CC BY
1
ЯЗЫКИ КУЛЬТУРЫ
УДК 51-7 DOI 10.53115/19975996_2024_02_036_046
ББК 30Ц
А.Г. Иванов-Ростовцев, Л.Г. Колотило
D-SELF ГАРМОНИЯ И «ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ»
D-SELF гармония описывается путем абстрактных математических построений на числовых отрезках и их координатах. При обобщении данных и переходе к размерным параметрам и масштабам строится графическая визуализация гармонии путем нормировки и логарифмирования длин отрезков и их координат. Предлагается использовать D-SELF гармонию в междисциплинарных исследованиях для измерения «гармонической совместимости» различных объектов и процессов в специфической зеркально-симметричной системе координат на базе безразмерных гармоничных пропорций. Эффект D-SELF гармонии иллюстрируется на примере простейших геометрических форм (отрезок, квадрат и куб) при повышении и понижении порядкового уровня (размерности) гармонии, и примере моделирования пропорций акустического давления и частот при звучании колокольного звона. Предложена новая интерпретация интервалов равномерно-темперированного музыкального ряда, позволяющая использовать центры гармонии (сопряжения) для определения консонансов и диссонансов внутри и между октавами. Доказывается, что эффект D-SELF гармонии представляет собой расширенный метод гармонических пропорций «золотого сечения».
Ключевые слова:
D-SELF гармония, золотое сечение, центры гармонии, числовые пропорции.
Иванов-Ростовцев А.Г., Колотило Л.Г. D-SELF гармония и «золотое сечение» // Общество. Среда. Развитие. - 2024, № 2. - С. 36-46. -DOI 10.53115/19975996_2 024 _02_036_046
© Иванов-Ростовцев Александр Григорьевич - кандидат географических наук, научный консультант, Русское географическое общество,
Санкт-Петербург; e-mail: [email protected] © Колотило Леонид Григорьевич - кандидат географических наук, Санкт-Петербург; e-mail: [email protected]
Посвящается памяти проф. Геннадия Матвеевича Дегтярёва - одного из авторов научной области D-SELF
«Гармония всегда рождается из противоположностей»
Никомах из Герасы,
трактат «Арифметика» (II в. н.э.)
Древние греки, «сочинившие тома для библиотеки», и более поздние учёные много писали о гармонии, но, как ни странно, мысль Никомаха из Герассы о рождении гармонии из противоположностей не нашла философского осмысления и математического отображения до настоящего времени. Гармония внутренней структуры объекта, и противоположной структуры внешнего, окружающего объект пространства, традиционно рассматриваются раздельно.
В предлагаемом подходе D-SELF гармония объекта возникает из противоположностей внутреннего наполнения (структу-
ра объекта) и внешнего окружения среды. При этом сам объект находится в центре симметрии, который уравновешивает баланс внутренней и внешней гармонии.
Ниже будет рассказано, как внутренняя и внешняя гармонии связаны между собой, и как они соединяются в единой гармонии, «пронизывающей» внутреннее и внешнее пространство объекта. Эта общая гармония «окружает» объект с внутренней и внешней стороны, а сам объект выступает как центр симметрии (сопряжения) этих двух гармоничных пространств. На числовых пропорциях будет показано, как на координатной оси соотносятся между собой центры симметрии (гармонии, сопряжения) и масштабы внутренних (численно меньших относительно центра) и внешних (численно больших относительно центра) гармонических эффектов.
Гармония объектов и явлений возникает скачкообразно (как дельта-функция),
если пропорции (параметры объектов) сходятся в отношениях «золотого сечения». Но как быть в случаях, когда пропорции только лишь приближаются или отдаляются от точки «золотого сечения»? Как интерпретировать и оценивать эти «негармоничные» или «примерно гармоничные» пропорции? Отсюда следует расширенное определение гармонии, которая исследовалась в предлагаемой работе: гармония D-SELF - это численное значение пропорций масштабов различных объектов по отношению к базовым пропорциям «золотого сечения».
Возникает пушкинский вопрос: можно ли «поверить алгеброй гармонию»? Можно ли измерить гармонию так, как измеряют пространство, время, температуру или другие характеристики? Ответу на этот вопрос посвящена данная работа.
В разделе «Гармония пропорций» на числовой оси будет определена D-SELF гармония при помощи числовых отрезков «золотого сечения» и их координат. На простейших геометрических формах - отрезок, квадрат и куб, показано, как D-SELF гармония «работает» в реальности.
В разделе «Зеркальная симметрия D-SELF гармонии» путем нормировки и логарифмирования представлен переход на сравнительный уровень гармонии, при котором можно обобщать данные различных размерностей и масштабов. В этом случае различные объекты или процессы можно анализировать (измерять) на предмет их гармонической совместимости.
В разделе «Сопряжения (консонансы) в музыке» будет предложен новый взгляд на внутриоктавную и межоктавную гармонию как особую, «D-SELF интерпретацию» равномерно-темперированного музыкального ряда.
Гармония пропорций
„Красота заключается в пропорции частей"
Поликлет Старший
Традиционным методом анализа гармонии является метод «золотого сечения» [1], основанный на двух иррациональных константах («золотых» числах), равных 0.618... и 1.618..., представляющих пределы отношений соседних членов ряда Фибоначчи [13], описанного еще в XIII веке. Для простоты восприятия «золотые числа» в дальнейшем будем округлять до третьего знака: 0.618 и 1.618 = 1/0.618.
