ДЕФОРМАЦИОННО-ПРОЧНОСТНАЯ МОДЕЛЬ БЕТОНА С ДВОЙНЫМ НЕЗАВИСИМЫМ УПРОЧНЕНИЕМ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. ОСНОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТЫ, ПОДЗЕМНЫЕ СООРУЖЕНИЯ

НАУЧНАЯ СТАТЬЯ / RESEARCH PAPER

УДК 624.04: 624.012.4

DOI: 10.22227/1997-0935.2023.4.517-532

Деформационно-прочностная модель бетона с двойным независимым упрочнением

Александр Михайлович Бударин1, Георгий Игоревич Ремпель1, Алексей Александрович Камзолкин, Владимир Николаевич Алехин2

1 Институт Гидропроект; г. Москва, Россия; 2 Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина (УрФУ);

г. Екатеринбург, Россия

АННОТАЦИЯ

Введение. Бетон, будучи неотъемлемой частью современного строительства, является сложным нелинейным материалом. Прочность и деформативность бетона в значительной степени зависят от его напряженно-деформирован- < до ного состояния (НДС). Подобное поведение обусловлено сложной и крайне неоднородной структурой материала. J С Среди бетонных и железобетонных конструкций вновь возводимых и реконструируемых зданий и сооружений при- J н сутствует большое количество элементов, работающих в условиях трехосного НДС. В настоящее время в Федераль- k и ном законе № 384-Ф3 существуют высокие требования к расчетным моделям зданий и сооружений, включающие g необходимость учета физической нелинейности и пластических свойств материалов. В качестве инструмента, по- О Г зволяющего описывать физически нелинейное поведение бетона в условиях сложного НДС, а также учитывающе- ^ О го перечисленные выше требования, может выступать феноменологическая модель материала, построенная на • . основе теории пластического течения. Большая часть моделей бетона, реализованная в «тяжелых» конечно-эле- О S ментных комплексах, ориентированных на универсальное применение, обладает рядом недостатков, затрудняющих h N использование моделей. К основным недостаткам можно отнести: существенное отклонение поверхности прочно- о 1 сти/нагружения от результатов опытных данных; некорректно построенную зависимость между деформативностью О 9 материала и его напряженным состоянием; отсутствие учета эффектов дилатации и контракции; присутствие значи- 0 0 тельного количества зон сингулярностей в поверхности нагружения; отсутствие алгоритмов получения параметров, m 3 используемых для описания поведения материала. Целью данной работы является разработка модели бетона, по- о ( зволяющей с достаточной точностью описывать поведение материала. Модель должна учитывать основные эффек- q i ты, характеризующие НДС материала (эффекты дилатации, контракции), отражать разницу в поведении бетона при 0 ) сжатии и растяжении и обладать минимальным количеством зон сингулярности. Также должны быть представлены > S алгоритмы для получения всех параметров модели материала. t S Материалы и методы. В качестве основы используются результаты анализа и систематического обобщения дан- о' 2 ных, полученных из отечественных и зарубежных источников, посвященных вопросам теории пластичности бетон- m 0 ных и железобетонных конструкций. о, -Результаты. Модель реализована в программном конечно-элементном комплексе ANSYS, позволяющем исполь- > 6 зовать пользовательские модели материала. Проведено сравнение результатов лабораторных испытаний, вы- i о полненных для бетонных и железобетонных образцов при разных видах НДС, с результатами численного моде- c о лирования. U i Выводы. Представленная деформационно-прочностная модель бетона дает возможность с достаточной точностью о ) моделировать поведение материала при разных видах НДС в рамках статического простого кратковременного на- ^ • гружения с учетом физической нелинейности материала, учитывая различное поведение при сжатии и растяжении, О О зависимость деформативности материала от вида НДС, эффекты контракции и дилатации. Поверхность нагруже- m g ния модели содержит единственную зону сингулярности. Представлены алгоритмы получения всех параметров, e 8 необходимых для использования модели материала. 1 ■

Ю П (Г

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: бетон, железобетон, теория пластического течения, деформационная модель, дилатация, J 5

контракция, неассоциированный закон пластического течения, двойное упрочнение u С

® к

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Бударин А.М., Ремпель Г.И., Камзолкин А.А., Алехин В.Н. Деформационно-проч- , ,

ностная модель бетона с двойным независимым упрочнением // Вестник МГСУ. 2023. Т. 18. Вып. 4. С. 517-532. 2 2 DOI: 10.22227/1997-0935.2023.4.517-532

О о 10 10 U W

Автор, ответственный за переписку: Александр Михайлович Бударин, alex.budarin01@gmail.com.

© А.М. Бударин, Г.И. Ремпель, А.А. Камзолкин, В.Н. Алехин, 2023

Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial (CC BY-NC)

Stress-strain concrete model with double independent reinforcement

Alexander M. Budarin1, Georgy I. Rempel1, Alexey A. Kamzolkyn,

Vladimir N. Alekhin2

1 Hydroproject; Moscow, Russain Federation; 2 Ural Federal University named after the First President of Russia B.N. Yeltsin (UrFU);

Ekaterinburg, Russain Federation

ABSTRACT

Introduction. Being an integral part of the modern construction, concrete is a complex nonlinear material. Concrete strength and deformability depend largely on its stress-strain state. Such behavior is due to the complex and highly heterogeneous structure of the material. Among concrete and reinforced concrete structures of newly constructed and reconstructed buildings and structures, there are a large number of elements working in the conditions of the triaxial stress-strain state. Currently, there are high requirements in Federal Law No. 384-FZ for the calculation models of buildings and structures, including physical nonlinearity and plastic properties of materials. A phenomenological material model based on the plastic flow theory can serve as a tool that allows describing the physically nonlinear behavior of concrete under complex stress-strain conditions, as well as taking into account the above-mentioned requirements. Most models of concrete models implemented in "heavy" finite-element complexes oriented to universal application have a number of drawbacks that hinder the use of models. The main drawbacks include significant deviation of the strength/loading surface from the results of experimental data, incorrectly constructed dependence between material deformability and its stress state, no account of dilation and contraction, the presence of a significant number of singularity zones in the loading surface, the lack of algorithms for obtaining parameters used to describe the material behavior. The purpose of this work is to develop a model of concrete that can accurately describe the behavior of the material. Moreover, the model has to take into account main effects characterizing the stress-strain state of the material (dilation, contraction), it has to reflect the different behavior of the concrete under compression and tension and has to have a minimum number of singularity zones. Algorithms for obtaining all material model parameters should also be provided.

Materials and methods. The results of analysis and systematic generalization of the data obtained from domestic and for-P> to eign sources on the theory of plasticity, concrete and reinforced concrete structures are used as the basis.

g g Results. The model is implemented in the finite-element software package ANSYS which allows using the user-defined

(V cy models of the material. The comparison of the laboratory tests results carried out for the concrete and reinforced concrete

samples under different stress-train states with the results of numerical modelling. * 0) Conclusions. The stress-strain model of concrete presented in the paper allows rather accurate modelling of behavior

£ = of material under different types of stress-strain conditions in the framework of static simple short-term loading taking into

c jfl account physical non-linearity of the material, considering different behavior under compression and tension, dependence

of deformability of material on the type of stress-strain state, the effects of contraction and dilatation. The loading surface of the model contains a single singularity zone. The algorithms for obtaining all the parameters required for the material ® ® model are presented.

