Численный метод моделирования управляемого уравнения теплопроводности с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.633

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ УПРАВЛЯЕМОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

© В.Г. Пименов, А.Б. Ложников

Ключевые слова: уравнение диффузии; запаздывание; управление; численный метод; устойчивость; сходимость.

Для управляемого уравнения теплопроводности, содержащего постоянное запаздывание в производной по состоянию и функциональное последействие в законе управления, сконструирован явный численный метод и получены условия его сходимости.

Математические модели самых различных объектов могут содержать одновременно два эффекта: распределенность по состоянию и запаздывание по времени [1]. В силу сложности таких объектов, на первый план выходят эффективные численные методы. Примером может служить однородное уравнение теплопроводности с наличием временного запаздывания в производной по состоянию [2]. Если рассматривать управление таким объектом по принципу обратной связи, то порождаемая управлением неоднородность будет иметь функциональный эффект наследственности по состоянию. В работе строится явный численный метод для моделирования управляемого объекта, указываются условия его устойчивости и порядок сходимости.

Рассмотрим уравнение

^ (х,Ь) = а^(х,Ь) + Ъ^(х,Ь - т) + У' (1)

Здесь и(х, Ь) — искомая функция, х € [0, X], Ь € [0, Т]; т — величина запаздывания; управ-

ление V строится по известному закону V = f (х,1,и,(х,1),щ{х, ■)), где щ{х, ■) = {и(х,Ь + 8), — —т ^ в < 0} — функция предыстория искомой функции к моменту Ь.

Заданы начальные условия: и(х,Ь) = ф(х,Ь), х € [0,Х ], Ь € [—т, 0], и граничные условия: и(0,Ь) = 0, и(Х,Ь) = 0, Ь € [0, Т].

Будем предполагать, что функционал f и функция ф таковы, что задача имеет единственное решение.

Проведем дискретизацию задачи. Пусть Н = Х/Х, введем хг = гН, г = 0,..., М, пусть Д = Т/М, Ь] = ]Д, ] = 0,... ,М. т/А = К —целое.

Рассмотрим явный метод

и)+1 — и] 2и1-1 — 2и] + иг+1 2и-К — 2и] к + иг+К

]+ ] = а--]-3— + Ъ2]К-]-К-]-К + f (хг, Ь] ,и] М (■)), (2)

Д Н2 Н2

где (■) — результат кусочно-линейной интерполяции предыстории. Метод дополняется

соответствующими начальными и краевыми условиями. Из определения метода можно явно выразить и]+1.

Сведем метод к общей схеме, использованной в [3].

Введем послойный вектор й] = (и1,и2, ■ ■ ■ ,иN-1), тогда пошаговый переход записывается с помощью формулы

й]+1 = (Е + а2аМ )й] + Ъ2аМй]-К + Д#], (3)

2635

где а = ^2, Е — единичная матрица, у матрицы М на главной диагонали стоят —2, на соседних диагоналях стоят 1, а все остальные элементы нулевые, координатами вектора й] являются f (хг,Ь], и] ,м] (■)).

Введем вектор и] = (й], й]-1, ■ ■ ■, й]-к) размерности (М — 1) х (К + 1), тогда пошаговая формула может быть записана в виде

и-+1 = Биз + Д#, (4)

где Б — матрица соответствующей размерности, а Г] — векторный функционал, определенный на результате кусочно-линейной интерполяции предыстории и зависящий от исход-

ного способа управления.

В работе [2] с помощью спектрального анализа получены условия устойчивости (ограниченности соответствующей нормы матрицы Б единицей), в наших обозначениях

а = Д ^ , 0\0ч, а2 > Ъ2 > 0. (5)

Н2 2(а2 + Ъ2)

Обозначим величину погрешности через е] = и(хг,Ь]) — и].

Определение! Будем говорить, что метод сходится с порядком Нр + Дд, если существует такая константа С, что выполняется неравенство: \е] \ ^ С(Нр + Дд) для всех г = 1,... ,М — 1 и ^ = 1,..., М.

Методами, подобными [3], доказывается утверждение.

Теорема 1. Пусть выполняется условие устойчивости (5), точное решение и(х,Ь) дважды непрерывно дифференцируемо по Ь и четырежды непрерывно дифференцируемо по х, функционал f (х, Ь, и, м) липшицев по двум последним аргументам, тогда метод (2) сходится с порядком Д + Н2.

Численные эксперименты, проведенные на тестовых примерах, показали сходимость метода при указанных условиях и расходимость, если нарушаются условия устойчивости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Wu J. Theory and Application of Partial Functional Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 1996.

2. Garcia P., Castro M.A., Martin J.A., Sirvent A. Numerical solutions of diffusion mathematical models with delay // Mathematical and Computer Modelling. Amsterdam, Elsevier, 2009. V. 50. P. 860-868.

3. Пименов В.Г., Ложников А.Б. Разностные схемы численного решения уравнения теплопроводности с последействием // Труды ИММ УрО РАН. Екатеринбург. 2011. Т. 17, № 1. С. 178-189.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом РФФИ 13-01-00089 и программой АВЦП 1.994.2011 «Устойчивые вычислительные методы анализа динамики сложных систем» .

Pimenov V.G., Lozhnikov A.B. NUMERICAL METHOD FOR MODELING CONTROLLED HEAT CONDUCTION EQUATION WITH DELAY

For controlled heat conduction equation with delay in derivative on space variable and with functional after-effect in the control law, the explicit numerical method is constructed and conditions of its convergence are obtained.

Key words: diffusion equation; delay; control; numerical method; stability; convergence.

2636