Анализ гармонии на основе модели D-SELF [6] - это системное исследование
сбалансированности (сопряжения) параметров внутренней структуры и структуры внешней среды [7]. Значения данных параметров (гармоник) являются прямыми характеристиками гармонизации системы. Покажем возможности D-SELF для количественного измерения гармонии, а также связь этого метода с «золотым сечением».
В подходе D-SELF [6] анализируются связи трех масштабных групп :
1) I - системный масштаб (характерный размер) объекта,
2) I. - внутренние масштабы системы
(1 ^ и,', и
3) I * - внешние масштабы по отношению к объекту (I * > 1о),
где - порядковый номер масштаба, отсчитываемый от 1о в меньшую (для I.) и в большую (для I *) стороны [6].
В модели D-SELF используется системная связь между масштабными группами в виде «среднегеометрического» сопряжения внутренних и внешних масштабов относительно системного масштаба: ¡0 ¡.¡* .
В подходе «золотого сечения» [1] при гармоническом делении целого на две неравные части также анализируются три масштабные группы :
1) а - величина меньшей части,
2) Ь - величина большей части,
3) с - величина целого (а+Ь=с, а<Ь<с)
Системной связью гармонического деления в «золотом сечении» является отношение пропорций а/Ь=Ь/с, которое можно записать в виде «среднегеометрического» сопряжения меньшей части и целого относительно большей части: Ь = ^[ае .
Характер связи параметров 1о, I, I * и а, Ь, с показывает, что оба метода анализа гармонии (D-SELF и «золотое сечение») имеют общую основу.
Для дальнейшего анализа отложим на числовой оси отрезки а, Ь и с, связанные «золотой» пропорцией (рис. 1).
На основе логики гармонического деления длин отрезков, также анализируются сопряженные связи координат некоторых точек на числовой оси рис. 1. Стрелки С1, С2, С3 указывают на три пары точек, которые сопряжены на числовой оси среднегеометрическими связями относительно точки центра симметрии с координатой 0.618. Значения координат сопряженных точек указаны в табл. 1.
Заметим, что координаты некоторых точек на числовой оси связаны между собой среднегеометрическими отношениями. Например, координата левого края отрезка а, численно равная 0.382, среднегеометрически сопряжена с координатой
о
со
СО
о_
СО
ч
о с^
о
центр симметрии
Рис. 1. Гармоническое деление на числовой оси отрезка с[0.382;1] отрезками а[0.382;0.618] и Ь[0.618;1] по правилам «золотого сечения»: Ь/а=е/Ь=1.618 при с=а+Ь=0.236+0.382= 0.618, откуда следует среднегеометрическая связь Ь = \[ас сопряжения (симметрии, гармонии) численных длин отрезков а = 0.236 и с = 1 относительно длины отрезка Ь = 0.618. Стрелки Ср 02, 03 указывают координаты сопряженных точек на числовой оси.
1.00 правого края отрезка с относительно координаты 0.618 левого края отрезка Ь (центр симметрии на рис.1). Связь координат точек «золотой» пропорции отмечена на рис. 1 стрелками С9. Для дальнейшего анализа представлены еще две пары точек, относительно указанного центра сим-р расположенная внутри и пара С3, расположенная
Рис. 2. Гармоническое деление на числовой оси отрезка с* [0.618, 1.618] отрезками а*[0.618;1] и Ь*[1;1.618] по правилам «золотого сечения»: Ь*/а*=с*/Ь*=1.618 при с*=а*+Ь*=0.382+0.618=1, откуда следует среднегеометрическая связь Ь* =у/а*с* сопряжения (симметрии, гармонии) численных длин
отрезков а* = 0.382 и с* = 1 относительно длины отрезка Ь* = 0.618. Стрелки G1*, G2*, G3* указывают координаты сопряженных точек на числовой оси.
и С3*, где координаты пары
метрии: пара С] диапазона С9
точек С1*, С9*
точек в С9* соответствуют «золотой» пропорции. Среднегеометрические связи координат сопряженных точек, указанные стрелками С1*, С9* и С3* будут выражаться как:
л/0.786 -1.272 =у/ 0.618-1.618 =л/0.382 • 2.618 = 1
вне диапазона С9 (рис. 1.). Среднегеоме трические связи координат сопряженных точек в С1, С9 и С3 выражаются:
>/0.486 • 0.786 =>/0.382-1 =у/0.236-1.618 = 0.618
На рис. 1 центр симметрии с координатой 0.618 располагался на числовой оси в интервале значений, меньших единицы. Далее рассмотрим связи сопряженных длин отрезков и координат точек с центром симметрии с координатой, равной единице. (рис. 9). Забегая вперед, отметим, что оба варианта гармонии и на рис. 1, и на рис. 9 играют, как будет показано в дальнейшем, принципиальное значение в музыке.
На рис. 9, в соответствии с табл. 1, отмечены сопряженные связи трех среднегеометрических пропорций координат пар
Из рис. 1 и 9 следует, что на числовой оси могут располагаться дискретные пары точек, сопряженные относительно выделенной (фиксированной) точки - центра симметрии. Для произвольной точки по одну сторону от центра симметрии, будет
Таблица 1
Координаты сопряженных точек на числовой оси, и их нормировка на координаты центра симметрии (сопряжения)
Наименование, обозначение координат Группы сопряжения Примечание (связь координат с «золотыми числами»)
I (Рис.1) II (Рис.2)
Центр симметрии (сопряжения) 0.618 1.000 0.786 = 0.618°5 0.486 = 0.618'5 0.382 = 0.6182 0.236 = 0.6182: 1.618 1.272= 1.61805 2.618= 1.6182
Обозначение (пары точек) С2 Сз 6 2 с;
Координаты точек сопряжения (Рис.1,2) 0.486 и 0.786 0.382 и 1.000 0.236 и 1.618 0.786 и 1.272 0.618 и 1.618 0.382 и 2.618
Нормированные координаты точек (Рис.3) 0.786 и 1.272 0.618 и 1.618 0.382 и 2.618 0.786 и 1.272 0.618 и 1.618 0.382 и 2.618
«Золотая» пропорция V V
существовать сопряженная точка по другую сторону от центра симметрии, и наоборот. Количество пар сопряженных точек можно увеличить (уплотнить) до уровней, когда все точки по левую сторону от центра симметрии будут настолько близки друг к другу, что они перейдут из дискретного множества в непрерывное [2].
