CC BY
49
УДК 539.3
Э. Н. Мишина, Т. Г. Птицына
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 1 (№1)
ДЕФОРМАЦИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОПОЯСЫВАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ*
1. Введение. В последнее время большое внимание уделяется математическому моделированию процессов, происходящих с биологическими объектами. Так в работах [1, 2] и некоторых других построены различные модели часто используемой в офтальмологии операции циркляжа для лечения отслойки сетчатки. Операция состоит в перетягивании склеральной оболочки глаза с помощью опоясывающих жгутов или лент. В указанных работах оболочка глаза полагалась сферической. Однако, как указывает ряд исследователей, оболочка глаза, зачастую, отличается от сферической [3, 4] и может представлять собой вытянутый или сплющенный эллипсоид. В данной работе предлагается развитие методов моделирования в направлении учета асферичности оболочки глаза.
2. Постановка задачи. Рассматривается осесимметричная деформация тонкой упругой эллиптической оболочки вращения постоянной толщины к в линейной постановке. Оболочка заполнена жидкостью, которая создает равномерное нормальное внутреннее давление. Снаружи на оболочку действует опоясывающая нагрузка симметричная относительно экватора. Она создается упругой силиконовой нитью или силиконовой лентой, исходная длина которой I = 2пЯ — А1, где Я — радиус экватора, А1 — укорочение ленты. Схема нагружения оболочки представлена на рисунке.
Рис. 1.
Уравнения равновесия оболочки для осесимметричной деформации приняты в виде
[5, 6]:
(ВТв)' — ТВ' + АВк1 Ив = 0,
(ВИв) + АВ (—кг Те — к2 Т + <^) = 0, (1)
(ВМе)' — Мч> В' — АВИе = 0;
ЕН Ек
Те =“----~2 (^0 + Ту = -----^-(^£0 + е^,),
Ек3 . , Ек3 .
0 = 12(1-г/2)+ М* = 12(1-гу2)(^ + **>)•
(2)
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 01-01-00234.
© Э. Н. Мишина, Т. Г. Птицына, 2004
Здесь и далее ()' обозначает производную по меридиональной координате, Q — распределенную поверхностную нагрузку, обусловленную изменением внутреннего давления и действием ленты (нити). Те, Т — усилия растяжения, Мв, М^ — моменты, Ив — перерезывающее усилие, ев, — деформации растяжения, кв, к^ —деформации изгиба.
Е, V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона оболочки.
3. Перетягивание оболочки нитью. Полагаем, что поперечное сечение нити мало в сравнении с характерным линейным размером оболочки. Напряженно-деформированное состояние может быть приближенно представлено в виде суммы безмоментного деформированного состояния, обусловленного действием внутреннего давления и его изменения и напряженно-деформированного состояния типа краевого эффекта, обусловленного действием локальной нагрузки.
Коэффициенты первой квадратичной формы и главные кривизны поверхности определяются выражениями
1 1 3
А= —, Ь =—(1+ 78ш2(6»))5,
к Яo
БШв 1 1 . . о . , , 1.
В =——, к2 =—(1+ 781П2(6»))2. k2 Яo
Соотношения для деформаций возьмем в виде [6]
п' В'
е0 = —+/?!«;, £^ = -^и + к2Ы,
(3)
(4)
1 (т' , V В'
~А\А~к1иЬ ^-~АВ\А~к1и^
т'
п,т — тангенциальное и нормальное перемещения срединной поверхности, Яо =
а
2
-Ъ2
, 7 = -----г— , где а и Ь — параметры оболочки (длины горизонтальной и вер-
Ъ Ъ2
тикальной полуосей, соответственно).
Перейдем к безразмерным величинам (со значком “ * ”) по формулам
Ек
оТе,Ме) = ецт^т;,ы;), Р = —Р*,
к* = к/Я (Я — наибольший радиус оболочки), Е — модуль Юнга материала оболочки. Безразмерная жесткость нити определяется по формуле
Е* Б
с* =
ЕЯ2 к*’
где Е* — модуль Юнга материала нити, Б — площадь поперечного сечения нити. В дальнейшем значок “ * ” опускаем, и считаем, что все величины безразмерные.
Полное напряженно-деформированное состояние представим в виде суммы безмо-ментного состояния и краевого эффекта
У = У° + уе,
где у — любая из искомых функций.
Рассмотрим сначала уравнения безмоментной теории
Тд + ^сЬдв(Тв - Ту) = О,
Решая эту систему, определим усилия растяжения
гг _ ЕоР 1 гг _ Пор (1 -7вт2(6»))
-*-6 Г» /_ .0/^чч17
2 (1+7зт2(0))2 2 (1 + 7зт2(0))2
Для определения перемещений эллиптической оболочки, находящейся в безмоментном напряженном состоянии, можно написать систему уравнений
(и0)' + и>° =
Те - г/Гу
к\
0 0 Т..
