CC BY
23Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 5. №5. 2019
https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/42
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ / PHYSICAL & MATHEMATICAL SCIENCES
УДК 536.3.535.34 https://doi.org/10.33619/2414-2948/42/01
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ЛУЧИСТОГО ТЕПЛООБМЕНА В ДВУХМЕРНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
©Абдуллин А. М., SPIN-код: 2852-7982, канд. техн. наук, Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Нижнекамск, Россия, amabdullin@mail.ru
NUMERICAL CALCULATION OF RADIATIVE HEAT TRANSFER IN TWO-DIMENSIONAL RECTANGULAR ZONE
©Abdullin A., SPIN-code: 2852-7982, Ph.D., Kazan National Research Technological University,
Nizhnekamsk, Russia, amabdullin@mail.ru
Аннотация. Анализируется точность P1-приближения метода сферических гармоник и S2-приближения метода дискретных ординат для расчета теплообмена излучением. Рассмотрены случаи изотропно рассеивающей однородной среды и однородной поглощающей среды. Результаты расчетов сравниваются с точным решением, P3-приближением и зональным методом. Показано, что точность S2-приближения выше по сравнению с P1 -приближением при малых и промежуточных значениях оптической толщины среды.
Abstract. The accuracy of the P1-approximation of the spherical harmonic's method and the S2-approximation of the discrete ordinate method for calculating heat transfer by radiation are analyzed. The cases of an isotropically scattering homogeneous medium and a homogeneous absorbing medium are considered. The calculation results are compared with the exact solution, the P3-approximation and the zonal method. It is shown that the accuracy of the S2-approximation is higher compared to the P1-approximation at small and intermediate values of the optical thickness of the medium.
Ключевые слова: интенсивность излучения, поглощение и рассеяние, лучистый поток, степень черноты.
Keywords: radiation intensity, absorption and dispersion, radiation flux, degree of blackness.
Лучистый теплообмен является важнейшей составляющей теплового режима работы высокотемпературных энергетических и технологических оборудований. Совместно с конвективным и турбулентным механизмами теплопередачи он формирует на ограждающих поверхностях температурные поля, определяющие тепловое состояние оборудования. Уровень температуры, радиационные свойства и разная ориентация этих поверхностей друг относительно друга приводит к возникновению сложной структуры полей лучистого и конвективного потоков тепла, отличающихся по характеру и интенсивности, а также по спектральному составу.
Перенос энергии излучением в прямоугольной расчетной области, представленной на Рисунке 1, моделировался двумя методами: методом сферических гармоник и методом дискретных ординат.
Рисунок 1. Расчетная область.
Уравнения Р1-приближения метода сферических гармоник имеют вид: д дф д дф
— 0 — + —0---аф = —4па1ь;
ох ох ду ду
дф дф
(1) (2)
Здесь а, Б— коэффициенты поглощения и «диффузии» излучения, 1Ь — интенсивность интегрального излучения абсолютно черного тела, цх, цу — координатные составляющие поверхностной плотности потока лучистой энергии. Для однородной и изотропно рассеивающей среды коэффициент «диффузии» определяется по формуле:
1
Б =
3(а+Р) '
где в — коэффициент рассеяния излучения, ф — величина, пропорциональная нулевому моменту ф00 в разложении интенсивности излучения в ряд по сферическим гармоникам:
Ф = 4пф00 .
Тогда объемная плотность энергии излучения определяется по формуле:
4п
и = —фоо,
где с — скорость света в вакууме.
Граничное условие на ограждающих поверхностях имеет вид: дф 1
дп 2D(1 + r)
Здесь 8 — степень черноты, r внешней нормали.
(4nelb — (1 — г)ф) .
(3)
отражательная способность поверхности, n — вектор
Система дифференциальных уравнений (1, 2) с граничными условиями (3) решается численно в вариационной формулировке методом конечных элементов [1]. Алгоритм расчета методом дискретных ординат подробно описан в работе [2].
Выполнен расчет лучистого теплообмена в прямоугольной области, заполненной изотропно рассеивающей, поглощающей и излучающей однородной средой (Рисунок 1). В работе [3] приведены результаты численного решения этой задачи зональным методом, в Рз-приближении метода сферических гармоник и точное решение.
Рассмотрены два случая:
1) изотропно рассеивающая однородная среда и серые границы;
2) поглощающая и излучающая однородная среда и абсолютно черные границы.
В данной работе эти же задачи решены численно методом последовательных приближений на конечно-разностной сетке с числом узловых точек 13 х 25 в Sn-приближении метода дискретных ординат (п=2 или 6) и Р1-приближении метода сферических гармоник. Расчеты продолжались до достижения максимального значения рассогласования объемной плотности энергии излучения в двух последовательных приближениях не более, чем на 0,1%. Результаты расчетов представлены в безразмерном виде. За масштаб плотности лучистого потока принята поверхностная плотность собственного излучения Е = оТ4, масштабом расстояния является длина стороны квадрата (расчетной области).
1. Изотропно рассеивающая однородная среда и серые границы.
Расчеты проводились при следующих исходных данных: Е1 = 1 - «горячая» поверхность; Е2 = Е3 = Е4 = 0 — «холодная» поверхность; альбедо рассеяния ю = 1;
оптическая толщина среды т = 1.
