Численный метод решения задачи переноса с двусторонней производной дробного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

Дифференциальные уравнения

УДК 517.98

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПЕРЕНОСА С ДВУСТОРОННЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

В. Д. Бейбалаев

Дагестанский государственный университет,

367025, Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43а.

E-mail: kaspij_03amail.ru

Рассматривается численный метод решения задачи теплопереноса с двусторонней производной дробного порядка по пространственной переменной и с производной дробного порядка по времени. Построена конечно-разностная схема и доказана устойчивость этой разностной схемы.

Ключевые слова: численный метод, аппроксимация, фрактал, фрактальная среда, дифференциальное уравнение, устойчивость.

Введение. За последнее время можно считать установленным, что математический аппарат интегро-дифференцирования дробного порядка является адекватным выражением фундаментальных физических концепций, лежащих в основе физики фракталов. В рамках математического аппарата интегро-дифференцирования дробного порядка удаётся не только более глубоко понять известные, но и получить принципиально новые результаты.

Рассмотрим задачу переноса с двусторонней производной дробного порядка в средах с фрактальной структурой.

Задача. Найти решение u(x, t) £ Lp(L, R) (1 ^ p ^ ж) уравнения

D0atu(x, t) = P+(x, t)DeL+u(x, t) + P_(x, t)DR_u(x, t) + f (x, t), (1)

где 0 < a ^ 1, 1 ^ в ^ 2, P+(x, t) ^ 0, P_(x, t) ^ 0, L < x < R, 0 ^ t ^ T, удовлетворяющее начальному условию

u(x, 0) = f(x)

и граничным условиям

u(L, t) = ^i(t) и u(R, t) = ^2(t) в области D = {(x, t): L ^ x ^ R, 0 ^ t ^ T}.

Бейбалаев Ветлугин Джабраилович — старший преподаватель кафедры прикладной математики.

Здесь функции Р+(ж, 4) и Р_(ж, 4) такие, что в случае в =2: Р(ж, 4) = Р+(ж, 4) + +Р_(ж, 4), а в случае в = 1: Р(ж, 4) = Р+(ж, 4)—Р_(ж, 4). Двусторонние производные, в случае когда п — 1 < в ^ п, имеют вид [1]:

(£>в+/)(ж) =

_ і г т

сі+хР Г(п — /3) йж" У (ж —

1—1

«*.«<») = ""5/(")

(-1)"

/ (О

й_жв Г(п — в) йж" У (£ — ж)в+1

-й£.

Несмотря на долгую историю развития математического аппарата дробного дифференцирования [1, 2], аналитические методы решения уравнений дробной диффузии оказываются малоэффективными, а теория численных методов их решения носит фрагментарный характер и далека от завершения [3]. Разработке численных методов решения краевых задач для уравнения переноса с производной дробного порядка посвящены работы [3-8]. В работе [3] рассматривается краевая задача для уравнения переноса с двусторонней производной дробного порядка по пространственной переменной. Особенность систем с фрактальной структурой в том, что для них существенны такие эффекты, как память, сложная природа пространственных корреляций и эффекты самоорганизации. В качестве математической модели процессов стохастического блуждания консервативных частиц в сильно неоднородной трещиноватой среде необходимо рассматривать линейные эволюционные уравнения с дробным производным как по пространственной, так и по временной переменным.

Численный метод решения задачи переноса с двусторонней производной дробного порядка. Точных методов решения задачи (1) не существуют. Для нахождения решения задачи (1) применим конечно-разностный метод. Построим разностную схему. В области Б введём сетку

шНт = |(ж*, і„) : Жі = Ь + іЛ., і = 0, 1, ..., К;

Д — Ь т

= пт, Н = ———, т = —, п = 0, 1, 2, К N

...,*}

с шагом Н по ж и т по 4.

Используя определение Грюнвальда—Летникова дробной производной по пространству [1]:

П^ь+и( ж, і) = Ит —т Цки(х — кН,Ь)

+ М+^ОО Нв

М+

к=0 М-

_Од_м(ж, і) = ^Ііш дьи(х + кИ7 і)

Нв

к=0

\к /3(/Э— 1)---(/Э — А;+1)

> к\

дробной производной по времени [1] на отрезке [£п, 4п+1]:

где (/о = 1, а £/* = (—К+1) (к Є М) и формулу Римана—Лиувиля для

ДХж, іп) =

1

Г(1 — а)

*п+1

и(ж, іп) f и'(Ж, т)(1т

(і"+1 — ^и)а У (і"+1 — т)

получим следующую неявную разностную схему для задачи (1):

д

<+1 - сто" Г(1 — а)(1 — а)т°

1

ЪР

4+1 К-І+1

Р(+)”+1и”-+к1+1 + Е Р(-)”+1и”-+к1-1

к=0 к=0

+п

г+1

(2)

0

= ^(х),

и0 --- М1(^П)7 иК -- М2(^П)?