O — KEYWORDS: concrete, reinforced concrete, plastic flow theory, deformation model, dilation, contraction, unassociated law

of plastic flow, double hardening

c £ FOR CITATION: Budarin A.M., Rempel G.I., Kamzolkyn A.A., Alekhin V.N. Stress-strain concrete model with double

c -5 independent reinforcement. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2023; 18(4):517-532.

SiB DOI: 10.22227/1997-0935.2023.4.517-532 (rus.).

Corresponding author: Alexander M. Budarin, alex.budarin01@gmail.com.

л to to

О -£=

0 у CD <f

S ^ 8 ¡5

™ о ВВЕДЕНИЕ и т.д. Согласно требованиям Федерального закона

от РФ № 384-Ф3 «Технический регламент о безопасно-

^ £ Бетон, будучи неотъемлемой частью современ- сти зданий и сооружений»1, расчетные модели стро-

1 § ного стр°ительства, являетм сложш>1м нелиней- ительных конструкций, кроме всего прочего, долж-0L С ным материалом. Прочность и деформативность ны учитывать физическую нелинейность, а также 8 _ бетона в значительной степени зависят от его на- пластические свойства материалов. В качестве уни-о Е пряженно-деформированного состояния. Подо6- версального инструмента, позволяющего моделист ° ное поведение обусловлено сложной и крайне не- ровать поведение конструкций с учетом сложного - £ однородной структурой материала. Среди бетонных напряженно-деформированного состояния и учиты-от| и железобетонных конструкций вновь возводимых вающего перечисленные выше требования, может т 2 и реконструируемых зданий и сооружений присут- выступать модель бетона на основе теории пласти-* э ствует большое количество мшетто^ работающих ческого течения. В качестве расчетной среды для

W в условиях сложного напряженно-деформирован- численного моделирования выступают «тяжелые»

к S ного состояния. К подобным конструкциям можно вычислительные комплексы (Ansys, Abaqus, Nastran

s | отнести: массивные части гидротехнических со- и т.д.). Подобные комплексы обладают широкими

¡3 оружений и атомных станций, элементы, имеющие _

® £ несимметричное сечение узлы сопряжения верти- 1 Технический регламент о безопасности зданий и соору-

кальных и плитных железобетонных конструкций жений : Федеральный закон от 30.12.2009 г. № 384-Ф3.

вычислительными возможностями, ориентированы на универсальное использование и позволяют создавать пользовательские модели материалов. Значительная часть моделей бетона, реализованных в подобных конечно-элементных комплексах, имеет ряд недостатков, значительно усложняющих применение моделей. К подобным недостаткам можно отнести:

• существенное отклонение поверхности проч-ности/нагружения от результатов опытных данных за пределами областей «простых» видов напряженного состояния (одноосное сжатие, двухосное сжатие, одноосное растяжение и т.д.). Как правило, подобное отклонение приводит к завышению реальной несущей способности материала;

• некорректно построенная зависимость между деформативностью материала и его напряженным состоянием (степенью гидростатического обжатия и углом Лодэ/подобия) [1];

• отсутствие учета эффектов дилатации (увеличение объема бетона вследствие накопления микротрещин и повреждений) [2] и контракции (уменьшение объема материала вследствие разрушения пор) [3], характеризующих напряженно-деформированное состояние материала;

• присутствие значительного количества зон сингулярностей в поверхности нагружения, ухудшающих математическую стабильность модели и точность описания поведения материала;

• отсутствие алгоритмов получения параметров, используемых для описания модели материала.

Таким образом, целью данной работы является разработка модели бетона, позволяющей с достаточной точностью описывать поведение материала. Модель должна учитывать основные эффекты, характеризующие напряженно-деформированное состояние материала (эффекты дилатации, контракции), отражать разницу в поведении бетона при сжатии и растяжении и обладать минимальным количеством зон сингулярности. Кроме того, должны быть представлены алгоритмы для получения всех параметров модели материала.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

В качестве поверхности нагружения модели используется поверхность Менетри - Вильяма [4], модифицированная авторами путем добавления шатра сжатия. Поверхность имеет единственную зону сингулярности, находящуюся в вершине поверхности (с1 = с2 = с3 > 0). Девиаторные сечения поверхности, соответствующие разным степеням гидростатического обжатия, не обладают аффинным подобием. Поверхность нагружения изображена на рис. 1.

Модель определена в цилиндрических координатах Хейга - Вестергаарда: гидростатический инвариант р (1), абсолютное значение которого равно

Рис. 1. Поверхность нагружения модели: a — вид

на плоскость oJ - o3; b — вид на девиаторную плоскость;

c — вид на плоскость oJ - о2 = о3

Fig. 1. Loading surface of the model: a — plane view

oj - o3; b — deviatoric plane view; c — view on plane

норме шарового тензора напряжений, девиаторный инвариант q (2), численно равный норме девиатора тензора напряжений, и угол подобия 9 (3), находящийся в диапазоне от 0 до 60 градусов:

Р =

h

q = ^ 2 • J2;

cos(3-0) =

J,

2 J-

(1) (2) (3)

Модифицированное уравнение поверхности нагружения является квадратичной версией уравнения Менетри - Вильяма и представлено формулой (4). Квадратичная функция (4) имеет «отражение» в области трехосного растяжения (рис. 2), что создает ошибочную мнимую упругую область.

< п i Н

G Г

со со

u-

^ I § °

О 3 o o

=! (

О i о §

Е w

§ 2

n 0

o 6

A Го

r 6

t (

Cc §

CD CD

Рис. 2. Меридиальное сечение функции (4) Fig. 2. Meridional section of function (4)

ai - °2 " °3

Для решения вышеуказанной проблемы для точек с положительным значением координаты р в качестве уравнения поверхности нагружения необходимо использовать формулу (5):

(

f =

f m2

vRh

2

V6 • R

• r(e,0)

fcom (p)

f = r

С • ch - С • ch •m ■

( ГТЛ2 q I3

V3 • R

ъ

R, V 2 у

v h у

Тб • R,

• r (e, 0) -

V3 • R,

ъ

- c, • ch

(4)

(5)

множитель к X, определяющий координату начала шатра сжатия по гидростатической оси, может быть найден по формуле (7) согласно [6], используя значение Кь в МПа; X — координата пересечения шатра сжатия с гидростатической осью, МПа; Н(Х - р) — функция Хевисайда. Использование понижающей функции / (р) позволяет создать плавный переход из регулярной функции в шатер сжатия без образования сингулярности.

r (e,0) =

4 • C1 • cos(0)2 + C2

2 • C1 • cos(0) + C2 ^4 • C1 • cos(0)2

C, = 1 - e2

C„ = 2 • e - 1;

-5• e2 -4• e

(9)

(10) (11)

где Яь — предел прочности бетона на одноосное сжатие; /сот(р) — понижающая функция, описывающая шатер сжатия (8); с, сИ — параметры девиаторного упрочнения и разупрочнения, отвечающие за девиа-торную эволюцию поверхности нагружения.

