CC BY
21
DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2021.114.12.002
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ РИМАНА С ПОМОЩЬЮ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ, ОСНОВАННЫХ НА ПОЛИНОМАХ ЧЕБЫШЕВА ПЕРВОГО РОДА. ПРОГРАММА НА БАЗЕ MICROSOFT EXCEL
Научная статья
Тормосов Е.А.*
Северный (Арктический) Федеральный Университет, Архангельск, Россия * Корреспондирующий автор (tormosov.e[at]mail.ru)
Аннотация
Стандартный метод вычисления интегралов Римана с применением формулы Ньютона-Лейбница, предполагает нахождение первообразной подынтегральной функции. Однако этот метод работает не всегда. Существуют множественные численные методы для вычисления определенных интегралов от функций, не имеющих первообразную. В данной статье мы представляем численный метод вычисления приближенных значений определённых интегралов с помощью асимптотических многочленов, основанных на полиномах Чебышева первого рода. Так же покажем программу на базе Microsoft Excel, использование которой позволит производить расчет любого интеграла Римана без промежуточных вычислений, требуя при этом минимальное количество времени.
Ключевые слова: Полиномы Чебышева первого рода, асимптотические многочлены, интеграл Римана, Microsoft Excel.
NUMERICAL METHOD FOR CALCULATING RIEMANN INTEGRALS USING ASYMPTOTIC POLYNOMIALS BASED ON THE FIRST-KIND CHEBYSHEV POLYNOMIALS. A PROGRAM BASED ON MICROSOFT EXCEL
Research article
Tormosov E.A.*
Northern (Arctic) Federal University, Arkhangelsk, Russia
* Corresponding author (tormosov.e[at]mail.ru)
Abstract
The standard method for calculating Riemann integrals using the Newton-Leibniz formula involves finding a primitive subintegral function. However, this method does not always work. There are multiple numerical methods for calculating certain integrals from functions that do not have a primitive. The current article presents a numerical method for calculating approximate values of certain integrals using asymptotic polynomials based on the first-kind Chebyshev polynomials. The study also shows a program based on Microsoft Excel, the use of which will allow for calculating any Riemann integral without intermediate calculations and requiring a minimum amount of time.
Keywords: first kind Chebyshev polynomials, asymptotic polynomials, Riemann integral, Microsoft Excel.
Введение
Тема аппроксимации функции полиномами затрагивалась математиками с давних времен, в 1973 году Этерман И.И. в своей работе предоставил асимптотический многочлен, в состав которого входят полиномы Чебышева первого и второго рода. А также разложение функции по последовательности линейных функционалов.
Выводы, сделанные Этерманом И.И., нашли применение в работе Грибковой В.П., в своей работе она представляет решение определенных интегралов одной функции, решение интегралов функций нескольких переменных, а так же решение различных дифференциальных и интегральных уравнений. В основе методов лежат асимптотические многочлены, в основе которых лежат полиномы Чебышева.
Эти методы нашли так же применение в физике, механике, численном моделировании, так зарубежные авторы F. Gross, C.F Osgood, P. Karunkar., S. Chakravety, Грибкова В.П., Антонов В.В., применяют результаты для нахождения численного решения интегро-дифференциального уравнения теории упругости, либо решение задачи теории крыла, а также решения задач гидродинамики.
Актуальность, цель работы
В настоящее время компьютерное моделирование значительно упрощает расчеты. Чем выше степень полинома Чебышева, тем сложнее вычисление асимптотического многочлена, содержащего полином соответствующей степени. Известно, что для наилучшей аппроксимации функции, а следовательно, для наилучшего результата расчета, требуется вычислить не менее десяти членов последовательности. С этой целью мы подключаем компьютерное моделирование, а именно, используем программу Microsoft Excel. Преимуществом так же является то, что использование данной программы не требует дополнительного обучения. Интерфейс программы очень прост и знаком каждому.
