CC BY
13
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2022. Т. 26, № 4. С. 694-714_
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https://doi.org/10.14498/vsgtu1957
EDN: DOBLOB
УДК 539.3
Численный анализ нелинейных колебаний пластины на вязкоупругом основании под действием подвижной осциллирующей нагрузки на основе моделей с дробными производными
А. И. Круссер1, М. В. Шитикова1'2
1 Воронежский государственный технический университет, Россия, 394006, Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84.
2 Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, Россия, 129337, Москва, Ярославское ш., 26.
Аннотация
Цель. Исследуются нелинейные колебания упругой шарнирно опертой пластины на вязкоупругом основании под действием подвижной осциллирующей нагрузки в случае внутреннего резонанса 1:1, сопровождаемого внешним резонансом. Свойства вязкоупругого основания задаются с помощью обобщенной модели Фусса-Винклера, в которой сила демпфирования описывается моделью стандартного линейного твердого тела с дробной производной Римана-Лиувилля. Внешняя нагрузка задается при помощи линейного вязкоупругого осциллятора на основе модели Кельвина-Фойгта с дробной производной в случае, когда вязкость осциллятора считается малой величиной. Динамическое поведение пластины описывается системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по времени относительно обобщенных перемещений. Методы. Для решения полученной системы уравнений используется метод многих временных масштабов в сочетании с методом разложения дробной производной в ряд Тейлора.
Механика деформируемого твердого тела Научная статья
© Коллектив авторов, 2022 © СамГТУ, 2022 (составление, дизайн, макет)
3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования
Круссер А. И., Шитикова М. В. Численный анализ нелинейных колебаний пластины на вязкоупругом основании под действием подвижной осциллирующей нагрузки на основе моделей с дробными производными // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2022. Т. 26, № 4. С. 694-714. EDN: DOBLOB. DOI: 10.14498/vsgtu1957. Сведения об авторах
Анастасия Игоревна Круссер Ä https://orcid.org/0000-0001-6203-2495 аспирант; младший научный сотрудник; Международный научный центр по фундаментальным исследованиям в области естественных и строительных наук им. Заслуженного деятеля науки РФ, профессора Россихина Ю.А.; e-mail: an.krusser@yandex.ru Марина Вячеславовна Шитикова О) https://orcid.org/0000-0003-2186-1881 доктор физико-математических наук, профессор; главный научный сотрудник; Международный научный центр по фундаментальным исследованиям в области естественных и строительных наук им. Заслуженного деятеля науки РФ, профессора Россихи-на Ю.А.1; профессор; каф. строительной и теоретической механики2; e-mail: mvs@vgasu.vrn.ru
Результаты. Получены разрешающие уравнения для определения нелинейных амплитуд и фаз вынужденных колебаний, решение которых получено численно. Данная система уравнений позволяет управлять не только демпфирующими свойствами окружающей среды и основания за счет изменения параметров дробности, но также регулировать параметры демпфирования внешней нагрузки. Выводы. Численный анализ показал, что в рассматриваемой системе «пластина на вязкоупругом основании + подвижная осциллирующая нагрузка» происходит перекачка энергии между взаимодействующими модами колебаний. Представлено сравнение результатов численных исследований для различных значений внешней нагрузки, а также показана зависимость амплитуд нелинейных колебаний от значений параметров дробности окружающей среды и основания.
Ключевые слова: пластинка на вязкоупругом основании, подвижная осциллирующая нагрузка, дробная производная, метод многих временных масштабов, внутренний и внешний резонанс.
Получение: 21 сентября 2022 г. / Исправление: 18 октября 2022 г. / Принятие: 21 октября 2022 г. / Публикация онлайн: 7 декабря 2022 г.
1. Введение. В настоящее время возрос интерес к анализу пластинок и балок, опирающихся на вязкоупругое основание, при воздействии различных видов динамических нагрузок. Подвижные нагрузки оказывают большое влияние на напряженно-деформированное состояние различных твердых тел и конструкций, вызывая их интенсивные колебания даже при небольших скоростях. Особый практический интерес представляют задачи взаимодействия автомобиля с дорожным полотном или самолета с покрытием взлетно-посадочной полосы. Для моделирования такой системы необходимо учитывать инерционные свойства и жесткостные характеристики движущегося объекта, т.е. представить транспортное средство в виде движущегося осциллятора.
