Число степеней свободы особой системы и ее собственные частоты Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.01

Ф. А. Доронин

кандидат технических наук, доцент (ФГБОУ ВПО ПГУПС)

ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ОСОБОЙ СИСТЕМЫ И ЕЕ СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ

В существующих учебниках по теории колебаний линейных и линеаризованных голономных систем с s степенями свободы утверждается, что каждая такая система имеет ровно s собственных частот, которые определяются только параметрами системы (матрицами инерции и жесткости) и не зависят от начальных условий. В работе показано, что существуют системы, называемые особыми, свойства которых существенно отличаются от канонических. Описанные свойства позволяют уточнить представления о колебаниях линеаризованных систем.

Особая система, число степеней свободы, собственные частоты.

1. Особые системы

В курсах теоретической и прикладной механики традиционно изучаются системы, в любом положении которых распределение скоростей точек и угловых скоростей звеньев полностью определяется теоремой о скоростях точек твердого тела.

Однако существуют системы, способные занимать такие положения, в которых для изучения распределения скоростей точек оказывается необходимым привлекать как теорему о скоростях, так и теорему об ускорениях точек твердого тела (иногда и теоремы об ускорениях высших порядков).

Примером таких систем является шарнирный четы-рехзвенник. Этот механизм имеет положение, показанное на рис. 1, в котором угловые скорости звеньев 2 и 3 не могут быть определены только на основании теоремы о скоростях, кроме этого придется использовать и теорему об ускорениях точек твердого тела [6].

2. Свободные колебания шарнирного четырехзвенника

Рассмотрим свободные колебания шарнирного четырехзвенника, расположенного в вертикальной плоскости, около положения покоя, показанного

18

на рис. 1. Будем считать известными размеры и инерционные характеристики звеньев механизма (l1 = l, l = al, l3 = pl ). Сопротивлением движению системы пренебрежем.

За обобщенную координату примем угол ф1 поворота звена О1А и составим уравнения Лагранжа II рода:

d

dt

г дТЛ

д Ф i

дТ

Эф1

= Q,

(1)

где Т - кинетическая энергия системы, Q - обобщенная сила.

В особом положении механизма, показанном на рис. 1, при заданной угловой скорости ф ведущего звена 1 угловые скорости звеньев 2 и 3 определяются по формулам [6]

Ф2(1,2)

Ф1

а + р

1 ±

]1а(а+в~1)

Ф

_ Ф1

3(1,2)

а + р

а

1 в(а+в-1)

(2)

Из выражений (2) следует, что угловые скорости ф2 и ф3 вещественные, а четырехзвенник представляет собой механизм только при выполнении условия a > Р - 1. Если это условие выполнено, то заданному значению угловой скоро -сти ф1 соответствуют по два значения угловых скоростей ф2 и ф Это означает, что связи, наложенные на механизм, допускают две конфигурации движущегося четырехзвенника, характеризующиеся следующими двумя наборами угловых ск°р°стей звеньев: 1) ф 1, ф 2(1), ф 3(1); 2) ф 1, ф 2(2), ф 3(2).

Рассмотрим каждый из этих случаев. При этом для простоты будем считать, что a = 1.

1. Случай, когда реализуется движение, при котором угловые скорости звеньев 2 и 3 соответственно ф2

Рис. 2

ф 2(1), ф

ф3(1) равны:

Ф 2(1)

Ф1

1 + р

1 +

Ф3(1) _

Ф1

1+р

1

1 --/ро+р-1)

= Ф1

= 0.

19

3

В этом случае звенья 1 и 2 совершают вращательное движение, а звено поступательное.

Составим выражение кинетической энергии системы:

J2 Ф 2 2

(3)

где J J2 - моменты инерции звеньев 1 и 2 относительно осей вращения О и О2 соответственно; т3 - масса звена 3; al = J1 + J2 + m3l 2 - коэффициент инерции системы, соответствующий первому варианту конфигурации механизма.

Для определения обобщенной силы Q отклоним механизм от положения равновесия (рис. 2), сообщив звену 1 малый угол ф1 и угловую скорость ф и найдем сумму мощностей сил тяжести:

N1 = ~Glvl sin ф1 - G2v2 sin ф2 - G3v3 sin ф3 =

V

m — + m2 — + m3l3 1 2 2

ф i g sin Ф1 =

= - (0,5m1 + 0,5m2 + pm3 )ф 1 glф1 = Q^1.

Отсюда получаем:

Q1 = - (0,5m + 0,5m2 + Pm3) gl ф1 = -c^, (4)

где c = (0,5m + 0,5m2 + Pm3)gl - коэффициент жесткости системы.

В этих выражениях учтено, что для малых углов можно принять Бтф1 =

= БШф2 * ф1.

После подстановки (3) и (4) в (1) получаем дифференциальное уравнение свободных колебаний механизма, из которого получаем частоту малых свободных колебаний четырехзвенника:

k1 =

V

a1 v

(0,5m1 + 0,5m2 + p m3) gl

J 1 + J2 + m}

(5)

2. П ерейдем ic расс мотрению случая, когда реализуется движение, при котором ф2 = ф2(2), ф3 = ф3(2):

ф2(2) _

ф1

1 + р

1 -^(1+р-1)

ЬЁ

1+в

ф1;

(6)

20

2

Ф 3(2)

Ф1

1 + в

1 +л1р(1+Р-1)

1+в

Ф1. (7)

В этом движении конфигурация четы-рехзвенника такова, что звенья 1 и 2 совершают вращательное движение, а звено 3 - плоское (рис. 3).