Научные результаты
Можно увидеть, что вычисление интегралов Римана с помощью асимптотических многочленов и разложения функции по последовательности функционалов, дают практически те же результаты, что вычисление интегралов Римана с помощью нахождения первообразной. Погрешность результатов не превышает 0,04%. Данный метод имеет огромное преимущество в том, что с его помощью можно вычислять интегралы Римана с подынтегральной функцией, не имеющей первообразную. А использование программы позволяет выполнить это без промежуточных расчетов.
(1) (2)
(3)
1
7\(х) X
2х2 — 1
ад 4х3 — 3х
вд 8х4 — 8х2 + 1
16х5 — 20х3 + 5х
32х6 — 48х4 + 18х2 — 1
Г7(х) 64х7 — 112х5 + 56х3 — 7х
128х8 — 256х6 + 160х4 — 32х2 + 1
ВД 256х9 — 576х7 + 432х5 — 120х3 + 9х
71оМ 512х10 — 1280 х8 + 1120х6 — 400х4 + 50х2 — 1
Полиномы Чебышева первого рода
Полиномы Чебышева первого рода определяются формулой: [2].
Tn(x) = cos(n arccosx), —1 < x < 1 Если ввести замену переменной x = cos 0 то можно перейти к тригонометрической форме полинома
Tn(x) = cosn0 0 < 0 < п Ввиду того, что выполняется соотношение
cos n0 = 2 cos 0 cos(n — 1) 0 — cos(n — 2) 0 Для последовательного вычисления многочленов Tn(x) будет справедлива рекуррентная формула
Первые 10 полиномов имеют вид:
Таблица 1 - Первые десять полиномов Чебышева первого рода
Восстановление функции по последовательности ее линейных функционалов
Любая функция /(х) может быть представлена с помощью многочлена степени п и остаточного члена в виде бесконечной суммы [1]
(4)
Где
= "f(Xfc) (1 + 2 Z г-(х«)г-(х)
V m=1 '
(5)
fc=0
Асимптотический многочлен, основанный на полиномах Чебышева первого рода для системы точек х 6 [—1; 1] в
выбранной системе узлов х = cos (—). Символ '' обозначает, что fc = 0 и fc = n + 1 член последовательности
1
необходимо умножить на -. [4]. Линейный функционал
fc=0
При п = 0 получаем
г=п
г+1
г=0
Позволяющий восстановить функцию [(х) по последовательности ее линейных функционалов {^г}г_
№\(х) = £ ^2Г1 + 1)В%(Х)
(п)
Функции ^+1(х) имеют вид [5]
г=п
(7)
Где сумма является конечной, она распространяются на все делители тцелое числа г + 1, удовлетворяющее условиям:
1) т^>п + 1;
2) г + 1 = (2г} + 1)тI
3)
тm.(x), при т = (2г] +1)(п +1) Вт1 (х) = [Тт. (х) — Тщ (х), при т] = 2^(п + 1) + I; 0<1<п
ц(^) - функция Мёбиуса, которая принимает значения:
( ^(п) = 1
{ Ф) = -1 I Ф) = 0
Где ц(п) = 1 - если разложение п на простые множители содержит их четное число и нет квадратов простых множителей;
ц(п) = —1 - если множителей нечетное число и нет квадратов простых множителей; ц(п) = 0 - если есть квадраты простых множителей.
