Численный метод конформного отображения полуплоскости в себя с «Гидродинамической» нормировкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.В. Соболев

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ В СЕБЯ С «ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ» НОРМИРОВКОЙ

Разработан численный метод построения конформного отображения /: Пг — В полуплоскости Пг = {г: 1т г > 0} на неограниченную односвязную область В, В сП„ , при условии гидродинамической нормировки: (((г) - г) — 0, если г — то, 1т г > 0 . Метод основан на предварительном построении конформного отображения Вт — Пг полигональной области Вт , аппроксимирующей В, с определением констант в интеграле Шварца - Кристоффеля.

Конформные отображения широко используются при решении разнообразых задач естествознания (электростатики, гидравлики, гидро- и аэродинамики, теории упругости и

др.).

Особое место в теории и практике конформных отображений занимают отображения с «гидродинамической» нормировкой, при которой нормировочные условия предписывают отображению в окрестности бесконечно удалённой точки быть близким к тождественному отображению. Так, в задачах теории упругости, гидро- и аэродинамики естественным требованием к комплексному потенциалу г = ф(м>) в неограниченной области течения, во внешности обтекаемого профиля, является условие (ф(м>) - м>) — 0 при V — то, выражающее тот факт, что на бесконечном удалении от обтекаемого профиля поток остаётся неискажённым.

Данная работа посвящена разработке нового численного метода построения конформного отображения неограниченной односвязной области, принадлежащей верхней полуплоскости, на верхнюю полуплоскость с гидродинамической нормировкой.

На основе предлагаемого метода созданы две программы (Иа1/Р1ап.раз, ЯРСНгОатз.раз). Первая программа позволяет находить конформный образ данной неограниченной односвязной области, расположенной в верхней полуплоскости, на верхнюю полуплоскость. Результатом работы этой программы служат, в частности, значения параметров в формуле Шварца - Кристоффеля, используемых второй программой для нахождения гидродинамически нормированного обратного отображения - полуплоскости на данную область в полуплоскости. Опробование программ расчётами различных моделей областей свидетельствует об эффективности метода.

1. ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОГО ОТОБРАЖЕНИЯ В ^ Пг

1.1. Пусть В - неограниченная односвязная область, принадлежащая верхней полуплоскости П№ = {V :1т V > 0} и получающаяся удалением из П№ ограниченного замкнутого множества (см. рис.1). Будем считать, что всякая ограниченная часть границы Г области В представляет собой кусочно-

гладкую жорданову кривую без точек возврата.

Пусть V = /(г) - аналитическая в полуплоскости Пг = {г :1т г > 0} функция, осуществляющая (однолистное) конформное отображение Пг на область В с гидродинамической нормировкой

Ит (/ (г) - г ) = 0. (1)

г—то,1т г >0

Пусть г = ф(V) - аналитическая в области В функция, обратная к V = /(г), нормированная соответственно условию (1).

1.2. Отображение ф: В — Пг получим как результат следующих последовательно осуществлённых отображений:

- области В на область Вю внутри единичного

круга Ею = {ю : |ю| < 1} с помощью дробно-линейного отображения П № — Ею по формуле

ю = ™ - ^0 , (2)

V - ^0

где w0 - произвольно фиксированная точка области В;

- специально нормированного отображения

^ = С(ю) области Вю на единичный круг

Е = {С: |С|< 1};

- специально нормированного дробно-линейного отображения круга Е1 на полуплоскость Пг .

1.3. Опишем способ построения второго из упомянутых отображений. Пусть Гю - граница области Вю (рис.2). Часть границы Гю в окрестности точки ю = 1 представляет собой дугу окружности {ю : |ю| = 1}. Обозначим эту дугу Х1.

Рис. 2. Образ области В при дробно-линейном отображении

Пусть Z = у(ю) - какая-либо аналитическая функция, отображающая Бю на круг Е1 с условием у(1) = 1. Согласно принципу симметрии Шварца [1. Гл. 2], функция Z=V(ro) допускает аналитическое продолжение через дугу Xj в область Б* во внешности круга Е1, симметричную Б* относительно окружности (ю : |* = 1}. Продолженная таким образом функция, которую будем обозначать так же у(ю), регулярна в окрестности точки ю = 1. Поскольку у(1) = 1 и дуга окружности отображается функцией Z = У(ю) на некоторую дугу окружности (Z : |Z| = 1} с внутренней точкой Z = 1 этой дуги, то линейный элемент в точке ю= 1 сохраняет при отображении своё направление и, следовательно, argу'(1) = 0 , т.е. у'(1) > 0 .

