ОПИСАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ПЛОСКОНАПРЯЖЕННОГО БЕТОНА СООТНОШЕНИЯМИ ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545

^Курнал теоретической и прикладной механики. №2(59) / 2017.

УДК 624.042:624.044:624.046

©2017. В.М Левин, С.В. Шабельник

ОПИСАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ПЛОСКОНАПРЯЖЕННОГО БЕТОНА СООТНОШЕНИЯМИ ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЯ

Приведены соотношения модифицированной модели деформирования бетона, основанной на теории течения. Рассмотрены три предельные поверхности различной формы и выполнена оценка влияния этой формы на деформационные соотношения. В статье предложен вариант модификации функции изотропного упрочнения. Расчетные данные сопоставлены с результатами экспериментов при простом нагружении в условиях сжатия и сжатия с растяжением. Приведены погрешности аппроксимации опытных данных предложенными соотношениями. Ключевые слова: бетон, теория течения, деформации, погрешность, предельная поверхность.

1. Введение. Для создания экономичных железобетонных конструкций необходимо напряжения в бетоне доводить до достаточно высокого уровня, когда он работает как упругопластическое тело. Расчет таких конструкций необходимо проводить с применением моделей и методов теории пластичности. При обычно встречающихся произвольных режимах нагружения материала применяется ее достаточно универсальный аппарат - теория пластического течения. Однако, если возможность его применения для таких материалов, как металлы, подтверждается многочисленными экспериментами и имеются соответствующие числовые характеристики, то для бетона такие экспериментальные данные практически не опубликованы; имеющиеся предложения зачастую либо содержат различные аппроксимации одних и тех же немногочисленных экспериментальных результатов, либо представлены в виде, не позволяющем применить их для построения теории и, тем более - методики расчета конструкции. Кроме того, имеющиеся данные не позволяют получить оценки точности требуемых числовых характеристик (по отношению к имеющимся экспериментальным данным). В настоящей работе предпринята попытка восполнить этот пробел.

Нелинейность деформирования бетона, начиная с достаточно низкого уровня нагружения обуславливает постоянное совершенствование моделей такого деформирования. В рамках деформационной теории пластичности бетона предложены достаточно адекватные модели; прежде всего, следует отметить расчетные модели, предложенные в работах Н.И. Карпенко [1], В.М. Круглова и

A.И. Козачевского [2], В.И. Корсуна [3]; для сложного нагружения рассмотрены только отдельные частные случаи. Построения моделей деформирования бетона на основе теории течения (без прямого сопоставления экспериментальных и теоретических кривых деформирования), и некоторые их применения для расчета конструкций содержатся в работах S.S. Hsieh [4], J. Lubliner [5], P. Grassl [6],

B.П. Агапова [7], С.Ф. Клованича [8,9], а также [10-12] и др.

В работе [7] предложен вариант теории течения, ориентированный на описа-

ние поведения бетона в условиях плоского напряженного состояния. Указанная модель представляет собой развитие классической теории Прандтля-Рейсса и построена на предположении изотропии материала, а также наличия функциональной зависимости интенсивности напряжений от меры накопленной пластической деформации.

Связь между векторами приращений деформаций и напряжений в упруго-пластической стадии деформирования может быть записана в виде:

de = С"1 • da (1)

где Cep - упругопластическая матрица материала,

cT • C

Сер = С-С-а-н/ + _т с (2)

C - матрица упругих констант; H1 = dai/deip (определяется из опыта на одноосное сжатие); de = (dex, dex, d^xy) ; da = (dax, dax, drxy) ; a - вектор течения:

— / Лт ( df df df\T

a = (ai,a2,a3) = —, —, ~— • (3

\dax day drxy)

Согласно [7] условие текучести в общем виде может быть записано как:

f (a) - Y (х) = F (a,x) = 0, (4)

где f (a) - некоторая функция от компонентов напряжений; х - параметр упрочнения; Y (х) - уровень текучести.