где Р(-)0+1 - Р-(хі, *о+1), Р(+)0+1 - Р+(х, *о+1).

Теорема. Разностная схема (2) безусловно устойчива для всех 0 < а ^ 1 и 1 < в < 2.

Доказательство. После элементарных преобразований (2) примет вид:

1 1 і+1 і К-і+1 і

-<+1 - £^г-*+і-с Е = < + -7-“/г+1,

к=0

- ^(хі),

к=0

и0 М1(^о)? ик М2(^о)?

л/ I \п + 1 а т-)/ \ п +1 а

при этом 7 = Г(1 — а)(1 - а), £+ = ( 7Т , Сгг = 7Т •

Система уравнений в матричной форме запишется так:

1

Аип+1 = [/” + -г/

0+1

где и? - [и?, и?,иК]Т, /? - [0, /Г, /2°, ПК-1, 0]т.

Матрица коэффициентов А имеет вид:

' ^(1-(ег++СЬ, если 2 - ^5

+£і ®), если 2 - і -1;

~Ші + 42), если 2 - і + 1;

~ <^^і ІІ—І+Ь если 2 < і -1;

. ~а^і Чі—і+І: если 2 > і +1.

Здесь аоо = 1; аоу = 0, если ^ = 1, 2, ..., К; = 1 и аку = 0, если ] =

= 0, 1, ..., К - 1.

Согласно теореме [4] собственные значения матрицы А находятся в соединении К кругов с центрами в а,ц и с радиусами г*:

к=0, к=і

к=0, к=і

(3)

(4)

Из неравенств (3) и (4) следует, что собственные значения матрицы А больше либо равны единице. Тогда собственные значения матрицы А-1 положительны и меньше либо равны единицы. Следовательно, разностная схема (2) безусловно устойчива. □

Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию (проект РНП. 2.1.1/2669)

0

и

г

а

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Мн.: Наука и техника, 1987. — 688 с.

2. Нахушев А. М. Элементы дробного исчисления и их применение. — Нальчик: КБНЦ РАН, 2000. — 299 с.

3. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткин И. А., Юрко Ю. И. Прямые задачи неклассического переноса радионуклидов в геологических формациях // Извест. РАН. Энергетика, 2004. — №4. — C. 121-130.

4. Isaacson E., Keller H. B. Analysis of Numerical Methods. — New York - London - Sydney: Wiley & Sons, Inc., 1966. — 541 p.

5. Бейбалаев В. Д. Численный метод решения математической модели теплопереноса в средах с фрактальной структурой // Фундаментальные исследования, 2007. — № 12. — C. 249-251.

6. Tadjeran Charles, Meerschaert MarkM., Scheffler Hana-Peter A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation// J. Computat. Phys., 2006. — Vol. 213, No. 1. — P. 205-213.

7. Liu Q., Liu F., Turner I., Anh V. Approximation of the Levy-Feller advection-dispersion process by random walk and finite difference method // J. Computat. Phys., 2007. — Vol. 222, No. 1. — P. 57-70.

8. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткин И. А. Численные методы решения уравнения дробной диффузии в одномерном случае. — М.: ИБРАЭ РАН, 2002. — 35 с.— Препринт № IBRAE-2002-10.

Поступила в редакцию 16/X/2008; в окончательном варианте — 09/II/2009.

MSC: 65N12

NUMERICAL METHOD OF SOLUTION OF THE PROBLEM ON TRANSPOSITION OF TWO-SIDED DERIVATIVE OF THE FRACTIONAL ORDER

V. D. Beybalaev

Daghestan State University,

43a, M. Gadzhiyev st., Makhachkala, 367025.

E-mail: kaspij_03amail.ru

Numerical method of the solution of the problem of heat transposition with two-sided derivative of the fractional order along the space variable and with the fractional order derivative in time is studied. Finite-different scheme was constructed and the stability of this different scheme was proven.

Key words: numerical methods, approximation, fractal, fractal structure, differential equations, stability.

Original article submitted 16/X/2008; revision submitted 09/II/2009.

Beybalaev Vetlugin Dzhabrailovich, Senior Lecturer, Dept. of Applied Mathematics.