CC BY
40
Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 742-744
УДК 532.5
ДЕФОРМАЦИЯ КАВИТАЦИОННЫХ ПУЗЫРЬКОВ В КОМЕТООБРАЗНЫХ СТРИМЕРАХ
© 2011 г. А.И. Давлетшин
Институт механики и машиностроения Казанского научного центра РАН
davanas @шаП. ги
Поступила в редакцию 16.06.2011
Теоретически исследована эволюция малых деформаций, расположенных в линию, изначально сферических пузырьков при их совместном однократном расширении-сжатии в условиях экспериментов по акустическому сверхсжатию кавитационных пузырьков в дейтерированном ацетоне.
Ключевые слова: кавитационные пузырьки, акустическое сверхсжатие, деформация пузырьков.
Введение
Рассматривается эволюция малых искажений сферической формы кавитационных пузырьков в стримере (т.е. пузырьков, расположенных на од -ной прямой) при их однократном сверхсильном расширении-сжатии в условиях экспериментов [1]. Давление жидкости (дейтерированного ацетона при температуре 0 °С) изменяется по гармоническому закону с частотой 19.3 кГц и амплитудой 15 бар. Статическое давление жидкости р0 равно 1 бар. Считается, что, как и в экспериментах [1], пузырьки возникают в жидкости в тот момент, когда давление жидкости минимально (-14 бар). Предполагается, что все пузырьки стримера возникают одновременно. При отрицательном давлении жидкости пузырьки сильно расширяются (до радиуса порядка 500 мкм), а при положительном сильно сжимаются (до радиуса порядка 20 мкм). Пузырьки в экспериментах зарождаются с радиусом порядка десятка нанометров и самой разнообразной формы. Однако величина и форма зарождающихся пузырьков на их динамику при радиусах больше 10-20 мкм существенного влиянии не оказывают, поскольку радиус пузырьков фактически изменяется под действием давления жидкости, а форма пузырьков определяется их взаимодействием. Поэтому пузырьки в начале расширения принимаются сферическими, а их радиус порядка 1 мкм.
Математическая модель
Для изучения взаимодействия кавитационных пузырьков в рассматриваемых условиях можно было бы воспользоваться математической моделью [2] динамики отдельного кавитационного пу-
зырька с малой несферичностью, обобщив ее на случай взаимодействия пузырьков. В модели [2] учитывается испарение-конденсация на поверхности пузырька, теплопроводность жидкости и пара, несовершенство пара, ударные волны в полости пузырька и т.д. Однако такое обобщение весьма трудоемко. Кроме того, в результате обобщения получится такая система уравнений, решение ко -торой для взаимодействия более двух пузырьков получить вряд ли удастся из-за больших потребностей компьютерного времени.
В настоящем исследовании показано, что решение рассматриваемой задачи можно с удовлетворительной точностью получить и при использовании значительно более простой модели, согласно которой испарение и конденсация на поверхности пузырьков не учитываются, эффекты вязкости и сжимаемости жидкости считаются малыми, поведение пузырьков — близким к изотермическому, газ в пузырьках - идеальным гомобаричес-ким. С учетом этого уравнения взаимодействия пузырьков настоящей работы сначала выводятся в рамках модели идеальной, несжимаемой жидкости для изотермических пузырьков, а потом в качестве поправок учитываются эффекты вязкости, сжимаемости жидкости и теплообмена между пузырьками и жидкостью. При этом полагается, что пузырьки находятся не очень близко друг к другу, так, что величиной 55 по сравнению с 1
можно пренебречь. Здесь 5 = шах[(Я + Я) /ё у ],
/, У
где /,7 = 1, 2, К (К — количество взаимодейству-
ющих пузырьков); Яу - радиусы пузырьков; ёу = 2 - 2у\ - расстояние между центрами /-го и у-го пузырьков, 2Р 2 - координаты центров пузырьков.
