CC BY
14
Расчет строительных конструкций
ДЕФОРМАЦИИ МАГИСТРАЛЬНОГО ТРУБОПРОВОДА, ВЫЗВАННЫЕ СМЕЩЕНИЕМ ОСНОВАНИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
Р.Г. ЯКУПОВ, д-р техн. наук, профессор Д.М. ЗАРИПОВ, канд. ф-м.н.
Институт механики Уфимского научного центра РАН
Геофизические исследования в области структурной геологии показывают, что тектоническая активность и развитие структурных форм продолжается и в современный период [1-3]. Тектонические движения имеют различную пространственную ориентацию, происходят с преобладающей вертикальной или горизонтальной компонентой, причем смещения происходят либо плавно, либо импульсивно или же временно прекращаются. В результате изменяется рельеф местности. Сказанное подтверждается визуальными наблюдениями и другими материалами: районы выхода на дневную поверхность фронтальных частей нарушений земной коры подвержены оврагообразованию, развитию карста и суффозии, усилению оползневых явлений, деформации асфальтового покрытия автодорог и т.д. Ниже рассматриваем деформации и напряженное состояние магистрального трубопровода после его прокладки в результате сдвигов его основания на отдельных участках.
1. Трубопровод расположен перпендикулярно к линии сдвига.
Блоки 1 и 2 (см. на рис.1), смещаются один относительно другого в горизонтальной плоскости в направлении, показанном стрелками. След плоскости, в которой происходит сдвиг, отмечен на рисунке зигзагообразной линией. Трубопровод расположен перпендикулярно к линии сдвига, деформированное положение его показано жирной линией.
Поместим начало координат xOy в точке О недеформированного положения трубопровода, направив ось х влево вдоль его оси, ось у - вниз,
как показано на рисунке. В точке B на расстоянии !0 от линии сдвига трубопровод отрывается от грунта. В области x < 0 трубопровод остается параллельным оси x и совершает совместное движение с грунтом. Слева от линии сдвига упругая линия кососимметрична по отношению к оси х и точку, аналогичную точке В, обозначим В\. Длина !0 определяется в процессе решения. В точках В и В1 возникает сосредоточенная сила RB [4].
В трубопроводе находится жидкость под давлением p. Под действием давления жидкости и в результате разности температур АТ в момент строительства и в рассматриваемый момент времени в нем возникает продольная сила
N = ^lR2p ± 2лRha (Д Т) Е,
где R и Ь - радиус срединной поверхности и толщина стенки трубы, а* и Е -коэффициент температурного расширения и модуль упругости материала трубы. Смещение точки В обозначим через Д.
Диаграмма сопротивления грунта поперечным смещениям трубы в горизонтальной плоскости совпадает с диаграммой деформирования упругоидеаль-нопластического тела [5]. При малых перемещениях трубы сопротивление грунта пропорционально перемещению
q = ау, (1)
где а = 0.12Егр 1 - Игр), Егр, Игр - модуль деформации и коэффициент
Пуассона грунта, О - диаметр трубы, I» - единичная длина, у - смещение трубы (прогиб). Соотношение (1) справедливо в диапазоне перемещений от 1 до 6 см. При больших смещениях трубы сопротивление грунта постоянно, не зависит от перемещения и равно
92 = RгрD , (2)
Здесь Rгр - условная несущая способность грунта [5].