Для нахождения у(ю) достаточно найти аналитическую функцию Z1 = Ф(ю), отображающую Бю на круг ER = (Z1 : |Z^ < R} некоторого радиуса R > 0 с условиями Ф(0) = 0, Ф'(0) = 1. Действительно, совершив преобразование подобия Z1 ^ Z1 / R и поворота плоскости вокруг начала на угол arg Ф(1), получим функцию у(ю) = e- argф(1)Ф(ю)/R , отображающую Бю на круг Е1 с условиями у(1) = 1, у'(1) > 0 .

Для построения нормированного указанными выше условиями отображения Ф: Бю —■ ER применяется итерационный алгоритм, аналогичный [2,3], основанный (см.[4]) на минимизации функционала

I(фn) =[ |ФП (n), выражающего длину образа

Гю

границы области Бю при отображении функцией ^ =Фп (ю) вида

Г Ю 2

Фп (ю) = j0 Fn\t)dt, (3)

где

Fn (ю) = 1 + X (а к + ißk)

ю

(4)

к=1

с достаточно большим номером п .

Решая задачу на экстремум [ \Еп (п)| ds

Гю

приходим к следующей системе линейных алгебраических уравнений относительно действительных коэффициентов ак,вк(к = 1,2,...,п):

(akgkm + ßkgkm ) gm0,

к=1

(akgkm ßkgkm) gm0

к=1

Здесь обозначено:

(m = 1,..., n).

(5)

= ф rm+k cos(m - k)9ds,

gkm

rm+k sin(m - k)Qds,

і = Argю , юеГю

(6)

Система уравнений (5) имеет единственное решение [5].

В монографии [6. Гл. 4] доказано, что для случая областей типа Смирнова, в частности в нашем случае (граница Гю области Бю - кусочно-гладкая кривая

без нулевых углов), последовательность {Еп (ю)}^=1 сходится к Е(ю) равномерно на замкнутом множест-

ве (Вю и ВЮ). Поэтому последовательность функций

Фп (ю) сходится равномерно на (Бю и БЮ) к Ф(ю). Следовательно, функция ^1 =Фп (ю) при большом номере п отображает Гю в кривую Сп, близкую к некоторой окружности С0п) = ^ | = Rn }. Радиус

Rn этой окружности подлежит определению.

Для нахождения Rn предлагается следующая процедура. Решив СЛАУ (5) при фиксированном п, вычисляем затем по найденным ак,рк (к = 1,...,п) коэффициенты многочлена

2n+1

Фп(ю) =Ю+ X (5k + ink)®k

k=2

по формулам

(7)

%m =

1

min{m-1,n}

X (al am-1-l -ßl ' ßm-1-і):

l=max{0,m-1-n}

1

min{m-1,n}

nm = — X (al ßm-1-l +ßl ‘am-1-l

m l=max{0,m-1-n}

В качестве Rn возьмём величину

R = (r(n) + r(n) )/2

n v min max/' ’

где

rmn = mrn ІФ n (ю)|

r

(n) =

= max Ф

max

,(ю)|.

Ввиду равномерной сходимости Фп (ю) — Ф(ю) заключаем, что Rn — R при п — то. Значит, последо-

вательность функций %n (ю) = e

,(1)

•Фп (ю)/Rn

сходится равномерно на (Вю и Вю) к искомой функции у(ю), отображающей Вю на единичный круг с условиями у(1) = 1, у'(1) > 0 . Отметим, что в качестве приближённого значения у'(1) можно взять величину хП (1) при большом номере п .

Точность построенного приближения хп (ю) определяется тем, насколько кривая уп = хп (Гю) близка к окружности К : |С| = 1}. Если ширина 5п = г^ -г^П кольца К : -|С|- Г^аХ}, покрывающего кривую

(n)

мала, то максимальное удаление точек кривой

уп от {Z : |С| = 1} мало и составляет величину не более єп =5п/(2Rn). Поскольку єп — 0 при п —то, то, задавая произвольно є > 0, можно выбрать номер п так, чтобы кривая у п принадлежала кольцу

К : 1 -є<^И 1 + є}.

ю

ю

r = со

1.4. Улучшение отображения Вю — Е1 возможно повторением в итерационном режиме процедуры минимизации (с тем или иным значением п) применительно к новой области Вк+1 = хп(Вк) (к = 1,2,...), В = Вю. Этот способ позволяет получать конформное отображение области Вю на область, близкую к Е1 , как композицию отображений В — В2 —... — Вк с достаточно большим номером к.