Поверхность /-го пузырька представляется в
виде суммы поверхностных сферических гармоник:
F, (ri,01, t) =
" N ~
= ri - Ri (t) І +XB ni(t) Pn (c0S 0i) = 0,
_ n = 2 _
где t - время; ri, 0i - компоненты сферической системы координат с началом отчета в центре i-го пузырька; N - число гармоник, используемых в
ам-
представлении поверхности пузырьков; вп плитуда искажения поверхности г-го пузырька от сферической формы гг = в виде поверхностной гармоники РИ(С08 0г) с номером п. Величины впг предполагаются малыми, так, что степенями в2 и выше по сравнению с 1 можно пренебречь. Здесь е = тах( в пг).
п, г
Разрешающие соотношения математической модели представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно радиусов пузырьков, координаты их центров и амплитуд искажений их формы от сферической и первого порядка относительно температур газа в пузырьках, которая при заданных начальных условиях решается численно высокоточным методом Рунге-Кутта с переменным шагом интегрирования по времени.
Результаты расчетов
На рис. 1 даны зависимости максимальных значений амплитуды эллипсоидальных искажений (сферичность пузырьков в стримере оказывается наименее устойчивой к эллипсоидальным искажениям) в процессе сжатия | в2 г | от безразмерного расстояния К между соседними пузырьками при числе пузырьков в стримере К = 2, 3, 5, 6. Здесь К = ШБ, й - размерное расстояние между центрами пузырьков (предполагается, что пузырьки расположены на одинаковом удалении друг от друга), Б - средний диаметр пузырьков в момент их максимального расширения (радиусы пузырьков в момент максимального расширения различаются незначительно).
Из рис. 1 следует, что при однократном совместном расширении-сжатии пузырьков в стримере в условиях экспериментов [1] с увеличением расстояния между пузырьками устойчивость их сферической формы повышается. Это объясняется ослаблением взаимодействия пузырьков и уменьшением скоростей их пространственного смещения. Устойчивость боковых пузырьков при
любом числе пузырьков в стримере значительно ниже, чем устойчивость центрального пузырька стримера при любом расстоянии между соседними пузырьками. При этом величина максимального значения амплитуды эллипсоидальных искажений сферичности центрального пузырька стримера в процессе сжатия слабо отличается от значений амплитуды искажений для стримеров, состоящих из 3, 5, 6 и более пузырьков. Это означает, что удовлетворительные оценки искажения сферичности центральных пузырьков стримера практически при любом числе пузырьков в нем (кроме двух и четырех) можно получить, ограничившись рассмотрением стримера, состоящего лишь из трех пузырьков.
Рис. 1
Воспользовавшись экстраполяцией представленных на рис. 1 результатов на стримеры с малыми расстояниями между пузырьками, можно заключить, что при расстояниях, меньших трехчетырех диаметров пузырьков в момент их максимального расширения, амплитуда искажения от сферической формы у всех пузырьков стримера будет становиться к моменту коллапса равной или больше 1, что физически означает их разрушение. Следует отметить, что подобная экстраполяция не является безосновательной, поскольку при однократном расширении-сжатии влияние нелинейных эффектов, обусловленных деформацией пузырьков, невелико.
Работа выполнена в рамках программы РАН и при поддержке РФФИ.
Список литературы
1. Taleyarkhan R.P. et al. // Science. 2002. V. 295. P. 1868-1873.
2. Аганин А.А., Ильгамов М.А., Нигматулин Р.И., Топорков Д.Ю. // Изв. РАН. МЖГ. 2010. №1. С. 57-69.
DEFORMATION OF CAVITATION BUBBLES IN COMET-LIKE STREAMERS
A.I. Davletshin
Evolution of small deformations of initially spherical bubbles, which are distributed in liquid along a straight line, is theoretically studied in the course of their enlargement - compression under experimental conditions on the acoustic supercompression of cavitation bubbles in deuterated acetone.
Keywords: cavitation bubbles, acoustic supercompression, deformation of bubbles.