Принимаем, что отношение Д /10 << 1 и нагрузка на единицу длины проекции искривленного трубопровода на его первоначальное направление также равна q. Рассекаем трубопровод в точках В и Вь прикладываем силы RB. Из уравнения равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки А находим
Rв = т ¥ <3>
2 '0
Здесь и ниже в выражениях, имеющих слагаемые с двойным знаком, верхний знак берем, если сила N растягивающая (положительная), нижний знак - если сила N сжимающая (отрицательная). Изгибающий момент в сечении на произвольном расстоянии х равен
2
М (х) = Rвx - Ц- ± N (Д-у). (4)
Дифференциальное уравнение упругой линии трубопровода имеет вид
У = ± EJ
9x2 ± Nд(X-1Л
2 2
V 'о
± Ny
(5)
где штрих означает производную по х. Пусть смещения трубы малы и реакция грунта определяется выражением (1). Подставляя в (5) вместо q выражение (1), получим дифференциальное уравнение с переменным коэффициентами
у + (-кох2 + ко'ох Т к2)у = ±к2Д[х/'о -1], (6)
где к° = а/(2EJ), к2 = N1(EJ). Однородное уравнение (6) совпадает с уравнением 2.55 (стр.379) в [6], если в последнем принять а = Ь = 0. Следуя [6], принимаем у = и( х)е3><2, где 5 - корень уравнения 4s2 - к^ = 0 и равен 5 ¡2, однородное уравнение (6) приводим к виду
и + 2^[к°хи + (к0'0х + ^/<0 Т к2) и = 0. (7)
Здесь использовано положительное значение 5. Заменой
-А'ох], (х-2
(
и( х) = Г|© ехр
/
уравнение (7) сводится к уравнению
ц" + |ц" + Ьц = 0,
(8)
2
где b = ^l0 + ^^ , у = ^ (х - I . Уравнение (8) совпадает с 2.273 (10) в
1 Г (
[6] и имеет решение
ц = C 2e 4 ц
b -11 -C
2 4' 4- ~2
2
(9)
Используем обозначение k = Ь -1 , m = 1 и выражение (9) записываем так
k,m:
ц = C 2e 4 ц
2
где ц(к'Щ- - функции Уиттекера; в [7] они обозначены через Mkm (C) и
M
k'-m
и представляют собой линейно-независимые частные решения одно-
родного уравнения Уиттекера. Общим решением (8) будет
ц = Wk,m (C) + C2Mk,-m (C) >
(10)
1 C
-+m
где M-k m (C) = C2 e 2F- + m - k, 2m + 1,C
. . ® a (a +1)... (a + n -1) xn
1F (a, b,x) = 1 + > —--—-----ряд Похгаммера; в [8] его называют
v 7 n=1 b(b + 1)...(b + n - 1)n/
вырожденной гипергеометрической функцией и обозначают Ф( a, c, x) , где a = 1/2 + m - k, b = 2m +1. Для функции Ф( a, c, x) справедливо правило дифференцирования
dn Ф Г (a + n )r(c) v dФ a , . ч
-= —7-г—+ n,c + n, x): — = — Ф^ +1, c +1, x).
dxn Г(с + n)r(a) v ' dx c v '
После перехода к исходной функции y общее решение однородного уравнения (6) запишется в виде
У (C) = C| (-У1) + C (-y2), (11)
где У1 = |me
2 Л
- + m - k, 2m +1,— 22
5 (
У2 = C-me 21F
2 Л
— m - k, -2m +1,—
2
2
Производные функции y1 и y2 по C имеют вид
cm \ (
y"=|mr-1 -^j e 21F
2 Л
(2m +1 - 2k )C 2 (2m +1)
v
C Л
1 Г о и C
— + m - k, 2m +1,— 22
Cme 2F
/
.2 Л
- + m - k, 2m + 2,— 22
me 2
У2 =
C-me
(1 + 2ml1) _~ 1F1
(1 - |2Л
— m - k, -2m +1,— 22
me 2 (1 -2m-2k
^ ^ 1F1
2 (1 - 2m)
Зависимость C от x приведена в уравнении (8).
in _
--m - k, -2m + 2,— 22
c
+
c
+
Частное решение V неоднородного уравнения (6) находим методом неопределенных коэффициентов в форме V = С, (5)у1 (5) + С (5)у2 (5), где
С (5) = /
f (5) d5
У1 (5) 1п
У2 (5)
; С (5) = /
f (5) d5
к2Д
У2 (5)1п
У2 (5)
; f (5) = ^
'п
5
л/2/кГ
У1 (5) У1 (5)
Постоянные интегрирования в (11) определяем с помощью граничных условий
у = Д, у' = 0 при х = 0, 5 = -50; 50 =
л/2/кГ'о
Имеем
где
у (5) = Д У1 (5) у2 (-5о)-У1 (-5о) У2 (5) _ У' У1 (-5о) У2 (-5о)-У1 (-5о) У2 (-5о) +С (5) у, (5)± С2У2 (5),
(12)
(13)
5
С (5)=/
f (5) d5
-5о
у, (5)'п
У2 (5)
5
; С (5)=/
f (5) d5
У, (5) У1 (5)
Длину 1о находим из (13), используя условие у = о при х = 1о (5 = 5о). Выражение для изгибающего момента имеет вид
у2 (5)'п
у2 (5)'
М (х ) = М ('о - X) Т N
у - Д
х
1 -х 'оу
Координату опасного сечения х„ находим из условия О (х) = о по формуле
х,= | Т ^ (14)
2 Ц'о
Из (14) видно, что при N = о наибольший изгибающий момент возникает в сечении х„ = 'о/2. Более точное значение х„ следует из условия dM/dх = о .
