CC BY
32
У po6omi розглядаеться чисельний аналiз нестащонарних Hei3omepMi4Hux режимiв роботи багатониткових лтшних дтянок газотранспортног системи при рiзних режимах роботи затрног арматури для забезпечення адекватного моделювання цих режимiв в масштабi реального часу
Ключовi слова: затрна арматура, неста-щонарт неiзотермiчнi режими транспорту газу, багатонитковi лтшт дЫянки, мате-
матична модель, газотранспортна система □-□
В работе проводится численный анализ нестационарных неизотермических режимов работы многониточных линейных участков газотранспортной системы при различных режимах работы запорной арматуры для обеспечения адекватного моделирования этих режимов в масштабе реального времени
Ключевые слова: запорная арматура, нестационарные неизотермические режимы транспорта газа, многониточные линейные участки, математическая модель, газотранспортная система
□-□
There is numerical analysis of unstationary nonisothermal modes multithreads linear areas transmission system under different operating conditions of valves performed for adequate modeling of these modes in real time
Keywords: shutoff valves, nonstationary nonisothermal modes of gas transport, of multithreads linear sections, the mathematical model, the gas-transport system
УДК 004.942:621.6:622.691
численным анализ нестационарных
режимов работы многониточных линейных участков газотранспортной системы при различных режимах работы запорной арматуры
А.В. Каминская
Ассистент
Кафедра прикладной математики Харьковский национальный университет радиоэлектроники пр. Ленина, 14, Харьков, Украина, 61166 Контактный тел.: (057) 702-14-36
1. Введение
Газотранспортная система (ГТС) Украины одна из крупнейших газотранспортных систем в Европе. ГТС представляет собой сложные разветвленные пространственно распределенные длинные многониточные линейные участки (МЛУ) ГТС с огромным количеством технологических объектов. Основная проблема моделирования таких систем сопряжена с большим количеством вычислений и трудностью получения адекватных распределений параметров газового потока по всей длине МЛУ ГТС за приемлемое время. Необходимость решения данной проблемы не вызывает сомнений и является актуальной задачей. Это можно осуществить за счет адекватного математического моделирования ННРР МЛУ ГТС в масштабе реального времени.
В связи с этим целью работы является получение параметров газового потока с высокой степенью точности и скоростью расчетов при математическом моделировании ННРР МЛУ ГТС с учетом времени
полного и мгновенного закрытия-открытия запорной арматуры (краны, вентили, задвижки и т.д.) в масштабе реального времени и численный анализ результатов расчета [4].
В соответствии с этой целью в работе ставятся следующие задачи: проведение численного анализа ННРР МЛУ ГТС с учетом времени полного и мгновенного закрытия-открытия запорной арматуры и выделение ситуаций наилучшего использования моделей мгновенного и динамического закрытия-открытия запорной арматуры без потери точности получаемых результатов расчета ННРР МЛУ ГТС.
2. Структура и математическая модель МЛУ ГТС
Математической моделью структуры МЛУ ГТС является ориентированный граф G(V, М), где V -множество узлов графа, М - множество дуг графа. Узлы графа представляют собой места соединения технологических элементов между собой. Мно-
жество дуг М = М1 и М2, где М1 - множество дуг графа соответствующих УТ, М2 - множество дуг графа соответствующих кранам. Множество узлов V = V! и V, и V, и V, и V,, где V1,V2, V,, V,, V, - множество входов МЛУ, множество промежуточных узлов, множество выходов ГТС, множество входов и выходов всех кранов из М2.
В качестве математической модели ННРТГ по каждому участку трубопровода, представляющему собой цилиндрическую трубу постоянного диаметра, взята квазилинейная система дифференциальных уравнений в частных производных, полученная из общих законов механики сплошной среды - законы сохранения: количества движения (1), неразрывности потока (2), энергии (3). (индекс УТ для удобства опущен) [1, 2]:
ЭШ .. ^Ш2. ЭР
-+ (1 -аЗТ—— +
Э^ Р2 УЭх
+2о5ТШ ЭШ + р$тШ® + = 0,
Р Эх Р aSТdx
ЭР ЭШ .