На Рисунке 2 представлена зависимость относительной объемной плотности энергии
излучения и в направлении координатной оси OY для X = 0,3 (Рисунок 2а) и X = 0,5 (Рисунок 26). Результаты расчетов в S2 — (мелкая штриховая линия), S6 — (сплошная линия) и Р1 — (крупная штриховая линия) приближениях сравниваются с результатами, полученными зональным методом (точки) и в Рз-приближении метода сферических гармоник (штрихпунктирная линия). Метод дискретных ординат в S2- приближении дает завышенные
значения и вблизи «горячей» и заниженные значения вблизи «холодной» поверхности. Расхождение результатов, полученных в Р1-приближении и зональным методом, максимально
вблизи «горячей» поверхности и составляет 29% при X = 0,5. Погрешности S2 и Р1 приближений вблизи боковой граничной поверхности становятся меньше, и как показывают расчеты, при X = 0,1 не превышают 9%. Результаты расчетов, сделанных в S6-приближении, практически совпадают с данными расчетов по зональному методу.
На Рисунке 3 представлены распределения плотности результирующего потока излучения на «горячей» поверхности при значениях степени черноты 81 =1; 0,5; 0,1. Результаты, полученные в S2- и S6-приближениях, удовлетворительно согласуются с результатами расчета по зональному методу. Погрешность при 81=1 составляет соответственно 11% и 2%. Р1-приближение при 81 =1 дает значения лучистых потоков, превышающие результаты расчета по зональному методу на 46%. Точность Р1- и Рз-приближений метода сферические гармоник при уменьшении степени черноты границы возрастает. Разность между значениями плотности лучистых потоков, полученными зональным методом и в Р1-приближении, составляет 39% при 81 = 0,5 и 12% при 81=0,1. Точность S2-приближения при уменьшении степени черноты ухудшается. Это объясняется
Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 5. №5. 2019
https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/42
тем, что увеличивается доля отраженного излучения и в граничных условиях доминирующим становится слагаемое, учитывающее падающее на границу излучение, а собственное излучение границы становится незначительным. Так как угловое распределение интенсивности падающего на границу излучения аппроксимируется конечным числом интервалов, низкие приближения метода дискретных ординат в таких случаях могут давать неточные результаты. Более высокое S6-приближение хорошо согласуется с зональным методом. Погрешность S2-приближения при 81=0,5 составляет 12%.
U
2,0
1,5 1,0 0,5
\ <0
V v ' \ \ \ \\
\ \ Л \ v
U
2,0
0.5
\ S>
Л
4 \ N ч
4 4 s > N
0 0,2 0,4 0,6 0,S у
о 0,2 0,4 0,5 0,8 у
Рисунок 2. Распределение объемной плотности энергии излучения и в расчетной области
1,2
1.0
0,3
0,6
04
0,2
ч .4 -- --
l ——_ '---- -----
a t A
- — --- --- . -- --
a • —- —-'
—■-■-■— .— .-----
А- е =1; • - £ =0,5; ■ - Е =0,1
0 ОД 0.2 0?3 0,4 £
Рисунок 3. Распределения плотности результирующего потока излучения ^ .
2. Поглощающая и излучающая однородная среда и абсолютно черные границы.
Рисунок 4. Распределение плотности результирующего потока излучения при т = 10.
Расчеты
проводились
при следующих исходных данных:
E1 = E2 = E3 = E4 = 0; Eg = 1; e1 = e2 = e3 = e4 = 1; альбедо рассеяния ю=0; оптическая
толщина среды т = 0,1; 1,0; 10. На Рисунке 4 представлены распределения плотности результирующего потока излучения к поверхности 1 для значения оптической толщины среды т =10. Как показывают расчеты, отличие результатов расчета в S6-приближении от точного решения (штрихпунктирная линия) для всех значений оптической толщины не превышает 6%. При т = 0,1 отличие результатов расчета в P1-приближении от точного решения составляет 106%, а при т =10 погрешность уменьшается до 8%. Точность S2-приближения метода дискретных ординат выше по сравнению с P1 -приближением при малых и промежуточных значениях оптической толщины среды. При т =10 S2 и Р1-приближения имеют погрешности одинакового порядка.
Список литературы:
1. Абдуллин А. М., Казеннов А. А., Хаматвалеев Р. А., Харичко М. А. О применении модели широкой полосы при исследовании радиационного теплообмена // Тепло- и массообмен в химической технологии: межвуз. сб. науч. тр. Казань: КХТИ, 1988. С. 10-16.
2. Абдуллин А. М. Численный метод определения температуры излучающей стенки в трубчатых печах // Известия вузов: Проблемы энергетики. Казань: КГЭУ, 2011. №11-12. С. 30-39.
3. Fiveland W. A. Discrete-ordinates solutions of the radiative transport equation for rectangular enclosures // Journal of heat transfer. 1984. V. 106. №4. P. 699-706.
References:
1. Abdullin, A. M., Kazennov, A. A., Khamatvaleev, R. A., & Kharichko, M. A. (1988). On the application of the broadband model in the study of radiative heat transfer. In: Heat and mass transfer in chemical technology. Interuniversity collection. Kazan: Kazan Institute of Chemical Technology, 10-16. (in Russian).
2. Abdullin, A. M. (2011). Numerical method for determining the temperature of radiating wall in tube furnaces. In: Proceedings of the higher educational institutions. Energy sector problems, (11-12), 30-39. (in Russian).
3. Fiveland, W. A. (1984). Discrete-ordinates solutions of the radiative transport equation for rectangular enclosures. Journal of heat transfer, 106(4), 699-706.
Работа поступила в редакцию 18.04.2019 г.
Принята к публикации 22.04.2019 г.
Ссылка для цитирования:
Абдуллин А. М. Численный расчет лучистого теплообмена в двухмерной прямоугольной области // Бюллетень науки и практики. 2019. Т. 5. №5. С. 13-18. https://doi.org/10.33619/2414-2948/42/01.
Cite as (APA):
Abdullin, A. (2019). Numerical Calculation of Radiative Heat Transfer in Two-dimensional Rectangular Zone. Bulletin of Science and Practice, 5(5), 13-18. https://doi.org/10.33619/2414-2948/42/01. (in Russian).