(О (О

N N

О О

N N

¡г ai

U 3

> (Л

С И

U 00

. r

« flj j

<u <u

О ё —■

о

о У CD <f

8 «

Z ■ ^ от

от IE

Е о ^ с

ю о

S «

о Е

СП ^

т- ^

£

ОТ О

I ^

О (П

R, — 1,2 -

Rvh --

1000 1

• R,

4,46 • exp I —| +1,95 1 11,521

f (P) = 1 -

J com У-i '

Г P - X • RVhV X (1 - Rvh )

• h (x - p),

(6)

(7)

(8)

где R2b — предел прочности на двухосное сжатие, может быть найден по формуле (6) согласно [5], используя значение Rb в МПа; Rvh — безразмерный

e = 1±i; 2 - Г

£ = К. • R2h - Rh2 ;

Rh 2 - Rh 2

m — 3 •-

2h Jvh '-Ht

R,.2 - Ru,2

R • R. e +1

(12)

(13)

(14)

где г(е, 9) — эллиптическая функция, контролирующая степень скругления девиаторного сечения, описывается с помощью формул (9)-(14) согласно [7]; Rbt — предел прочности бетона на одноосное растяжение.

В модели используется неассоциированный закон пластического течения. Поверхность пластического потенциала является комбинированной и состоит из трех поверхностей: geen, gsh, gcom (рис. 3).

Первая поверхность gen представляет собой сферу с центром в вершине поверхности нагруже-

Рис. 3. Комбинированная поверхность пластического потенциала Fig. 3. Combined flow potential surface

ния в зоне трехосного растяжения. Данная поверхность используется для обработки сингулярности в вершине поверхности нагружения [8], может быть описана уравнением (15):

= q +

• R-V3

m

(15)

Вторая поверхность gsh представляет собой полином второй степени, позволяющий смоделировать эффект дилатации, описывается уравнением (16):

gsh - q2 + Ag • q+• p,

(16)

тензор полных деформаций. Далее на основании закона Гука находятся упругие и, следовательно, пластические деформации (путем вычитания тензора упругих деформаций из тензора полных деформаций). Затем можно найти девиатор тензора пластических деформаций и объемный тензор пластических деформаций. Значение угла дилатации ¥ь представляет собой результат деления нормы тензора объемных пластических деформаций на норму девиатора тензора пластических деформаций. Значения угла, полученные по приведенному выше алгоритму в зависимости от класса бетона, приведены в таблице.

где A Bg — безразмерные параметры поверхности gsh. Для построения второй поверхности используются следующие предпосылки: при одноосном растяжении нормаль к поверхности gsh совпадает с траекторией нагружения [9]; при одноосном сжатии угол между нормалью к поверхности gsh и вертикалью равен углу дилатации при стремлении значения p-координаты к минус бесконечности угол между нормалью к поверхности gsh и вертикалью должен стремиться к 0. Угол дилатации является параметром материала. Тангенс угла представляет собой соотношение между нормами тензора объемных пластических деформаций и девиатора пластических деформаций при одноосном сжатии. В общем виде угол дилатации может быть получен с помощью формулы (17):

= arctan

dgsh/dq

\ г

= arctan

В.

2 .q+A

(17)

s У

Используя данные предпосылки, можно получить уравнения (18) и (19), используемые для определения параметров А и В :

g Vâfl/^-tan^)) '

B - Ag + 2 Rbt Bg-Ti+2 •тзз.

(18)

(19)

Для удовлетворения требования постулата Дру-кера параметр Аg должен быть положительным числом, что возможно при выполнении условия (20):

arctan

IL

RhS

\ о

< 4j < arctan

.S.

(20)

Значение угла дилатации в зависимости от класса бетона Dilation angle value according to concrete grade

Класс бетона Concrete grade B15 B20 B25 В30 В35 В40 В45 В50

4,59 5,68 6,62 7,42 8,26 9,17 9,98 11,13

Третья поверхность gcom представляет собой сферу. Данная поверхность используется для возвращения точки на шатер сжатия. Центр сферы находится на гидростатической оси, при этом p-координата центра pcap представляет собой координату экстремума функции поверхности нагружения (место перегиба функции). Выразив из уравнения (4) координату q, находим производную полученного выражения по координате p. Значение pcap может быть найдено, приравнивая числитель полученного выражения к нулю (единственное условие, при котором выражение может быть равно нулю). Результатом преобразований является квадратное уравнение, один из корней которого есть искомая величина p . Алгоритм получения величины p может быть

г cap 1 J г cap

сведен к уравнениям (21)-(24):

A - 4 •л/з • ch • m; B --6• ch• ((X-Rvh • m + Rb • cs);

C = 2^3 • ch-(2• Rvh -1)-m • X2 + + 6 • Rb • Ch • cs • X • Rvh ;

- B-V-B2 - 4 • A • C

Pcap

2 • A

На основании опытных данных или с помощью методик, представленных в нормативных документах, могут быть получены полные осевые деформации при одноосном сжатии. Используя допущение о том, что при достижении поверхности прочности в области одноосного сжатия полные объемные деформации равны нулю [10], может быть найден

gcom - q2 +(p - pcap )2.

Переход между поверхностями в рамках комбинированной поверхности пластического потенциала осуществляется с помощью условий (26), (27), (31):

< п

8 8 Ё н

G Г

S 3

0 СО n СО

1 О y 1

J со

^ I

n 0

О 3 o

=s (

О i

о n

(21) (22)

(23)

(24)

со со

Q)

Третья поверхность gcom может быть получена с помощью уравнения (25):

(25)

м

СО

о о 66

r §6 c я

h о

О )

D

® СО

0в В

■ Т

(Л У

с о DD К

M M

о о 10 10 U W

Б,

g = gen,если p > q■-+-Ag

■ R -V3

(26)

Условие (26) представляет собой уравнение прямой, проходящей через вершину поверхности нагружения в зоне трехосного растяжения. Угловой коэффициент прямой получен из формулы (17) для точки с д-координатой вершины поверхности нагружения (д = 0):

еСЛИ Pcap > Р

g _ sh '

(27)

Условие заключается в сравнении двух гидро-

статических координат: p

к

g _ sh

B„

g _ sh

= q - kg sh ■ p;

(28)

(29)

с помощью эмпирической формулы (32); с^ — безразмерный параметр разупрочнения, контролирующий остаточные напряжения в конце графика разупрочнения. Законы упрочнения и разупрочнения задаются с помощью формул (33), (34):

с„0 =(1 - ехр (-0,052 • Яь0^ ))) ; (32)

ко +(1 -сА0)л •(( -3• кР + 3), кр < 1

координата центра

сферы для возврата на шатер сжатия и р_л — гидростатическая координата точки, в которой линия, совпадающая с нормалью к поверхности gcom, пересекает гидростатическую ось. Значение рg л может быть найдено с помощью формул (28)-(30):

2 • д+Ag

1, kp > 1;

1, kp < 1,

(33)

1 -(1 -)■(-1)2, 2 >kp > 1,

, ( ) (2( 1) kp -2 1 (34) c +(c -c )■ exp 2■(c -1)

res V cu res } r \ cu )

kp > 2,

где ссп — параметр формы диаграммы; может быть задан равным 0,85. Геометрическая интерпретация законов упрочнения/разупрочнения представлена на рис. 4.

(О (О

N N

О О

N N

¡г <D

U 3

> (Л

с и

2 ""„

U оо

. г

« (U j

ф ф

О £ —■

о

о у

8«

Z ■ i ОТ

от Е

— -ь^

Е ¡5

^ с

ю о

S ц

о Е

СП ^ т- ^

от от

"S

I

g _ sh

k

(30)

g _ sh

где кg л — угловой коэффициент прямой, получаемый из формулы (17) на основании условия совпадения угловых коэффициентов рассматриваемой прямой и нормали к поверхности gЛ; Ъ_ л — свободный член рассматриваемой прямой. Использование данного условия позволяет выполнить плавный переход между поверхностями gл и gcom, исключающий «слепые» зоны, в которые возврат точки невозможен. Таким образом, условие перехода к поверхности gsh может быть сформулировано с помощью формулы (31):

g = gsh , если

Б„

■ Rb -J3

p < q + - и p < p sh.