Пусть перемещение трубопровода больше предельного значения. Сопротивление грунта определяем по формуле (2). Тогда дифференциальное уравнение упругой линии (5) принимает вид
(„ \
у" Т к у = к1х (X - 1о) + к2Д
— -1 V 'о У
(15)
где к, = ф/(2EJ). В случае N > о решение уравнения (15), удовлетворяющее граничным условиям (12), запишется так
у = Д -
42 х , Ц
. , (сИкх-1)-02 2N к2^ ' к
42
(
Д
\
изгибающий момент равен М (х) = (1 - сИ кх) + —
2N
21 2
1 Г Ч2'о N Дл
(sh кх - кх), (16) sh кх.
_ 02 х2 02
При N < о имеем у = Д + + 2
. „ (coskх -1) + — 2N к2^ ' к
(
Д
о
\
2N 02'о
(эп кх - кх) ,(17)
М (х ) = Ц- (cos кх -1) +1
к
д>'о +
V 2 'о у
sinкх.
Если N = о, то у = Д + Ц^Гх - 'о 1; Мтах = ; 'о =
12EJ V 2 о / тах 8 о V ц
'
'о
Координату опасного сечения находим из условия dM/dx = 0 по формуле
(
tg kx„ = k
0 + NA 2 qfel0
л
(18)
Если &х,<< 1, то, пользуясь известным разложением в ряд tgz = г + г3/3 + ... и оставляя в разложении первое слагаемое, для х, получим более простую фор-
мулу:
l0 _ N A
x„ = — +-
2 %lo
Используя условие у = 0 при х = 10, находим уравнение для определения ¡0:
(
N > 0:
N < 0:
1 - ch kl0 + k
l0 NA
л
q2|o
sh kl0 = 0;
(
1 - cos kl0 - k
l0 N A
— +-
2 q^
Л
sin kl0 = 0.
2. Трубопровод расположен под углом в к линии сдвига. На рис. 2 показано деформированное положение трубопровода, направления смещения блоков, приведены геометрические и силовые параметры задачи. Проводим нормальное сечение трубопровода на расстоянии ¡\ слева и справа от линии сдвига. Из уравнения равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки 0\
(
N
определяем
Ro =
л
q20 + NA
v 2 |0 У
sin8 .
Внутренний момент на произвольном расстоянии x равен 2
M (x) = -sin 8 - FOx + Ny.
Дифференциальное уравнение упругой линии трубопровода имеет вид 2
EJy" = -sin 8 + FOx + Ny . (19) Здесь штрих означает дифференцирова-
Рис. 2
ние по х. Используем обозначения
к2 = ^ = . к2 = Ъ
EJ ^ 2EJ 2 EJ
и уравнение (19) приводим к виду у" + к2у = к2х - к,х2 . (20)
Пусть сила N растягивающая. Тогда решение уравнения (20), удовлетворяющее условию у = у" = 0 при х = 0 записываем так
У(х) =
q2 sin 8
N
1
_ - _ (ch kx -1) + k
/0 - NA
2 q^0
\
(sh kx - kx)
(21)
Изгибающий момент определяется по формуле
M (x) = q2 sin 8
/0 - NA
2 q^0
\
sh kx - — (ch kx -1)
(22)
Координату опасного сечения x„ по-прежнему определяем по формуле
(
tg kx„ = k
/о - NA
2 q^
Л
Используя условие у = Asinв при х = ¡0 из выражения (21) находим уравнение для определения ¡0:
y
2
(
1 - ^ к10 + к
- МД
Л
sh к10 = 0.
В случае N < 0 выражения для прогиба, изгибающего момента и уравнение для определения х„ и 10 имеют вид
У =
С sin 8
N
—- — (cos кх -1) + -
2 к
10 + 2 4210
л
^п кх - кх)
М (х) = -42 ап 8
х2 - (cos кх -1) +
1
+— к
10 N Д
— +-
2 с^10
\
(sin кх - 2кх)
(23)
(
2кх„ + sin кх„ + к
0 + ^Д
2 С210
л
(cos кх„ + 2) = 0;
2NД 1 , .. ,ч 1 Г10 NД , . ..
