Численный метод построения воздействия в нелинейной системе ОДУ по неточной информации о ее фазовых состояниях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.935

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ВОЗДЕЙСТВИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ ОДУ ПО НЕТОЧНОЙ ИНФОРМАЦИИ О ЕЕ ФАЗОВЫХ

СОСТОЯНИЯХ

© А.Ю. Вдовин, С.С. Рублева

Ключевые слова: динамический регуляризирующий алгоритм; обратные задачи динамики.

Для существенно нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривается численный метод построения воздействия по результатам неточных измерений ее фазовых состояний.

Рассматривается относящаяся к обратным задачам динамики управляемых систем проблема восстановления неизвестного воздействия ь(-) в системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

х'(г) = /(г,х(г),у(г)), г е т = [£о,$], (1)

порождающего движение с начальным условием х(г0) = х0, где х(-),у(-) отображают Т в Кт и в компакт Q С Яд, отображение /(■) действует из Т в Кт. При этом доступна неточная информация х^( ) о движении х( ) в узлах {^} разбиения Т: \х(г^) — х^(г^\^ Ь.

Оригинальный подход к решению этой задачи был предложен Ю.С. Осиповым и А.В. Кряжимским [1, 2]. Его особенностью явилось использование процедуры, применяемой в теории позиционных дифференциальных игр [3], и имеющей название экстремального сдвига (прицеливания). Основа этого подхода лежит в имитации движения х(^) или его производной х1 (■) с помощью модели (аналога поводыря), в процессе реализации которой и строится приближение искомого воздействия, трактуемое как управление упомянутой моделью.

В общем случае, рассматриваемая задача является некорректной. Существенный вклад упомянутых авторов состоит в регуляризации процедуры экстремального сдвига. На этом пути получен широкий набор алгоритмов, обладающих достоинствами игровых методов: 1) аппроксимацией бесконечномерной задачи конечномерной с фиксированной размерностью; 2) возможностью решения указанной экстремальной задачи на каждом шаге разбиения временного интервала функционирования системы, что позволяет получать искомое приближение в режиме реального времени. По этим причинам такие алгоритмы получили название конечношаговых динамических регуляризирующих. Предложенные алгоритмы гарантируют стремление к нулю ошибки получаемого приближения вместе с ошибкой измерения состояний х(^). Многообразие этих методов обусловливается выбором вида системы модели и численной процедуры ее решения, основанной на различных методах регуляризации задачи.

В работе [4] предложена модификация упомянутых алгоритмов для случая, когда система (1) линейна по отношению к воздействию и получены оценки ее точности в метрике Ьг[Т ].

В докладе обсуждается численный метод решения рассматриваемой задачи для случая существенно нелинейной системы. Указываются дополнительные условия, накладываемые на свойства системы и искомое воздействие, при выполнении которых построенный метод

2472

является регуляризирующим в смысле метрики пространства C[T]. В частности требуется наличие дополнительной информации о значении искомого воздействия на левом конце временного промежутка.

ЛИТЕРАТУРА

1. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems for ordinary differential equations: dynamical solutions London, Gordon and Breach. 1995.

2. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: МГУ, 1999.

3. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М. Наука, 1985

4. Вдовин А.Ю., Рублева С.С. О гарантированной точности процедуры динамического восстановления управления с ограниченной вариацией в системе, зависящей от него линейно // Математические заметкию 2010. Т. 87. Вып. 3. С. 337-358.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в УГЛТУ по заданию Министерства образования и науки РФ .

Vdovin A.Yu, Rubleva S.S. NUMERICAL METHOD OF CONSTRUCTION IMPACT IN NONLINEAR SYSTEM OF ODE ON INEXACT INFORMATION ABOUT ITS PHASE STATES

For the essentially nonlinear system of ordinary differential equations a numerical method of construction the impact on the results of inaccurate measurements of its phase states is considered.

Key words: dynamic regularization algorithm; inverse problems of dynamics.

УДК 517.954

ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ГРАФЕ

© А.С. Волкова

Ключевые слова: обобщенное решение; теорема об однозначной разрешимости

начально-краевых задач.

Рассматриваются обобщенные решения начально-краевых задач с распределенными параметрами на произвольном геометрическом графе. Приведены условия однозначной разрешимости таких задач.

Рассматривается начально-краевая задача для уравнения параболического типа на Гу = = Г х (0,Т) (Г — произвольный компактный ориентированный граф)

(Ьи) (х, г) = - д_ ^а(х) + ь (х) и (х, г) = / (х, г), (1)

и |*=0= ф(х), х Є Г (2)

с краевыми условиями типа Дирихле

и |дг= 0, 0 < г < Т, (3)

здесь ф(х) Є Ь2(Г) (пространство функций, суммируемых с квадратом на Г); /(х,г) Є

Є Ь2,\(Гт). Пространство Ь2,і(Гт) состоит из элементов Ь\(Гт) с конечной нормой

247З