A m _

(31)

1

"AO

ares

0 1 К

В модели используются два независимых механизма эволюции: девиаторная эволюция и эволюция шатра сжатия [11-15]. Девиаторная эволюция (изменение формы поверхности) включает в себя дисторсионное упрочнение наряду с дисторсион-но-изотропным разупрочнением. Эволюция осуществляется за счет изменения параметра упрочнения ск (сю < сь < 1) и параметра разупрочнения с (1 > с > с ). Механизм девиаторной эволюции сконструирован так, чтобы отражать разницу работы материала при сжатии и растяжении. Где ст — начальное значение безразмерного параметра упрочнения, соответствующее нижней границе микротрещинообразования материала [16]. Данный параметр может быть найден на основании [17]

Рис. 4. Геометрическая интерпретация законов девиаторного упрочнения/разупрочнения Fig. 4. Geometric interpretation of deviatoric hardening/ softening laws

Законы упрочнения и разупрочнения являются функциями от внутренней переменной кр (параметр Одквиста). Приращение переменной кр контролируется с помощью оператора Ьв(кр, о), значение которого может быть найдено с помощью формулы (35). Эволюция внутренней переменной кр описывается формулой (36) согласно [18]:

hD (kp , 0) =

m

(kp,о| (2 ■ cos(G))2

-"■--—, kp < 1,

0,5 + cos(G) p

xh( p)

||m (kp,®)Ц (2

(35)

Xs (p)

cos(G) )2

-—, kp > 1;

0,5 + cos(-) p

h

C,_ =

h

b

dk = h п • dk,

p D '

(36)

где m(kp, о) = dg(o)/do — производная поверхности пластического потенциала по тензору напряжений; xh(p), xs(p) — коэффициенты хрупкости для упрочнения и разупрочнения соответственно; dk — пластический множитель [19]. Данные коэффициенты контролируют приращение переменной kp и, соответственно, параметров ch и cs в зависимости от степени гидростатического обжатия. Чем больше степень гидростатического обжатия, тем большая норма тензора пластических деформаций требуется для достижения поверхности нагружения, соответствующей ch = 1 (поверхность прочности) и остаточной поверхности, соответствующей c = c .

17 J s sres

Концепция упрочнения/разупрочнения с использованием коэффициента хрупкости была введена Г. Этсем и К. Вильямом [20]. В данной работе используется авторская модификация закона упрочнения из работ П. Грассла [21, 22]. Значения коэффициентов xh(p), xs(p) могут быть найдены с помощью формул (37-43):

= Бп. Параметр Ск может быть найден с помощью эмпирической формулы (44):

C -12,4 +

10 - B 6,25 ,

(44)

где В — класс бетона.

Механизм девиаторной эволюции поверхности нагружения представлен на рис. 5.

R --JL-_L-Rhs--Rb ~V3;

(37)

xh( p) -

Eh •exp

К

F

V 1 h У

+ Dh, Rhs < 0,

Ah-(Ah -Bh)• exp

с

V h y

(38)

Rb > 0;

xs (p) -

i R Л

Rhs

V Fs y

Es • eXP

Ah-(Ah -Bs)• exp

+ Ds, Rhs < 0,

R

Rhs

C

V h y

Rb > 0;

Eh - Bh - Dh ;

E • C

F - . h h

Bh - A

E, - B - D. ;

E • C

F ^ s ^h

B. - A.

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

2 СП 63.13330.2018. Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения : введен 20.06.2019.

ПараметрыАп, Вп, С, Бп, В, контролируют зависимость коэффициентов хрупкости от р. Данные параметры устанавливаются на основании результатов трехосных испытаний, либо с помощью инженерной методики [23] с использованием осевых деформаций согласно [24]. Для классов бетона В15-В50, нормируемым согласно СП 63.13 3 3 0.20 1 82, могут быть использованы следующие значения: А, = 0,22; В, = 0,00262; Б, = 0,00001; В = 0,00367;

п 7 7 п 7 7 п 7 7 $ 7 7

Рис. 5. Механизм девиаторной эволюции поверхности нагружения: a — общий вид на механизм эволюции; b — упрочнение в зоне вершины поверхности нагружения; c — разупрочнение в зоне вершины поверхности нагружения

Fig. 5. Loading surface deviatoric evolution mechanism: a — general view of the evolution mechanism; b — hardening in the loading surface apex area; c — softening in the loading surface apex area

Эволюция шатра сжатия представлена дистор-сионным упрочнением и контролируется с помощью внутренней переменной Х, являющейся координатой пересечения шатра сжатия с гидростатической осью; позволяет смоделировать необратимую сжимаемость материала. Приращение переменной Х контролируется с помощью оператора hV задается формулой (45) и зависит от объемных пластических деформаций е (46). Эволюция шатра сжатия позволяет смоделировать пластическую сжимаемость бетона (контракцию) [25]:

hV AhV ;

£ pV £ pi + £ p 2 + £ p3,

(45)

(46)

пластические деформации соответственно. Параметр Апг является константой материала и может

< п

8 8 ЁН

G Г

S 3

o

n СО

1 О y 1

J со I

n °

О 3 o

=! (

О i n

П 2

n g

О §

A ГО

r § t (

О ) |м

® Ю

ю в ■

s у с о DD К

M M

о о 10 10 U W

<л ю

■S £

il

О (П

быть найден с помощью формулы (47). Эволюция внутренней переменной Х описывается выражением (48); текущее значение Х может быть найдено с помощью формулы (49):

AhV = '

3 • Eb • (1 - v)

5 • (1 + V) • (1 - 2 • V) Ж = И¥ • dzpV = Лкг • ^• Б у • т(кр,а); (48) X = Х0 + ёХ, (49)

где Б.. — дельта Кронекера; Х0 — начальное значение координаты Х, которое может быть найдено по формуле (50) согласно [6], используя значение Кь в МПа:

Х0 = -17,1 - 1,89 • Яь. (50)

Механизм эволюции шатра сжатия представлен на рис. 6.

(О (О

N N

О О

N N

¡г ai

U 3

> (Л

С И

U оо

. r

« flj j

<u <u

О £

---' "t^

о

о У

8 «

z ■ i w « со IE

E о

CL° ^ с

ю о

S «

о E a> ^

Рис. 6. Механизм эволюции шатра сжатия поверхности нагружения

Fig. 6. Loading surface compression tent mechanism

Значение пластического множителя для метода секущей плоскости (cutting plane algorithm) может быть получено на основании условия согласованности Прагера согласно формуле (51) по аналогии с [26]:

(47) dk = ■

f"

n (kp, a): D: m(kp, a) -

f • к - df-• h

dkp dX

(51)

где п(ка) = д/(в)/да — производная поверхности нагружения по тензору напряжений; Б — матрица жесткости; /,г —значение функции поверхности на-гружения (4), (5) с пробными значениями координат.

Механизм эволюции поверхности зависит от того, в какой области находится точка: область девиаторной эволюции 1, область эволюции шатра сжатия 2, область смешанной эволюции 3. Области эволюции поверхности нагружения представлены на рис. 7.