— + aSТ-= 0
Эt Эх
ЭТ Ш ЭТ Т2 ЭШ
— ■+ ат8Т—— + «8(1-1)——+ Э1 ' Р Эх У 7 Р Эх
4К, ,ЧТ.„ „ . , +—(Т- 1)—(Т - Тр) + е(у-1)--= 0,
0 V* ^ гр7 бw ^ р ¿х -
(1)
(2)
(3)
zgR Ха Ср
где а = , В = —, у =---
^ 2^ Ср - zgR
, ^ - временная
координата (с), х - пространственная координата (м), Х - коэффициент гидравлического сопротивления, О - диаметр трубы (м), К - коэффициент теплопередачи от трубы к грунту (Вт/(м2 ■ К)), Тгр - температура грунта (К), Ь - глубина залегания трубы (м), g - ускорение свободного падения (м/с2), S - площадь поперечного сечения трубы (м2), Ср - удельная теплоемкость газа (Дж/(кг ■ К)), z - коэффициент сжимаемости газа, Ш(х^), Т(х^), Р(х^) - удельный массовый расход (кг/(м2с)) , температура (К), давление (Па) газа.
Систему уравнений (1) - (3) для j-го УТ (индекс УТ опущен) запишем в матричной форме:
^ + ВФ , Э1 Эх
(4)
где В =
Ф =
Ш
2aТS— Р
аТS
Т2
а(у- 1^—
-РТ8
1 -аТS 0 0
Ш2
0 0
Ш
Р а Т8 ¿х 0
- 4К(Т- 1)Т(т - тр) - g(l- 1)™^
0 и ^ ^ ^ ^ р ¿х
ф = (Ш, Р, Т).
В качестве ММ линейного крана при переводе всех единиц параметров в систему единиц СИ, предлагается выбрать модель, представляющую собой уравнения
сохранения энергии и местных потерь давления, описывающие режимов работы МЛУ ГТС через кран, и имеет следующий вид [3]:
Р2 = Р1Ч
2F22 Р2
(5)
Т2 = Т1 - О,(Р1 -Р2), (6)
где Р1, Р2, - давление (Па) на входе и выходе крана соответственно, £ - коэффициент местного гидравлического сопротивления, z2 - коэффициент сжимаемости на выходе крана, G1 - массовый расход газа (кг/с) на входе крана, О; - коэффициент Джоуля-Томсона (К/Па), F2 - площадь сечения трубы за краном (м2), Ть Е2, - температура (К) на входе и выходе крана соответственно.
Для т-го промежуточного узла условия согласования параметров газового потока (для массового расхода, давления и температуры соответственно) принимают следующий вид:
X = £ ^(х+ ¿), т eV2, (7)
jеVm iеV¿
Р^) = Р](х++,1) = Р,(х+ ,1), ]еу;, 1 еУт , (8)
X ((^(х++ *))+■^(х++ ,t)) + Х((^(х+ ¿))- Т;(х+ ,t)) =
jevm
=Тт ■ (х ((^(х++«у+х (G(x+,t))-),
(9)
кроме того,
если Gj(x++,t) <0, то Тт(х++ ,t) = Т^) , j е^,
если Gi(x+ ,t)>0, то Т;т(х+ ,t) = Т™^) , 1 еVm,
+ |а, а > 0 |-а, а < 0 + ++
где (а) = < , (а) = < , х , х - началь-
У 7 |0, а<0 4 7 |0, а>0 ная и конечная координата соответствующего участка; V - множество промежуточных узлов сети, -
множество индексов дуг, входящих и выходящих из т-го узла сети, G(x,t), Т(х^), P(x,t) - массовый рас-ход(кг/с), давление (Па) и температура (К) для j-го УТ, Р^ОО - давление газа в т-м узле (Па), Т^рт(t) - средняя температура вытекающего из т-го узла газа (К).
Структура модели крана представлена в виде двухполюсника, имеющего один вход и один выход. Условия согласования в т-м узле (т еV3 ), являющимся входом ^го крана, ( f еМ2 ) имеют следующий вид:
Р(х++,0 = РН(0 , Ш(х++,^ = Т(х++,0 = ТH(t), (10)
где х++ - конечная координата соответствующего участка, прилегающего к входу ^го крана, S - площадь поперечного сечения трубы соответствующего участка, прилегающего к входу ^го крана (м2), Ш(х^), Р(х^), Т(x,t) - удельный массовый расход (кг/(с ■ м2)), давление (Па) и температура (К) газа участка, прилегающего к входу ^го крана, GKP(t) - массовый расход газа через ^й кран.