Аналогичная процедура произойдет для точек по правую сторону от центра симметрии, вследствие чего получаем два сопряженных непрерывных множества, имеющих одну общую точку в центре симметрии. Особым свойством таких множеств является наличие в них сопряженных точек, связанных не только среднегеометрическими связями, но и связями «золотых» пропорций первой степени (пары точек в С2 и в С2*), а также высших и низших степеней (примечание в табл.1 для точек в С1, С1* и в С2, С2*).
В группе I табл. 1 центр сопряжения располагается в точке с координатой (0.618), а в группе II - в точке с координатой (1.000). В более общем случае, при анализе непрерывных сопряженных множеств, центром сопряжения в группе I может быть любое дробное число от нуля до единицы, а в группе II - любое целое число, большее (или равное) единице.
Смысл абстрактных гармонических пропорций, представленных выше, можно пояснить на примере простейших геометрических форм. Для этого рассмотрим гармонию высших и низших степенных порядков. В примечании к табл. 1 представлены некоторые связи сопряженных точек с числами «золотого сечения», возведенные в целочисленные или дробные степени. Данный факт говорит о том, что гармоничные пропорции не ограничиваются пропорциями базовых «золотых» чисел 0.618 и 1.618, а имеются связи высших и низших степенных порядков.
Степенные связи гармонии проиллюстрируем при помощи одно-, двух- и трехразмерных пространственных масштабов, и их переходов между собой (рис. 3).
Рассмотрим простейшие геометрические формы - отрезок, квадрат и куб. Отрезок размерности первой степени, например, в метрах, может быть использован для расчетов двумерной площади квадрата в метрах квадратных. Далее, площадь квадрата можно приравнять граням трехмерного куба и использоваться для расчетов объема в кубических метрах. Если взять три отрезка, три квадрата и
I <*п<{
(ЛИНИИ) I-1
(площади) ^
э
«п = Н *
Эо
(объемы)
А 7
У
и<и0<и
и
и
и0=уи и
о и
Рис. 3. Два вида гармонии при анализе одномерных (линии), двухмерных (площади) и трехмерных (объемы) пространственных объектов.
Гармония «золотого сечения» включает два вида связи - среднегеометрическую (мультипликативную): ¡о = ^/¡Г, V = , и = ^йй , и аддитивную : I + 1о = I *, S + 8о = S*, и + ио = и*. Гармония D-SELF содержит среднегеометрическую связь, входящую в гармонию «золотого сечения», но при расширенных аддитивных значениях исходных масштабов, то есть при любых I, I, I*; S, 8о, S* и и, ио, и*.
три куба, гармонически связанных между собой как показано на рис.3, то можно наглядно проиллюстрировать переход из гармонии 1-го порядка во 2-й и 3-й порядки соответственно.
В случае произвольных геометрий криволинейных линий, замкнутых границ площадей и объемов с сопряженными значениями размеров, связанных формулами на рис. 3, все гармонические связи величин останутся прежними. Пропорции пространственных размеров будут описывать два вида гармонии: D-SELF гармонию для любых масштабов (I, I, I*; 8, 8о, 8*; и, и, и*), и гармонию «золотых сечений» линий, площадей и объемов при 1+1 =1*,
8+8о =8*, и+ио =и*.
Аналогичный анализ можно применить и в обратную сторону понижения степенных значений, например, для перехода гармонии 3-го порядка в гармонию 1-го порядка. Для этого произвольные объемы необходимо преобразовать в эквивалентные объемы кубов, и далее в одномерные линии, равные корню кубическому из объемов данных кубов.
Предложенный подход применим для дискретных и непрерывных массивов (множеств) как безразмерных данных, так и данных произвольных размерностей с многими переменными. Такой алгоритм может выступить альтернативой нейросетевым технологиям при разработке новых методов искусственного интеллекта [4].
о
СЧ1
ге
си О
О
Зеркальная симметрия D-SELF гармонии
«Симметрия представляет собой концепцию, сокращающую сложность (сопрограммы содержат подпрограммы); ищите ее повсюду»
Алан Джей Перлис, американский учёный в области информационных технологий
Покажем, что центры гармонии являются базой для нормировки данных. На рис. 1 и 2 представлены две группы I и II (табл. 1) с тремя парами точек в каждой группе, сопряженными относительно различных центров симметрии: 0.618 для группы I, и 1.0 для группы II. Если все координаты сопряженных точек группы I разделить на значение центра симметрии 0.618, а координаты группы II разделить на значение 1, то точки группы I совпадут с точками группы II. Отсюда следует равенство отношений (пропорций) координат сопряженных точек (табл. 1): 0.486/0.618 = 0.786/1.000 и 0.786/0.618=1.272/1.000 (для координат G1 и С1*); 0.382/0.618 = 0.618/1.000 и 1.000/0.618 = 1.618/1.000 (для координат О2 и О*); 0.236/0.618=0.382/1.000 и 1.618/0.618=2.618/1.000 (для координат О3 и О3*). Равенство координат сопряженных точек с разными центрами симметрии позволяет расположить данные отношения на одной числовой оси. То есть при нормировке на центры симметрии сопряженные точки в О1 и О1*, О2 и О2*, О3 и О3* наложатся друг на друга. При анализе большего количества сопряженных точек можно перейти к двум непрерывным множествам, сопряженным относительно нормированного центра симметрии, равного единице (рис. 4).