Граница между областями 1 и 2 разделяет области дилатации и контракции. Граница представляет собой линию, описываемую уравнением (52):

Р = Р

* г ca

(52)

Граница между зонами 2 и 3 представляет собой линию, описываемую уравнением (53):

q = kb \Р - Pcap ),

(53)

где кь — угловой коэффициент прямой, может быть принят равным -0,7.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Деформационно-прочностная модель бетона была реализована в программном конечно-элементном комплексе ANSYS, позволяющем реализовы-вать пользовательские модели материала. Для верификации представленной модели материала было

Рис. 7. Области эволюции поверхности нагружения Fig. 7. Loading surface evolution areas

выполнено сравнение результатов численных испытаний, полученных с помощью модели материала, и результатов лабораторных испытаний. На всех изображениях, демонстрирующих сравнение численных и опытных данных, линиями показаны результаты численных испытаний, точками — результаты, полученные в лаборатории.

В опытах Х. Купфера [27] на бетонных образцах-пластинах воссоздавалась работа материала

при плоском напряженном состоянии. Образцы разных серий испытывались при различных соотношениях главных напряжений. Бетон образцов имел следующие характеристики: Еь = 32 000 МПа; V = 0,18; Кь = 32,8 МПа; ЯЬ1 = 3,3 МПа. Сравнение результатов лабораторных и численных испытаний представлено на рис. 8, 9 (в легенде для каждого опыта указано соотношение ненулевых главных напряжений).

1

о / !

••j

с к ■ > % \

• А ■ А □

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5

Деформации, мм/м / Strain, mm/m

-5

-10

15

-20

25

-30

оЗ/еЗ, оЗ/е2, -сЗ/Е1, оЗ/еЗ, -оЗ/е2, -сЗ/Е1, оЗ/еЗ, -оЗ/е2, -оЗ/е1,-оЗ/еЗ, сЗ/е2, -сЗ/Е1, оЗ/еЗ, сЗ/е2, -сЗ/Е1, оЗ/еЗ, оЗ/е2, -сЗ/Е1,

■1/0,052 ■1/0,052 1/0,052 1/0,103 ■1/0,103 1/0,103 1/0,204 -1/0,204 -1/0,204 -1/0,204 1/0,204 1/0,204 -1/0,103 1/0,103 1/0,103 -1/0,052 -1/0,052 1/0,052

(Модель / (Модель / (Модель / (Модель / (Модель / (Модель / (Модель / (Модель / (Модель /

Model) Model) Model) Model) Model) Model) Model) Model) Model)

Рис. 8. Сравнение результатов численных и лабораторных испытаний, выполненных Х. Купфером для образцов, испытывающих сжатие-растяжение

Fig. 8. Comparison of the numerical model response and laboratory results made by H. Kupfer for samples under compression-tension

o.

£

ГЛ

'd и

« <

и С

S

-j о

/| дп L

К |

Л □ ■ 1 J t |

Я ' «Ö □ 71 1 t Л

ff н / 1 о ft Т».

k^i» J f 1 - 1 V4. V V

• А А — Ш Л ■ 1 □ 1 : ; • \ »■_ А о

. % 1 % 's

-3-2-1 0 1 2 3 Деформации, мм/м / Strain, mm/m

О -5 -10 15

-20 25 30 -35 40 -45 50

оЗ/еЗ, -1/0

стЗ/с2,Е1, 1/0

o3/s3,e2, 1/ 1

сЗ/б1, 1/ 1

аЗ/кЗ, 1/ 0,52

оЗ/е2, — ]/—0,52

<тЗ/е1,-1/-0,52

аЗ/кЗ, 1 /0 (Модель / Model}

стЗ/к2,е 1, 1 /0 (Модель / Model)

аЗ/кЗ,е2, 1/ 1 (Модель / Model)

оЗ/el, -1/-1 (Модель / Model)

<тЗ/кЗ, — I .'—0,52 (Модель / Model)

<тЗ/к2, — I.'—0,52 (Модель / Model)

оЗ/el, — I.'—0,52 (Модель / Model)

Рис. 9. Сравнение результатов численных и лабораторных испытаний, выполненных Х. Купфером для образцов, испытывающих сжатие-сжатие

Fig. 9. Comparison of the numerical model response and laboratory results made by H. Kupfer for samples under compression-compression

< П

8 8 k к

G Г

S 3

0 со

n СО

1 2 У 1

J со

u -

^ I

n °

o 2

=! (

О n

CO CO

z 2

co О

Г 6

an

ф )

Iм

® 00

OS В

■ T

s □

s У с о

1 к

,,

2 2 О О 2 2 W W

В опытах И. Имрана [28] на бетонных образцах-цилиндрах воссоздавалась работа материала при объемном напряженном состоянии. Испытание проходило в два этапа: на первом этапе цилиндр нагружался боковым давлением, на втором этапе при постоянном боковом давлении происходило осевое деформирование образца. Образцы разных серий

испытывались при разных значениях бокового давления. Бетон образцов имел следующие характеристики: Еь = 30 000 МПа; V = 0,15; Кь = 47,4 МПа; Яи = 4,74 МПа. Сравнение результатов лабораторных и численных испытаний представлено на рис. 10, 11; рядом с результатами каждого испытания указаны главные напряжения бокового давления.

(О (О

N N

О О

N N

К 01

U 3

> (Л

с и

m оо

. г

« (U

J

ф ф

О ё —■

о

о У

S с

8 «

™ . I

ОТ «

от Е

— -ь^

Е § ^ с

ю о

S ц

о Е

с5 °

СП ^

т- ^

от от

S2 =3

Ig

О (0

| I

ff •Jt

TT 4 iL

G, = 1 ™ 1 Iм * 1 ■ a, = 0 МПа / MPa 4 ■

= 0,=-:2,15 о МПа / MPa , W °° p •у Г 'о.'/ •У а ■ / ■ х'

□

a, = o, = —<ivii ia / ivjj-a

-15

-10

-5

0

5

10

-10

-20

-30

-50

-60 «

-70 »

.-80

Деформации, мм/м / Strain, mm/m

Рис. 10. Сравнение результатов численных и лабораторных испытаний, выполненных И. Имраном для образцов, испытывающих боковое давление от 0 до -4,3 МПа

Fig. 10. Comparison of the numerical model response and laboratory results made by I. Imran for samples with lateral compression from 0 to -4.3 MPa

отф ■

а, - a = -8,6 МПа / МРа *—— • с//1' ъ.

о, = = 17,2 МПа / К о° V/ji »O / Ol

IPa OÔ 1 у ■ 1 □ r\ ^ ш

с, = о. = -30,1 МПа/МРа^> □ ■ \ ■ ^

• • • • . • • о ■ , V а ■ m о

- О; - нл ivjiia / ivjra о о ч □ □

о О О □

0

20 -60

.3

-80 <

-120 -140 -160 -180 200

£ 5. S

3 и о u О

-60 -50 40 -30 -20 -10 0 10

Деформации, мм/м / Strain, mm/m

20

30

Рис. 11. Сравнение результатов численных и лабораторных испытаний, выполненных И. Имраном для образцов, испытывающих боковое давление от -8,6 до -43 МПа

Fig. 11. Comparison of the numerical model response and laboratory results made by I. Imran for samples with lateral compression from -8.6 to -43 MPa

В опытах, описанных в работе Ф.К. Канера [29], на образцах-цилиндрах воссоздавалась работа бетона при объемном напряженном состоянии. Бетон образцов имел следующие характеристики: ЕЬ = = 25 000 МПа; V = 0,2; К = 45,7 МПа; К = 4,57 МПа.