и /Лдв + и> =
о „+„а I „,,о _ ^Те
к2 ’
из которой находим прогиб оболочки на экваторе:
= Д2р(1 - у ~7)
2 2 (1 + 7) '
Далее, рассмотрим влияние локальной нагрузки (нити) и построим интегралы краевого эффекта. Ввиду симметрии задачи рассмотрим верхнюю часть оболочки (0 < в < п/2) и зададим на экваторе следующие условия:
— (и>° + IVе + й) + Кд = 0, (и,е)/ = 0- (5)
Уравнение нелинейного краевого эффекта [7] имеет вид
4 34 те р3 2те е
и ------ - -----+ ше = 0.
р зв4 2 зв2
Предположим, что р настолько мало, что вторым слагаемым можно пренебречь. В частности, для оболочки глаза второе слагаемое на два порядка меньше других.
Тогда получаем линейное уравнение краевого эффекта
4 34те е
'‘^ + “ =0-
решение которого, с учетом того что
те ^ 0, т'(е) ^ 0, при в
имеет следующий вид
ега\ —Р 1^ , —Р2^ I /о о
IV (и) = Схехр----------ь С2вхр----, ГФ = Н/2 — в,
ц ^
где р 1,р2 —корни характеристического уравнения.
Используя условия ( 5 ), находим искомое решение уравнения краевого эффекта:
/ с* цу/2 \ V л/2/х л/2/х/
\2+аЩ))
Если нить нерастяжима, т.е. с* = то, то первое из условий заданных на экваторе принимает вид и> = -3. Решение уравнения краевого эффекта в этом случае определяется по формуле
»= = -Г<г + »° ^,*(«*4—*,.*
2// у л/2ц л/2/л
Максимальное значение напряжения, связанного с безмоментным растяжением оболочки глаза и с ее изгибом в окрестности нити, может быть найдено по формуле [1]
p T1 Ehk2 d2
<тр = Н------------------------
max (6)
Н 2(1 - ^2) 3в2
Максимальное значение напряжения сжатия в направлении главной параллели
T2 Ehvk2 d 2wє
= -/+Ewek2- 2
max (7)
2(1 - ^2) 392
4. Перетягивание оболочки упругой лентой.
Изложенный выше подход позволяет получить достаточно простые аналитические зависимости для оценки напряженно-деформированного состояния эллипсоидальной оболочки в окрестности опоясывающей нагрузки в случае, когда искусственно поддерживается постоянное давление, однако не позволяет определить приращение внутреннего давления, вызванное деформацией оболочки. Кроме того, формулы, приведенные выше, применимы только для достаточно узких лент или нитей. Далее для решения этой же задачи используется метод, аналогичный предложенному в работе [2].
Для описания формы недеформированной поверхности используем следующее представление радиус-вектора
r = R(sin 9 cos ^, sin 9 sin ^, (1 + a) cos 9), (8)
описывающее эллипсоид вращения с полуосями R, R, (1 + a)R. Параметр а характеризует отклонение эллипсоида от сферы радиуса R.
Коэффициенты первой квадратичной формы и главные кривизны поверхности определяются выражениями
1 + а
А = R^J 1 + а(2 + а) sin2 9, к\ =-
A (9)
1 + а (9)
В = R sin9, к2 =—г—.
A
Согласно сдвиговой модели Тимошенко соотношения для деформаций примем в виде
[5]
~/ В^_
А ' "'1~’ АВ'
eg =— + k\w, £v = ~yt;u + k2w,
7' B' w' (І0)
7 ' B ' w'
= a’ х* = лвъ
w
и,ю — тангенциальное и нормальное перемещения срединной поверхности, 7 — угол поворота нормали.
Перерезывающее усилие N пропорционально сдвиговой деформации
5
Мв = -&1£вг, (И)
6
где О = 0.5Е/(1 + V) — модуль сдвига.
Поверхностная нагрузка Q = д—Ар, д — нормальная составляющая вектора внешней нагрузки, Ар — приращение внутреннего давления, вызванное деформацией оболочки после наложения ленты.
Распределенная нагрузка от ленты определяется выражением [2]
д = 0, при \п/2 — в\ > в,
Е Н I (12)
д=^(2пН* - —), при |тг/2-0|</?, ^ '
Е* = Е(1 + £^)вт(0),
2в = Н/Е — угловая высота пояса, Н —ширина ленты, Е8 — модуль Юнга ленты.
Разрешающие уравнения (1), (2), (9) - (11) в перемещениях решаются методом Галеркина с использованием тригонометрического базиса. При этом для расчетов используется матрица, соответствующая сферической оболочке радиуса И, приведенная в [2], а отклонение формы оболочки от сферической учитывается введением дополнительной распределенной нагрузки, эквивалентной изменению геометрии. Нагрузки, определяемые давлением ленты, изменением внутреннего давления и описанная выше уточняются в процессе итераций. Изменение внутреннего давления определяется из условия несжимаемости жидкости, заполняющей оболочку.