Обширные исследования в области колебаний балок и пластин при воздействии подвижных нагрузок обобщены в обзорных работах [1—3]. Динамическое поведение балок на вязкоупругом основании под действием подвижной осциллирующей нагрузки исследовано в [4-9], где подвижная нагрузка представлялась в виде подрессоренной массы на пружинке [4, 5] или в виде вязкоупругого осциллятора по модели Кельвина—Фойгта [6-9].
Начиная с 1971 года, когда вышла в свет теперь уже классическая работа [10], в которой впервые демпфирующие свойства одномассовой механической системы было предложено представить в виде модели линейного стандартного тела с дробными производными, для описания свойств вязко-упругих осцилляторов широко используются различные модели с дробными производными и другими операторами дробного порядка [11-16].
Исследование влияния реакции основания на динамическое поведение конструкций давно привлекает внимание исследователей. Как известно, первой попыткой описать реакцию основания была модель, согласно которой основание считается упругим [3,17]. В литературе встречается несколько названий данной модели, согласно которой возникающие деформации в грунтовом основании пропорциональны приложенному напряжению. В работах западных авторов модель упругого основания называют моделью Винклера, пер-
вое упоминание о которой относится к 1867 г. [18] и которая впоследствии была развита H. Zimmermann^M [19]. Однако ретроспективный анализ показал, что модель Винклера впервые была предложена русским академиком Н. И. Фуссом в 1801 г. в работе о движении повозок по дороге [20], в которой было выдвинуто положение о прямой пропорциональности давления местной осадке грунта [21,22]. Таким образом, в русскоязычной литературе упругую модель основания принято называть моделью Фусса—Винклера.
Для описания вязкоупругого поведения материалов оснований к упругой модели Фусса—Винклера был добавлен вязкий элемент (или элементы), в результате чего было предложено несколько вязкоупругих моделей основания, обзор которых представлен в [3]. В настоящее время все большее распространение получают модели вязкоупругих оснований с использованием дробных производных, которые показали преимущества при описании наследственного поведения материалов с длительной памятью [23].
Задачи, посвященные анализу колебаний пластин на вязкоупругом основании, подверженных воздействию подвижной подрессоренной нагрузки, рассмотрены в работах [24-27]. Так, M. Taheri и E. Ting [24] использовали функцию Грина для анализа поведения упругих пластин на линейном вязкоупругом основании по модели Кельвина—Фойгта целого порядка с произвольными граничными условиями под действием подвижных масс, опирающихся на пластину через систему пружины и амортизатора, соединенных параллельно. M. Zaman и др. [25] моделировали бетонные покрытия, которые подвержены воздействию движущихся авиационных нагрузок, с помощью ряда толстых пластинчатых элементов, поддерживаемых дискретными пружинами и амортизаторами в узловых точках, представляющих вязкоупругое основание по модели Кельвина—Фойгта. Динамическое взаимодействие между самолетом и покрытием учитывалось путем идеализации нагрузки от самолета массами, поддерживаемыми системой линейной рессорно-поршневой подвески и имеющими заданную начальную горизонтальную скорость и ускорение. W. Yang и др. [26] изучали влияние действия сцепления на взаимодействие автомобиля с дорогой. Автомобиль моделировался как масса, опирающаяся на систему подвески из четырех осцилляторов, соединенных с колесами, а дорожное покрытие моделировалось как двухслойная прямоугольная тонкая пластина на линейном вязкоупругом основании, описываемом моделью Кельвина— Фойгта. Этот подход был расширен в [27] для случая нелинейной жесткости подвески, нелинейного демпфирования подвески и жесткости шин, а также нелинейной модели основания.
Задача о колебаниях пластин также была обобщена для случая вязко-упругого материала пластинки. Для описания вязкоупругих свойств материала пластин часто используют модель Кельвина—Фойгта [28] или модель стандартного линейного тела [29].
Согласно проведенному обзору литературы, в большинстве работ анализ колебаний пластин на вязкоупругих основаниях проводился в линейной постановке задачи. Тем не менее имеются работы, в которых рассматриваются нелинейные колебания пластин на основании. Так, динамическое поведение прямоугольной нелинейной пластины, опирающейся на вязкоупругое основание, особенности демпфирования которого описываются моделью Кельвина— Фойгта с дробной производной, впервые исследовалось в работе [30]. Модель
стандартного линейного твердого тела с дробной производной применялась для определения вязкоупругих свойств основания для случаев свободных колебаний пластины [31] и вынужденных колебаний при воздействии подвижной гармонической нагрузки [32].