' ' ' Ь ' ' bt '

В первой серии опытов испытание проходило в два этапа: на первом этапе цилиндр нагружался трехосным равномерным сжатием, на втором этапе при постоянном боковом давлении происходило

осевое деформирование образца. Образцы разных серий испытывались при различных значениях предварительного трехосного обжатия. Сравнение результатов лабораторных и численных испытаний представлено на рис. 12.

Во второй серии опытов образцы подвергались трехосному равномерному сжатию. Сравнение результатов лабораторных и численных испытаний представлено на рис. 13.

= -20 МПа / МРа

□ 4

□ □ □ □ □ ст, =a3=Oj = = - ion МПя / МРп □ LJ —□ i • • • • у

• _____ /

-w~

• я ег, = а, = с3 = = -200 МПа / МРа * ♦ у ♦ У

СТ, = СТ-, = щ = ♦__ ♦

= -400 МПа/МРа * *

о

-100

-200

-300

-40IJ

-500

-600

-700

-800

-50 -45 40 -35 -30 -25 -20 -15 Деформации, мм/м / Strain, mm/m

-to

-5

Рис. 12. Сравнение результатов численных и лабораторных испытаний, описанных в работе Ф.К. Канера для образцов, испытывающих осевое сжатие с предварительным трехосным равномерным сжатием Fig. 12. Comparison of the numerical model response and laboratory results made by F.C. Caner for samples with preliminary triaxial isotropic compression

Рис. 13. Сравнение результатов численных и лабораторных испытаний, описанных в работе Ф.К. Канера для образцов, испытывающих трехосное равномерное сжатие

Fig. 13. Comparison of the numerical model response and laboratory results made by F.C. Caner for samples with triaxial isotropic compression

< П

iH *к

G Г

0 CO n CO

1 о

У 1

J to

u -

^ I

n °

О 3

o о

=s (

О =?

о n

CO CO

0)

l\J CO

о

об >86 c я

h о

c n

0 )

1 ® Ю

Ю В ■ T

(Л у

с о

1 к , ,

2 2 О О 2 2 W W

<л ю

■S

I

ES

О (О №

В работе [30] описаны испытания шарнирно опертых железобетонных балок, нагруженных сосредоточенной силой в середине пролета. В качестве образца для численного испытания была выбрана балка ОА1. Длина балки составляет 4100 мм, расстояние между опорами 3660 мм. Геометрические характеристики сечения балки в мм представлены на рис. 14.

сравнение картины трещинообразования, полученной в ходе лабораторного испытания, изополей и векторов главных пластических деформаций.

(О (О

N N

О О

N N

¡г <D

U 3

> (Л

С И

U oo

. r

« dl j

<u <u

О ё

---' "t^

о

о <£

3 «

™ . I

w is

со E

— -b^

E § cl°

^ с

ю о

s ц

о E

a> ^

Рис. 14. Поперечное сечение балки ОА1 согласно [30] Fig. 14. Cross section of the beam OA1 concerning [30]

Бетон балки имел следующие характеристики: Eb = 36 500 МПа; v = 0,2; Rb = 22,6 МПа. Арматура М25 имела следующие характеристики: диаметр d = 25,2 мм; модуль упругости Es = 220 000 МПа; v = 0,3; Rs = 445 МПа; арматура М30 имела следующие характеристики: d = 29,9 мм; Es = 200 000 МПа; v = 0,3; Rs = 436 МПа. На рис. 15 приведено сравнение кривых нагрузка-деформации для лабораторного и численного образцов; на рис. 16 приведено

Рис. 16. Сравнение результатов: а — картина трещинообразования, полученная на лабораторном образце согласно [30]; b — первые главные пластические деформации цифрового двойника балки

Fig. 16. Comparison of the results: a — crack pattern of the laboratory sample concerning [30]; b — first principal plastic strain pattern of the beam digital twin

Разница в значении предельной нагрузки составляет 6 %, разница в прогибе, соответствующем значению предельной нагрузки, составляет 4 %.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ

Авторами разработаны и сформулированы основные математические зависимости модели материала: уравнение поверхности нагружения, уравнение

Рис. 15. Сравнение графиков нагрузка-прогиб для балки ОА1 (точки) и ее цифрового двойника (сплошная линия) Fig. 15. Comparison of load-deflection diagrams for beam OA1 (dots) and its digital twin (solid line)

поверхности пластического потенциала; приведены формулы, описывающие законы эволюции модели (девиаторное упрочнение и разупрочнение, упрочнение шатра сжатия), а также правила их работы; даны значения параметров, необходимых для использования модели материала. Уравнение поверхности на-гружения имеет единственную зону сингулярности.

Представленная в работе деформационно-прочностная модель бетона учитывает следующие особенности поведения материала:

1) различный характер поведения бетона при сжатии и растяжении. Данная характеристика воспроизводится с помощью двойного независимого механизма эволюции модели с дисторсионным де-виаторным упрочнением и дисторсионно-изотроп-ным разупрочнением;

2) влияние вида напряженного состояния на эволюцию материала и его деформативность. Данные факторы учитываются с помощью введе-

ния коэффициентов хрупкости xh(p), xs(p) (являются функцией от степени гидростатического обжатия) и угла подобия 9 в выражение для получения оператора Л1)(к о), контролирующего приращение внутренней переменной kp;

3) эффекты дилатации и необратимой сжимаемости бетона учитываются путем введения комбинированной поверхности пластического потенциала, в которой поверхность gЛ отвечает за учет дилатации, а поверхность g отвечает за учет контракции.

На основании сравнения результатов численного моделированная, выполненного в программном комплексе ANSYS, и результатов лабораторных испытаний можно заключить, что представленная деформационно-прочностная модель бетона позволяет с достаточной точностью описывать напряженно-деформированное состояние бетона в условиях статического простого кратковременного нагружения.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1. Гениев Г. А., Киссюк В. Н, Тюпин Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона. М. : Стройиз-дат, 1974. 316 с.

2. Mirmiran A., Shahawy M. Dilation characteristics of confined concrete // Mechanics of Cohesive-Frictional Materials. 1997. Vol. 2. Issue 3. Pp. 237-249. DOI: 10.1002/(sici)1099-1484(199707)2:3<237::aid-cfm32>3.0.co;2-2

3. Burlion N., Pijaudier-Cabot G. Experimental analysis of compaction of concrete and mortar // International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics. 2001. Vol. 25. Issue 15. Pp. 1467-1486. DOI: 10.1002/nag.178

4. Menetrey P., William K.J. A triaxial failure criterion for concrete and its generalization // ACI Structural Journal. 1995. Vol. 92. Issue 3. Pp. 311-318. DOI: 10.14359/1132

5. Beverly P. FIB model code for concrete structures 2010. 2013.

6. Jiang H, Zhao H. Calibration of the continuous surface cap model for concrete // Finite Elements in Analysis and Design. 2015. Vol. 97. Pp 1-19. DOI: 10.1016/j.finel.2014.12.002

7. Menetrey P. Numerical analysis of punching failure in reinforced concrete structures : Ph.D. Thesis. Lausanne : EPFL, 1994. DOI: 10.5075/epfl-thesis-1279

8. Карпенко Н.И., Круглов В.М., Соловьев Л.Ю. Нелинейное деформирование бетона и железобетона. Новосибирск : СГУПС, 2001. 276 с.