Для восстановления функции по ее линейным функционалам нужно степень многочлена положить равной нулю. Тогда для всех х Е [—1; 1] будет справедливо разложение, которое можно назвать рядом Фурье-Чебышева [4]
ю
№ = \(!(1) + П—1)) + ^1/Ж+1(х)
(8)
Если представить все функции Ц>(п^1(х) через полиномы Чебышева, то часть матрицы до п = 10 будет выглядеть следующим образом:
Той™,., т ^^ ^ 11 ™ — ТТо ^ — ТТТ
п\Г 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 Т1 Тг — Т0 Т3—Т1 т4 — т0 Т5 — Т1 Тб — Тг Т7 — Т1 тв — т0 Т9 — Т3 Тю — Тг
1 Тг Т3—Т1 Т4 — Т0 Т5 — Т1 Т6 — Т2 Т7 — Т1 Тв — Т0 Т9 — Т3 Тю — Тг
2 Тз Т4 — Т2 Т5 — Т1 т6 — т0 Т7 — Т1 Тв — Тг Т9 — Т3 Тю — Тг
3 Т4 Т5—Т3 Тб — Тг Т7 — Т1 т8 — т0 Т9 — Т1 Тю — Тг
4 Т т6 — т4 Т7 — Т3 Т8 — Тг Т9 — Т1 Т10 — То
5 Те Т7 — Т5 т8 — т4 Т9 — Т3 Тю — Тг
6 Т7 Т8 — Т6 Т9 — Т5 Т10 — Т4
7 Т8 Т9 — Т1 Т10 — Т6
8 Т Т10 — Т8
9 Т10
Разложение функции [(х) в ряд по линейным функционалам с учетом вида функций 'ф^0+1(х) можно представить следующим образом
ю
т;>п+1
1
г=0
/(х) = ^ + l{7\(x) + ¿{(Г2(х) - 70) + - TIC*)) + £?№) - 70) + ¿^(Г5(х) - 7\(х))
+ L^(r6(x)-r2(x)}+...
Сходимость ряда (7) зависит от дифференциальных свойств подынтегральной функции, и определяется теоремами Берштейна, которые дают возможность по скорости убывания последовательности [4]:
E0 > El > E2 >...
Судить о дифференциальных свойствах функции f(x) для которой ЕП является наибольшими отклонениями соответствующих полиномов наилучшего равномерного приближения.
Теорема 1
Пусть наибольшее отклонение ЕП функции f(x) 6 C[ab] удовлетворяет неравенству
f A
ЕП < —, 0 < а < 1
n na
Если а < 1 то на всяком сегменте [a',b'] целиком содержащемся в промежутке [a, b] функция f(x) входит в класс Lip а Если же а = 1 то на всяком таком сегменте f(x) входит в класс W, если
Теорема 2
Если выполняется неравенство
w(S) < AS(1 + |lnS|)
A
Ef < —
Где p — натураальное число, 0 < а < 1) то во всех точках интервала (a, b)
Существует производная f(p) (x). При этом если а < 1, то f(p) (x) на всяком сегменте [a', b'] целиком содержащемся в промежутке [a, b] функция f(x) входит в класс Lip а, если же а = 1, то на всяком таком сегменте f(x) входит в класс W
Скорость убывания наибольших отклонений аналитических функций, класса A[ab] характеризуется следующей теоремой.
Теорема 3
Пусть f(x) есть непрерывная функция, заданная на сегменте [a, b] , а ЕП ее наибольшее отклонение при приближении полиномами P(x). Для того, чтобы f(x) 6 A[a,b] необходимо и достаточно, чтобы было
ЕП < Kqn
Где K = const и q < 1 а условие
lim ТЁП = 0
Является необходимым и достаточным для того, чтобы функция f(x) была целой.
