CC BY
68
УДК 530.12:531.51
ЧЁРНЫЕ ДЫРЫ В ТЕОРИИ ЭЙНШТЕЙНА-КАРТАНА. II. ПРОСТРАНСТВА РИМАНА-КАРТАНА
Р. Ф. Полищук
Ключевые слова: Эйнштейн. Картан. гравитация, кручение.
В предыдущей работе [1] мы обсудили оправданность включения в теорию гравитации кручения пространства-времени. Это предполагает переход от пространств Римана к пространствам Римана Картана.
Метрически-аффинные пространства
Пусть тройка (М,д,ш) представляет собою метрически-аффинное пространство с независимыми друг от друга метрикой и связностью. Обозначим ортонормированньтй репер и корепер, соответственно, в^, 9й. Форма связности шЦ = Г^р9р определяет кова-риантную производную О и 2-формы кривизны и кручения:
В голономной системе отсчёта (используем её, чтобы не вводить коэффициентов вращения Риччи для неголономной тетрады)
Рассмотрен лагранжиан ферм/ионной материи. Дана оценка для, неё Аытильальной массы чёрной дыры порядка 1019 грамм.
О = 9
щ ш л ШР = 1 яр 9р л 9°, 0! = (19! + Л 9й = 2 Ц!Р91' Л 9Р.
(1)
й9! = 0,
= Г — Г!
ра ра а,
ра ра ар'
(2)
Формы кривизны и кручения удовлетворяют тождествам Вьянки:
= 0,
АКЦ (Астрокосмический центр) ФИАН, е-таП: [email protected]
О0! = П! Л 9й. (3)
Метрика определяет метрическую и симметрическую (то есть риманову) форму связности Леви-Чивита Ш:
(19! + ш!! Л 9и,
Од ци °)
Щ = dш!: + ш! Л Шр. (4)
Кручение, ковариантную производную метрики и форму кривизны можно определить С ПОМОЩЬЮ 1-формы к! = ш! — Шр:
Од^ V = —к! V — куц,
0! = к! Л 9и
щ Щ + Ок! + к! Л кр. (5)
Здесь мы видим требуемые размерностью (обратный квадрат длины) квадратичные члены по кручению, которые можно связать со спин-спиновьтм взаимодействием в классическом приближении.
Пространство Римана—Картана есть метрически-аффинное пространство с метрической связностью:
Од!и °) кци + куц °) °- (6)
В этом пространстве связность определяется метрикой и кручением. Для QРtlV =
драQ ци ИМееМ к^у 2^+ QV!а + Qа!V)9 •
Уравнения Эйнштейна Картана запишем в форме Киббла Шамы [2 4] (последние
два уравнения эквивалентны):
Яци 2 Яд!и ,
+ $\рЯ1а — ,
+ 2+ 2 $р8*!) ' (7)
При переносе членов с кручением вправо первое уравнение принимает вид уравнения Эйнштейна с эффективным тензором энергии-импульса (ТЭИ):
— 2 Яд^ и = ,
— To V + К0 р Л яр,
(Teff — T + в2),
t, V — t, V + 2 Vp(sv°p + evp0 + e0pv). (8)
Здесь третье уравнение есть безьтндексная символическая запись второго уравнения. отмечающая квадратичный вклад спина в прогибание геометрии пространства-времени. При наличии спинирующей материи тензор Teff может не удовлетворять условиям положительности плотности массьт-энергии. даже если им удовлетворяет тензор T
ловутттечной поверхности, утверждаемые теоремами Хокинга и Пенроуза. Приведём известный пример решения Копчиньского [5] модифицированных уравнений Фридмана для Вселенной, заполненной спинирующей пылью с плотностью массы р и плотностью спина а, зависящих только от времени:
ds2 — dt2 — a(t)2(dx2 + dy2 + dz2),
P0 — pu0,u0 — $0 ,
S23 — a,
S0 v — 0, [л + v — 5,
4 3 4 3
M — - npa — const, S — - па a — const,
3 3
1 3
2(a)2 — Ma-1 + 2 S2a-4 — 0. (9)
M
в
длины. Мы видим, что спин как отталкивательньтй потенциал предотвращает коллапс пространства, его сжатие в точечную сингулярность.