9. Smith S.H. On fundamental aspects of concrete behavior : Master's thesis. Boulder, University of Colorado at Boulder, 1985.

10. Grassl P., Lundgren K, Gylltoft K. Concrete in compression: a plasticity theory with a novel harden-

ing law // International Journal of Solids and Structures. 2002. Vol. 39. Issue 20. Pp. 5205-5223. DOI: 10.1016/ S0020-7683(02)00408-0

11. Соловьев Л.Ю. Нелинейная модель бетона на основе теории пластического течения // Systems. Methods. Technologies. 2014. Vol. 4. Issue 24. Pp. 131-140.

12. Jang B.L., Dafalias J.F., Herrmann I.R. A bounding surface plasticity model for concrete // Journal of Engineering Mechanics. 1985. Vol. 111. Issue 3. Pp. 359-380.

13. Hirai H. Modeling of elastoplastic behaviour of concrete based on a nonassociative flow rule // Memoirs of the Faculty of Engineering. Kumamoto University. 1987. Vol. 32. Issue 2. Pp. 131-141.

14. Wolffersdorf P.-A. Algorithmus zur Etwick-lung allgemeiner elasto-plastisher stoffgleichungen und dessen anwendung auf bodenmechanische dopped-werfestigungs-Modelle // Wissenschaftliche Zeitschrift der Hochschule für Architektur. 1985. Vol. 31. Issue 6. Pp. 288-291.

15. Wolffersdorf P.-A. Beitrag zum entwicklungsstand elastoplastischer stoffgesetre in der bodenmechanik // Wissenschaftliche Zeitschrift der Hochschule für Architektur. 1985. Vol. 31. Issue 6. Pp. 254-256.

16. Берг О.Я. Физические основы теории прочности бетона и железобетона. М. : Госстройиздат, 1962. 98 с.

17. Истомин А.Д., Беликов Н.А. Зависимость границ микротрещинообразования бетона от его прочности и вида напряженного состояния // Вестник МГСУ. 2011. № 2. С. 159-162. URL: https://www. elibrary.ru/item.asp?edn=ouvytl

< п

iH * к

G Г

0 С/з § С/3

1 О

У 1

J to

u-

^ I

n °

О 3 o

zs (

О i о §

E w § 2

n 0

О 6

r 6 t (

О )

г?

® 00

00 В

■ T

(Л У

с о

Г к , ,

2 2

О О

2 2

W W

(О (О

N N

О О

N N

* *

¡г <и

U 3

> (Л

С И

U оо

. r

« dl j

<u <u

О ё

---' "t^

о

о У

8 «

z ■ i

w 13

со iE

E о

CL° ^ с

ю о

S Ii

о E a> ^

18. Chen W.F., Saleeb A.F. Constitutive equations for engineering materials. Volume 2: Plasticity and Modeling. Amsterdam : Elsevier, 1994. 1129 p.

19. Семенов А. С. Вычислительные методы в теории пластичности. СПб. : Изд-во Политехи. ун-та, 2008. 210 с.

20. Etse G., William K. Fracture energy formulation for inelastic behavior of plain concrete // Journal of Engineering Mechanics. 1994. Vol. 120. Issue 9. Pp. 1983-2011. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9399(1994)120:9(1983)

21. Grassl P., Jirasek M. Damage-plastic model for concrete failure // International Journal of Solids and Structures. 2006. Vol. 43. Pp. 7166-7196. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2010.12.005

22. Grassl P., Xenos D., Nystrom U., RemplingR., Gylltoft K. CDPM2: A damage-plasticity approach to modelling the failure of concrete // International Journal of Solids and Structures. 2013. Vol. 50. Issue 24. Pp. 3805-3816. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2013.07.008

23. Samani A.K, AttardM.M. Lateral strain model for concrete under compression // ACI Structural Journal. 2014. Vol. 111. Pp. 441-452. DOI: 10.14359/51686532

24. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона. М. : Стройиздат, 1996. 416 с.

Поступила в редакцию 24 сентября 2022 г. Принята в доработанном виде 14 марта 2023 г. Одобрена для публикации 23 марта 2023 г.

Об авторах: Александр Михайлович Бударин — руководитель группы отдела расчетных обоснований; Институт Гидропроект; 125993, г. Москва, Волоколамское шоссе, д. 2; alex.budarin01@gmail.com;

Георгий Игоревич Ремпель — главный эксперт отдела расчетных обоснований; Институт Гидропроект; 125993, г. Москва, Волоколамское шоссе, д. 2; g.rempel@hydroproject.ru; Алексей Александрович Камзолкин — самозанятый; holinmail@mail.ru;

Владимир Николаевич Алехин — кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой САПР объектов строительства; Уральский федеральный университет им. первого президента России Б.Н. Ельцина (УрФУ); 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, д. 19; РИНЦ ID: 549888, Scopus: 7004307891, ResearcherID: B-4747-2016, ORCID: 0000-0001-8291-6052; v.n.alekhin@urfu.ru.

Вклад авторов:

Бударин А.М. — концепция исследования, сбор материала и обработка данных, реализация модели в конечно-элементном комплексе, научное редактирование.

Ремпель Г.И. — реализация модели в конечно-элементном комплексе, научное редактирование. Камзолкин А.А. — реализация модели в конечно-элементном комплексе, научное редактирование. Алехин В.Н. — научное руководство. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

25. Bazant Z.P., Bishop F.C., Chang T. Confined compression tests of cement paste and concrete up to 300 ksi // ACI Structural Journal. 1986. Vol. 83. Pp. 553-560. DOI: 10.14359/10448

26. Fossum A.F., Fredrich J.T. Cap plasticity models and compactive and dilatant pre-failure deformation // 4th North American Rock Mechanics Symposium (July 31 - August 3, 2000) Seattle, Washington. Pp. 1169-1176.

27. Kupfer H., Hilsdorf H.K., Rusch H. Behavior of concrete under biaxial stresses // Journal of the Engineering Mechanics Division. 1969. Vol. 99. Issue 4. Pp. 853-866. DOI: 10.1061/jmcea3.0001789

28. Imran I., Pantazopoulou S.J. Experimental study of plain concrete under triaxial stress // ACI Materials Journal. 1996. Vol. 93. Pp. 689-601.