Решение определенного интеграла будет определяться формулой
1 1 1 го
/ = J /(x)dx = J Q^(x)dx + J ^ L^(")(x)dx
(10)
— 1 r=n
Или
i oo
/ = J /(x)dx = /(+1) + /(—1) + ^ $+1 (11)
Где =/ДОх^х
-1 т>+1*
Учитывая выражения для функций ^"^(х) согласно таблице 2, приведем значения функций '/'(0)1 до п = 10 причем для нечетных г + 1 значения = 0
1
-1
-1
Таблица 3 - Функции и интегралы = /Д
г + 1 О*) 1 -1
2 ВД-Го 8 -з
4 74(х) -70 32 -15
6 760) - 72(х) 64 105
8 780) - 70 128 63
10 71о(Х) - Г2(х) 64 99
Следовательно, квадратурная формула (11) примет вид
+1 J
8 f 32 f
г J__rJ
64
/(x)dx = /(1) + /(-1) - - ^ +
(12)
Данная формула может быть обобщена на промежуток [а, Ь] с помощью соотношения
ь
Г Ь-а Г
J /(x)dx = — J
Ь - а Г /Ь-а (Ь + а)\
, /(-х +-)dx;a<t<b,
2 J J \ 2 2 1
-i
Программа на базе Microsoft Excel
Рассмотрим работу программы. Вычислим интеграл /^ exdx .
Основная страница программы содержит четыре основных строки (рисунок 1);
AI
Гт А В с Е
1 1
2
3 и -1
4 Ь 1
fia) 0,367873441
б m 2,718281828
7 Integral Z3 5 04023 8 728 7
а
9
(13)
Рис. 1 - Главная страница программы
В соответствующие строки вводятся пределы интегрирования и необходимая функция по правилу ввода функций для MS Excel. В четвертой строке получаем значение интеграла. Формула значения интеграла выглядит следующим образом (рисунок 2);
-i
а
Рис. 2 - Формула, заложенная в вычислении интеграла в MS Excel
Что соответствует формуле (12) с учетом формулы (13)
Сумма ^11=0 Ф(0+± вычисляется на последующих листах. Для начала вычисляем сумму линейных функционалов. Составляем матрицы xk,f(xk),Y^k=='0"(—1)kf(xk) • По вертикали идут числа к = 0; 11, по горизонтали г = 0; 1 0 (рисунок 3-5);
Рис. 3 - Матрица вычислений хк
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2,718282 2,713232 2,718282 2,713282 2,718232 2,718282 2,713232 2,718282 2,718232 2,718282 2,713232
1 0,367879 1,000000 1,648721 2,028115 2,245699 2,377443 2,461937 2,519044 2,559195 2,588443 2,610373
2 0,367879 0,606531 1,000000 1,362086 1,648721 1,865427 2,028115 2,151240 2,245699 2,319272
3 0,367879 0,493069 0,734168 1,000000 1,249222 1,466214 1,643721 1,799997 1,924874
4 0,367879 0,445296 0,606531 0,в00498 1,000000 1,139637 1,362086 1,514999
5 0,367879 0,420620 0,536070 0,682029 0,840593 1,000000 1,15 2940
6 0,367879 0,406176 0,493069 0,606531 0,734163 0,867343
7 0,367879 0,396976 0,464848 0,555556 0,660066
8 0,367379 0,390748 0,445296 0,519514
0,367879 0,386333 0,431170
10 0,367879 0,383087
11 0,367879
Рис. 4 - Матрица вычислений [(хк)
(-1) */(**) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1,359141 1,359141 1,359141 1,359141 1,359141 1,359141 1,359141 1,359141 1,359141 1,359141 1,359141
1 -0,133940 -1,000000 -1,648721 -2,028115 -2,245699 -2,377443 -2,461937 -2,519044 -2,559195 -2,588443 -2,610373
2 0,183940 0,606531 1,000000 1,362086 1,648721 1,865427 2,028115 2,151240 2,245699 2,319272
3 -0,183940 -0,493069 -0,734168 -1,000000 -1,249222 -1,466214 -1,648721 -1,799997 -1,924874
4 0,183940 0,445296 0,606531 0,800498 1,000000 1,189637 1,362086 1,514999
5 -0,183940 -0,420620 -0,536070 -0,682029 -0,840593 -1,000000 -1,152940
