УДК 621.01
Ф. А. Доронин
кандидат технических наук, доцент (ФГБОУ ВПО ПГУПС)
ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ОСОБОЙ СИСТЕМЫ И ЕЕ СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ
В существующих учебниках по теории колебаний линейных и линеаризованных голономных систем с s степенями свободы утверждается, что каждая такая система имеет ровно s собственных частот, которые определяются только параметрами системы (матрицами инерции и жесткости) и не зависят от начальных условий. В работе показано, что существуют системы, называемые особыми, свойства которых существенно отличаются от канонических. Описанные свойства позволяют уточнить представления о колебаниях линеаризованных систем.
Особая система, число степеней свободы, собственные частоты.
1. Особые системы
В курсах теоретической и прикладной механики традиционно изучаются системы, в любом положении которых распределение скоростей точек и угловых скоростей звеньев полностью определяется теоремой о скоростях точек твердого тела.
Однако существуют системы, способные занимать такие положения, в которых для изучения распределения скоростей точек оказывается необходимым привлекать как теорему о скоростях, так и теорему об ускорениях точек твердого тела (иногда и теоремы об ускорениях высших порядков).
Примером таких систем является шарнирный четы-рехзвенник. Этот механизм имеет положение, показанное на рис. 1, в котором угловые скорости звеньев 2 и 3 не могут быть определены только на основании теоремы о скоростях, кроме этого придется использовать и теорему об ускорениях точек твердого тела [6].
2. Свободные колебания шарнирного четырехзвенника
Рассмотрим свободные колебания шарнирного четырехзвенника, расположенного в вертикальной плоскости, около положения покоя, показанного
18
на рис. 1. Будем считать известными размеры и инерционные характеристики звеньев механизма (l1 = l, l = al, l3 = pl ). Сопротивлением движению системы пренебрежем.
За обобщенную координату примем угол ф1 поворота звена О1А и составим уравнения Лагранжа II рода:
d
dt
г дТЛ
д Ф i
дТ
Эф1
= Q,
(1)
где Т - кинетическая энергия системы, Q - обобщенная сила.
В особом положении механизма, показанном на рис. 1, при заданной угловой скорости ф ведущего звена 1 угловые скорости звеньев 2 и 3 определяются по формулам [6]
Ф2(1,2)
Ф1
а + р
1 ±
]1а(а+в~1)
Ф
_ Ф1
3(1,2)
а + р
а
1 в(а+в-1)
(2)
Из выражений (2) следует, что угловые скорости ф2 и ф3 вещественные, а четырехзвенник представляет собой механизм только при выполнении условия a > Р - 1. Если это условие выполнено, то заданному значению угловой скоро -сти ф1 соответствуют по два значения угловых скоростей ф2 и ф Это означает, что связи, наложенные на механизм, допускают две конфигурации движущегося четырехзвенника, характеризующиеся следующими двумя наборами угловых ск°р°стей звеньев: 1) ф 1, ф 2(1), ф 3(1); 2) ф 1, ф 2(2), ф 3(2).
Рассмотрим каждый из этих случаев. При этом для простоты будем считать, что a = 1.
1. Случай, когда реализуется движение, при котором угловые скорости звеньев 2 и 3 соответственно ф2
Рис. 2
ф 2(1), ф
ф3(1) равны:
Ф 2(1)
Ф1
1 + р
1 +
Ф3(1) _
Ф1
1+р
1
1 --/ро+р-1)
= Ф1
= 0.
19
3
В этом случае звенья 1 и 2 совершают вращательное движение, а звено поступательное.
Составим выражение кинетической энергии системы:
J2 Ф 2 2
(3)
где J J2 - моменты инерции звеньев 1 и 2 относительно осей вращения О и О2 соответственно; т3 - масса звена 3; al = J1 + J2 + m3l 2 - коэффициент инерции системы, соответствующий первому варианту конфигурации механизма.
Для определения обобщенной силы Q отклоним механизм от положения равновесия (рис. 2), сообщив звену 1 малый угол ф1 и угловую скорость ф и найдем сумму мощностей сил тяжести:
N1 = ~Glvl sin ф1 - G2v2 sin ф2 - G3v3 sin ф3 =
V
m — + m2 — + m3l3 1 2 2
ф i g sin Ф1 =
= - (0,5m1 + 0,5m2 + pm3 )ф 1 glф1 = Q^1.
Отсюда получаем:
Q1 = - (0,5m + 0,5m2 + Pm3) gl ф1 = -c^, (4)
где c = (0,5m + 0,5m2 + Pm3)gl - коэффициент жесткости системы.
В этих выражениях учтено, что для малых углов можно принять Бтф1 =
= БШф2 * ф1.
После подстановки (3) и (4) в (1) получаем дифференциальное уравнение свободных колебаний механизма, из которого получаем частоту малых свободных колебаний четырехзвенника:
k1 =
V
a1 v
(0,5m1 + 0,5m2 + p m3) gl
J 1 + J2 + m}
(5)
2. П ерейдем ic расс мотрению случая, когда реализуется движение, при котором ф2 = ф2(2), ф3 = ф3(2):
ф2(2) _
ф1
1 + р
1 -^(1+р-1)
ЬЁ
1+в
ф1;
(6)
20
2
Ф 3(2)
Ф1
1 + в
1 +л1р(1+Р-1)
1+в
Ф1. (7)
В этом движении конфигурация четы-рехзвенника такова, что звенья 1 и 2 совершают вращательное движение, а звено 3 - плоское (рис. 3).