29. Caner F.C., Bazant Z.P. Microplane model M4 for concrete. II: Algorithm and calibration // Journal of Engineering Mechanics. 2000. Vol. 126. Issue 9. Pp. 954-961. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2000)126:9(954)

30. Vecchio F.J., Shim W. Experimental and analytical reexamination of classic concrete beam tests // Journal of Structural Engineering. 2004. Vol. 130. Issue 3. Pp. 460-469. DOI: 10.1061/(asce)0733-9445(2004)130:3(460)

со °

5 (9

REFERENCES

1. Geniev G., Kissuk V., Tupin G. Theory of plas-¡5 x ticity of concrete and reinforced concrete. Moscow, i | Stroyizdat Publ., 1974; 316. (rus.). Jj> 2. Mirmiran A., Shahawy M. Dilation char-

hesive-frictional Materials. 1997; 2(3):237-249. DOI: 10.1002/(sici)1099-1484(199707)2:3<237::aid-cfm32>3.0.co;2-2

3. Burlion N., Pijaudier-Cabot G., Dahan N. Ex-acteristics of confined concrete. Mechanics of Co- perimental analysis of compaction of concrete and mor-

tar. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics. 2001; 25(15):1467-1486. DOI: 10.1002/nag.178

4. Menetrey P., William K.J. Triaxial failure criterion for concrete and its generalization. ACI Structural Journal. 1995; 92(3):311-318. DOI: 10.14359/1132

5. Beverly P. FIB model code for concrete structures 2010. 2013.

6. Jiang H., Zhao J. Calibration of the continuous surface cap model for concrete. Finite Elements in Analysis and Design. 2015; 97:1-19. DOI: 10.1016/j. finel.2014.12.002

7. Menetrey P. Numerical analysis of punching failure in reinforced concrete structures : Ph.D. Thesis. Lausanne, EPFL, 1994. DOI: 10.5075/epfl-thesis-1279

8. Karpenko N.I., Kruglov V.M., Solov'ev L.Yu. Nonlinear deformation of plain concrete and reinforced concrete. Novosibirsk, SGUPS, 2001; 276. (rus.).

9. Smith S.H. On fundamental aspects of concrete behavior : Masters's Thesis. Boulder, University of Colorado at Boulder, 1985.

10. Grassl P., Lundgren K., Gylltoft K. Concrete in compression: a plasticity theory with a novel hardening law. International Journal of Solids and Structures. 2002; 39(20):5205-5223. DOI: 10.1016/S0020-7683(02)00408-0

11. Solov'ev L.Yu. Non-linear concrete model based on the plastic flow theory. Systems. Methods. Technologies. 2014; 4(24):131-140.

12. Yang B., Dafalias Y., Herrmann L. A bounding surface plasticity model for concrete. Journal of Engineering Mechanics. 1985; 111(3):359-380.

13. Hirai H. Modeling of elastoplastic behaviour of concrete based on a nonassociative flow rule. Memoirs of the Faculty of Engineering Kumamoto University. 1987; 32(2):131-141.

14. Wolffersdorf P.A. Algorithmus zur Etwick-lung allgemeiner elasto-plastisher stoffgleichungen und dessen anwendung auf bodenmechanische dopped-wer-festigungs-Modelle. Wissenschaftliche Zeitschrift der Hochschule für Architektur. 1985; 31(6):288-291. (ger.).

15. Wolffersdorf P.A. Beitrag zum entwicklungsstand elastoplastischer stoffgesetre in der bodenmechanik. Wissenschaftliche Zeitschrift der Hochschule für Architektur. 1985; 31(6):254-256. (ger.).

16. Berg O.Ya. Physical foundations of the theory of strength of concrete and reinforced concrete. Moscow, Gosstroyizdat Publ., 1962; 98. (rus.).

17. Istomin A.D., Belikov N.A. Dependence of the borders of the microcreeping in concrete from strengs and strain condition. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering].

2011; 2:159-162. URL: https://www.elibrary.ru/item. asp?edn=ouvytl (rus.).

18. Chen W., Saleeb A. Constitutive equations for engineering materials. Volume 2: Plasticity and modeling. Amsterdam, Elsevier, 1994; 1129.

19. Semenov A.S. Computational methods in theory of plasticity. Saint Petersburg, SPbGPU, 2008; 210. (rus.).

20. Etse G., Willam K. Fracture energy formulation for inelastic behavior of plain concrete. Journal of Engineering Mechanics. 1994; 120(9):1983-2011. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9399(1994)120:9(1983)

21. Grassl P., Jirasek M. Damage-plastic model for concrete failure. International Journal of Solids and Structures. 2006; 43(22-23):7166-7196. DOI: 10.1016/j. ijsolstr.2010.12.005

22. Grassl P., Xenos D., Nystrôm U., Rempling R., Gylltoft K. CDPM2: A damage-plasticity approach to modelling the failure of concrete. International Journal of Solids and Structures. 2013; 50(24):3805-3816. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2013.07.008

23. Samani A.K., Attard M.M. Lateral strain model for concrete under compression. ACI Structural Journal. 2014; 111(2):441-452.

24. Karpenko N.I. General Models of the Reinforced Concrete Mechanics. Moscow, Stroyizdat Publ., 1996; 416. (rus.).

25. Bazant Z.P., Bishop F.C., Chang T. Confined compression tests of cement paste and concrete up to 300 ksi. ACI Structural Journal. 1986; 83(4):553-560. DOI: 10.14359/10448

26. Fossum A.F., Fredrich J.T. Cap plasticity models and compactive and dilatant pre-failure deformation. 4th North American Rock Mechanics Symposium. July 31-August 3, 2000. Seattle, Washington, 2000; 11691176.

27. Kupfer H., Gerstle K. Behavior of concrete under biaxial stresses. Journal of the Engineering Mechanics Division. 1973; 99(4):853-866. DOI: 10.1061/ jmcea3.0001789

28. Imran I., Pantazopoulou S.J. Experimental study of plain concrete under triaxial stress. ACI Materials Journal. 1996; 93(6):689-601.

29. Caner F., Bazant Z. Microplane model M4 for concrete. II: Algorithm and calibration. Journal of Engineering Mechanics. 2000; 126(9):954-961. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2000)126:9(954)

30. Vecchio F., Shim W. Experimental and analytical reexamination of classic concrete beam tests. Journal of Structural Engineering. 2004; 130(3):460-469. DOI: 10.1061/(asce)0733-9445(2004)130:3(460)

< П i н

G Г S

o

S СО

I о

y 1

J со

EI

S °

о S o

=! (

о i о S

E со

S 2

S g

о 6

Г œ t ( an

о ) fM

® «

СО В

■ т

s S

s у с о DD К

M M

о о 10 10 u w

Received September 24, 2022.

Adopted in revised form on March 14, 2023.

Approved for publication on March 23, 2023.

Bionotes: Alexander M. Budarin — group executive of structural analysis department; Hydroproject; 2 Volo-kolamskoe shosse, Moscow, 125993, Russian Federation; alex.budarin01@gmail.com;

Georgy I. Rempel — chief expert of structural analysis department; Hydroproject; 2 Volokolamskoe shosse, Moscow, 125993, Russian Federation; g.rempel@hydroproject.ru; Alexey A. Kamzolkyn — self-employed; holinmail@mail.ru;

Vladimir N. Alekhin — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Head of Chair of the Department of CAD Systems in Civil Engineering; Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin (UrFU); 19 Mira st., Ekaterinburg, 620002, Russian Federation; ID RISC: 549888, Scopus: 7004307891, Re-searcherlD: B-4747-2016, ORCID: 0000-0001-8291-6052; v.n.alekhin@urfu.ru.

Contribution of the authors:

Alexander M. Budarin — research concept, data gathering and processing, implementation in finite-element software package, scientific editing of the text.

Georgy I. Rempel — implementation in finite-element software package, scientific editing of the text. Alexey A. Kamzolkyn — implementation in finite-element software package, scientific editing of the text. Vladimir N. Alekhin — scientific management. The authors declare no conflicts of interests.

W (0

N N

o o

N N

¡É 01

U 3

> in

E M

HQ 00

. r

« gi j

<D <u

O í¿

---' "t^

o

o ££

8 «

z ■ i w « ot E

E o cl°

c

Ln O

S «

o E

CD ^

i ^ iE 35

o iñ №