1.5. На завершающем этапе построения отображения Вю — Е1, когда в качестве образа области Вю уже получена область, близкая к единичному кругу, и последующие шаги итерации не приводят к повышению точности отображения, бывает полезно использовать приём улучшения отображения, основанный на вариационном методе М.А. Лаврентьева [1. Гл. 4]. Согласно этому методу, для функции х : нй(у) — Е (у - «звёздный» относительно начала контур, близкий к 5Е1) выполняется

X(Z) = (1+V2)•£+£ (X* -H)Z

k+1

(8)

k=1

где

Xk = 1 j (1 -|(C(0)|)cosk0d0 : Hk = - j (1 -|Z(0)|)sink0d0 ,

(9)

z = T-

С- z0 z0 Z-1

Ф1 (w) =

Im w0 d V (1) V((w - w0)/(w - w0) )z0-;

lim (ф (w) - w) = 0 , лишь действительным посто-

W^W,WG.B

янным слагаемым.

2. ПОСТРОЕНИЕ ОБРАТНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ Пг ^ В

2.1. Аппроксимируем (если это требуется) область В (неограниченным) полигоном Вт, w0 е Вт, одна из вершин которого Ато - бесконечно удалённая точка с углом в этой вершине, равным п, и с остальными вершинами А1, А2,..., Ат, лежащими в конечной части

плоскости на границе области В . Пусть Гт - граница полигона Вт. Считаем, что стороны АтоА1 и АтАто полигона Вт лежат на действительной прямой комплексной плоскости и вершины А1,А2,...,Ат пронумерованы в порядке положительного обхода границы Гт (т. е. так, что точки области Вт остаются при обходе слева).

Выбирая вершины А1,А2,...,Ат подходящим образом и в достаточном количестве, можно добиться, чтобы аналитическая функция /т (г), /т : Пг — Вт, нормированная условием (1), аппроксимировала / (г) сколь угодно точно внутри П г. Последнее означает, что для Уе > 0 существует номер т, вершины А1, А2,..., Ат и функция /т (г), такие, что

^(0) - аффикс точки на контуре у, имеющей аргумент, равный 0.

1.6. Получив с достаточной точностью приближённое нормированное отображение у* (ю): Вю — Е1, совершим в заключение дробно-линейное отображение г = г(0 единичного круга Е1 на полуплоскость

Пг (с соответствием граничных точек г(1) = то) по формуле

max| f (z) - fm (z)| <e/2.

zeF 1 1

(11)

где г0 - произвольно фиксированная точка в Пг . Действительную постоянную т подберём так, чтобы функция

* у(-^0)/(^-^0)) -г0

ф1 (V) = т ——-----------------------

у ((V - w0) 1(М! - w0)) -1

удовлетворяла условиям

* ^ * ф1 (то) = то , 11т — ф1 (V) = 1. (10)

w—то,wеB

Получаем т = (1тw0 /1тг0) • у'(1).

Таким образом, в качестве приближения для отображения В — Пг, нормированного условиями (10), можно взять

1тг0 (ю у* ((- w0)/(w- w0))-1

Эта функция отличается, быть может, от искомой функции В — Пг, нормированной условием

Здесь Е - произвольное замкнутое подмножество полуплоскости Пг .

В свою очередь, для приближённого нахождения /т (г) достаточно найти функцию V = /* (г), осуществляющую нормированное отображение Пг на некоторую область В*, w0 е В*, близкую к Вт. Близость В* и Вт понимается в следующем смысле: граница области В* покрывается объединением круговых окрестностей достаточно малого радиуса 5 > 0 с центрами в точках границы области Вт. При этом условимся считать, что область В* «приближает Вт с точностью 5 ».

Согласно теории К. Каратеодори о последовательностях областей, сходящихся к ядру [7. Гл. 2], для

V е > 0 можно выбрать 5 > 0 так, чтобы для функции

/* : Пг — В*, где область В* приближает Вт с точностью 5 , было выполнено условие

гах! /т (г) - Гт (г ^ <е/2.