2. Постановка задачи. Построение поверхности течения по экспериментальным данным неизбежно связано с погрешностями и неопределенностями экспериментов. Следует отметить, что при дифференцировании левой части предельных условий погрешности могут значительно возрасти, роль уточнения этих условий возрастает. Следовательно, при построении модели деформирования материала важной задачей является достижение минимальных погрешностей аппроксимации связанных с рациональным выбором функции предельной поверхности. В настоящей работе предпринята попытка модификации модели, предложенной В.П. Агаповым [7]. Данная статья посвящена оценке влияния варьирования предельного условия на погрешность моделирования процесса деформирования плосконапряженного бетона. Также одной из поставленных задач исследования является попытка усовершенствовать методику оценки меры накопленной пластической деформации в составе функции упрочнения материала, с целью улучшения качества аппроксимации. Основными критериями выбора оптимальной функции текучести приняты не только снижение погрешности аппроксимации в отдельных квадрантах напряженного состоянию, но и ее универсальность. Для анализа выбраны предельные поверхности D.R.J. Owen [10], S.S. Hsieh, E.G. Ting, W.F. Chen [4] и K.J. Willam [13].

В работе [7] поверхность течения соответствует критерию текучести, предложенному в [10]:

f (a) = f (Ii, J2) = (ß(3J2) + ah)1'2 = gt, (5)

где Ii - первый инвариант тензора напряжений; J2 - второй инвариант деви-атора напряжений; gt - напряжение текучести; a,ß - параметры материала (определяются из опытов при двухосном напряженном состоянии). Функция предельной поверхности S.S. Hsieh [4]:

f(a, т) = А,72/т(егр) + В у/Л + Саг + Dh ~ т(егр) = 0, (6)

где A,B,C,D - коэффициенты характеризующие материал и обеспечивающие инцидентность контрольных точек указанной поверхности. Функция предельной поверхности K.J. Willam [13]:

/ (ö"m, Tm, 9) = VETm - r = 0, (7)

где Tm - функция от второго инварианта девиатора напряжений

Tm = л/(2/5 )J2, (8)

r - интерполяционная функция между предельными значениями зависимостей (Tt,Tc), образующих меридиональные кривые.

r =

2tc (т2 - Цг) COS 9 + Те (2Tt - тс) л/4(т2 - jf) cos2 в + 5rt2 - 4rtTc

4 (tc2 - t2) cos2 в + (Tc - 2tt)2

(9)

Tt,Tc - соответственно функции меридиональных кривых растяжения и сжатия

П = у/5т L + ai (f)+a2 (f)21

тс= У5т +

(10)

Коэффициенты ао, а^ а2, Ъ0, Ъ1, Ъ2, входящие в (10), обеспечивают попадание контрольных точек на предельную поверхность. Эти точки соответствуют случаям: одноосное сжатие Кс, двухосное равномерное растяжение К2р, трехосное равномерное растяжение Я3р, двухосное равномерное сжатие К2с, одноосное растяжениеЕр.

Соответствия рассмотренных предельных поверхностей опытным данным прочности бетона в условиях плоского напряженного состояния приведены на рис. 1.

Критерий (5) хорошо согласуется с опытными данными по прочности бетона в условиях одно- и двухосного сжатия, приведенными в [11]. Однако форма

данной поверхности не соответствует имеющимся опытным данным по прочности бетона в условиях растяжения и сжатия с растяжением, что накладывает соответствующие ограничения на область применения модели, основанной на данном условии.

Функции предельной поверхности (6,7) хорошо согласуются с опытными данными для всех квадрантов напряженного состояния (рис. 1) и являются универсальными.

Рис. 1. Сопоставление предельных поверхностей с опытными данными.

3. Модификация модели В.П. Агапова [7]. Для построения модели на основании функции (7), предложенной K.J. Willam в работе [11], используем поверхность нагружения, которая в общем виде может быть записана как

F (am, тт, 9,х) = f (am, rm, 9) - h (x) = 0,

(11)

где Н (х) - функция упрочнения.

