Численный метод конформного отображения полосы в себя с гидродинамической нормировкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517. 54: 681. 3. 06

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ПОЛОСЫ В СЕБЯ С ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ НОРМИРОВКОЙ

© 2004 г В.В. Соболев

The numeric method of the conformal mapping w = f (z) of the stripe П z = {z : |lm z| < h /2, —да < Re z < +да} into

the unbounded domain B within stripe П w with the hydrodynamic normalization (f'(z) ^ 1 if z ^ да, |lmz| <h/2) was

created. This method is based on preliminary building of conformal mapping B ^ П z with calculating all parameters Christoffel-Schwarz’s formula.

Пусть В - произвольная односвязная область, получающаяся из полосы

Пк < к /2, -да< Кем> <+да}, к > 0 удалени-

ем компактного множества, и такая, что всякая ограниченная связная часть границы В - кусочно-гладкая жорданова кривая без точек возврата. Рассматривается задача приближенного численного нахождения аналитической функции w = р (z), осуществляющей

конформное отображение Пг ^ В с условием гидродинамической нормировки

Иш р'( z) = 1 (1)

zЪт\<к / 2

и переводящей произвольно фиксированную (конечную) граничную точку z0 полосы Пг в произвольно фиксированную (конечную) граничную точку ^0 области В , sgn (1шz0) = sgn (1ш^0).

1. Алгоритм нахождения функции ^ = р(z) основан на предварительном нахождении обратной функции z = /(м>), / : В ^П г.

Для построения отображения z = /(м>) область В аппроксимируем, если это необходимо, неограниченным полигоном Вт с вершинами Ах, A2,..., Ат , лежащими на границе области В ; ^0 е /гВт . Считаем нумерацию вершин такой, что замкнутая (на расширенной комплексной плоскости) ломаная

АшА!А2...Ат1 АшАт1 +1.АтАш , где Аш - бесконечно

удаленная точка, представляет собой границу полигона Вт , пробегаемую в положительном направлении,

т. е. так, что точки области Вт остаются слева. При этом четыре из звеньев ломаной: АдаА1, Ат1 Ада, АдаАт1 +1, АтАда - прямолинейные части границы области В , лежащие на прямых ^: 1ш ^ = ±к /2} в окрестности бесконечности.

Согласно теории К. Каратеодори [1] о сходимости последовательности областей к ядру, можно утверждать, что при подходящем выборе (и в достаточном количестве) вершин А1 ,... , Ат можно добиться, чтобы функция /т : Вт ^П г, нормированная в соответствии с (1) и условиями

lim fm(w) = ^

w——ж, WЄBm

fm (w0) = z0, аппроксимировала f (w) сколь угодно точно внутри B .

Для приближенного нахождения /т (^) достаточно найти нормированную указанными условиями функцию z = /т (^), конформно отображающую Вт на область П*, достаточно близкую к полосе Пг. Близость П* и Пг понимается в следующем смысле: граница области П* покрывается системой круговых окрестностей точек границы П г достаточно малого радиуса.

2. Отображение z = /*(№) получаем как композицию следующих отображений:

а) полосы П № на единичный круг

Ещ = (щ: щ < 1}:

щ = щ(т^) = Ш(р- 2И) (2)

(с граничным соответствием щ(±да) = ±1);

б) области В*т, Вт с Ещ, - образа Вт при отображении (2) на круг Ео:

#=Ф (щ) (3)

с условиями нормировки (обеспечивающими единственность отображения) Ф(щ2) = 0, Ф'(щ1) > 0, где

щ1 - произвольно фиксированная точка области В*т;

в) дробно-линейного отображения

а^ + Ь

z=- * d

c* + d круга Ea на круг Eж

(4)

переводящего три граничные р- w0

точки * = ф(і), *—і = ф(— і), *0 = ф| th

E

2h

круга

являющиеся образами точек +да, -да, ^0 при

последовательных отображениях (2) и (3), соответственно в точки +1, -1, ж,, где ж> =г' sgn(Iш z0);

г) круга Еж на полосу П з :

з = з(ж) = h lni+ж р і — ж

(5)

(с граничным соответствием з(±і) = ±ж , з(±) = ±ihїї);

д) сдвига плоскости:

z = з + Rez0

(б)

її

Непосредственной проверкой убеждаемся, что результирующее отображение 7 = /*(—), осуществляемое как композиция отображений Вт —— Вт —— Е^ —— Е^ —— —>ПЧ —— П г указанных видов (2) - (6), удовлетворяет условиям

1Ш 4-ГтМ = ^ />0) = z0.