Рассмотрим в искривлённом пространстве-времени плотность лагранжиана спинор-ной материи Ьф (h — c — 1):
Ьф — (ф10ф,о — $,0Y0ф) — {Y0, ГоУФ — ^,
1 а л,ь
Г0 — — 4 UaboJai
S — ь/^ф Y \°1 v ^Х]Ф,
t; = sl„/sea,
s; = 2SLt /su;b. (1O)
Здесь мы ввели латинские лоренцевьт индексы для тетрады и 1-формьт спиновой связности. Рассмотрим узкую мировую трубку, образуемую эволюцией данного 3-объема материи, с координатами центральной линии X;(s), точки которой параметризуются аффинным параметром s, а точки среды - координатами x;. Определим
Sx; = x; — X;,
Sx° = O,
u; = dX ;/ds. (11)
Уравнения движения u;(s) для малого объёма материи с внутренним угловым мо-
ментом вращения S;' = P;u' — P'um (в квантовом пределе - спином) вывел Папапетру (1951) [6]. При выполнении условий Пирани S;'uu = O они имеют вид:
ОБ!и „ ОБиЛ „ ББ!Х . .
—-----+ п!п\—-------и пх—— = 0. (12)
Ов Ов Ов
Номура. Ширафуджи и Хаяттти (1991) [7] обобщили уравнения движения для
пространства-времени с кручением, используя законы сохранения для плотности спина
(см. уравнения (10) для несимметричной, вообще говоря, связности) и ТЭИ:
= УЛБ!иЛ,
= 0. (13)
Определим для малого объёма вещества (со “спин-орбитальньтм” моментом), следуя
[2, 6, 7], интегралы:
М!и = и0 J dV,
М!иЛ = —и°18х! ГЫУ,
N!иЛ = и0 [ Б!иЛёУ. (14)
Из условия 8х° = 0 следует Ы°иХ = 0. Предполагаем, что для малого объёма можно пренебречь произведением квадрата малого смещения на плотность ТЭИ и произведением малого смещения в объёме тела на плотность спина (орбитальный момент в пределе убывания смещения обращается в нуль, а кручение, проявляющееся при переносе точки вдоль малого контура, не замыкающегося в пространстве с кручением, мало по сравнению с размером контура). Интегрируя уравнение (13) для спина по 3-объёму СУ на гиперповерхности уровня времени х0, получаем:
У Б^СУ - ! БиавСУ + у Б^авёУ - 2 У г[11и]ёУ = 0. (15)
Закон сохранения (13) также даёт уравнения с привлечением координат (в локально-лорендевой системе отсчёта они определяют реальные малые смещения в рассматриваемом малом объёме):
У (ххБ^и0)$СУ = у Б^хСУ + У ххТавБиавСУ - ^ х^рБ^авСУ + 2J ххг[^]СУ (16) Подстановка (11) в (16) даёт
иО I Б^0СУ + Xх I Б^СУ =
= У Б^хСУ + Xх I Т^вБиавсу - ! ГвБасу + 2J г[^]СУ + 2J бхЧ^СУ (17)
откуда с учётом (15) получаем [7]:
ио I Б^0СУ = I Б^хСУ + 2 16ххг[НСУ,
1 / их
2 V и0
При А = 0 получаем тождество в силу Ы0^ = 0. Полная антисимметрия плотности
спина в (10) даёт полную антисимметрию N^их. Для точечной частицы в однополюсном
приближении Ы^х = 0, откуда
их
Ы^х = ы^0. (19)
и0
Отсюда для частицы со спином в силу полной антисимметрии величины Ы^их имеем:
ы^0 =-------Ж00 = 0. (20)
и0
Подстановка (20) в (19) даёт, наконец.
Ы^х = 0.
(21)
Для точечной частицы Б^их пропорционально дельта-функции. В силу (14) получаем
Интуитивно этот вывод очевиден: если спин подобен угловому моменту, то вращающаяся точка не отличается от невратцаютцейся. и если мы сжали 3-объём в мировую точку (ведь вариация времени положена равной нулю), то мы аннулировали её спин.
Но это условие несовместимо с условием нетривиальное™ лагранжиана (10) спи-норной материи для ф = 0. Отсюда следует важный вывод: однополюсное приближение дираковской частицы, не является, решением, уравнений поля, для, пространства-времени с кручением. Тот факт, что в пространстве Римана Картана в рамках теории Эйнштейна-Картана должно быть Ы^их = 0, означает, что классическая дираковская частица не должна быть (сингулярной) точечной частицей. Интуитивно это довольно очевидно: планковские масштабы заведомо кладут предел применимости концепции пространственно-временного континуума безразмерных мировых точек (напомним, что ньютонова механика оперирует, по сути, именно материальными точками ненулевой массы, и ОТО их наследовала, объединив их энергию и импульс в 4-импульс).
Внутренний угловой момент и спин имеют и в ньютоновой гравитации, и в теории Эйнштейна Картана отталкивательньтй потенциал, и решение Копчиньского (9) это подтверждает: влияние спина скорее убывает с расстоянием, чем влияние массы, но быстрее растёт с уменьшением расстояния. Поэтому можно сжать спинируютцую среду и фермион только до размера, на котором плотность массы (с линейным по массе вкладом) и плотность спина (с квадратичным по спину вкладом) примерно равны. Это расстояние баланса плотностей массы и спина называется радиусом, Картана.