Выразим кинетическую энергию системы через обобщенную скорость фх:

T _ Лф 1 + J2ф2 + J3<Pз + m3V3 2 2 2 2 2

(8)

Рис. 3

где J3 - момент инерции звена 3 относительно его центральной оси, перпендикулярной плоскости чертежа; v3 - скорость центра масс С3 звена 3.

Скорость центра масс С3 следует выразить через обобщенную скорость ф Запишем координаты точки С3:

xC 3 = а—со8ф2 + р— со8ф3, yC 3 = аМпф2 + р—8inp3.

2 ^2

Проекции скорости этой точки на оси координат определяются следующими формулами:

Хс3 = -ф2аМпф2 -ф3р—81пф3, yC3 =ф2а—со8ф2 +ф3р—со8ф3. (9)

2 2

Так как для малых углов Бтф2 « ф2, Бтф3 « ф3, еоБф2 « 1, еоБф3 « 1, выражения (9) принимают вид

Хс3 _ ф2а—ф2 ф3р 2 ф3' yC3 _ ф2+ ф3^2’

(10)

С точностью до величин первого порядка малости получаем XC3 _ 0 yC3 _ Ф2+ ф3в2’

21

Таким образом,

V3

Ф 2 al + ф зР-2 = l Ф1

1

1+р'

Подставляя (6), (7) и (11) в (8), после преобразований получим

(ii)

J1 + J2

1-Р

1 + Р

2

m3l2 4 J3

0+Р? + (^р7

а2ф1 2 ’

где a2 = J1 + J 2

1-Р

1 + р

Л2

m3l2

(1+в)2

4 J3

(1 + в)2

коэффициент инерции системы,

соответствующий второму варианту конфигурации механизма.

Для определения обобщенной силы Q2 отклоним механизм от положения равновесия (см. рис. 3), сообщим звену 1 малый угол ф1 и угловую скорость ф1 и найдем сумму мощностей сил тяжести:

N1 = -G1v1 sin ф1 - G2v2 sin ф2 - G3 xC 3.

В этом выражении проекцию скорости точки С3 на ось x следует определять с точностью до величин второго порядка малости - формула (10):

l

l

Г

N1 =~m g т Ф 1 sin Ф1 -m2 g - ф2sin ф2 -m, g

Ф Ф Ф2+Ф 3^2 Ф3

Л

l

l

= -m g 2 ф 1Ф1 -m2 g 2 ф 1

1-P 1+P

2

Ф1 -m3 g

/

V

1-P 1+ P

2

/

+■

2pl

(1+p)2

ф 1Ф1-

Отсюда получаем

^ l l

Q2 =-m1 g 2 Ф1 - m2 g 2

r 1 -pv

1+p

Ф1 - m3 g

l

L V

r 1 -pv

1+p

2pl

Ф1 = -C2 Ф

1

l

l

где C2 = m1g 2 + m2 g 2

кости системы во второй конфигурации.

f1 -p^ 2 f 1 -p] 2 . 2pl "

1+pj + m3 g l V1+pJ (1+P)2 J

(1+P)

- коэффициент жест-

22

Частота малых свободных колебаний четырехзвенника в этом случае определяется по формуле

3. Некоторые частные случаи

В частных случаях частоты к и к2 приобретают более простой вид: а) при а = 1 и в = 1

ki =

i

(m1 + m2 + 2m3)gl

2 (Ji + J 2 + тъ12)

к =

2

i

(mi + тъ) gl

Г

Ji +

mlz

+ J,

Л

/

б) при а = 1 и в = 2

ki =

i

( + m2 i0m3 ^ gl

(mi + m2 + 2m3) gl m, +—2 i 9 + 3 9 J

s 2 v j 1^2 2 (Ji + J2 + m} ) 4 2 ' J Ji + ^2 + i 9 m3l2 + 4J3 ^ 9 9

V

У

Таким образом, рассмотренная механическая система имеет одну степень свободы, но при этом две частоты свободных колебаний, как видно из выражений (5) и (12). Утверждение, что число собственных частот равно количеству степеней свободы, для этой системы оказывается несправедливым. Примечателен тот факт, что частоты ее свободных колебаний зависят не только от параметров (значений массы и длины звеньев), но и от начальных условий. Только при строго определенных значениях начальной угловой скорости звеньев (значения угловой скорости зависят от соотношения длины звеньев) возможно движение механизма, при котором величины угловой скорости и углового ускорения звеньев удовлетворяют уравнениям внутренних и внешних связей, наложенных на систему.

23

Указатель литературы

1. Бабаков И. М. Теория колебаний / И. М. Бабаков. - 2-е изд. - М.: Наука, 1965. - 560 с.

2. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний / В. Л. Бидерман. - М.: Высш. шк., 1980. - 406 с.

3. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний / Я. Г. Панов-ко. - М.: Наука, 1971. - 240 с.

4. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний / С. П. Стрелков. - 2-е изд. -М.: Наука, 1964. - 440 с.

5. Яблонский А. А. Курс теории колебаний / А. А. Яблонский, С. С. Норей-ко. - М.: Высш. шк., 1975. - 248 с. ил.

6. Минкин Ю. Г. Ускорения высших порядков как средство решения традиционных задач кинематики некоторых голономных механических систем / Ю. Г. Минкин, Ф. А. Доронин // Сб. науч.-метод. статей по теоретической механике. - 1984. -Вып. 15. - М.: Высш. шк. - С. 92-97.

© Доронин Ф. А., 2011.

24