——•<»,—еВт а—

Для построения нормированного указанными выше условиями отображения Ф: Вт — Ео применяется

итерационный алгоритм [2, 3], основанный [4] на минимизации длины образа границы области при ото-

п к

бражении функцией о = Фп (а), Фп (а) = 2 Ьк щк,

к=1

Ь1 > 0 , с достаточно большим номером п .

На завершающем этапе построения отображения В*т — Е^, когда в качестве образа области В*т уже

получена область, близкая к единичному кругу, и последующие шаги итерации не приводят к повышению точности отображения, бывает полезно использовать прием улучшения отображения, основанный на вариационном методе [5]. Согласно этому методу, для функции х :1й(х) — Е^ (у- «звездный» относительно начала контур, близкий к единичной окружности /гЕ£ ) при достаточно большом номере N выполняется

Х(а) = (і + Л)И)-а + 2 (4 — іИк)а

к=і

2п

к+і

(?)

1 2п

где Хк = — J(1 -1 со (в) |)cosкв dв , п о

1 2п

/ик =—J (1 — | о (в) |) sin к ed в, о(в) - аффикс

точ-

ки на контуре у, имеющей аргумент, равный в .

3. Пусть а}- (у = 1,...,т), |а;| = 1 - образ вершины Ау полигона Вт при отображении Вт — Еж. Согласно теории Шварца-Кристоффеля [5], для функции z = gm (ж), отображающей круг Еж на полигон Вт с

условиями gm (ау ) = Ау (у = 1,...,т) , gm (±1) = ±да, gm (ж)) = — 0, имеем

ж m л —і d r

gm (ж) = w0 + Сі -Ш (r — aj )J ---------------------------------2

ж j=і i — r

(S)

Здесь л j р - внутренний угол полигона Bm при вершине Aj.

Подбирая значение постоянной C1 так, чтобы отображение w = pm (z), где <pm (z) = gm (ж(?)), р(z - Rezo )

ж(?) = th было

2h

нормировано

как в

(і),

Сі = 2h р —і П (і — ak)

к=і

і—лк

Функция — = рт (z) с указанным значением С1 реализует искомое нормированное отображение

П 2 — Вт .

Выделяя особенность подынтегральной функции в (8) и интегрируя, получаем

Рт (^ = Z - Z0 + — 0 +

2к ^ ( т Л

+— J

р ж

D -П (r — a} )лJ —і — і

. J=

dr

і — r2

(і0)

m

где D = П (і — ak )і—лк

к=і

4. По описанному алгоритму разработаны две программы РЬСугс.ра5 и РЫНуйгоОашз.раз. Первая позволяет находить (с контролируемой степенью точности) образ любой точки — е Вт при отображении Вт на круг Еж и на полосу П z способом, описанным в

п.2. Программа предусматривает возможность наряду с итерационным режимом минимизации использовать «улучшающие» малые вариации границы по методу Лаврентьева. Комбинированная тактика, основанная на чередовании двух этих способов, позволяет достичь большей точности результирующего отображения, чем точность, обеспечиваемая каждым из них в отдельности.

Вторая программа реализует гидродинамически нормированное конформное отображение рт : П z — Вт с использованием формулы (10) при известных значениях постоянных а у, у = 1,..., т, полученных в результате работы первой программы.

Укажем на некоторые особенности работы программ РЬСугс, РЫНуйгоОашз.

Исходной информацией для первой программы служит массив прямоугольных координат вершин , Ат полигона Вт , т.е. ломаной,

Ai, A2,

, Ami , Ami +і,

(9)

получаем

аппроксимирующей границу области В. Для повышения точности отображения В*т — Е^ множество

вершин полигона Вт пополняется (в автоматическом режиме) «фиктивными» вершинами с углами при них, равными р , лежащими внутри звеньев граничной

ломаной полигона Вт . После отображения плоскости С — полигона Вт на плоскость Са по формуле (2)

*

множество граничных точек области Вт , являющихся образами вершин А1, А2,..., Ат, пополняется точками а = 1, а =-1, а также рядом точек единичной

окружности, близких к ±1 .