Условия согласования в т-м узле, ( т е V, ), являющимся выходом ^го крана, ( f е М2 ) имеют следующий вид:
Р(х+ ¿) = РКК(*> , Ш(х+ ,t)S = GKp(t), Т(х+,t) = Т]^) , (11)
где х+ - начальная координата соответствующего участка, прилегающего к выходу ^го крана, S - пло-
щадь поперечного сечения трубы соответствующего участка, прилегающего к выходу ^го крана (м2), W(x,t), P(x,t), T(x,t) - удельный массовый расход (кг,(с ■ м2)) давление (Па) и температура (К) газа участка, прилегающего к выходу ^го крана.
Таким образом, общая математическая модель ННРР МЛУ ГТС представляет собой взаимосвязанные системы дифференциальных уравнений в частных производных (1)-(3), соответствующие 1-му УТ, и системы нелинейных алгебраических уравнений (5)-(6), соответствующих f-му крану, которые связаны между собой системой нелинейных алгебраических уравнений (7)-(11), соответствующих условиям согласования параметров газового потока в узлах графа.
Необходимо задать граничные условия для узлов, соответствующих входам и выходам ЛУ ММГ. Граничные узлы 1-го типа это узлы, для которых задано давление, как функция времени и 2-го типа - задан расход, как функция времени.
Граничные условия для т-го выходного и входного узлов имеют вид:
Gym(t) = Gm(t) (узел 11-го типа) или
Р™^) = Рт(1) (узел 1-го типа),
кроме того, на входах задана температура поступающего газа Т™^) = Tm(t) .
Задается также начальное распределение расходов, давлений и температур для ЛУ:
^(х, °) = ^ 0) = РЧхД 0)=Т^Х
Эу
Эф
к,г-1,л
8ф0к
Эф
эХ
Ф1
к
-Ф0
Ах
,п = 0,
кк Фп+1 -ф„-1
к
Ф N "
2Ах
к
■Ф N
,п = 1,К - 1,
(13)
1,п = N.
Ах
С учетом (12) - (13) система уравнений для 1-го участка трубопровода принимает вид:
3 тк 1 С>к„к . 1 ок,.^.^ . 2 „-к-1 1 тк-2
тттгФо В°Фо + ВоФ1=ф(! + Т7Ко -^Т-ф° , 2Аt Ах Ах Аt 2Аt
1 Г>к„к 3 „к . 1 ок„Д
- 2аХВОФ1-1 + 2АГ фО + 2АХВпФп+1 = 1
=Фк+—ф1 —ф1 ,п=1,^ -1, п Аг п 2Аг 1
3 о 1 т-»0 0 1 т-»0 0 л1 2 о-1 1 о-2
—Фт^ +—BN — BN 1 =Ф N +—Фт^г1--Фт^г2-
2АГ 1 Ах Ах АГ т 2АГ т
Таким образом, получили систему нелинейных алгебраических уравнений, которая содержит 3(Т+1) уравнение и 3(Т+1) переменных. Данная система линеаризуется методом Ньютона.
Полученная линейная система для к-го временного слоя, г-ой итерации и 1-го УТ записывается в итерационном виде:
Ах
где х1 е[х +,х++ ], V] е
1
--— В0,г-1,15ф11'г11 +
2Ах п Тп-1
Эу
Эф
к,г-1,1
+2АхВ°к,г-1,18Ф°к+г11=у к,г-1,1,п=1,Т] -1, (14)
к
п
п
3. метод решения
Эу
Эф
к,г-1,1
8фТ
Для получения численного решения, система (4) аппроксимируется разностными уравнениями с использованием неявной конечно-разностной схемы, определенной на пятиточечном шаблоне (с разностными операторами второго порядка аппроксимации по пространственной и временной переменным), рис. 1. [1].
k--
^1 --
п-1
1
Рис. 1. Пятиточечный шаблон
Устанавливаем равномерную сетку с постоянными шагами по пространственной и временной переменным и систему дифференциальных уравнений аппроксимируем следующими соотношениями [1]:
Эф
эГ
3ф0 - 4фк-
-Фк-2
2М
,п = 0,Т
(12)
1 Вог
4,18фт:-1=у т:-1,1
где 8ф°,г,1,_ ,8фТг' - векторы поправок к неизвестным,
у °к,г
, у т:
векторы невязок в соответствующих
пк,г-1,1
точках пространства,
Эу к,г-1,1 Эу
Эф 0 Эф
матрицы
Якоби в соответствующих точках пространства. Нахождение векторов невязок и матриц Якоби в соответствующих точках пространства подробно изложено
в[1].