В настоящей работе исследуются нелинейные колебания упругой шарнир-но опертой по контуру пластины под действием подвижной осциллирующей нагрузки, опирающейся на вязкоупругое основание на основе обобщенной модели Фусса—Винклера для случая внутреннего резонанса 1:1, сопровождаемого внешним резонансом. При этом вязкоупругие свойства основания, подвижной нагрузки и демпфирующие свойства окружающей среды, в которой происходят колебания, описываются моделями с дробными производными.
2. Постановка задачи. Рассмотрим нелинейные колебания шарнирно опертой по контуру упругой пластины в вязкоупругой среде на вязкоупру-гом основании под действием подвижной подрессоренной нагрузки, которая моделируется вязкоупругим осциллятором Кельвина—Фойгта с дробной производной (рис. 1). Уравнения движения системы «пластина + вязкоупругое основание» можно получить путем обобщения уравнений фон Кармана [33] за счет включения слагаемых, описывающих реакцию основания и силу сопротивления окружающей среды, а также воздействие внешней осциллирующей нагрузки:
, d2w d2w д2* d2w д2* d2w д2* DV4W + phd— - — -f - — —| +2 f
дЬ2 дх2 ду2 ду2 дх2 дхду дхду
= -т{з + 0)*(х - ¡(Шу - 0.56) — ^ -Р2, (1)
V4 Ен '( д™ д2ш д2ш' (2)
Р У V дхду ) дх2 ду2\'
где ш = ш(х,у, ¿) —поперечный прогиб пластины; р — функция напряжений Эйри; И = ЕЪ3/[12(1 — и2)] —цилиндрическая жесткость; Е, и, р — модуль упругости, коэффициент Пуассона и плотность материала пластинки соответственно; Ъ — толщина; ¿ — время; ¿ — дельта-функция Дирака; т — масса осциллятора; = ( ) — перемещение осциллятора; — ускорение свободного падения; ¡'(Ь) —функция, определяющая положение подрессоренной нагрузки. Значения функции /(Ь) удовлетворяют условию 0 ^ /(Ь ) ^а, ив случае движения с постоянной скоростью /(Ь) = V¿; а и Ь — линейные размеры пластинки (см. рис. 1).
Уравнение движения осциллятора получено на основе выражения, представленного в [24], при помощи замены производной целого порядка на производную дробного порядка:
д2д /й/й,ТГ . , . . .
т~о2 +С\йй;) д + кд = С\йй) Ч + к'ш^' ¿) —тд, (3)
где к — жесткость пружины, с = кта — коэффициент демпфирования амортизатора, та — время ретардации, 0 ^ [ ^ 1 — порядок дробной производной осциллятора, ¿) —прогиб пластины в точке приложения осциллирую-
щей нагрузки.
Рис. 1. Пластинка на вязкоупругом основании под действием подвижной осциллирующей
нагрузки на основе модели с дробной производной [Figure 1. A plate on a viscoelastic foundation under the action of moving oscillator based on
models with fractional derivatives]
В уравнении движения (1) = А-ш — реакция вязкоупругого основания; = Еот^1 ^о+ш — сила сопротивления окружающей среды, которая зависит от времени ретардации п и релаксированного модуля упругости Ео и описывается вязкоупругой моделью Кельвина—Фойгта с дробной производной Римана—Лиувилля Д0+ порядка 71 (0 <71 ^ 1) [14,34]
»0+
x(t) = si
d x(t - t')dt'
dt Jo Г(1 -7)t't'
0 <7 = 71 ^ 1,
(4)
где Г(1 — 7) — гамма-функция.
Предположим, следуя [35], что оператор податливости вязкоупругого основания описывается моделью стандартного линейного твердого тела с дробной производной Римана—Лиувилля Д0+ (4) для случая, когда 7 = 72:
А = АС
1-v,
1
+ т7»72 1 + '2 »0+
где —коэффициент мгновенной податливости основания; 1>е = ААА^,1; А А = — А0 — величина, характеризующая уменьшение коэффициента податливости от его нерелаксированного значения до релаксированного; 2 — время релаксации вязкоупругого основания.
К системе уравнений (1)—(3) необходимо добавить граничные условия для шарнирно опертой пластинки:
д 2w
w\
w\
х=0
у=0
д x2 д2 w
= 0, w\ х=0 1х=а
д2 w
д 2
у=0
0, w\
у=
дх2
д2 w
ду2
=
и начальные условия для осциллятора
q(0) = qo] q(0) = 0.