Нормаль к поверхности (11) для случая объемного напряженного состояния, задана градиентом функции, задающей эту поверхность в пространстве напряжений (а X 1 ау ) ах 1 Тху ) Тух 1 )

dF

dF dF dF dF dF dF

dax ' day ' daz ' drxy

dryz drx

T

(12)

Переходя к пространству главных напряжений, вектор течения запишем в виде

дР _ [ сШ дР дР

аа ~

1^9(71 ' да-2 ' das ' ' '

T

(13)

Для определения компонент вектора течения будем рассматривать поверхность нагружения в пространстве параметров т^ГсЪ ,0 с матрицей Якоби пре-

образования координат J

д£ (dF_ dF_ dF_ dF\T

- ' \дтпг ' д7с ' d7t ' ~дв) ' ( }

где J - матрица Якоби указанного преобразования.

Таким образом, подставляя выражения для частных производных в (14), получаем компоненты вектора течения

а = (а\, а2, а3, 0, 0, 0)т. (15)

В качестве функции упрочнения для построения поверхности нагружения, отвечающей текущей мере пластической деформации, будем использовать зависимость

H' = dTt/detp. (16)

С целью улучшения аппроксимации опытных данных в варианте модели, основанном на предельной поверхности K.J. Willam [11], проверена возможность использования H', полученной отдельно из каждого рассматриваемого опыта, а не из опыта на одноосное напряженное состояние.

4. Результаты верификации моделей, построенных на основании предложенных в [4, 10, 13] предельных поверхностей. Соответствие теоретических кривых деформирования бетона опытным данным H. Kupfer [11] в условиях плоского напряженного состояния показано на рис. 2. Качественная оценка аппроксимации свидетельствует, что применение функций предельной поверхности (6,7) приводит к достаточно хорошему соответствию теоретических и опытных данных. Однако, критерий текучести S.S. Hsieh [4] имеет точки перегиба в зоне перехода от одноосного сжатия в область сжатия с растяжением (рис. 1), что требует введения дополнительных условий для определения градиента к этой поверхности в указанных точках. Функция предельной поверхности K.J. Willam [13] не имеет таких недостатков. Поэтому использование последней является более рациональным с точки зрения простоты модели.

Лучшее соответствие расчетных данных результатам экспериментов было достигнуто при использовании касательного модуля H' для каждой экспериментальной траектории, а не из опыта на одноосное сжатие, как предлагалось в других источниках.

5. Развитие функции изотропного упрочнения. Использование касательного модуля H' непосредственно из рассматриваемого опыта является неудобным с точки зрения использования модели в прикладных расчетах. Поэтому была аппроксимирована зависимость H'от интенсивности полной пластической деформации eip и параметра £, характеризующего вид напряженного состояния [2]

£ = ^g/TQ, (17)

где (Jg,tg - октаэдрические нормальное и касательное напряжения.

■0.002 -0.0015 -0.001 -0.0005 0 0.0005 0.001 -0.0015 -0.001 -0.0005 0 0.0005 0.001

■0.004 -0.003 -0.002 -0.001 0 0.001 0.002 0.003 -0.004 -0.002 0 0.002 0.004 0.006

-----D.R.J. Owen; ------S.S. Hsieh. et ............ K.J. Willam; - K.J. Willam tH'из эксперимента)

Рис. 2. Сопоставление теоретических кривых а — е, полученных с использованием рассмотренных предельных поверхностей, предложенных в [4, 10, 13], с опытными данными H. Kupfer[11]

Для построения указанной функции с использованием выражения (16), были определены значения H' для опытных данных H. Kupfer [11] из экспериментов при простом нагружении в области одно- и двухосного сжатия и сжатия с растяжением, а также из опытов M.E. Tasuji [16] в области растяжения. Графики зависимости полученных H'от интенсивности пластических деформаций eip аппроксимированы выражением

"' % % ■ (18)

где A,B,C,D - коэффициенты, значения которых в зависимости от параметра £ для рассмотренных опытов [11,16] даны в табл. 1. При значениях параметра находящихся в промежутке между значениями, приведенными в табл. 1, величину коэффициентов A,B,C,D необходимо определять интерполяцией (воз-

можно, нелинейной). Сопоставление опытных данных и теоретических кривых, полученных с использованием поверхности нагружения (11) и зависимости (18), приведено на рис. 3.