-+ к10 -1)—I — +-I sin к10.
С2 к 0 ^ к ^ 2 ^00
Если N = 0, то
С^х^т8Л х^ , схsin8,. ,
У = '^ШГ (10- 2); М (х ) = V" (10- х);
(24)
Наибольший изгибающий момент возникает в сечении х„ = 10/2, где 10 определяется из выражения 10 = 424ЕТД/с2 . На рис.3 приведена расчетная схема для движения блоков в направлении, противоположном рассмотренному выше. Здесь справедливы формулы (21)-(24).
3. Определение предельного значения смещения Д„.
Элемент трубы находится в плоском напряженном состоянии, на гранях
элемента возникают напряжения стх = СТц + стМ =
N М (х„)
pR
nDh
СТ*= h
Для определения Д^ используем энергетическую теорию прочности и запишем СТ2 - СТ^ + СТ2 = СТ^ , где СТ) = стх , ст2 = стф, стт - предел
текучести материала трубы. Если ДТ = 0 , то СТц = р^2h и из условия прочности находим предельное значение изгибающего момента
Рис. 3
Мпр
СТ2 3
Т - 4
4. Численный пример. В стальной трубе радиусом срединной поверхности R = 0,51м, толщиной стенки Л = 0,011м содержится жидкость под
давлением р = 50атм, Е = 2 • 105 МПа, стт = 300МПа, ДТ = 0 . Труба находится
в песчаном грунте с параметрами Егр = 30МПа, цгр = 0,25 , Rгр = 0,4МПа [5].
По результатам расчетов построены графики. На рис. 4 приведена кривая зависимости величины деформированного участка трубопровода 10 от смещения Д . На величину 10 не влияет угол в, а также давление жидкости и соответственно растягивающая сила N .
2
2
M(Х.),Н ■ м
_ / / /
/ /Мпр
Ж- ' 1 1
А, м
0.0518 \ А
А^м
А.,м
1.5
50 40
Рис. 6
Рис. 4 Рис. 5
На рис. 5 показаны графики изменения изгибающего момента в опасном сечении M (x„) в зависимости от А при 6 = 0 разных значениях смещения. Горизонтальные линии представляют предельный момент МПр. Сплошные линии соответствуют давлению p = 50атм, штриховые и штрихпунктирные линии -
давлению p = 30 и p = 10атм . В диапазоне 0 < 6 < л/2 влияние на А. давления жидкости в трубопроводе и соответственно растягивающей силы N не превышает 1 %. На рис. 6 дан график зависимости предельного смещения А. от углового положения трубопровода в. Из графика следует, что с увеличением в. величина предельного смещения А. уменьшается и наоборот. Как видно
из графика в диапазоне изменения 60° < 6 < 90° величина А. изменяется незначительно.
Л и т е р а т у р а
1. Казанцев Ю.В., Казанцева Т.Т. Структурная геология юго-востока ВосточноЕвропейской платформы. - Уфа: Гилем, 2001. - 232 с.
2. Современная тектоническая активность древних дислокаций земной коры / Ю.В. Казанцев, Т.Т. Казанцева // Уралэкология. Природные ресурсы - 2005: Сб. тр. Всеросс. научн.-техн. конференции - Уфа-Москва, 2005. - С. 126-127.
3. Современная геодинамика как фактор восполнения запасов углеводородного сырья / Ю.В. Казанцев, М.А. Камалетдинов // Уралэкология. Природные ресурсы - 2005: Сб. тр. Всеросс. научн.-техн. конференции - Уфа-Москва, 2005. - С. 128.
4. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. -М.: Гостехиздат, 1953. - 238 с.
5. Айнбиндер А.Б., Камерштейн А.Г. Расчет магистральных трубопроводов на прочность и устойчивость. - М.: Недра, 1982. - 342 с.
6. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1971. - 576 с.
7. Бейтмэн Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрические функции и функции Лежандра. - М.: Наука, 1965.
8. Янке Е., Эмде Ф., Лещ Ф. Специальные функции (формулы, графики, таблицы). -М.: Наука, 1968.
DEFORMATIONS OF THE MAIN PIPELINE CAUSED BY THE DISPLACEMENTS OF THE GROUND IN A HORIZONTAL PLANE
Yakupov R.G., Zaripov D.M.
lo, м
6
2.695- 10
6
2.69- 10
5
6
2.685- 10
0
0.0514
0
0.2
0.4
0.6
0.8
