CC BY
6
УДК 620.22:669.15-194.2
Б01: 10.15587/2312-8372.2019.156159
КОНТИНУАЛЬНИЙ ОПИС ПОЛ1КРИСТАЛ1ЧНИХ СИСТЕМ З ВРАХУВАННЯМ IX БУДОВИ
Кузш О. А., Луюянець Б. А., Кузiн М. О.
1. Вступ
Ращональне конструювання метаичних матерiалiв тiсно пов'язане iз фундаментальною науковою проблемою вибору адекватного математичного опису полшристаичних систем, що дозволяе проводити !х розрахунок i оптимiзацiю вiдносно режимiв експлуатацii.
При цьому моделювання i оцiнка поведiнки таких систем мае обов'язково проводитись iз врахуванням фiзичних ефектiв, що вщбуваються у масштабах, якi спiврозмiрнi iз структурними складовими та iх границями. Оскiльки саме на рiвнi структурних складових формуються основнi властивостi матерiалiв.
Вiдмiтимо, що можливiсть керованоi змши геометричних та фiзичних параметрiв поверхонь роздшу структурних складових е важливим резервом пiдвищення робочих властивостей металовиробiв. В зв'язку iз чим даш питання трансформувались в окремий науковий напрямок у матерiалознавствi -«шженер1я границь зерен i зернограничне конструювання матер1ал1в» [1, 2].
Цей науковий напрямок е затребуваним при розробщ шновацшних технологiй отримання металопродукцii з наперед визначеними властивостями, iз ощнки залишкового ресурсу конструкцiй та визначенш механiзмiв i причин виходу з ладу деталей та обладнання.
В умовах дп зовнiшнього навантаження в деталях вщ границь зерен утворюються дислокацп, а в наслiдок рiзницi пружних характеристик мiж зернами полiкристалiв виникають концентрацii напружень. Прогнозування поведiнки полшристаив робить необхiдним встановлення взаемозв'язку мiж структурою, енергетичними параметрами границь зерен, фiзичними властивостями i факторами, що визначають отр утворенню мiжзеренних пошкоджень. Тому е актуальною розробка i застосування математичних моделей, придатних для таких складних завдань мiждисциплiнарного характеру, як керування структурно-енергетичним станом внутршшх поверхонь роздшу.
2. Об'ект досл1дження та його технологiчний аудит
Об'ектом дослгдження е поведшка границь зерен, умови утворення мiжзеренних пошкоджень i iнтеркристалiтне руйнування полiкристалiчних сплавiв при дп силових навантажень.
З метою бшьш повного врахування всiх особливостей поведшки
полiкристалiчних матерiалiв в умовах експлуатацп в науковiй лiтературi прийнят наступнi iерархiчнi рiвнi розгляду матерiалiв [3]:
1. Макрор1венъ. На цьому рiвнi матерiал розглядаеться як неперервне (континуальне) середовище iз властивостями, параметри яких слабо змшюються у просторi; типовий розмiр фрагменту матерiалу е спiврозмiрний iз усiм виробом.
2. Мезоргвенъ. Матерiал розглядаеться як дискретно-континуальне середовище (використовуеться дискретно-континуальний модельний опис iз додатковими фiзичними умовами в областях, як вiдповiдають границям структурних складових, - приграничним зонам). Рiвень розгляду даного масштабного рiвня матерiалу вiдповiдае структурним складовим та !х границям.
3. Наноргвенъ. Рiвень розгляду матерiалу вщповщае окремим атомам (або !х групам). На цьому рiвнi переважно використовуеться дискретний модельний опис.
Вщмггимо, що одночасний модельний i розрахунковий розгляд ушх трьох рiвнiв матерiалу е складною науковою проблемою, i тому на даний момент використовуеться в основному в теоретичному спрямуванш [3].
В прикладних дослщженнях проводять розгляд лише одного iз iерархiчних рiвнiв з використанням результатiв, отриманих з анаизу поведiнки матерiалу на шших масштабних рiвнях.