Вид непрерывных функций у. и у.* на рис. 4 выбирается из условия, чтобы пары точек на оси х/х0 являлись проекциями сопряженных точек (крайние точки пунктирных горизонтальных линий на рис.4), принадлежащих функциям у. и у.*.
В зависимости от поставленной задачи, функции у. и у.* могут описываться различными размерными параметрами, связанные с движением объектов или потоков [7]. Это могут быть энергетические, амплитудные, скоростные, либо другие характеристики движения во времени. Соответственно, смысл оси х/х0 - это размерность времени.
Нормировка на центр симметрии дает возможность обобщить эмпирические дан-
центр симметрии
Рис. 4. Функциональные зависимости сопряженных точек при нормировке на центры симметрии. Обозначения: х - координаты 0,02,03 точек при х0 = 0.618 на рис. 1, и координаты 0*^2*^3* при х0 = 1 на рис. 2; у. и у* - непрерывные функции, представляющие сопряженные множества точек. Значения крайних точек на горизонтальных пунктирных линиях 0.786 - 1.272, 0.618 - 1.618, 0.382 - 2.618 соответствуют нормированным координатам сопряженных точек (табл. 1). Стрелки С123(*} указывают на совмещенные точки С123 (рис. 1) и о12; (рис. 2).
ные различной размерности и масштабов. Данный результат играет ключевую роль в междисциплинарных исследованиях, так как позволяет построить специфическую систему координат из безразмерных гармоничных пропорций, в которой можно измерять «гармоническую совместимость» самых различных объектов и процессов.
Для примера, показывающего смысл функций у. и у.*, выберем в качестве объекта движения затухающее звуковое давление колокольного звона в ближнем поле колокола (рис. 5). Рассмотрим массивный русский колокол [5] с весом порядка 3050 т со звучанием высокой интенсивности до 100 дециБелл (дБ).
«Язык» колокола ударяет по нижнему кольцу колокола, и в первые доли секунды (0.15 сек.) звуковое давление Р. в точке удара (точка В на рис.5) составляет 100 дБ. Выделим на временном графике затухания звукового давления три линейных участка ВС, CD и DЕ, на которых скорость затухания звука соответственно равна VBC = 524.2 дБ/сек, VCD = 412.2 дБ/сек, VDE = 254.8 дБ/сек.
После нормировки скоростей линейных участков на предельную скорость звуковой энергии |У^В| получаем безразмерные значения скоростей затухания звука на указанных участках: ^ =524.2/667=0.786; VN(вc)=412.2/667=0.618; VN=254.8/667=0.382.
В (0.15;100) С (0.2;73.79)
Р (0.25;53.18)
Е (0.3;40.44)
I, сек
А (0;0)
0.1 0.2 0.3
Рис.5. Затухание звукового давления Р. вблизи колокола (ближнее поле) в начальный период звучания. А-В: период «атаки» при возбуждении упругих колебаний в колоколе; B-C-D-E...: начальный период затухания акустической энергии колокольного звона. Локальные скорости затухания звука на линейно-аппроксимируемых отрезках АВ, ВС, CD, DE определятся как V. а+п= (Р\ - Р1+1) / - 11), а именно: \УАВ\ = \(0-100) | / (0.15-0)| =667 дБ/сек; VBC=(В00-743.79) / (0.20-0.15)=524.2 дБ/сек; Усе=(73.79-53.18) / (0.25-0.20)=412.2 дБ/сек; Уве=(53.18-40.44) / (0.30-0.25)=254.8 дБ/сек.
Возвращаясь к табл. 1 замечаем, что нормированные координаты точек С1(*), С9(*) и С3(*), лежащих по левую сторону от нормированного центра симметрии на рис. 4, соответственно равны 0.786, 0.618 и 0.389. Эти координаты совпадают с нормированными координатами скоростей зату-
V
8(ВС)' N(CD)
хания на линейных участках V
и V
8™)
Продолжим математические преобразования гармонии D-SELF для данных, представленных на рис. 5.
Как упоминалось выше, размерностью числовой оси х/х0 на рис.4 является нормированное время. Предположим, что сопряженные пары точек С1(*), С9(*) и С3(*) с периодичностью 9п повторяются во времени определенное количество раз при сохранении сопряженных связей. Можно показать [6; 7], что, переходя от периодов х. к частотам Г данной периодичности, отношения и пропорции частот также будут содержать сопряженные связи: G1(*)—(f1,
С9(*^9, f2*), и £,*).
Возвращаясь к рис. 5, отложим значения функций у. и у.* в виде скоростей затухания звукового давления, а по оси х перейдем к обратным координатам, то есть от временных размерностей к частотам: I [сек] = 1Д" [Гц]. Пронормируем и прологарифмируем [6; 7] координаты Г сопряженных точек и V. скоростей затухания звона. В результате получим «зеркально» - симметричные линейные прямые, проходя-
Рис. 6. Логарифмическая «зеркальная» симметрия (гармония) звуковых частот колокола. Сопряженные точки равных ординат на пунктирных линиях соответствуют численным пропорциям рис. 1, рис. 2, рис. 4 и рис. 5. Обозначения :=/.^; У„ =У /У0; /. и/.* - сопряженные частоты; У. - скорости затухания звуковой энергии; /0 и У0 - частота и скорость затухания звука в точке центра симметрии.