х=а
С целью выявления возможности наступления внутреннего резонанса при нелинейных колебаниях пластинки, лежащей на вязкоупругом основании, и его последующего анализа будем полагать, что в процессе колебаний доминируют две собственные моды колебаний с номерами т\П\ и т2«2- Тогда прогиб пластинки можно представить в следующем виде [30,31]:
. -mix . -кщу . пт2х . КП2У
W(X, у, t) = X\(t) sin-sin —---+ X2(t) sin-sin —-— =
a b a b
= Xi(t)Wmrni (x, y) +X2(t)Wm2n2 (x, y), (6)
где Xi(t) и WmiUi(x, у) —обобщенные перемещения и собственные функции, i = 1, 2.
Подставляя решение (6) в уравнение (2) с учетом граничных условий (5) и интегрируя на отрезках 0 ^ x ^ a и 0 Ь, с учетом свойства орто-
гональности собственных функций получим функцию напряжений, которая представлена для шарнирно опертой по контуру пластины в работе [32].
При выводе дифференциальных уравнений следует учитывать фильтрующее свойство дельта-функции
JJ S(x - xo)5(y - yo)f(x, у) dxdy = f(xo, yo),
в результате чего слагаемое, описывающее воздействие внешней нагрузки, примет вид
■nmiX \ . [кщу ( d2q \ . /-KmiVt\ . (кщ \
= m{9 + sin{^) si4^J• (7)
I 92q \ fi\. Tr , г, f-miX \ /кПгу \ , ,
m[g + ~q£2J "(x - Vt)o(y - b/2) sin^—a—J siny—^— jdxdy =
Подставляя предполагаемую функцию прогиба пластинки (6) и функцию напряжений в уравнение движения пластинки на вязкоупругом основании (1) и интегрируя на отрезках 0 ^ х ^ а и 0 ^у^ Ь, с учетом (7) приходим к следующей системе нелинейных дифференциальных уравнений относительно обобщенных перемещений пластины:
¡¿\ + (Ъ? + ^)х? + а?х\ + а2х1х2 + — ^ 4 (>1 +
аЬрЪ V 2 ) 11 у 7
X2 + + ~~ff)x2 + a3xl + a.4X2x\ + D0+X2 - 4 (T2¿2 )X2 +
4m(g + q) . (КП2 \ . , Л
+--V-—- sin- sinwf9í = 0, (9)
abph \ 2 ) f2 ' v 7
где а.% — коэффициенты, зависящие от номеров мод колебаний и геометрии пластинки [32], шд = ктгУ/а — круговые частоты, О2 — квадраты собственных частот линейных колебаний пластины:
ЕЪ2 .1Г . . Ек4Ъ2 _2 2 2ч2 02 = ^Г-^) (Ж' У) = 12р(1 — V2)2т2 +-2)2>
£ = Ь/а и эО (т22) — безразмерный дробный оператор Ю. Н. Работнова [36]:
4 (т22) = 1 + _О2 П72 • (10)
1 + т2 ^0+
Заметим, что уравнения для свободных колебаний могут быть получены из уравнений (8), (9) при т = 0.
Уравнения (8), (9) можно решать различными численными методами, однако ни один из них не позволяет качественно исследовать такие нелинейные явления, как сильная взаимосвязь мод колебаний с близкими значениями собственных частот, приводящая к различным типам внутреннего резонанса и перекачке энергии.
3. Метод решения. Разрешающие уравнения (8), (9) с операторами дробного порядка можно решить с помощью метода разложения дробного оператора [37], который является обобщением метода многих временных масштабов [38], т.е. одним из методов теории возмущений, впервые предложенным для разложения дробной производной в [39].
Предыдущий анализ затухающих свободных колебаний упругой пластины на вязкоупругом основании [30, 31] показал, что такая механическая система может испытывать нелинейные колебания под действием слабого вязкого демпфирования, которые могут сопровождаться внутренним резонансом 1:1, когда собственные частоты двух связанных мод близки друг к другу.
Профессор А. Кау£еЬ в своих знаменитых монографиях «Методы возмущений» [38] и «Нелинейные колебания» [40] подчеркивал, что при изучении внешних резонансов, «чтобы получить равномерно пригодное приближенное решение такой задачи, необходимо задать порядок малости возбуждения так, чтобы оно появлялось при появлении демпфирования и нелинейности». Для этого коэффициенты при силах демпфирования среды и основания представим в виде
Е0Т171 1>£
ец1 = —, е/12 = —т—, (11)
рп рп
где е — безразмерный малый параметр, ^ — конечные величины, г = 1, 2.