В багатьох випадках руйнування деталей пов'язано iз виникненням трщин в мiсцях локально!' змши механiчних властивостей виробiв. Одними iз найбiльш проблемних мiсць можуть бути гранищ i стики зерен, в яких накопичення i перебудова дефеклв при дii технологiчних i експлуатацшних навантажень призводить до появи пошкоджень та розвитку iнтеркристалiтних трiщин.
3. Мета i задачi досл1дження
Метою роботи е розробка тдходу до континуального опису локально-неоднорiдних середовищ для дослiдження поведiнки полiкристалiчних матерiалiв з врахуванням енергii границь зерен.
Для досягнення поставлено! мети сформульовано наступи завдання:
1. Побудувати математичну модель мехашки полшристаичних просторово-градiентних систем.
2. На основi побудовано! моделi розробити пiдхiд до розв'язання задачi утворення зернограничних пошкоджень в полшристашчних сплавах при наявностi градiента властивостей в окремих мшрооб'емах.
3. Дослщити основнi тенденцii i вiдповiднi !м закономiрностi впливу вiдносного градiенту властивостей зони «зерно - границя зерна» на отр до утворення мiжзеренних пошкоджень i iнтеркристалiтне руйнування промислових сплавiв.
4. Дослiдження iснуючих р1шень проблеми
Особливостi будови металiчних полiкристалiчних систем на масштабному рiвнi зерна - границi зерен мають надзвичайно важливе (а в деяких випадках i визначальне) значення для поведшки всього матерiалу [2, 3]. У зв'язку iз цим в робот проводили побудову модельних наближень, що дозволяють описувати поведiнку полiкристалiчних матерiалiв на мезорiвнi.
Точш розрахунковi математичнi модельнi наближення при до^дженш поведiнки полiкристалiв на цьому рiвнi е на даний момент вщкритою науковою проблемою. В залежност вiд мети опису структури матерiалу i застосовуваних пiдходiв такi характеристики структури, як зерна, гранищ зерен трактують по-рiзному, що призводить до суттевого неузгодження при порiвняннi модельних уявлень, поданих в рiзних наукових публiкацiях.
Зупинимось детально на таких базових означеннях для полшристаичних систем, як зерна i iх границi.
Пiд термiном «зерно», зпдно [4, 5], будемо розумiти окремий кристашт полiкристалiчного конгломерату, що мае одне кристалографiчне орiентування i роздшений вiд iнших кристалiв границями. Розмiр зерна може коливатись вiд декшькох мiкрометрiв до сантиметрiв.
Пiд термшом «границя зерна» будемо розумiти приповерхневу область, по обидвi сторони яко!' кристалiчнi решiтки рiзняться просторовою орiентацiею [5].
Величина дано1' приповерхнево1' облает^ згiдно фiзичних уявлень рiзних лггературних джерел [6, 7], може суттево змшюватись. Так, на даний момент прийнято роздшяти «статичну товщину» гранищ, яка мае товщину декiлька атомних параметрiв, i «динамiчну тощину». Вона бшьше «статично1» i характеризуеться спектром коливань атомiв в цьому шар^ що вiдрiзняеться вiд спектру коливань атомiв центрально1' частини зерна [8].
Вщмтимо, що особливо яскраво «динамчна товщина» проявляеться для великокутових границь зерен, яю мають бiльшi вщмшносп будови, шж iншi границ [9].
В цьому зв'язку варто розширити поняття «границя зерна» i перейти до термшу «границя - пригранична область», яка в багатьох випадках досягае значень декшькох мiкрометрiв [10].
Шсля встановлення розмiрних характеристик пригранично1' зони важливе значення мае завдання моделi будови дано1' зони.
В робот використаемо модель Кокса-Хiрта [11, 12], зпдно яко! зерно дшиться на двi пiдобластi: пригранична зона i внутрiшня частина зерна. Бшьшють дислокацiй зосередженi в приграничнiй зош [13], яка в результатi отримуе градiентну змiну параметрiв по глибиш i концентруе безпосередньо на гранищ дефектш структури.
