = Єху = 0
2t - 2кк
, Эв
V
Эг
2Є =1
xz J
2t - 2кк
Эв
V
Эг
yz
к' = dk
= Ю’
(8)
где e - компоненты тензора скоростей деформации.
Согласно (3) из двух последних соотношений (8) следует
£xz I tyz '
к'
—г I = eI t +—г
к'
■ (9)
£ ' хг I ~ ух I ■ xz £ уг I V '
В случае малых деформаций в соотношениях (9) возможен переход от компонент скоростей деформаций в у к компонентам деформации в у :
e = e = e = e = О,
x y z xy ’
к' ^ ( к' ^ (10)
e It -
xz yz
Из(10)следует
e I t----------------1 I = e It-----------------------1 ,
xz \ yz к xz I yz I xz к yz ¡
Эw Эи V к Л (dw ЭиЛ( к
эх + эХ J[tyz - кtxz I=[ эх + эХ J[txz + кtyz
Эи = Эи = Эw = 0 Эи + Эи = 0
Эх Эу Эz ’ Эу Эх
(11)
где и, и, w - компоненты перемещения вдоль осей х, у, г соответственно.
Удовлетворим уравнениям (11), полагая
и = СУ2, и = -£хг, w = w( х, у), (12)
где С - крутка.
Выражения (12) означают, что каждое сечение тела поворачивается как жесткое целое и депланирует вдоль оси г .
Для определения функции w, являющейся депланацией сечения, воспользуемся уравнениями (11), (12) и (3). Получим
^ ГЭw ^
, Эх
Из (13) имеем
-----+ Су |(к sin в- к' cosO)=-cx (к cosO + к' s^O). (13)
I Эу J
— (- к sin в + к' cos в) + — (к cos в + к' sin в) = дх 'Эу V ' (14)
= %\у(к sin в - к'cos в) + х(к cos в + к'sin в)].
Соответствующие уравнения для определения характеристик имеют вид
dx dy
- к sinв + к cos в к cosO + к cos в
dw
(15)
с\у(к sin в - к cos в)+х(к cos в + к sin в)]
Из уравнения (15) видно, что характеристики уравнения (14) совпадают с характеристиками поля напряжений [1]:
к sinв + к (O)cosO „
у =^----------—-------х + C. (16)
к cos в- к (в^тв
Найдем условие на характеристиках. Обозначим через ds элемент характеристики. Тогда вдоль характеристики имеем
— = с\у(к sin в- к cos в) + х(к cos в + к sin в)]. (17)
С учетом выражения (15) получим
— =сс(в)(к sin в- к cos в). (18)
Отсюда следует
w = %c(6)(k sin#- k' cos e)s + c1, (19)
где c1 - постоянная, своя вдоль каждой характеристики.
Постоянная c1 определяется из граничных условий для перемещения w . Рассматривая линию разрыва напряжений как предельное положение жесткого слоя, положим деформацию сдвига на этих линиях равной нулю. Тогда получим
Ow Ow
2exz = — + С = 0, 2exz = — + c = 0. (20)
ox ox
Согласно (20) вдоль линии разрыва имеет место соотношение
dw = c(- ydx + xdy). (21)
Так как w определяется с точностью до жесткого перемещения, то, принимая в какой-нибудь точке линии разрыва w = 0 и интегрируя уравнение (21) вдоль линии разрыва, положение которой известно, находим значение w во всех точках линии разрыва, следовательно, константа c1 для каждой характеристики будет известна.
Резюме. Полученные результаты позволяют оценить несущую способность трансляционно-анизотропной конструкции при кручении.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ивлев, Д. Д. О соотношениях трансляционной идеальнопластической анизотропии при кручении / Д. Д. Ивлев, Б. Г. Миронов // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Серия : Механика предельного состояния. - 2010. - № 2 (8). - С. 576-579.
2. Ивлев, Д. Д. Теория идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев. - М. : Наука, 1966. - 231 с.
3. Козлова, Л. С. Кручение сектора анизотропного кругового кольца при действии переменного давления / Л. С. Козлова, Б. Г. Миронов // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. - 2010. - № 4 (68). -С. 132-136.
4. Козлова, Л. С. Предельное состояние призматических стержней при кручении / Л. С. Козлова // Чуваш. гос. пед ун-т им. И. Я. Яковлева. - Чебоксары, 2010. - 7 с. - Библиогр. : 3 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 29.04.10, № 232-В2010.
5. Миронов, Б. Г. О кручении призматических стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей / Б. Г. Миронов // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. - 2006. - № 1 (48). - С. 98-101.