щие под углами 45 градусов относительно осей координат, и пересекающиеся в точке начала координат (рис. 6).
«Зеркальная» симметрия D-SELF гармонии на рис.6 выражается в равенстве гармоничных пропорций излучаемых колоколом звуковых частот :
1) для С1(*):
/g(VN1)=/g(^1N^вc))=/g(fN1)=/g(0.786)= - 0.105;
9) для С9(*):
/g(VN9)=/g(^2N(CD))=lg(fN9)=lg(0.618)= - 0.909;
8) для С3(*):
= N(DE)) = lg(fNз) = lg(0.389) = - 0.418
^ш*)=№618)=0.418.
Полученные результаты позволяют рассчитать исходные (до нормировки и логарифмирования) размерные координаты «зеркально»-симметричных точек:
1) для ^=5.94Гц и ^*=8.49Гц при VBC=594.9дБ/сек;
9) для С9(*): ^=4.19Гц и ^*=10.80Гц при ^=419.9дБ/сек;
3) для С1(*): ^=9.55Гц и ^*=17.45Гц при VDE=254.8д Б/сек.
Размерные значения координат центра симметрии (сопряжения) на рис. 6 :
/0 = Ш = /2 = //* =6.67Гц;
^=Кв1=667дБ/сек.
Представленные выше расчеты показывают, что в первые доли секунды в колоколе возбуждается инфразвук ниже порога слышимости (от 9 до 18 Гц) с гармоничными связями и отношениями частот, связанными с «золотыми» числами. Высокие
см о
О
амплитуды звукового давления (до 100 дБ и выше) в эти доли секунды наполняют окружающее пространство гармоничным излучением инфразвука, который определяет весь последующий период звучания колокола, длящийся от нескольких секунд до минут в зависимости от размеров колокола и условий распространения звука.
Моделирование, представленное на рис. 5 и рис. 6 проводилось для начального периода излучения колокола, но D-SELF гармония «зеркальной симметрии» будет наблюдаться и в дальнейшем, установившемся режиме колокольного звона в случае хорошо настроенного колокола как большой (30-50тн), так и малой [5] (6-10кг) массы.
Сопряжения (консонансы) в музыке
«Дело гармонии дорисовывать те черты, которых нет и не может быть в мелодии» Михаил Иванович Глинка
Гармония в музыке проявляется на всех уровнях - в нотах, октавах, музыкальных фразах, композициях и других специфических формах. При этом стандартный музыкальный язык гармоничных звуков и мелодий содержит ряд допущений и приближений, связанных с иррациональностью интервальных пропорций. «Золотые пропорции», с которыми должны быть связаны музыкальные интервалы, также являются иррациональными числами бесконечных периодов, что влияет на точность и чистоту музыкальной гармонии.
Гармония D-SELF совместно с гармонией «золотых» пропорций могут объяснить некоторые причины неопределенностей и приближений при расчетах внутриоктав-ных и межоктавных пропорций.
Интервалы и сопряжения внутри октавы. Музыкальные пропорции, как правило, рассматриваются на базе равномерно-темперированного ряда [10] в числовом диапазоне от 1 до 2, а на рис. 1 представлены гармоничные связи в числовом диапазоне от 0 до 1. Так как оба диапазона численно равны 1, то анализ пропорций на рис.1 можно применить для ряда равномерной темперации на числовой оси от 1 до 2:
^
или в приближении с точностью до 3-го знака после запятой в виде:
1.000, 1.060, 1.123, 1.189, 1.260, 1.335, 1.414, 1.498, 1.587, 1.682, 1.782, 1.888, 2.000.
Попарно сопрягая крайние члены ряда среднегеометрическими связями с центром симметрии со значением 1.414, получим:
чД.ООО • 2.000 = 41.060 • 1.888 = 41.123 • 1.782 = = 41.189 • 1.682 =41.260 • 1.587 =41.335 • 1.489 = 1.414
Отсюда следует, что равномерно-темперированный ряд не только соответствует делению единичного диапазона на 12 равных в логарифмическом виде частей (полутонов), но и содержит шесть пар координатных сопряженных связей, относительно координаты 1.414 (центр симметрии), соответствующей координате натурального интервала тритона со значением 45/32=1.406 [10]. Разница в значениях 1.414 и 1.406 является не единственным приближением равномерно-темперированных и натуральных интервалов. При практическом использовании ряда равномерной темперации приходится решать многие проблемы чистых звуков, такие как пифагорейская комма (1/9 тона) или «волчья квинта» [3] при настройках пианино или роялей [8; 9], а также компенсировать другие нежелательные эффекты и явления.
Для объяснения причин нестыковок и расхождений в интервалах можно использовать в качестве базовых величин «золотые» числа и их расширенную версию -D-SELF гармонию.
В диапазоне равномерной темперации по умолчанию присутствует два числовых множества, связанных с «золотыми» пропорциями. Центром симметрии для одного множества является число 1.618, а для другого множества - число 1.382 (рис. 7).
Возвращаясь к равномерно-темперированном ряду, отмечаем, что оба центра симметрии ограничены полутонами 1.335 < 1.382 < 1.414 (между интервалами кварты и тритона [10]) и 1.587 < 1.618 < 1.682 (между интервалами малой и большой секст) [10]. Данный факт говорит о том, что числа «золотой пропорции» 1.382 и 1.618 не совпадают ни с одним из полутонов ряда. Более того, сопряженные точки с центрами симметрии 1.382 и 1.618 «обрезают» стандартный единичный диапазон октавы слева на величину 0.309 = 1.309 - 1 (вариант ® на рис.7), и справа - на величину 0.09 = 2 - 1.91 (вариант © на рис. 7).