В даний час накопичено значну кiлькiсть експериментальних даних про вплив границь зерен з рiзною енергiею на поведiнку полшристаичних матерiалiв у процесi пластично1' деформацп [4, 6]. Показано, що мщнють i пластичнiсть полiкристалiчних сплавiв залежить вiд частки низькоенергетичних границь, яю характеризуються високим опором руйнуванню [8].
Створення низькоенергетичних границь зерен при технолопчних обробках закладено в принципи зернограничного конструювання структури металовиробiв. Сшд вiдмiтити, що залишаеться вiдкритим питання про роль структури границь зерен з високим ршнем енергii та !х приграничних зон в процесах мшзеренного руйнування. Хоча перехiд до руйнування по границях зерен супроводжуеться рiзким погiршенням механiчних властивостей i надiйностi виробiв [10].
З позицш фiзичного матерiалознавства на енергетичному рiвнi будова дано! зони визначае значення вшьно! енергii границi зерна. Причому чим вище и рiвень, тим вважаеться, що границя мютить бiльше дефектiв [14].
Умова (критерш) локального руйнування записуеться у виглядi [14]:
АН>2Л1-ЛВ, (1)
де Ан - робота навантаження; Ль - вшьна енерпя (поверхнева енерпя) матер1алу; Лв - вшьна енерпя границ! зерна.
Як видно iз стввщношення (1), при досягненнi дефектностi структури в приграничнш областi критичного значення, що вщповщае на енергетичному рiвнi поверхневiй енергii, в тiлi розпочинаеться процес руйнування.
З врахуванням стввщношення (1) можна записати також i силовi критери руйнування.
5. Методи дослщження
Деградацiю металiчних матерiалiв на рiвнi структури будемо враховувати за допомогою змiнноi скалярноi природи - пошкоджуваносл.
Введення скалярноi змiнноi для ощнки змiн в структурi матерiалу пiд час навантажень було запропоновано в роботах [15, 16], як на даний момент не втратили важливосп, враховуючи !х експериментально-прикладне значення.
При побудовi математичних спiввiдношень моделi полiкристалiчних матерiалiв використаемо енергетичний тдхщ, який показав свою ефективнiсть в математичних моделях континуальних середовищ iз врахуванням взаемопов'язаних полiв рiзноi " рироди, кгносл будови твердих тш [17, 18].
Будувати модель будемо, розглядаючи тiльки силовi навантаження.
Введемо функщю вiльноi енергii системи, яка залежить як вiд юторп деформацii, так i поточного !! значення:
№ = ]к(Ьт)ё(е)е1т, (2)
о
де - ядро спадковостц ё'(^) - функщя, що енергетнчно враховуе змшу
внутршшх параметр!в; е - тензор деформацш.
Для запропоновано! моделi приймемо гiпотезу затухаючо! пам'ятi, зпдно яко! бiльш вiддаленi в чаш стани системи мають менший вплив на поточне значення змшних в даний момент часу.
Приймемо апрюрно властивють адитивност1 вшьно! енергп \ тому пред ставимо вшьну енерпю в довшьний момент часу / = у вигляд1 [19]:
де /п - вшьна енерпя, що задаеться поточними значениями тензора деформацш; /н - вiльна енергтя, що задаеться iсторiею змiни навантажень на тiло.
Розглянуте модельне представлення вщповщае наступним положенням:
1. Новий модельний опис враховуе як частинний випадок бшып прост модел1, зокрема, иружних систем (при /я = 0).
2. Яюцо об'ект не знаходиться шд навантаженням (/я = 0), то це не означае, що вш перебувае в сташ терм о д и н ам \ ч н оУ р1вноваги, що враховуеться доданком /я.
Вщмшшо, що можна на модельному р1вш трактувати також \ як величину Лв у вираз1 (1).
Приймемо, що / " залежить вщ виутр1шньо1 будови - структури матер1алу
г Н
1 зв яжемо / 31 скалярною змшною пошкоджешстю со за допомогою наступного виразу:
' "'\Ucodv], (4)
Ю,
Усо
V
у М) V
де со - р1вень пошкодженостц V - оператор Гамшьтона; У0 - характерний розм1р дослщжуваио1 областц - символ модуля вектора.