Выразим кинетическую энергию системы через обобщенную скорость фх:
T _ Лф 1 + J2ф2 + J3<Pз + m3V3 2 2 2 2 2
(8)
Рис. 3
где J3 - момент инерции звена 3 относительно его центральной оси, перпендикулярной плоскости чертежа; v3 - скорость центра масс С3 звена 3.
Скорость центра масс С3 следует выразить через обобщенную скорость ф Запишем координаты точки С3:
xC 3 = а—со8ф2 + р— со8ф3, yC 3 = аМпф2 + р—8inp3.
2 ^2
Проекции скорости этой точки на оси координат определяются следующими формулами:
Хс3 = -ф2аМпф2 -ф3р—81пф3, yC3 =ф2а—со8ф2 +ф3р—со8ф3. (9)
2 2
Так как для малых углов Бтф2 « ф2, Бтф3 « ф3, еоБф2 « 1, еоБф3 « 1, выражения (9) принимают вид
Хс3 _ ф2а—ф2 ф3р 2 ф3' yC3 _ ф2+ ф3^2’
(10)
С точностью до величин первого порядка малости получаем XC3 _ 0 yC3 _ Ф2+ ф3в2’
21
Таким образом,
V3
Ф 2 al + ф зР-2 = l Ф1
1
1+р'
Подставляя (6), (7) и (11) в (8), после преобразований получим
(ii)
J1 + J2
1-Р
1 + Р
2
m3l2 4 J3
0+Р? + (^р7
а2ф1 2 ’
где a2 = J1 + J 2
1-Р
1 + р
Л2
m3l2
(1+в)2
4 J3
(1 + в)2
коэффициент инерции системы,
соответствующий второму варианту конфигурации механизма.
Для определения обобщенной силы Q2 отклоним механизм от положения равновесия (см. рис. 3), сообщим звену 1 малый угол ф1 и угловую скорость ф1 и найдем сумму мощностей сил тяжести:
N1 = -G1v1 sin ф1 - G2v2 sin ф2 - G3 xC 3.
В этом выражении проекцию скорости точки С3 на ось x следует определять с точностью до величин второго порядка малости - формула (10):
l
l
Г
N1 =~m g т Ф 1 sin Ф1 -m2 g - ф2sin ф2 -m, g
Ф Ф Ф2+Ф 3^2 Ф3
Л
l
l
= -m g 2 ф 1Ф1 -m2 g 2 ф 1
1-P 1+P
2
Ф1 -m3 g
/
V
1-P 1+ P
2
/
+■
2pl
(1+p)2
ф 1Ф1-
Отсюда получаем
^ l l
Q2 =-m1 g 2 Ф1 - m2 g 2
r 1 -pv
1+p
Ф1 - m3 g
l
L V
r 1 -pv
1+p
2pl
Ф1 = -C2 Ф
1
l
l
где C2 = m1g 2 + m2 g 2
кости системы во второй конфигурации.
f1 -p^ 2 f 1 -p] 2 . 2pl "
1+pj + m3 g l V1+pJ (1+P)2 J
(1+P)
- коэффициент жест-
22
Частота малых свободных колебаний четырехзвенника в этом случае определяется по формуле
3. Некоторые частные случаи
В частных случаях частоты к и к2 приобретают более простой вид: а) при а = 1 и в = 1
ki =
i
(m1 + m2 + 2m3)gl
2 (Ji + J 2 + тъ12)
к =
2
i
(mi + тъ) gl
Г
Ji +
mlz
+ J,
Л
/
б) при а = 1 и в = 2
ki =
i
( + m2 i0m3 ^ gl
(mi + m2 + 2m3) gl m, +—2 i 9 + 3 9 J
s 2 v j 1^2 2 (Ji + J2 + m} ) 4 2 ' J Ji + ^2 + i 9 m3l2 + 4J3 ^ 9 9
V
У
Таким образом, рассмотренная механическая система имеет одну степень свободы, но при этом две частоты свободных колебаний, как видно из выражений (5) и (12). Утверждение, что число собственных частот равно количеству степеней свободы, для этой системы оказывается несправедливым. Примечателен тот факт, что частоты ее свободных колебаний зависят не только от параметров (значений массы и длины звеньев), но и от начальных условий. Только при строго определенных значениях начальной угловой скорости звеньев (значения угловой скорости зависят от соотношения длины звеньев) возможно движение механизма, при котором величины угловой скорости и углового ускорения звеньев удовлетворяют уравнениям внутренних и внешних связей, наложенных на систему.
23
Указатель литературы
1. Бабаков И. М. Теория колебаний / И. М. Бабаков. - 2-е изд. - М.: Наука, 1965. - 560 с.
2. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний / В. Л. Бидерман. - М.: Высш. шк., 1980. - 406 с.
3. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний / Я. Г. Панов-ко. - М.: Наука, 1971. - 240 с.
4. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний / С. П. Стрелков. - 2-е изд. -М.: Наука, 1964. - 440 с.
5. Яблонский А. А. Курс теории колебаний / А. А. Яблонский, С. С. Норей-ко. - М.: Высш. шк., 1975. - 248 с. ил.
6. Минкин Ю. Г. Ускорения высших порядков как средство решения традиционных задач кинематики некоторых голономных механических систем / Ю. Г. Минкин, Ф. А. Доронин // Сб. науч.-метод. статей по теоретической механике. - 1984. -Вып. 15. - М.: Высш. шк. - С. 92-97.
© Доронин Ф. А., 2011.
24