В естественных единицах (приняты за единицу (перечёркнутая) постоянная Планка и скорость света) постоянная Ньютона равна обратной величине квадрата планковской массы, и для частицы с массой т и спином в радиус Картана по порядку величины определяется соотношением [2] (к - постоянная Эйнштейна):
Если мы положим постоянную Ньютона равной единице, то постоянную Планка тогда лучше брать равной квадрату планковской длины, равной примерно I ~ 1.6-10-33 см,
(22)
(23)
и масса частицы будет соответствовать её геометрическому радиусу (Шварцтттильда). что не влияет на результат. Например, для электрона имеем
л-25.
~ 10 76 еш3,
рс & т/(4/3)пг3 & 2.18 • 1048g/cm ,
т = 9.11 • 10-28д = 6.764 • 10-56ст. (24)
Комптоновская длина волны и радиус Картана связаны соотношением гс & (^2 АСошрО1/3-
Радиус Картана для электрона в безразмерных планковских единицах равен примерно 1.35 • 108, что отвечает безразмерному 3-объёму 2.46 • 1024. Максимальная масса одной объёмной планковской ячейки не может превышать одной планковской массы 2.177 • 10-5 грамма. Если равенство (23) считать точным и умножить объём ячейки Картана на максимальную (планковскую) плотность, то получим минимальную массу
1/2
известной материи она превосходит размеры других чёрных дыр):
4 Ъс
Ывне = о— & 1.18 • 10^, (25)
3 ^те
4пс2
ЫВНе = 3£ Ае,
Ае = Ъ/тес = 2.426 • 10-10 ст. (26)
Здесь в (26) та же масса выражена через (умноженную на 2п) комптоновскую длину волны электрона (можно также выразить знаменатель в (25) через гравитационный радиус этой частицы). Данная оценка совпадает с оценкой Поплавского [2]. который не приводит её прямого вывода.
Для нуклона безразмерный объём в 1833 раза меньше, чем для электрона. Вопрос для пар частиц с антипараллельньтми спинами остаётся открытым (но вряд ли пара частиц может занять меныттее место, чем одна частица), а частицы нулевого спина имеет смысл считать состоящими из частиц с антипараллельньтми спинами (вспомним, что нейтрон с нулевым электрическим зарядом состоит из трёх электрически заряженных кварков).
Заметим также, что величина радиуса Картана для нуклона равна примерно 10-26
С
Заключение
В заключение заметим, что постэйнттттейновская гравитация уже пришла и. в частности. она изменяет наше представление о чёрных дырах. Обобщение идёт от квантовой механики с её планковскими массами и спином и от идеи калибровочных полей, требующей справедливости полевых уравнений для всё более общих преобразований связности.
Уравнения Эйнштейна определяют ТЭИ для любой гладкой метрики с любой топологией её носителя. Но если мы возьмём, например, мир только с магнитным полем, нам из физических соображений придётся принять во внимание уравнение Дирака для электрона, требование локальной симметрии которого требует введения электромагнитного потенциала и геометризации спина электрона ненулевого размера. Но. строго говоря, если есть электромагнетизм, то есть и гравитация, и слабые и сильные взаимодействия. требующие единого описания на пути обобщения связности многомерного пространства-времени. Ясно, что теория Эйнштейна Картана. пересматривающая проблему чёрных дыр теории Эйнштейна, является необходимым первым шагом обобщения на этом пути.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Р. Ф. Политцук. Краткие сообщения по физике ФИАН. 38(2). 38 (2011).
[2] X. J. Poplawski, arXiv:gr-qc/0910.118L vl 7 Oct 2009.
[3] T. W. В. Kibble, J. Math. Phys. 2, 212 (1961).
[4] D. W. Sciama, On the analogy between charge and spin in general relativity, in: Recent Developments in General Relativity (Oxford, Pergamon Press, 1962).
[5] W. Ivopczynski, The Palatini principle with constraints. Bull. Acad. Polon. Sci., ser. sci, math, astr, phys, 23, 467 (1975).
[6] A. Papapetrou, Proc. Roy. Soc. London A 209, 248 (1951).
[7] K. Xornura, T. Shirafuji, and Iv. Hayashi, Prog. Theor. Phys. 86, 1239 (1991).
[8] H. Bondi, F. A. E. Pirani, and I. Robinson, Proc. Roy. Soc. London A 251, 519 (1959).
Поступила в редакцию 9 марта 2010 г.