Рассмотрим решение задачи для случая, когда нелинейность пластинки и вязкость амортизатора осциллирующей нагрузки задаются величинами порядка е. Также будем считать, что ускорение является малой величиной в сравнении с ускорением свободного падения .
Тогда с учетом выражений (11) разрешающие уравнения для механической системы «пластина на вязкоупругом основании + подвижная осциллирующая нагрузка» могут быть записаны в виде
х1 + ^х\ + еа\хх + £а2х1х<2 + £Ц^*1+х1 — £ц2 э* (т*2 )х1 +
+ 4 /i<jf sin + 4efi qsinwf^ = 0, (12)
X2 + X2 + еазх3 + еа^х2 + e/iiD*1+X2 — £¡¿2 э* (г*2 )x2 +
+ 4 /2<jf sin w/2i + 4e f2 qsinwf2t = 0, (13)
q + w0(1 + er^D^q = e^0(1 + tJD+^i sinuht +
+ £r?2W0(1 + т^^+)х2 sinw/2Î — 5f, (14)
где
f m ■ (™i\ ■ 1 О
/г = ^ph* = Чт~J, , = 1,2,
т
а рп 2
ш0 = л/к/т — собственная частота упругого осциллятора; ш и ш2 — частоты колебаний механической системы «пластина + вязкоупругое основание»:
w? = Q? + %.
г г ph
Для решения системы нелинейных уравнений (12), (13) и (14) будем использовать метод многих временных масштабов [38], согласно которому обобщенные перемещения хг(Ь) (г = 1, 2) и q(t) можно представить в виде разложения по двум временным масштабам То и Т\ :
хг(1) = Хг0(Т0,Т1 )+ еХц (То,Т ) + ..., (15)
q(t ) = Qо(То Т )+ eQi (То,Т ) + ..., (16)
где Тп = ent — новые независимые переменные: То = t — быстрое время, характеризующее движение с собственными частотами линейных колебаний, и Т = £ t — медленное время, характеризующее модуляцию амплитуд и фаз нелинейных колебаний.
При решении уравнений движения следует учесть, что производные по времени первого и второго порядков раскладываются в ряд по малому параметру [37,38] в следующем виде:
d
jt = D+ ■■■• (17)
d2
d^ = D2 + 2£DоDl + £2D2 + ..., (18)
где Dn = д/дТп, n = 0,1,....
Для того чтобы решать нелинейные дифференциальные уравнения с дробными производными при помощи метода многих временных масштабов, Ю. А. Россихин и М. В. Шитикова в 1998 г. [39] ввели разложение дробной производной в следующем виде:
D* = (|)* = (Dо + £Dl + ... )* = D* + £7Dq-1DI + .... (19)
Разложение безразмерного дробного оператора Ю. Н. Работнова (10) в ряд Тейлора по малому параметру имеет вид [41]:
4 (^) = =(1 + т^)-1 = [1 + т^(Б1 + б^Б,)]-1
1
1+ т~О0+
= (1 + Т^ )-1 — £(1 + У2^^-^? + .... (20)
Подставляя выражения (15) и (16) с учетом соотношений (17), (18), (19) и (20) в уравнения (12)—(14) после приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях к нулю, приходим к системе рекуррентных уравнений
различного порядка: - порядка е0:
О^Хю +ш2х?0 = —4/?д 8т(шпТо), (21)
Б00Х2О + ш2,Х2о = —4¡29 Мш^То), (22)
О0Яо + <2Яо = —9, (23)
порядка :
02ХИ +ш2Хп = —2ОоО1Х1о — {¡О —¡12(1+ т? )-?)Х?о —
— а?Х3о — а2Х?оХ^о + 4О^ЯоЬ зт(ш^То), (24)
бо)х21 +<4X21 = —2ОоО1Х2о — {¡О —¡2(1+ т^ОЦ? )-1)Х2о —
— азХ3о — аХоХЪ + 4Оо^<о/2 8т(щ2То), (25)
Оо0<1 + <о2Я1 = —2ОоО1<о — <о2 тЦ^Яо +
+ щ<0(1 + )Х?о втш^ + щ<ш1(1 + т?п13^ ё'тш121. (26)
Решение линейных уравнений (21)-(23) имеет вид
Хуо = Ау(Т?) ехр(гШуТо) + Лу вхр(ш^То) +
+ А3(Т?) ехр(—ШуТо) + Лу ехр(—ш^То), (27)
Яо = Аз(Т?) ехр«То) + А3(Т?) ехр(—шоТо) + С, (28)
где Аг(Т?) —пока неизвестные функции, Аг(Т?) —комплексно-сопряженные функции с Аг(Т?), г = 1, 2, 3; Лу = 2г(ш13-ш?), Лу —константа, сопряженная
с Лу ,3 = 1, 2; С = —д/ш^.