Вираз (4) враховуе той факт, що вшьна енерпя тша в точщ залежить в1д локальних структурних змш, так 1 змш в деякш области
Даний вираз знаходиться у вадповадност 1з сучасними тенденцiями розвитку матер!алознавства, ф1зики твердого тiла та мехашки [20, 21]. У вщповщност з ними на механiчну поведшку тiла мае вплив не тшьки абсолютне значення величин, але ! !х градiент, а також середнш розпод1л величини в деякому окол1 [22, 23].
Особливо яскраво це проявляеться в областях, як1 характеризуются високим рiвнем енергп, а також розподшом деградацiйних структурних характеристик в локальних об'емах [24].
В1дм1тимо, що розподш нелокальних характеристик деградацп структури в заданому окол1 можна також отримати ! за допомогою ф!зичних методiв дослiдження, зокрема, методу ЬМ-твердост [25].
6. Результати досл1джень
Запишемо спiввiдношення (2) 1з врахуванням представлення (3):
5/ д/" д/"
& = = + (5)
с с де
Для 1зотропного пружного тша отримаемо:
де
Ке1 + 2С
е-—е1 3
(6)
де К - модуль об'емного стиску; С - модуль зсуву; е = е--1 = У-и - перший швар1ант тензора напружень; / - одиничний тензор.
Для перетворення другого виразу (5) набiр змшних, що описують нелокальну пошкоджешсть матерiалу подамо у виглядi:
со
со,
V со
М) V )
(7)
де со - вектор узагальнено1 пошкодженост1.
Для спрощення запису зробимо наступне позначення:
ах = ¿у, а2
У со
, С1ц
—\codV.
К V
(8)
В результат вираз (7) матиме наступний вигляд:
со = {ал,а2,аг
(9)
Слiдуючи шдходам, якi поданi в роботi [19], другий доданок спiввiдношення (5) подано у виглядг
д/н д
со
со
а
со
де 1
со
Ке1 +
1 со
1- —*-'* со
2 С
1 л е—е1
. 3 ,
(10)
У виразi (10), з метою збереження iнварiантностi математичних перетворень, був зроблений перехщ вiд вектора «узагальнено!» пошкодженост до його модуля.
(* со
пов'язаний \з необхщшстю на функциональному
Вибiр множника
1-
со
рiвнi враховувати нелiнiйнiсть динамiки пошкодженост конструкцiй, яка показана, зокрема, в роботах [25, 26].
З врахуванням виразу (9) стввщношення (5) буде мати вигляд:
К
а =
1-
со
е1 +
2 С
1-
со
\ 1 7
е—е/
3
(11)
У поданому формулюванш пошкодженють о) вщповщае своему класичному
поданню як зменшення «вщклику» матер1алу конструкцп на д1ю навантаження.
Проведемо анал1з отриманих модельних стввщношень. З врахуванням результалв (7), (8), вираз (11) матиме вигляд:
а =
( з
1-
ч1/2
( - . 1 - л
Ке1 + ^{е--е1) \ 3 )
(12)
V V г=1 ) )
С 3
У в и раз 1 (12) в математичному поданш
\1/2
V «=1
показане узагальнене
трактування модуля вектора у функциональному простор! за рахунок введения додаткових числових констант а1, г = 1,2,3.
Вщмггимо, що дане подання можна трактувати як зважену за допомогою вщповщних коефщ1енлв апроксимацш [27], яка дозволяе бшьш широко, шж шш1 юнуюч1 модельш уявлення враховувати структуру пригранично! област пол1кристал1чних систем.
Для отримання розрахункових залежностей зпдно стввщношень (5)—(12) використаемо р1вняння р1вноваги
У-<т = О,
(13)
1 отримаемо:
V-
К(х)
1-
+
(14)
+ -
2 С(х)
О,
де й - вектор перемпцень; ® - символ тензорного добутку.
Вищенаведене piB^HM е основою для розрахунюв i встановлення напружено-деформованого стану матер1алу на мезорiвнi з врахуванням нелокальност пошкоджень в зернограничних областях.