5. Анализ результатов. Расчеты были проведены для эллипсоидов с полуосями а = Е =12 мм, Ь = Е(1 + а) = 14.4 мм — вытянутый эллипсоид, а = Е =12 мм, Ь = Е(1 + а) = 10.8 мм — сплющенный эллипсоид, а также, для сравнения, для сферы радиуса Е = 12 мм. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона оболочки равны соответственно Е = 14.3 МПа, V = 0.45. Толщина оболочки Н =1 мм, модуль Юнга силикона Ез = 1.9 МПа. До наложения ленты (нити) на оболочку внутреннее давление р =15 мм рт. ст.
Таблица 1
параметры оболочки,мм ад,мм <тР,МПа <тсж, МПа
а = 12, Ь = 10.8 -0.076 0.20 -0.16
а = 12, Ь = 12 -0.124 0.34 -0.28
а = 12, Ь = 14.4 -0.238 0.75 -0.60
Таблица 2
параметры оболочки,мм ад,мм сгР,МПа <тсж, МПа
а = 12, Ь = 10.8 -0.47 1.03 -1.01
а = 12, Ь = 12 -0.47 1.14 -1.05
а = 12, Ь = 14.4 -0.47 1.30 -1.11
В таблицах 1, 2 приведены численные значения для случая, когда во время операции циркляжа поддерживается постоянное внутреннее давленияе р = 35 мм.рт.ст. Случай растяжимой нити рассмотрен в таблице 1. Из нее можно вывести тенденцию поведения напряжений и перемещений: перемещения и напряжения возрастают, при переходе от сплющенного относительно оси вращения эллипсоида к вытянутому. Эта же тенденция для напряжений видна и в случае, когда нить нерастяжима (таблица 2).
Результаты, полученные с помощью интегрирования уравнений методом Галеркина, представлены в таблицах 3,4. Таблица 3 соответствует укорочению ленты А1 = 12 мм, а таблица 4 — А1 = 30 мм. В них приведены прогибы на экваторе и полюсе эллипсоидальных оболочек и сферы, а также значения внутреннего давления. Эти параметры были получены для упругих силиконовых лент толщины 0.6 мм и шириной 2.5 мм, 9 мм. В в строках а = —0.1 содержатся прогибы и давление, соответствующие сжатому эллипсоиду, а = 0 — сфере, а = 0.2 — вытянутому эллипсоиду. Как видно из таблицы, прогибы оболочек на экваторе при одинаковых нагрузках для вытянутых эллипсоидов больше, чем для сплющенных, сфера занимает промежуточное положение. Что же касается прогибов на полюсе, то здесь наблюдается обратная зависимость, перемещение вытянутого эллипсоида меньше, чем у сплющенного и сферы. Внутреннее давление растет быстрее у вытянутого эллипсоида. Таким образом, из полученных результатов следует, что небольшое отклонение геометрии оболочки от сферы (около 5 — 8%) слабо влияет на напряженно-деформированное состояние. Более выраженная асферичность приводит к большей разнице, в сравнении со сферой (15 — 20%) в прогибах, давлении и напряжениях.
Таблица 3
а Н, мм го(0),мм го(7т/2),мм р,мм рт.ст.
-0, 1 2,5 0.039 -0.058 23
0 2,5 0.034 -0.060 27
0,2 2,5 0.026 -0.064 31
-0, 1 9 0.100 -0.122 39
0 9 0.090 -0.117 52
0,2 9 0.070 -0.108 62
Таблица 4
а Н, мм го(0),мм го(7т/2),мм р,мм рт.ст.
-0, 1 2,5 0.110 -0.209 39
0 2,5 0.102 -0.219 56
0,2 2,5 0.087 -0.240 73
-0, 1 9 0.339 -0.448 89
0 9 0.319 -0.436 141
0,2 9 0.270 -0.407 196
Summary
Mishina E.N., Ptitsyna T. G. Elliptical shell deformation under the influence of the girdled load.
Axisymmetric deformation of a thin elliptical shell is studied. Main stress-strain state parameters are founded by means of an asymptotic method and also by Galerkin method. The results of the research may be applied in ophthalmological practice.
Литература
1. Бауэр С. М., Зимин Б. А., Товстик П. Е. Простейшие модели теории оболочек и пластин в офтальмологии. СПб., 2000.
2. Мишина Э. И. Расчет напряженно-деформированного состояния сферической оболочки при опоясывающей нагрузке // Вестн. С-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1995. Вып. 2 (№8). С. 68-72.
3. Шишкин М. М. Объемно-количественная хирургия осложненных форм отслоек сетчатки. Автореф. дис. канд. мед. наук. СПб., 1992.
4. Иомдина Е. И., Савицкая И. Ф., Винецкая М. И. Возрастные изменения биохимических и биомеханических показателей склеры человека в норме и при миопии // Вестн. офтальмол. 1982. №4. С. 26-29.
5. Родионова В. А., Титаев Б. Ф., Черных К. Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. СПб., 1996.
6. Новожилов В. В., Черных К. Ф., Михайловский Е. И. Линейная теория тонких оболочек. Л., 1991.
7. Григолюк Э.И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М., 1978.
Статья поступила в редакцию 3 июня 2003 г.