Но тогда, с учётом (11), будет выполняться

^ ( г ) - Гт ( г ^ - ^1 / (2 ) - /т ( 2 ) +

Т\Г (г) - Гт (г ^ <е/2 +е/2 = е

т.е. функция /* (г) аппроксимирует /(г) равномерно внутри П г с точностью е.

max|

zeF

+ max|

zeF

Согласно теории Шварца - Кристоффеля [1. Гл. 2], для функции /т (2) имеем

Гт (2) = С1П| 1 -

к=1

Ак -1

(12)

Гт (2) = 2 + £'

(13)

=1(2 - Со)П

Коэффициенты Ьп (п = 1,2,...) найдём из следующего равенства, вытекающего из (12):

Гт (2) = Г'п (2) • в(2). (14)

Здесь

0( 2 ) = £^-^1

к=12 - ак

- регулярная функция во внешности круга К0. Её разложение по обратным степеням (2 - с0) имеет вид

ёп

С( 2) = £

1(2 - Со)п

(15)

где

ёп =£ (Хк - 1)(ак - С0)п 1 .

к=1

Подставляя в (14) функцию 0(г) из (15) и /т (г) из (13) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (г -С0) в левой и правой частях получившегося тождества, приходим к следующим соотношениям:

ё1 =0; ё2 =0;

п-2

(п - 1)(п - 2)Ьп-2 = ёп -£ (п - 1 - :) • Ьп-1 -1 • ё1 (16)

(п = 3,4,...).

т

(Равенство ё1 = 0, равносильное £ (Хк -1) = 0, вы-

к=1

ражает очевидный геометрический факт; равенство ё2 = 0 может быть использовано для контроля точности полученных приближённо значений ак .) Из (16) рекурсивно находим все коэффициенты ряда (13):

Ьп =■

Ь1 = ёз/2; Ь2 = ё4/6;

( п-2 \

ёп+2 -£ 1 • Ь,

І &п-І+1 1=1

(п = 3,4,...).

где ак , 1т ак = 0, - прообраз вершины Ак полигона Вт при отображении V = /т (г), Xкп - внутренний угол полигона В при вершине Ак , С1 - некоторая постоянная. Определяя значение С1 в соответствии с условием нормировки /^ (то) = 1, получаем С1 = 1. Аффиксы всех точек ак (к = 1,2,...,т ) можно считать известными приближённо по результатам прямого отображения Вт —Пг.

2.2. Укажем способ вычисления /т (г) для точек г вне круга К0 = {г : \г - с0| - R0}, с0 = (а1 + ат )/2, R0 = |ат -а^/2. Все особые точки функции /^(г) принадлежат К0, и во внешности К0 функция /т (г) мероморфна с простым полюсом в бесконечности. Следовательно, /т (г) допускает вне К0 представление

Ьп

п(п +1)

2.3. Для вычисления /т (г) при г е К0 зафиксируем произвольно ц > 0 и обозначим

г* = С0 + г'(1 + ц)Ro .

Запишем /т (г) в виде

Г т (2) = Гт (20 ) - { /' ^ Z .

(17)

Значение /т (г*) можно получить по формуле (17), поскольку г* г К0. Вычисляя интеграл в (17) по отрезку прямой, соединяющему точки г и г0* ,

^ = г +1 • (г* - г), 0 < t < 1, получаем

1

/т (г) = /т (г*) + (г - г*){R(t, г)ехр(г^,г)) (18)

Здесь обозначено:

R(t; 2) = ехр

£ (А к - 1)1п

к=1

1 —

2 + t • (2о- 2)

^ 2) = £ (Ак -1) • а^

к=1

1 --

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ОПРОБОВАНИЯ МЕТОДА

3.1. По описанному методу разработаны две программы HalfPlan.pas, НРСНгОашз.раз. Первая программа предназначена для решения задачи прямого отображения В — Пг, вторая - обратного отображения Пг — В . Исходной информацией для На1/Р1ап служит массив прямоугольных координат граничных точек области В (в количестве Мр) в верхней полуплоскости. Интегралы в формулах (6) вычисляются по специальной квадратурной формуле [8], аналогичной известной формуле парабол (Симпсона), но, вообще говоря, с неравномерной системой узлов. Для повышения точности квадратур система узлов на контуре интегрирования (соответствующих заданным вершинам полигона Вт, аппроксимирующего область В) пополняется дополнительными узлами, соответствующими «фиктивным» вершинам полигона, расположенными внутри отрезков прямых, соединяющих смежные вершины, и с углами полигона при этих вершинах, равными п. Фиктивные вершины генерируются программой автоматически в количестве, задаваемом с пульта. Кроме того, после совершения дробно-линейного отображения полигона Вт в плоскость круга по формуле (2) множество граничных точек области, являющихся образами вершин А1,А2,...,Ат полигона Вт, также пополняется дополнительными точками на единичной окружности из окрестности точки ю = 1 . Результаты работы программы На1/Р1ап - аффиксы точек а1,а2,...,а т на действительной прямой - служат исходной информацией для второй программы.