Розроблена модель дозволила провести аналiз впливу властивостей локальних об'емiв зерен на схильтсть до мiжзеренного руйнування сталей при ударних випробовуваннях зразюв в iнтервалi температур вiд +100 °С до -196 °С. Дослiджували стат 40, 40Х, 40ХГ, 40ХГР, 40ХС тсля гартування i вiдпуску при 600 °С, а також окрихчувально! обробки (повторний вiдпуск при 550 °С з наступним повiльним охолодженням).
На основi експериментальних дослiджень [28] отримана функщональна залежнiсть частки мiжзеренного руйнування V вiд вiдносного градiенту властивостей сплавiв g в локальних об'емах. Встановлено, що сталi в залежност вiд вiдносного градiенту властивостей в локальних об'емах можна роздшити на три групи: з малою, стабшьною i катастрофiчною схильнiстю до мiжзеренного руйнування (рис. 1).
100
V, %
80 60-1
40-
201 / 0-LC—!—■■■■■!■■■■
3000 4000 5000 6000 7000 8000
g, м"1
Рис. 1. Залежтсть мiжзеренного руйнування V вщ параметру g: I - зона малого (незначного) мiжзеренного руйнування; II - зона стабшьного мiжзеренного руйнування; III - зона катастрофiчного мiжзеренного руйнування
Визначення густини дислокацiй в локальних об'емах до^джених сталей з використанням методу, який запропонований в роботах [29, 30], показало, що густина дислокацш на границях зерен е вищою тсля вшх режимiв термiчноi обробки. В окрихченому стат густина дислокацiй зростае бiльш суттево для сталей схильних до мiжзеренного руйнування (табл. 1).
Таблиця 1
Вплив режимiв TepMi4H0i обробки на мжротвердють, густину дислокацiй в локальних об'емах зерен i мiжзеренне руйнування сталей 40 i 40Х_
Марка сталi Стан сталi Мжротвердють, 107 Н/м2 Густина дислокацш. см-2 Частка мiжзеренного руйнування, %
зерна гранит зерна гранит
40 В'язкий 235 246 2,2Ы0И 2,4340й 2
Крихкий 237 266 2,2540й 2,8440й 12
40Х В'язкий 246 265 2,2640й 2,6240й 10
Крихкий 249 288 2,3140й 3,1040й 55
Проведет розрахунки показали, що запропоноват модельнi i експериментальнi залежност схильностi сталей до мiжзеренного руйнування вщ характеристик локальних об'емiв на мезорiвнi описуються фiзично обгрунтованим параметром - вщносним градiентом властивостей. Вт мае прямий зв'язок iз густиною дислокацiй в приграничних зонах зерен, а також пов'язаний з !х пошкодженiстю.
7. SWOT-аналiз результатiв дослiджень
Strengths. Запропонованi розрахунковi спiввiдношення модел^ якi дозволяють проводити розрахунки середовищ з врахуванням !х структури, та аналiзувати 1х напружено-деформований стан.
Weakness. При р1зних вар1атях коефпценпв {at ] отримаемо pi3Hi
математичт модел1 середовищ. Так, при [а{ = 1,а2= а3 = 0] отримаемо
р1вняння «класично!» модел1 пошкоджених середовищ, а при [¿х, = а., = а:, = ()}
- рiвняння теорii пружностi. Вiдмiтимо, що вибiр вищенаведених коефiцiентiв на даний момент е вщкритим питанням, оскшьки встановлення впливу характеристик структури на експлуатацшт параметри матерiалiв е науковою проблемою, яка не до кшця розв'язана [31].
Opportunities. З використанням розроблених моделей визначет фiзично обгрунтоват параметри оцiнки змiни локальних властивостей в зернограничних областях, що дозволяють оцшювати схильнiсть до утворення мiжзеренних пошкоджень сплавiв технологiчними обробками, як змiнюють структурно-енергетичний стан границь зерен полiкристалiв.
Вiдмiтимо, що континуальна оцшка поведiнки полiкристалiчних систем з одночасним використанням трьох параметрiв структури - пошкодженост, ii градiента та середнього значення пошкодженост в околi е достатньо наукоемким питанням для подальших дослщжень.