Таблица 1

Зависимость коэффициентов функции упрочнения от вида напряженного состояния

(<71 : <72 : <7з) £ Значения коэффициентов

А В С D

0.204: 0: -1 -0,504 79079149,1 -76989,52 25,11394 -2,723 • 10"4

0.103: 0: -0 -0,601 1943765,7 -2060,23 0,824238 -1,061 • 10"4

0.052: 0: -1 -0,653 593088,8 -731,20 0,366505 -5,461 • 10"5

0: 0: -1 -0,707 289291,3 -396,93 0,225161 -3,003 • 10"5

0: -0.52: -1 -1,241 72738,7 -94,47 0,128692 -2,226 • 10"5

0: -1: -1 -1,414 114783,7 -195,20 0,176678 -3,087- 10"5

1: 0: 0 0,707 11174720994 -282474,8 3,798251 -4,415 • 10"у

1: 0.5: 0 1,225 5508093837,2 -227914,6 4,207909 -2, 538 • 10_е

1: 1: 0 1,414 2454639392,6 -61890,7 3,22998 -2,245 • 10"'

6. Результаты верификации модифицированного варианта модели В.П. Агапова [7]. На рис. 3 приведено сопоставление расчетных кривых, полученных на основе варианта теории течения, построенного на предельной поверхности K.J. Willam [13] и зависимости (18), с опытными данными [11] в области одно- и двухосного сжатия и сжатия с растяжением соответственно.

Среднеквадратические относительные погрешности аппроксимации моделью опытных данных приведены в табл. 2. При анализе данных этой таблицы сле-

Таблица2

Соответствие теоретических кривых деформирования

опытным данным [11]

Траектория (<7i : <72 : <73) Среднеквадратичная относительная погрешность аппроксимации, %, для главных деформаций

ti t2 t3

0.204: 0: -1 5.9 19.3 7.6

0.103: 0: -0 2.4 25.5 3

0.052: 0: -1 5.7 22.6 1.3

0: 0: -1 10.9 10.9 1.4

0: -0.52: -1 26.4 11.8 4.5

0: -1: -1 17.2 7.1 7.1

дует иметь ввиду известное обстоятельство: достаточно точное измерение де-

формации в направлении нулевого главного напряжения плоских образцов из бетона (перпендикулярно их срединной плоскости) затруднительно, в связи с чем возможны большие погрешности измерения этих деформаций. Этим могут объясняться большие расхождения между экспериментальными данными (измеренными грубо) и данными аппроксимации (последние две строки колонки для е\ и первые три строки колонки для е2).

.0.004 -0.003 -0.002 -0.001 0 0.001 0.002 0.003 0.004 _0.0015 -0.001 -0.0005 0 0.0005 0.001

Рис. 3. Сопоставление теоретических кривых а — е, полученных с использованием зависимости

(18), с опытными данными H. Kupfer [11]

7. Выводы. Применение более адекватных предельных поверхностей для построения поверхности нагружения существенно снижает погрешность расчетных зависимостей деформирования материала и расширяет область применения рассматриваемой модели. Использование выражений, предложенных K.J. Willam [13], не требует введения дополнительных условий при определении градиента к предельной поверхности и дает достаточно хорошую точность аппроксимации опытных данных. Применение предложенной функции изотропного упрочнения (18) в рассматриваемой модели позволяет с достаточной точностью описать деформирование бетона. Максимальное среднеквадратическое отклонение по главным направлениям, удобным для измерения, не превышает 11,8%. Однако, обсуждаемая модель деформирования бетона требует дальнейшего развития. В частности, область ее применения ограничена прочностью бетонов, испытанных в работах [11] и [16]. Дальнейшее развитие теории связано с необходимостью проведения экспериментов на бетонах различной прочности. При установлении зависимостей задаваемого соотношением (17) параметра £ от величин касательного модуля при различных видах напряженного состояния и различных углах излома траекторий нагружения для бетона предложенный подход может быть использован при описании сложного нагружения бетона.

1. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона / Н.И. Карпенко. - М.: Стройиздат, 1996. - 416 с.

2. Круглов В.М. Основные физические соотношения для бетона в плоском напряженном состоянии / В.М. Круглов., А.И. Козачевский // Сопротивление материалов и теория сооружений.- К.: Буд1вельник, 1989. - Вып. 55. - C. 71-77.

3. Корсун В.И. Напряженно-деформированное состояние железобетонных конструкций в условиях температурных воздействий / В.И. Корсун. - Макеевка: ДонГАСА, 2004. - 153 с.

4. Hsieh S.S. A plastic-fracture model for concrete / S.S. Hsieh, E.C. Ting, W.F. Chen // Solid Structures. - 1982. - Vol. 18, No 3. - P. 181-197.

5. A plastic-damage model for concrete / J. Lubliner, J. Oliver, S. Oller, E. Onate // Solid Structures. - 1989. - Vol. 25, No 3. - P. 299-326.

6. Grassl P. Concrete in compression: a plasticity theory with a novel hardening law / P. Grassl, K. Lundern, K. Gyltoft // Solid Structures. - 2002. - Vol. 39. - P. 5205-5223.

7. Агапов В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости конструкций / В.П. Агапов. - М: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2004. - 248 с.

8. Клованич С.Ф. Метод конечных элементов в механике железобетона / С.Ф. Клованич,. И.Н. Мироненко. - Одесса: [б. и.], 2007. - 111 с.

9. Клованич С.Ф. Метод конечных элементов в нелинейных задачах инженерной механики / С.Ф. Клованич. - Запорожье: Издательство журнала "Сви геотехнжи 2009. - 400 с.

10. Owen D.R.J Finite element analysis of reinforced and prestressed concrete structures including thermal loading / D.R.J Owen, J.A. Figyeiras, F. Damjanic // Computer methods in applied mechanics and engeneiiring. - 1983. - Vol. 41. - P. 323-366.

11. Kupfer H. Das verhalten des betons unter zweiachsiger beanspruchung / H. Kupfer // Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universitat. - Dresden, 1968. - helt 6. - S. 1515-1523.

12. Железобетонные стены сейсмостойких зданий. Исследования и основы проектирования / под ред. Г.Н. Ашкинадзе, М.Е. Соколова. - М.: Стройиздат, 1988. - 504 с.

13. Willam K.J Constitutive model for the triaxial behavior of concrete / K.J Willam, E.P. Warnke // Int.Assoc.Bridge.Struct.Eng.Proc. - 1974. - Vol. 19. - P. 1-31.

14. Liu T.C.Y. Stress-strain response of concrete in uniaxial and biaxial compression / T.C.Y. Liu, A.H. Nilson, F.O. Slate // ACI Journal. - 1972. - No 5.- P. 291-295.

15. Яшин А.В. Критерии прочности и деформирования бетона при простом нагружении для различных видов напряженного состояния / А.В. Яшин // Расчет и конструирование железобетонных конструкций / под ред. А.А. Гвоздева. - М.: НИИЖБ, 1977. - C. 48-57.

16. Tasuji М. E. Stress-strain response and fracture of concrete in biaxial loading / М.Е. Tasuji, F.O. Slate, A.H. Nilson // ACI Journal. - 1978. - No 7. - P. 306-312.

V.M. Levin, S.V. Shabelnik

Description of plane-stressed concrete behavior by the relations of the flow theory.

The relations of the modified deformation model for concrete based on the flow theory are presented. Three ultimate surfaces of various shapes have been considered and the effect estimation of the shape to the straining relations have been made. In the article a variant of isotropic hardening function modification is proposed. The calculated data are compared with the results of experiments for simple loading in terms of compression and tension with compression. The approximation errors of the experimental data by suggested relations are given. Keywords: concrete, flow theory, loading, strains, error, ultimate surface.

ГОУ ВПО "Донбасская национальная академия строительства Получено 06.06.17

и архитектуры", Макеевка

viktor.m.levin@gmail.com