п

Программа На1/Р1ап предусматривает возможность наряду с итерационным режимом минимизации использовать «улучшающие» малые вариации границы по методу Лаврентьева, описанные в п.1.5. Комбинированная тактика, основанная на чередовании двух этих способов, позволяет достичь большей точности результирующего отображения, чем точность, обеспечиваемая каждым из них в отдельности.

В программе НРСкгОаш^' величины внутренних углов Xкп полигона Вт при вершинах Ак вычисляются автоматически. Действительная и мнимая части интеграла в (18) вычисляются по высокоточной квадратурной формуле Гаусса с 96 узлами [9. Гл. 25 ].

3.2. Опробование программ расчётами для различных моделей областей показало достаточную эффективность предлагаемого метода.

Ниже приведён результат обсчёта одной модельной области. Строился образ области В при прямом отображении и находились константы ак в формуле Шварца - Кристоффеля (12). Затем находился образ полуплоскости Пг при обратном отображении и сопоставлялся с исходной областью В . Кроме того, полученные приближённые значения /т (г) сопоставлялись с известными [10] асимптотическими значениями отображающей функции /: Пг — В в окрестности бесконечности, даваемыми формулой / (г) = г + с-1 / г + о (1/| ),

где

1 +то

С-1 =--------[ 1т у(х)й?х, у = у(х)

ТГ •’

уравнение гра-

ное отклонение точек образа границы Г при отображении Вт — Е от единичной окружности не превосходит 0.002. На рис. 3, б показан приближённый образ части границы полуплоскости Пг при обратном отображении. Максимальное отклонение образов точек из Пг при обратном отображении от соответствующих точек из В в «ближней» зоне (| < 10) составляет не более 0.03, в то время как в «дальней» зоне (|w\ > 10) оно ещё на один порядок меньше. При |г| > 10 отклонения (по модулю) приближённых значений V = /(г) от соответствующих асимптотических значений не превышают 2% от величины 1/| г|. На

рис. 3, в показано совместное изображение части границы области В и образа границы полуплоскости Пг при обратном отображении.

ницы Г области В.

Модель «Бактриан». Часть границы области В , лежащая в верхней полуплоскости, - «двугорбая» гладкая кривая (см. рис. 3, а). Было взято: w0 = 8• /,

г0 = 5 • I, Мр = 83 , п = 46; общее число граничных

точек, используемых при прямом отображении, М = 180 (остальные 97 граничных точек сгенерированы программой автоматически); Ы0 = 80 .

При прямом отображении совершены 9 шагов итераций по методу минимизации и три раза варьирование границы по Лаврентьеву (с числом членов ряда в (7), равным 60 ). Достигнутое при этом максималь-

Рис. 3. Образы границ: а - исходная область Б в верхней полуплоскости; б - область /(П2) - образ полуплоскости П2 при обратном отображении; в - совместное изображение областей Б и / (П2)

ЛИТЕРАТУРА

1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716 с.

2. Соболев В.В., Соболева Н.В. Комплексный алгоритм численного построения конформного отображения ограниченной жордановой области на круг и обратного отображения // Научн. труды РИАТМа, вып. 2. Ростов н/Д: РИАТМ, 1995. С. 21-34.

3. Ищенко Н.В., Соболев В.В. Комплексный алгоритм построения конформного отображения неограниченной области на внешность круга и обратного отображения // Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск: ТГУ, 1998. С. 10-17.

4. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. М.-Л.: ФМЛ, 1962. 708 с.

5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953. 491 с.

6. Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.-Л.: Наука, 1964. 440 с.

7. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

8. Соболев В. В., Ищенко Н. В. Численное интегрирование. Методические указания к лабораторной работе с использованием ЭВМ. Ростов н/Д: РГАСХМ, 1999. 28 с.

9. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. Абрамовиц М., Стриган И. М.: Наука, 1979. 832 с.

10. Кац И.С., Крейн М.Г. R-функции - аналитические функции, отображающие верхнюю полуплоскость в себя / Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи (Дополнение I). М.: Мир, 1968. 750 с.

Статья представлена кафедрой математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 30 июня 2003 г.