Визначенi граничнi значення характеристик локальних об'емiв зерен, при яких зменшуеться здатнiсть до утворення мiжзеренних пошкоджень сплавiв. Завдяки цьому забезпечуеться можливють впровадження iнновацiйних технологiй зернограничного конструювання структури металовиробiв, що дозволяе у порiвняннi з вiдомими технолопями суттево пiдвищити параметри
надшност деталей - довговiчнiсть, ресурс, безвщмовнють при мiнiмальних економiчних витратах.
Threats. Основним обмежуючим фактором, який мае найбшьш iстотний вплив на впровадження запропонованих у роботi методик в шженерну практику, - це необхщнють проведення процедури визначення механiчних властивостей полiкристалiчних систем на мезорiвнi. А також математичного i комп'ютерного моделювання таких систем з врахуванням !х структури.
8. Висновки
1. На основi пiдходiв термодинамiки побудована математична модель мехашки полiкристалiчних систем, яка враховуе нелокальшсть розподiлу пошкодженостi в матерiалi дослiджуваноi областi. Отриманi залежност, як частинний випадок, враховують класичш та бiльш «прост» моделi середовищ i знаходяться у вiдповiдностi iз сучасними уявленнями про будову структури матерiалу на мезорiвнi.
2. Запропоноваш спiввiдношення моделi, якi дозволяють проводити розрахунки середовищ з врахуванням i^ структури, та аналiзувати i^ напружено-деформований стан. З використанням розроблених моделей визначеш фiзично обгрунтоваш параметри ощнки змiни локальних властивостей в зернограничних областях, що дозволяють керувати схильнютю до утворення мiжзеренних пошкоджень сплавiв технологiчними обробками, якi змiнюють структурно-енергетичний стан границь зерен полiкристалiв.
3. Встановлено, що в залежностi вщ параметрiв фiзичних i механiчних характеристик локальних об'емiв структури полiкристалiчнi матерiали подтяються на три групи - з малою, стабтьною i катастрофiчною схильнiстю до мiжзеренного руйнування. Пщвищення експлуатацiйноi надiйностi сплавiв вимагае зменшення вiдносного градiенту властивостей зони «зерно - границя зернам».
Лiтература
1. Watanabe T. Grain Boundary Design For Desirable Mechanical Properties // Le Journal de Physique Colloques. 1988. Vol. 4. P. 507-519. doi: http://doi.org/10.1051/jphyscol:1988562
2. Lejcek P. Grain Boundary Segregation in Metals. Springer, 2010. 249 p. doi: http://doi.org/10.1007/978-3-642-12505-8
3. Макаров П. В. Об иерархической природе деформации и разрушения твердых тел // Физическая мезомеханика. 2004. Т. 7, № 4. C. 25-34.
4. Козлов Э. В. Измельчение зерна как основной ресурс повышения предела текучести // Вестник ТГУ. 2003. Т. 8, № 4. C. 509-513.
5. Энциклопедический словарь по металлургии: в 2-х томах. М.: Интермет Инжиниринг, 2000. 821 с.
6. Computational and theoretical aspects of a grain-boundary model that accounts for grain misorientation and grain-boundary orientation / Gottschalk D. et. al. // Computational Materials Science. 2016. Vol. 111. P. 443-459. doi: http://doi.org/10.1016/j.commatsci.2015.09.048
7. Kobayashi R., Warren J. A., Craig Carter W. A continuum model of grain boundaries // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2000. Vol. 140, Issue 1-2. P. 141150. doi: http://doi.org/10.1016/s0167-2789(00)00023-3
8. Штремель М. А. Прочность сплавов. Часть I. Дефекты решетки. М.: МИСИС, 1999. 384 с.
9. Барьерное торможение дислокаций. Проблема Холла-Петча / Козлов Э. В., Жданов А. Н., Конева Н. А. // Физическая мезомеханика. 2006. Т. 9, № 3. С. 81-92.
10. Спектр и источники полей внутренних напряжений в деформированных металлах и сплавах / Корнева Н. А., Тишкина Л. И., Козлов Э. В. // Известия РАН. Серия физическая. 1998. Т. 62, № 7. С. 1350-1356.