6 0,183940 0,406176 0,493069 0,606531 0,734168 0,867348
7 -0,183940 -0,396976 -0,464848 -0,555556 -0,660066
8 0,183940 0,390748 0,445296 0,519514
9 -0,183940 -0,386333 -0,431170
10 0,183940 0,383087
11 -0,183940
Суммы 1,175201 0,543081 0,133011 0,021897 0,002715 0,000270 0,000022 0,000002 0,000000 0,000000 0,000000
4 1Д75201 0,27154 0,044337 0,005474 0,000543 0,000045 0,000003 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
Рис. 5 - Матрица вычислений (—1)к[(хк)
Матрицу хк необходимо составить с учетом формулы (11) (рисунок 6);
СУММ
=( $В $1-$А $1)/2* СС£(АЗ* П И ()/($В$2+1))+($В $1+$А $1)/2
А В к 1
1 -1 1
2 хк 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 =( $В$1- $А$1)/2* ф>5(А 3 * П И ()/( 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000
4 5 6 7 а 9 10 11 1.2 13 14 $В 52+1)) -К $В$1+$ А$1)/2 0,500000 0,707107 0,809017 0,866025 0,900969 0,923880 0,939693 0,951057 0,959493
2 С05(число) |М> -0,500000 0,000000 0,309017 0,500000 0,623490 0,707107 0,766044 0,809017 0,841254
3 -1,000000 -0,707107 -0,309017 0,000000 0,222521 0,332683 0,500000 0,587735 0,654861
4 -1,000000 -0,809017 -0,500000 -0,222521 0,000000 0,173648 0,309017 0,415415
& -1,000000 -0,866025 -0,623490 -0,382683 -0,173643 0,000000 0,142315
6 -1,000000 -0,900969 -0,707107 -0,500000 -0,309017 -0,142315
7 -1,000000 -0,923880 -0,766044 -0,537735 -0,415415
8 -1,000000 -0,939693 -0,809017 -0,654361
9 -1,000000 -0,951057 -0,841254
10 -1,000000 -0,959493
11 -1,000000
Далее идет расчет = /1 ^(0^1(х)йх . С помощью формулы Ньютона-Лейбница, подставляем значение
Рис. 6 - формула, заложенная в матрице вычисления хк
г,(0)
-1 ТГ+1
первообразных функций (х) в пределах а =
—1 и Ъ = 1 (рисунок 7, 8);
А В С Е Р 6 Н 1 J
2 а,Ь -1 1
3 Значения первообразных г+1 а ь е 4
4 ТО -1,000000 1,000000 1 0,5000000 0,5000000 0,0000000 1,17520119 0,0000000000000
5 Т1 0,500000 0,500000 2 1,3333333 -1,3333333 -2,6666667 0,27154032 -0,7241075130870
6 Т2 0,333333 -0,333333 3 -1,0000000 -1,0000000 0,0000000 0,04433636 0,0000000000000
7 ТЗ -0,500000 -0,500000 4 1,0666667 -1,0666667 -2,1333333 0,00547424 -0,0116783796120
8 Т4 0,066667 -0,066667 5 -0,3333333 -0,3333333 0,0000000 0,00054293 0,0000000000000
9 Т5 0,166667 0,166667 6 -0,3047619 0,3047619 0,6095233 4,4977Е-05 0,0000274147492
10 Тб 0,028571 -0,023571 7 -0,6666667 -0,6666667 0,0000000 ЗД984Е-06 0,0000000000000
11 Т7 -0,166667 -0,166667 3 1,0158730 -1,0158730 -2,0317460 1,9921Е-07 -0,0000004047492
12 Т8 0,015873 -0,015873 9 0,6000000 0,6000000 0,0000000 1Д037Е-0В 0,0000000000000
13 ТЭ 0,100000 0,100000 10 -0,3232323 0,3232323 0,6464646 5,5059Е-10 0,0000000003559
14 Т10 0,010101 -0,010101 10 V ,/тС(й -0,735758882
Рис. 7 - Матрица вычисления ряда Фурье-Чебышева - матрица вычисления ряда
Рис. 8 - Матрица вычисления ряда Фурье-Чебышева- формула, заложенная в матрице
Сумма чисел, найденных путем произведения линейных функционалов и значений интеграла от функций и является третьим слагаемым в формуле (12)
Сравним результаты вычисления определенных интегралов численным методом в программе с вычислением их формулой Ньютона-Лейбница
