Деформирование тонкой спицы с учетом геометрической нелинейности Текст научной статьи по специальности «Физика»

Решетневскце чтения

УДК 539.3(075.8)

Р. А. Сабиров

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ДЕФОРМИРОВАНИЕ ТОНКОЙ СПИЦЫ С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

Выведены геометрически нелинейные уравнения равновесия изгибаемого стержня (спицы) по деформированной схеме. Дискретизация уравнений выполнена методом конечных разностей; линеаризация дискретных нелинейных уравнений осуществлена методом Ньютона. Исследования сходимости прогибов показали, что величина приложенной на конкретную спицу нагрузки ограничена.

Составлены дифференциальные уравнения равновесия деформированного элемента изначально прямолинейной спицы (стержня) (рис. 1). В подобных уравнениях выполняется линеаризация нелинейных уравнений, ограничивающая углы поворота сечений: cos J = 1, cos(J + d J) = 1, sin J = J, sin(J + dJ) = J + dJ [1]. В разрабатываемой модели деформирования, таких замен нет, а для функций cos(J-AJ) и sin(J-AJ) выполнено разложения в ряд Тейлора с удержанием линейных членов: sin(J - AJ) = sin(J) - cos(J) A J, cos( J - A J) = cos(J) + + sin(J)AJ (рис. 1, а). Принята модель Бернулли и закон Гука.

Полученные нелинейные уравнения равновесия запишем в виде невязок:

(

fx (u, v) = + ES

du . dv ES— sin--+ EJx

d 3v

ds

ds

ds'

cos-

dv ds

\ ,2

d2 v ds2

d 2u ds 2

dv

cos--EJ,

d 4v

ds

ds

(

fy (u,v) =

du

dv

- ES— cos — + EJ,

dv

4 sinds+ ^

d3v . dv

ds

ds

ds3

sin

ds

d 2v

ds 2

, d 2u

dv

+ ES—— sin— + EJ.

d 4v

ds2

ds

ds

dv

4 cos ds+qy.

Граничные условия: и(0) = 0, у(0) = 0, 9(0) = 0; N(I) = Рх, 0(/) = Ру, Мх (I) = М . Здесь Рх, Ру - проекции заданной нагрузки; М - заданный изгибающий момент.

Требуется найти такие векторы и и V, для которых невязки равны нулю: /х (и,V) = 0, /у (и,V) = 0.

Разложив функции в ряд Тейлора, получаем процедуру Ньютона:

dfx (u v) dfx (u, v)

du

dv

dfy (u, v) dfy (u, v)

>y_ _

du

uk+1 =uk +Au

Au Av

[ /X (и, V)) _1 [ /у (и, V) )

дv '

где и'"* = и" +Ди , vk+l =vk +Ди . Здесь к - номер итерации.

Исследованы решения задачи изгиба спицы на действие распределенной нагрузки ду (рис. 1, б). Приведем пример для конечно-разностной сетки с шагом st = I /10 (I = 30 см). Модуль Юнга

Е = 2-1011 Па, момент инерции Зх = 0,00025 см4.

Разработанная геометрически нелинейная модель деформирования дает достаточно быструю сходимость прогибов при любых начальных приближениях. Однако оказалось, что нельзя прикладывать к стержню нагрузку какой угодно величины - существует предельная нагрузка.

Q + dQ Mx+ dMx

vV.^p'»-'6

N+dN

v+dv

P

Яу -JÁ M

>2 3 4 5

-t-f-r

6 7 8 st= l/n

l

10 11 13*14 15

а б

Рис. 1. Спица, представляющая собой существенно изгибаемый стержень:

O

"Крупногабаритные трансформируемые конструкции космических аппаратов

а - бесконечно малый элемент деформированного стержня; б - спица закреплена слева; показаны нагрузки

и конечно-разностная сетка

Рис. 2. Эпюры прогибов спицы от нагрузки ду = 0,058 кН / м: нижняя линия - эпюра прогиба

на первой итерации, а верхняя линия - эпюра прогиба на третьей итерации метода Ньютона, отвечает решению геометрически нелинейной задачи

При превышении этой нагрузки итерационный процесс Ньютона расходится. Для приведенного примера предельной нагрузкой оказалась ду = 0,058 кН /м.

Прогибы торца стержня сходятся к значению

17,08 см : у0 = 11,86 см, у1 = 15,22 см, у2 = 16,63 см, у3 = 17,08 см (рис. 2).

При ду > 0,058 кН/м прогибы расходятся с любого начального приближения.

Библиографическая ссылка

1. Светлицкий В. А. Механика стержней : в 2 ч. Ч. 1. Статика. М. : Высш. шк., 1987.

R. A. Sabirov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

DEFORMATION OF A THIN SPOKE TAKING INTO ACCOUNT GEOMETRICAL NONLINEARITY

Geometrically nonlinear equations of balance of a bent core (spoke) according to the deformed scheme are deduced. Researches of convergence of deflections showed that the size of the loading enclosed on a concrete spoke is limited.

© Сабиров Р. А., 2012

УДК 629.7.023

В. И. Сливинский

ПАО «Украинский научно-исследовательский институт технологии машиностроения»,

Украина, Днепропетровск

В. Е. Гайдачук, А. В. Кондратьев, В. В. Гаврилко Национальный аэрокосмический университет «ХАИ» имени Н. Е. Жуковского, Украина, Харьков

М. Е. Харченко

Днепропетровский национальный университет имени О. Гончара, Украина, Днепропетровск СОТЫ НА ОСНОВЕ УГЛЕРОДНОГО НАПОЛНИТЕЛЯ ДЛЯ КОСМИЧЕСКОЙ ТЕХНИКИ

Проведен сравнительный анализ удельных механических характеристик сотов различных марок. Оценено влияние различных схем армирования углеродного наполнителя на свойства сотов с помощью метода конечных элементов (МКЭ). Показано направление создания углесотопластов космического назначения.

Среди широкой гаммы полимерных композицион- сить прочность, жесткость агрегатов и расширить их

ных материалов особый интерес представляет конструк- ресурс работы.

ционный материал на основе углеродного наполнителя. Углесотопласт, имея максимальные абсолютные

Так, трехслойные конструкции с сотовым запол- и удельные показатели прочности и жесткости при

нителем (СЗ) на основе углеродного наполнителя - сдвиге и сжатии, обладает минимальным коэффици-

углесотопласт (УСП) позволяют значительно повы- ентом линейного расширения и в сочетании с угле-