11. Mughrabi H. A two-parameter description of heterogeneous dislocation distributions in deformed metal crystals // Materials Science and Engineering. 1987. Vol. 85. P. 15-31. doi: http://doi.org/10.1016/0025-5416(87)90463-0
12. Kocks U. F. The relation between polycrystal deformation and single-crystal deformation // Metallurgical and Materials Transactions B. 1970. Vol. 1, Issue 5. P. 11211143. doi: http://doi.org/10.1007/bf02900224
13. Hirth J. P. The influence of grain boundaries on mechanical properties // Metallurgical Transactions. 1972. Vol. 3, Issue 12. P. 3047-3067. doi: http://doi.org/10.1007/bf02661312
14. Weinberg F. Grain boundaries in metals. Canada Department of Mines and Technical Surveys, 1958. 79 p. doi: http://doi.org/10.4095/306660
15. Работнов Ю. Н. Механизм длительного разрушения // Вопросы прочности материалов и конструкций. М.: Изд-во АН СССР, 1959. C. 5-7.
16. Качанов Л. М. О времени разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1958. № 8. C. 26-31.
17. Фiзико-математичне моделювання складних систем / тд ред. Бурака Я. Й., Чапл С. Я. Львiв: Сполом, 2004. 264 с.
18. Пелещак Р. М., Лукиянец Б. А. Электронное перераспределение в окрестности ядра линейной дислокации // Письма в ЖТФ. 1998. Т. 24, № 2. С. 37-41.
19. Кузин Н. О. Об одной математической модели изменения свойств материала // Прикладная механика. 2015. Т. 51, № 4. С. 125-132.
20. Afaghi-Khatibi A., Ye L., Mat Y.-W. An Effective Crack Growth Model for Residual Strength Evaluation of Composite Laminates with Circular Holes // Journal of Composite Materials. 1996. Vol. 30, Issue 2. P. 142-163. doi: http://doi.org/10.1177/002199839603000201
21. Chang K.-Y., Llu, S., Chang F.-K. Damage Tolerance of Laminated Composites Containing an Open Hole and Subjected to Tensile Loadings // Journal of Composite Materials. 1991. Vol. 25, Issue 3. P. 274-301. doi: http://doi.org/10.1177/002199839102500303
22. Xia S., Takezono S., Tao K. A nonlocal damage approach to analysis of the fracture process zone // Engineering Fracture Mechanics. 1994. Vol. 48, Issue 1. P. 41 -51. doi: http: //doi .org/10.1016/0013-7944(94)90141-4
23. Legan M. A. Correlation of local strength gradient criteria in a stress concentration zone with linear fracture mechanics // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1994. Vol. 34, Issue 4. P. 585-592. doi: http://doi.org/10.1007/bf00851480
24. Харлаб В. Д. Градиентный критерий хрупкого разрушения: Межвуз. темат. сб. тр. СПбИСИ // Исследование по механике строительных конструкций и материалов. СПб.: Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 1993. С. 4-16.
25. Лебедев А. А., Швец В. П. Оценка поврежденности конструкционных сталей по параметрам рассеяния характеристик твердости материалов в нагруженном и разгруженном состояниях // Проблемы прочности. 2008. №2 3. С. 29-37.
26. Maugin G. A. The thermomechanics of plasticity and fracture. Cambridge: Cambridge University Press, 1992. 350 p. doi: http://doi.org/10.1017/cbo9781139172400
27. Егоров А. И. Оптимальное управление линейными системами. К.: Выща школа, 1988. 278 с.
28. Кузин О. А. Роль изменения свойств локальных объемов зерен в процессах интеркристаллитного разрушения сталей после улучшения // European multi science journal. 2018. № 15. С. 27-29.
29. Иванова В. С. Механика и синергетика усталостного разрушения // ФХММ. 1986. № 1. С. 62-68.
30. Иванова В. С. Синергетика разрушения и механические свойства. М.: Наука, 1989. 167 с.
31. Волков И. А. Уравнения состояния вязкоупруго-пластических сред с повреждениями. М.: Физматлит, 2008. 424 с.