Условия согласования (7)-(8) линеаризуем: X ^№;г,1 = £ т еV2
1еУ,+ 1еУт
SP]0,ГJ = SP1k,г,1, 1 е V, 1 е V!- .
Совместный расчет режимов транспорта газа УТ через краны осуществляем следующим способом. Для всех узлов, являющимися выходами из кранов, соответствующие уравнения для определения невязок в 0 точке по УТ заменяются уравнениями невязок модели крана (индекс крана для удобства опущен).
кг] _ рк,ч _ ркг] Тк' ']2К '] /р кг] )2
т 0,2 кр Н ГК 2(рк' Г'])2 рк'Г,] ^ Н )'
Т0,3 кр 1Ы 1К ГК ) .
N
г
п
к
При этом условия согласования для ^го крана также как и условия согласования (7)-(8) линеаризуем.
Расчетную формулу коэффициента гидравлического сопротивления для внезапного расширения сечения трубы [3]: 1.1 - п
С = (
п(0.67 - 0.57п)
-1)2
а для внезапного уменьшения трубы:
е=( 1Л-п—1)2.
(0.67 - 0.57п) 7
[Г
где п = — , F2,F3 - площади поперечных сечений \Б2
(м2) за краном и крана соответственно.
Причем изменение сечения крана может моделироваться как с мгновенным, так и постепенным изменением площади поперечного сечения крана в течение времени t.
В результате получаем переопределенную систему линейных алгебраических уравнений. Исключая подобные слагаемые из линейной системы уравнений (14) за счет линеаризованных условий согласования, получаем модифицированную линейную систему уравнений, которая решается относительно векторов поправок к неизвестным методом Гаусса с выбором главного элемента.
На каждом шаге итерационного процесса после нахождения параметров газового потока на временном слое в соответствии с формулой (9) вычисляем среднюю температуру газа в узлах МЛУ ГТС.
температурой Т=30,62оС и суммарным коммерческим расходом природного газа равным 265 млн.м3 в сут.
Таблица 1
Основные параметры, их обозначения и значения
Обозначение Численная величина Название параметра
Характеристики УТ
1400 Внутренние диаметры труб, мм
Ь 10 Толщина стенок, мм
Ср 0,655952 Удельная теплоемкость, ккал/(кг ■ оС)
К 1,4 Коэффициент теплопередачи от трубы к грунту, ккал/(м2 ■ ч ■ оС) ■
А 0,604707 Относительная плотность газа по воздуху
10 Температура грунта на глубине заложения газопровода, оС
В тестовом примере все краны полностью открыты. Кран V_36 в первом случае, линейно закрывался в течение 2-х минут через 20 мин. после начала расчета, а во втором случае закрывался мгновенно через 20 мин. после начала расчета. График зависимости площади сечения крана при его закрытии от времени представлен на рис. 3.
Граничные условия представлены в таблице 2.
Моделирование динамики закрытия крана происходит при помощи изменения площади сечения крана во времени соответствующий методу, изложенному в п.3, рис. 3.
4. Пример
Многочисленные результаты экспериментов, проведенных на разветвленных МЛУ ГТС позволили обосновать ситуации применимости методов изменения площади поперечного сечения крана. Приведем один из тестовых примеров.
Рассмотрим пример расчета ННРР МЛУ ГТС через запорную арматуру с учетом влияния мгновенного и постепенного закрытия-открытия запорной арматуры. Расчетная схема рассматриваемой МЛУ ГТС представлена на рис. 2.
Рис. 2. Расчетная схема МЛУ ГТС
В качестве начального условия принимаем стационарное течение газа с давлением Р=79,54 атм.,
(-4
а з 1.600
I ¡!- 1:500
° | 0.300
« I °-400
| | о.ооо
а 15 16 17 13 19 20 21 22 2Ъ 24 25
й „
Время, мин.
-3 акрьггне У_36
Рис. 3. График зависимости площади сечения крана при его закрытии от времени
Расчет проводился с шагом разностной сетки по времени 6 сек. и шагом по пространству равным 10 км.
В результате расчета получаем распределение параметров газового потока по рассматриваемой МЛУ ГТС. На рис. 4-5 представлены графики невязок давлений для 3-й нитки (на которой расположен кран ^36 ) в местах расположения крановых площадок, и для 4-й нитки. Максимальная разница давлений для соседних крановых площадок различаются порядка 0,8 атм., что не превышает погрешности датчиков. При этом при использовании модели мгновенного закрытия запорной арматуры максимальное отклонение наблюдается на соседних крановых площадках в течении нескольких минут после закрытия крана. Следовательно, моделирование крана по модели мгновенного закрытия запорной арматуры не сказывается на точности результатов, но позволяет значительно сократить время расчета, за счет увеличения шага конечно-разностной сетки по временной переменной.