Таблица 4 - сравнение результатов вычисления интегралов Римана
I b 1 1 œ Jf(x)dx= J Q„(x)dx + J^Lfr^(l\(x)dx a -1 -1 r=n b JfWx = F(n a -F(a) Величина погрешности
1 J exdx -1 2,350402387287 2,350402387288 5,31 • 10-12,%
5 Г 1пх 1 -dx J X 1 1,295145186784 1,295145196990 5,35 • 10-10,%
4 Г х + 1 Jx2 + 1dX -3 2,840177566000 2,840177561597 4,07^10-10,%
1 Jex2dx -1 2,925303333278 Не вычисляется -
3 Jsin(V^)dx 1 1,905611088087 Не вычисляется -
Заключение
Результаты вычисления показывают, что численный метод решения интегралов Римана с помощью асимптотических многочленов, основанных на полиномах Чебышева, практически не уступают точным расчетам этих интегралов по формуле Ньютона-Лейбница. Особое преимущество данного метода заключается в том, что он позволяет вычислять интегралы, подынтегральные функции которых не имеют первообразных. Преимущество программы на базе Microsoft Excel заключается в том, что она позволяет производить расчеты данным численным методом, без промежуточных вычислений, а также требуя при этом минимальное количество времени.
Конфликт интересов Conflict of Interest
Не указан. None declared.
Список литературы / References
1. Авхадиев Ф.Г. Учебно-методическое пособие по численным методам анализа / Ф.Г. Авхадиев, Р.К. Губайдуллина, Р.Г Насибуллин - Казань: Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2019. - 113 с.
2. Хованский А.Г. Полиномы Чебышeва и их обращения / А.Г Хованский // Mat. Pros., 2013, Issue 17, 93-106
3. Богомолова О.А. Табличный процессор Microsoft Excel: учебно-практическое пособие для бакалавров направления «Строительство» очной формы обучения / О.А Богомолова, Н.А. Михайлова, А.Д. Скороходова ; М-во образования и науки Росс. Федерации, Волгоград: ВолгГАСУ 2012.
4. Верещагин Н.К. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств / Н.К Верещагин., А Шень. - 4е изд., доп.- М.: МЦНМО, 2012. - 112 с
5. Грибкова В.П. Эффективные методы равномерных приближений, основанные на полиномах Чебышева / В.П Грибкова. - М.: Издательство «Спутник+», 2017 - 194 с.
6. Бойков И.В. Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем: сб. ст VII междунар. Науч.-техн. Конф., посвящ. 70-летию Пензенского государственного университета (Россия г. Пенза, 22-25 октября 2013г.) / под ред. И.В Бойкова. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2013. - 246 с.
7. Степанов М.М. Аппроксимация функции : методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Информатика» / М.М Степанов, Н.Н Потапова, Т.В. Ерещенко. м-во образования и науки Росс. Федерации, Волгогр. Госю архит-строит.ун-т. - Электрон. Текстовые и граф. Дан. - Волгоград: ВолгГАСУ, 2012
8. Тимербаев М.Р. Численные методы. Приближение функций. Численное интегрирование / М.Р. Тимербаев. Учебное пособие / Казань 2015 г - 92 с.
9. Водопьянов С.К. Интегрирование по Риману / С.К. Водопьянов: Учеб. Пособие / Новосиб. Гос. Ун-т. Новосибирск, 2012. 146 с.
10. Эверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ / Э.И. Эверович. Учебное пособие в шести частях. Часть 2. Интегральное исчисление функций скалярного аргумента. / Минск 2006 г. - 189 с.