Отсюда результирующий эффект от косвенного (не прямого) влияния «золотых» пропорций на музыкальный строй должен выражаться сдвигом вправо, то есть в сторону больших значений на числовой оси, так как 0.309 > 0.09.
центры симметрии
(1.618)
©ь
С
(1.382)
(1.309)
(2) Л
(1) V
(1.91) -1
а Ь а* Ь*
Рис. 7. Точки «золотого сечения» 1.618 и 1.382 внутри октавы на числовых отрезках от 1 = до 2 = . Вариант ® : указан диапазон значений от 1.309 до 2 для точек, сопряженных относительно центра симметрии 1.618 = V1.309 • 2 . Внутри диапазона расположены два сопряженных множества гармонии: от 1.309 до 1.618 и от 1.618 до 2. Ниже отложены отрезки «гармонического» деления с длинами: а=0.618, Ь=0.382 и с=1. Вариант © : указан диапазон значений от 1 до 1.91 для точек, сопряженных относительно центра симметрии 1.382 = V1 • 1.91. Внутри диапазона расположены два сопряженных множества гармонии: от 1 до 1.382 и от 1.382 до 2. Ниже отложены отрезки «гармонического» деления с длинами: а*=0.382, Ь*=0.618 и с*=1.
Применим аналитический метод Б-SELF [6] для сопряжения «золотых пропорций» левого ® и правого © отрезков на рис. 7, и рассмотрим сопряжение 1.389 и 1.618 относительно общего центра симметрии: 71.382 1.618 = 1.498 * 1.5 . Полученный центр симметрии совпадает со значением одного из членов ряда - квинтой [10], что позволяет его использовать в качестве построения нового музыкального строя, приближенного к обоим «золотым пропорциям» (рис. 8).
Музыкальный строй на базе «золотых пропорций» представляет собой равномерно-темперированный ряд, сдвинутый вправо на величину одного интервала (полутона) [10]:
^ ^ ф0, ^ 12212, ^
Та же последовательность в десятичном виде:
1.060, 1.193, 1.189, 1.960, 1.335, 1.414, 1.498, 1.587, 1.689, 1.789, 1.888, 9.000, 9.119
При этом конечная октава будет содержать 19 стандартных полутонов в диапазоне границ от 1.060 = до 9.119= ^^ . Соответственно, все 9 октав (от субконтрок-тавы до 5-й октавы) должны сдвинуться на один полутон.
Полученный математический результат требует проверки как дополнительным
моделированием, так и практиками при создании и настройке музыкальных инструментов. Моделирование позволит построить новую систему погрешностей при расчетах и оптимизировать более точную картину гармонии пропорций, а опытные мастера настройки помогут указать наиболее приоритетные или уязвимые тона полученного музыкального строя. Например, хорошо известно, что для настройщиков пианино и роялей октавные квинты [8; 9] часто являются принципиально более важными, чем примы, а в представленном музыкальном строе на базе «золотых пропорций» квинта как раз играет определяющую роль для всего нотного ряда. центр симметрии (1.414)
ГТ?¥
_1_1_I_I_I_
1
1_
J_I_I_1_
J
2 J
центр симметрии (1.498)
Рис. 8. Два музыкальных строя внутри октавы на числовой оси: стандартный равномерно-темперированный ряд (выше оси) с центром симметрии в точке 1.414 (интервал тритона [10]), и строй на базе «золотых пропорций» (ниже оси) с центром симметрии в точке 1.498 «1.5 (интервал квинты [10]). Координаты пар сопряженных интервалов полутонов отмечены стрелками по разные стороны от центров симметрии.
Межоктавные интервалы и сопряжения
На рис. 9 показаны гармоничные связи точек и интервалов относительно центра симметрии в точке с координатой, равной 1. Пусть два интервала на числовой оси в виде отрезков единичной длины с координатами от 0 до 1 и от 1 до 9 соответствуют двум соседним октавам равномерно-темперированного ряда.
«Октавы» на рис. 9, и принадлежащие им точки с координатами 0.618 и 1.618, разбивают рабочий октавный диапазон на пары сопряженных непрерывных множеств, содержащих сопряженные точки. Если в качестве значений точек и интервалов использовать размерные величины, например, частоты нотного равномерно-темперированного ряда, то гармоничные пропорции рис. 9 можно использовать в качестве практики построения музыкального строя.
43
Я
о
ге
СЦ О
о си
Рассмотрим границы октав нотного ряда (табл. 2), в которых для каждой октавы рассчитаем «золотую пропорцию». Например, для субконтроктавы координата точки «золотого сечения» в герцах равна: 16.35+16.35-0.618=26.454 Гц. Для остальных восьми октав расчет пропорций будет аналогичный. Представим полный диапазон частот музыкального строя в логарифмическом виде на рис. 9(а), где показаны сопряжения всех октав в точках «золотого сечения». Общим межок-тавным центром симметрии (гармонии) в этом случае является точка Fo «золотого сечения» 1-й октавы, относительно которой сопрягаются остальные октавные «золотые» гармоники.