Дробно-линейное отображение Е^ — Е^ с указанным выше соответствием двух троек граничных

* Г 1 *

л, г а £+Ь

точек выполняется по формуле £ =---------- с посто-

* + d

* 1 * 7 * W

янными a , b , d , наиденными как решение системы уравнений

N

* ~ , * 7 * ~ а • £ + Ь - а = £ 1, а * •£-1 + Ь * - а * =-£-1, а * •£ + Ь* -г • sgn(z 0) • а * = г • sgn(Zo) •£

Отметим, что система уравнений (11) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда не выполняется хотя бы одно из равенств £1 =-£-1,

£0 =г • ^п( Z 0) £1

В случае выполнения обоих условий (12) дробно-линейное

сопрягающихся между собой и с прямой 1ш — = -1. При т = 62 полное число всех точек границы области (11) В, использованных в программе РЬСугс для построения прямого отображения В — Пг, взято равным 180 (остальные 118 «фиктивных» вершин поли

(і2)

1. D

В

-3 . о 1 О. о Г 3 . о

" ^ -1 . и

-л^тт

Рис. 2

отображение Е£ — Е^ сводится к повороту плоскости круга вокруг начала £ = е -'лщ£1 £.

Постоянные л у в формуле (8) вычисляются в программе автоматически. Интеграл в (10), понимаемый как интеграл по отрезку прямой, соединяющему точки £0 и £(z), заменой переменной по формуле

д = д^) = ж0 +1 • (ж (z) - ж0), 0 < t < 1, сводится к определенному интегралу по промежутку (0; 1) . Окончательно получаем:

2к

Рт (Z) = Z - Z0 + — 0 +--(ж (Z)-£0) X

р

* I

і f m —і ^

D -П(r (t) — a,)лJ —і — і

j=i

dt

і — r (t)

где величина ж(г) вычисляется по формуле (9). Для вычисления последнего интеграла (при каждом фиксированном г єП г) используется высокоточная квадратурная формула Гаусса с 96 узлами [6, гл. 25].

Опробование программ расчетами отображений разнообразных модельных областей показало достаточно хорошую эффективность и точность описанного метода.

Ниже приведен пример обсчета одной модели. Фрагмент заданной области В изображен на рис. 1. Были взяты значения к = 2; ^0 = і, г0 = і, щ1 = 0.

Граница области В была задана двумя точками прямой Іт V = 1 и 60 точками двух дуг синусоид, плавно

Рис. 1

гона, аппроксимирующего область B, сгенерированы программой автоматически). Совершено 6 шагов итераций по методу минимизации (с использованием ап-проксимационных многочленов Ф n (о) порядков n < 60) и две вариации границы по методу Лаврентьева (с числом членов N в формуле (7), не большим 70). Точность построенного отображения B ^П z характеризуется следующими данными: максимальное отклонение образов точек w границы области B от границы полосы Пz при Rew| < 10 составило 0,002.

Результат обратного отображения р: П z ^ B

приведен на рис. 2. «В накладку» с исходной областью B показан образ части полосы П z , соответствующей значениям |Re z| < 3,297 , а также сеть линий уровня Imz = C = const (C =-1; -2/3; -1/3; 0; 1/3;

2 / 3; 1) и ортогональных траекторий Re z = C = = const (C = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3). Невязка границы образа полосы П z при |Re z| > 3 составляет не более

0,015, в то время как при |Re z| > 3 невязка еще на порядок меньше. Значение постоянной С в формуле (8) получено равным 1,083 + 0,060 • i; эмпирически найдены следующие асимптотические значения: lim (р(z) - z) = -0,254 ,

Rez ^+да,| Jmz |<1

lim

(p(z) — z) = 0,2S7 .

Rez—-да,| /mz| <1

Программы РЬСугс, РЫНуйгоОашз могут найти применение при решении прикладных задач механики сплошной среды (теории упругости, гидро- и аэромеханики и др.), использующих технику конформных отображений.

Литература

1. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М., 1966.

2. Соболев В.В., Соболева Н.В. // Науч. труды РИАТМа. Вып. 2. Ростов н/Д, 1995. С. 21-37.

3. Соболев В.В., Соболева Н.В. Программа численного построения конформного отображения ограниченной односвязной жордановой области на единичный круг и обрат-

ного отображения / РГАСХМ. Ростов н/Д, 1997. Зарегист-рир. ГОФАП РФ (Москва, ВНТЦИ), № 50970000008, 22 с.

4. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.; Л., 1962.

5. ЛаврентьевМ.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М., 1965.

6. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовиц, И. Стриган М., 1979.

Ростовская государственная академия сельскохозяйственного машиностроения______________________18 марта 2003 г.