Системы управления
Таблица 2
Граничные условия
Узлы сети Значения в узлах сети Узлы сети Значения в узлах сети
4 Р4(^)=79.54МПа, Т4(^)=30.62°С 12 q12(t)=55 млн.м3 в сут., Г > 0 мин.
5 Р5(^)=79.54МПа, Т5(^=30.62оС 13 q13(t)=60 млн.м3 в сут., Г > 0 мин.
6 Р6(^)=79.54МПа, Т6(^=30.62оС 14 q14(t)=65 млн.м3 в сут., Г > 0 мин.
7 Р7(^)=79.54МПа, Т7(^)=30.62оС 15 q15(t)=60 млн.м3 в сут., Г > 0 мин.
19 q19(t)=10 млн.м3 в сут., Г > 0 мин.
1
J ол и_ 0 .6
JH
К 0.4
S 0.2
Я О
я-ол
К -°-5 &-0Я
г* Л 3"!
н Л Г "
j 1 i 1 Ь 1 b а) i- 1 2 ) 3 Ь 3 i 3 b 4 4 Ь 4 b ь iL Ь 4 Ь ! U
\ /
Время, мин.
■ Невязки по давл енню е 22 узле -Невязки по давленнюЕ23 узле "Невязки по давлению в 14 узле
Рис. 4. График невязок давлений для нитки 3
Рис. 5. График невязок давлений для нитки 4
5. вывод
Новизна - впервые, проведен численный анализ ННРР МЛУ ГТС с учетом времени полного и мгновенного закрытия-открытия запорной арматуры, при использовании математической модели ННРР МЛУ ГТС, включающей в себя взаимосвязанные системы дифференциальных уравнений в частных производных, нелинейные алгебраические системы уравнений, описывающие течение газа через запорную арматуру, нелинейные алгебраические системы уравнений,
описывающие условия согласования параметров газового потока в узлах графа.
Таким образом, проведенные экспериментальные исследования показали, что мгновенное изменение площади поперечного сечения кранов при их закрытии-открытии позволит в режиме реального времени увеличить скорость расчета ННРР МЛУ ГТС без потери точности результатов вычислений параметров газового потока.
Модель с учетом динамики постепенного изменения площади поперечного сечения кранов при их закрытии-открытии можно применять при моделировании и анализе аварийных ситуаций, анализе переходных процессов ННРР МЛУ ГТС, связанных с нештатным закрытием-открытием запорной арматуры и прочих нештатных ситуация, в которых требуется оценить параметры газового потока.
Практическая значимость - проведенный численный анализ ННРР МЛУ ГТС с учетом моделей мгновенного и динамического закрытия-открытия запорной арматуры позволил выделить ситуации, при которых математическое моделирование таких режимов работы сложных разветвленных пространственно распределенные длинных МЛУ ГТС не снижает скорости расчетов без потери их точности. А это позволит прогнозировать различные переходные процессы течения природного газа в масштабе реального времени и тем самым избежать возможных аварийных ситуаций.
Литература
1. Тевяшев А.Д., Гусарова И.Г., Каминская А.В. Математическая модель и метод расчета нестационарных режимов в линейных участках магистральных газопроводах. // Научно-технический журнал «Радиоэлектроника и информатика». - 2007. - №2(37). - С. 144-150.
2. Боярская Ю.В., Гусарова И.Г., Каминская А.В., Тевяшев А.Д. Учет моделей технологического оборудования при расчете неустановившихся режимов транспорта газа в многониточном магистральном газопроводе // Вестник Харьковского национального университета. Серия «Математическое моделирование. Информационные технологии. Автоматизированные системы управления». Выпуск 11. Сборник научных трудов. - Харьков, 2009. - № 847. - С.25-39.
3. Сарданашвили С.А. Расчетные методы и алгоритмы (трубопроводный транспорт газа). - М.: ФГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, 2005, - 577 с.
4. Селезнев В.Е., Алешин В.В., Прялов С.Н. Математическое моделирование трубопроводных сетей и систем каналов: методы, модели и алгоритмы / Под ред. В.Е. Селезнева. - М.: МАКС Пресс, 2007. - 695 с.