На рис. 2 центр симметрии попадает на границу между октавами, а на рис. 9(а) центр находится внутри октавы. Данное различие связано с четностью количества октав, и не является принципиальным. Например, если анализировать гармонию с четным количеством октав (двумя, четырьмя и т.д.), то центр симметрии окажется на границе между октавами. Соответственно, если взять нечетное количество октав, как в случае стандартного равномерно-темперированного ряда, то центр симметрии окажется внутри одной
Таблица 2
Граничные значения частот [10] и «золотые пропорции» в октавах нотного ряда
Октавы Границы частот , (Гц) «Золотое сечение» внутри октав Р, (Гц) № ígF
Название Обозначение
Субконтр СК 16.3532.70 26.45 1.211.52 1.42 -(1,411.11) -1.20
Контр К 32.70 -65.41 52.91 1.521.82 1.72 -(1.110.81) -0.90
Большая Б 65.41 -130.81 105.82 1.822.12 2.03 -(0.810.51) -0.60
Малая М 130.81 -261.63 211.70 2.122.42 2.33 (0.510.21) -0.30
Первая I 261.63523.25 423.37 2.422.72 2.63 -0.210.09 0
Вторая II 523.25 -1046.5 846.64 2.723.02 2.93 0.090.39 0.30
Третья III 1046.5 -2093 1693.55 3.023.32 3.23 0.390.69 0.60
Четвертая IV 20934186 3386.47 3.323.62 3.53 0.691.00 0.90
Пятая V 41868372 6772.95 3.623.92 3.83 1.001.30 1.20
I гп. I
(Ь)
ск
(Р0)
1-д(Р),1.9(0 И = [Гц]
III
IV
V
-1
Ш
ЩЩ) )
Рис. 9. D-SELF гармония и пропорции «золотого сечения» в октавах нотного ряда (табл.2). На числовых осях (а) и (Ь) отложены логарифмы значений точек F гармонического деления октав и их нормировка F/F0 на координату F0=423.37Гц точки симметрии внутри 1-й октавы. Сопряжения логарифмов координат точек F, f (вверху) и F/F0, ^0 (внизу) обозначены стрелками. Границы октав определяются пересечением пунктирных линий с числовыми осями (а) и (Ь).
из центральных октав. В общем виде, анализ сопряженных пар дискретных точек (или множеств) на рис. 2 применим к любому количеству октав.
Сопряжения частот в точках «золотого сечения» октав выражаются среднегеометрическими связями, обозначенными стрелками на рисунке 9(а):
= >/^•^1=^ = ^0 =423.37 Гц
На рис. 9(Ь) представлена межоктав-ная гармония в «зеркально»-симметрич-ном виде системы координат D-SELF [6; 7], где симметрия музыкального строя показана в привычной аддитивной визуализации без частотных сжатий, разрежений и сложности одновременного восприятия малых и больших масштабов. Частотный девятиоктавный диапазон (от субконтр-до 5-й октавы) простирается от десятков герц до десятка килогерц, а на рис. 9(Ь) он укладывается в компактном «зеркаль-но»-симметричном виде. При этом логарифмы нормированных частот в точках «золотого сечения» сопряженных октав равны по величине и противоположны по знаку:
= -^в/^+^пЛ) = = = 0
Предложенный подход может быть использован как для компьютерного анализа существующих музыкальных произведений, так и при создании новых музыкальных форм и композиций.
Выводы и следствия
«Высокое подчиняет себе низкое; высшие голоса вместе с низшими производят гармонию, предшествующее подчиняет себе последующее»
Лао-Цзы
Главный вывод: эффект гармонии D-SELF - это расширенный метод гармонических пропорций «золотого сечения», так как в «золотом сечении» пропорции сопряженных масштабов сходятся в одной точке, а в гармонии D-SELF сопряжения пропорций расположены на всей числовой оси.
Гармония «золотого сечения» для трех (а < Ь < с ) масштабов содержит два вида связи: среднегеометрическую (мультипликативную) Ь = л/ас , и аддитивную с = а+Ь.
Подставляя сумму (а+Ь) под знак корня, и решая квадратное уравнение а9 + аЬ — Ь9 = 0 относительно а, получаем решение в виде а = Ь/9(-1+ >/5 ), что соответствует «золотым пропорциям»: а/Ь = Ь/с = 0.618 при а+Ь = с, то есть пропорции сходятся в одной точке, равной 0.618.
D-SELF гармония использует только среднегеометрическую связь Ь =у[ас , а аддитивная сумма (а+Ь) выражается двумя множествами для пропорций, разделенных константой 0.618.
Первое множество пропорций лежит в пределах: 0 < а/Ь = Ь/с < 0.618 при а+Ь < с, а второе множество - в пределах: 0.618 < а/Ь = Ь/с < от при а+Ь < с.
Отсюда следует, что D-SELF гармония охватывает пропорции любых масштабов на всей числовой оси, а не только точку со значением 0.618.
D-SELF гармонию можно использовать на практике как в обычном обиходе при повышении качества и улучшения условий жизни (Следствие 1), так и при создании сложных информационных и технических систем искусственного интеллекта (Следствие 9).
Следствие 1. D-SELF гармония позволяет создавать объекты жизнедеятельности нового поколения, в которых техническая надежность и долговечность сопрягается с элементами эстетической гармонии пропорций «золотого сечения».
Например, в новых проектах индивидуальных и многоквартирных домов все пространственные размеры, как линейные, так и двумерные и объемные, могут быть «увязаны» в единую сеть гармоничных пропорций не только по правилам «золотого сечения» [14], а также путем средне-
геометрических пропорций D-SELF. Центры симметрии локальных пропорций, в свою очередь, также сопрягаются между собой, формируя общий «центр гармонии» всей конструкции. Для проектируемого дома пропорции всего комплекса физических параметров (таких, как механические напряжения, теплоотдача, вентиляция и т.д.) рассчитываются с учетом гармонических сопряжений D-SELF и «золотых» констант.