11. Mohammad A. Generalizwted Chebyshev polynomials of the second kind / A. Mohammad. Department of Mathematics, Noethwood University, Midland, MI, USA 2015, 9p
Список литературы на английском языке / References in English
1. Avkhadiev F.G. Uchebno-metodicheskoe posobie po chislennym metodam analiza [Textbook on numerical methods of analysis] / F.G. Avkhadiev, R.K. Gubaidullina, R.G. Nasibullin - Kazan: Kazan (Volga Region) Federal University, 2019. -113 p. [in Russian]
2. Khovansky A.G. Polinomy Chebysheva i ih obrashhenija [Chebyshev polynomials and their inversions] / A.G. Khovansky // Mat. Pros., 2013, Issue 17, 93-106 [in Russian]
3. Bogomolova O.A. Tablichnyj processor Microsoft Excel: uchebno-prakticheskoe posobie dlja bakalavrov napravlenija «Stroitel'stvo» ochnoj formy obuchenija [Microsoft Excel spreadsheet processor: an educational and practical guide for bachelors in the field of "Construction" of full-time education] / O.A. Bogomolova, N.A. Mikhailova, A.D. Skorokhodova ; M-in Education and Science Ross. Federation, Volgograd: VolgGASU 2012. [in Russian]
4. Vereshchagin N.K. Lekcii po matematicheskoj logike i teorii algoritmov. Chast' 1. Nachala teorii mnozhestv [Lectures on mathematical logic and theory of algorithms. Part 1. The Beginnings of set theory] / N.K. Vereshchagin, A. Shen. - 4th ed., dop.-M.: ICNMO, 2012. - 112 p. [in Russian]
5. Gribkova V.P. Jeffektivnye metody ravnomernyh priblizhenij, osnovannye na polinomah Chebysheva [Effective methods of uniform approximations based on Chebyshev polynomials] / V.P Gribkova. - M.: Sputnik+ Publishing House, 2017 - 194 p. [in Russian]
6. Boikov I.V. Analiticheskie i chislennye metody modelirovanija estestvenno-nauchnyh i social'nyh problem [Analytical and numerical methods of modeling of natural-scientific and social problems]: sat. st. VII International. Sci.-tech. Conf., dedicated. To the 70th anniversary of Penza State University (Penza, Russia, October 22-25, 2013) / edited by I.V. Boikov. -Penza : Publishing House of PSU, 2013. - 246 p. [in Russian]
7. Stepanov M.M. Approksimacija funkcii : metodicheskie ukazanija k laboratornym rabotam po discipline «Informatika» [Function approximation : guidelines for laboratory work in the discipline "Informatics"] / M.M. Stepanov, N.N. Potapova, T.V. Ereshchenko. m-in education and Science Ross. Federation, Volgogr. Gosyu arhit-builds.un-T. - Electron. Text and graph. Dan. - Volgograd: VolgGASU, 2012 [in Russian]
8. Timerbaev M.R. Chislennye metody. Priblizhenie funkcij. Chislennoe integrirovanie [Numerical methods. Approximation of functions. Numerical integration] / M.R. Timerbayev. Textbook / Kazan 2015 - 92 p. [in Russian]
9. Vodopyanov S.K. Integrirovanie po Rimanu [Riemann integration] / S.K. Vodopyanov: Textbook. Manual / Novosibirsk. State. Un-T. Novosibirsk, 2012. 146 p. [in Russian]
10. Everovich E.I. Veshhestvennyj i kompleksnyj analiz [Real and complex analysis] / E.I. Everovich. The textbook is in six parts. Part 2. Integral calculus of scalar argument functions. / Minsk 2006 - 189 p . [in Russian]
11. Mohammad A. Generalizwted Chebyshev polynomials of the second kind / A. Mohammad. Department of Mathematics, Noethwood University, Midland, MI, USA 2015, 9p