Внутренние интерьеры проектируются с использованием пропорций цветовой гаммы (цветовой треугольник RGB) на основе гармоничных пропорций, относительно трех базовых центров симметрии с длинами световых волн красного, зеленого и синего цветов [11].
Кроме приложений для жилищных проектов, D-SELF гармонию можно применить в самых разнообразных сферах, таких как создание новой модной одежды, при гибком планировании времени (тайм менеджмент), при рациональном пропорциональном питании (диетология), в фит-несе (в спорте) и многих других областях.
Следствие 2. Компактный математический аппарат D-SELF гармонии может использоваться в алгоритмах информационных технологий при измерении системного параметра «гармонии» сложного объекта. Такие алгоритмы оптимизируют системы искусственного интеллекта, такие как метод Анализа Главных Компонент [12] (PCA - Principal Component Analysis), представляющий технологию многомерного анализа сокращения размерности в мегаданных. Одной из главных проблем в РСА является ограничение при потере информации в переходе из исходного пространства в пространство меньшей размерности. Метод D-SELF гармонии снижает размерность задачи с меньшей потерей информации, как минимум в два раза, так как используется парное сопряжение данных. При анализе наборы данных объединяются в сопряженные дискретные и непрерывные множества, которые группируются вокруг центров симметрии.
Совместное применение РСА и алгоритма D-SELF можно описать, например, в задаче визуализации при увеличении изображений. Традиционно, увеличение изображения значительно снижает четкость деталей и оттенков. Чтобы сохранить качество изображения, для Главных Компонент исходных переменных выделяются граничные сопряжения минимальных и максимальных масштабов с определенными центрами симметрий. Далее, при
увеличении размера изображения, фиксируются координаты центров симметрии незаполненного пространства (пустые множества). В полученные пробелы добавляются новые сопряженные точки при сохранении исходных пропорций между расширенными границами и центрами симметрии. При этом следует вспомнить удачное высказывание Алана Джей Пер-лиса: «В программировании инварианты эфемерны», то есть центры симметрии могут не присутствовать в данных анализа, а обеспечивать сопряженные связи реальных наблюдений.
Статическая задача визуализации изображений может быть трансформирована в динамическую при решении проблемы повышения качества видео в видеоредакторах изображений. В этом случае анализируются Главные Компоненты сопряженных множеств и дискрет во временных (или частотных) массивах больших и сложных данных таких переменных как, видео-шум, размытие деталей, оттенков и т.д.
Существует ещё один важный вывод, который базируется не только на алгоритме D-SELF, но и на известном высказывании Френсиса Бэкона: «Нет совершенной красоты без некой необычности в пропорциях». Как нам представляется, «жесткое» следование при расчетах «пропорциям золотого сечения» может привести к обратному эффекту и «переполнить» (или дестабилизировать) композицию гармонией. Чтобы этого избежать, необходимо умышленно дегармонизировать часть сопряженных пропорций, например, нотного или октавного ряда. Тогда музыкальное произведение приобретет естественную «живую» форму и наполнится духовным содержанием.
Ну, и напоследок, ещё одна мысль Алана Джей Перлиса, которая с нашей точки зрения, иллюстрирует D-SELF гармонию при уменьшении сложности в массивах данных: «Глупцы игнорируют сложность. Прагматики терпят ее. Некоторые могут избегать ее. Гении ее устраняют».
см о
О
Список литературы
[1] Васютинский Н.А. Золотая пропорция. - М.: Молодая гвардия, 1990. - 238 с.
[2] Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. - М.: МЦНМО, 2012. - 112 с.
[3] Волошинов А.В. Математика и искусство. - М.: Просвещение, 1992. - 335 с.
[4] Гафаров Ф.М., Галимянов А.Ф. Искусственные нейронные сети и приложения. - Казань: Издательство Казанского университета, 2018. - 121 с.
[5] Гусева А.Н. Звуковой феномен колокола // Известия РГПУ им. А.И. Герцена. - 2009, № 12(90). -С.77-83.
[6] Дегтярев Г.М., Иванов-Ростовцев А.Г., Колотило Л.Г., Любченко О.А. Пространственно - временная симметрия в открытых динамических системах (Модель D - SELF) // Доклады РАН, Т. 315. - 1990, № 5. - С. 1108-1111.
[7] Иванов-Ростовцев А.Г., Колотило Л.Г. Моделирование дискретно-непрерывного движения системным алгоритмом D-SELF // Международный журнал открытых информационных технологий (IJOIT), Т. 10. - 2022, № 12. - С. 35-44.
[8] Квинта 2. Школа настройщиков фортепьяно. / https://kvinta2.ru/
[9] Порвенков В.Г. Акустика и настройка музыкальных инструментов. - М.: Музыка, 1990. - 192 с.
[10] Холопов Ю.Н. Гармония. Теоретический курс. - М.: Музыка, 1988. - 512 с.
[11] Bruce MacEvoy. Color vision. 2005. - Интернет-ресурс. Режим доступа: http://www.handprint.com/HP/ WCL/color.html,local
[12] Fabrizio M. Untangling complexity: harnessing PCA for data dimensionality reduction. June 18, 2023. - Интернет-ресурс. Режим доступа: https://www.fabriziomusacchio.com/blog/2023-06-16-pca_with_python/
[13] The Fibonacci Quarterly. - Official Publication of the Fibonacci Association. - Интернет-ресурс. Режим доступа: https://fq.math.ca/
[14] Marcus Frings. The Golden Section in Architectural Theory//Nexus Network Journal. - 2002, Vol.4, №1. -P. 9-32.