Подставляя выражения (27) и (28) в уравнения (24)-(26), получим:
Б^Х?? + ш2Хп = —2% ш1О1А1 вхр(ш?То) —
— [л?(1 ш?)^1 —¡2(1+ т212«У2)-?]А? ехфш?То) —
- [^(гшл)71 -^2(1 + т^2(гшл)72)-1]Л! ехр(гш/^) -
— о1 [Л1 ехр(3г ш/1Т0) + 3Л 1 ехр(гш/1Т0)Л2 —
— 6 о1А1Л1 ехр(гш1Т0) — 6а1А1А1Л1 ехр(г ш/1Т0) — -а1{3А1Л1 ехр[(2ш1 + ш/х)Т0] + 3А^1 ехр[(ш/1 — 2ш1)Т)] +
+ 3А1Л2 ехр[(ш1 + 2ш/х)Т0] +3А1Л 2 ехр[(ш1 — 2ш/ОТ)]} —
— «1 [А1 ехр(3г Ш1Т0) + 3А1 ехр(г Ш1Т0)] А2 —
— 0:2! А2 ехр [(ш1 + 2ш2)Т0] + 2А2а?2 ехр(г ш^) +
+ А2 ехр [г(ш1 — 2ш2)Т0] + 2Л2Л 2 ехр(г ш^) + МСТ} А1 +
+ 2 ¡п ш0 ехр[г(шл + Ш0)Т0]Аз + ОС, (29)
^0^21 + ш|Х21 = —2% Ш2^1А2 ехр(гш2Т0) —
— [^(г Ш2)71 —^2(1 + Г272 (Ш2)72 )-1]А2 ехр(г Ш2 Т0) —
— [№( г ш/2 )71 —М1 + т? (гш/2 )72 )-1]Л2 ехр(г ш^) —
— «з [Л2 ехр(3г ш/2Т0) + 3Л2 ехр(гш/2Т0)]Л;° —
— 6 озА2Л2 ехр(гш2Т0) — 6«зА2а12Л2 ехр(г ш/2Т0) —
— «з{3а2Л2 ехр[(2ш2 + ш/ 2)Т0] + 3А2Л2 ехр[(ш/2 — 2^)^] + + 3А2Л2 ехр[(ш2 + 2ш/2)Т0] +3А2Л 2 ехр[(ш2 — 2ш/2)Т0]} —
— «з [А2 ехр(3г с^ТО + 3А2 ехр(г Ш2 Т0)] А2 —
— а4{А2 ехр[(ш2 + 2шх)Т0] + 2А1А1 ехр(г Ш2Т0) +
+ А? ехр [г(ш2 — 2ш1)Т0] + 2Л1Л1 ехр(г Ш2Т0) + МСТ} А2 +
+ 2 & ш0 ехр \г(ш/2 + сщ^Аз + СС, (30)
^0^1 = —2г Ш0^1Аз ехр(г Ш0Т0) — ш0 (г с^Аз ехр(г с^ТО —
— 1 г?1ш2(1 + г^ ( г Ш1)// )А1 ехр[г(ш1 + шл №] —
— 2 щг ш0(1 + ^ (гш/1 )Л1 ехр(2 г ш/^) +
+ 1^1гш0(1 + ^ (г Ш1)// )А1 ехр[г(ш1 — шл №] + + 2,1, ш0(1 + тЦ (г ш/1 )Л1 — 2 щг ш0(1 + ^ (*^2)^ )А2 ехр[г(ш2 + )Т0] —
— 1 Ц2% ш0(1 + (ш/2)/)Л2 ехр(2 г ш^) +
+ 1 г?2гш2(1 + ( гШ2)/) А2 ехр[г(ш2 — +
+ 2 тг ш02(1+ т/ ( г ш/2)Л2 + СС, (31)
где СС означает комплексно-сопряженную часть к предыдущим членам в уравнении, КСТ— невековые члены уравнения.
Анализ выражений (29)—(31) показывает, что возможен случай возникновения внутреннего резонанса один к одному, когда какие-либо две частоты колебаний механической системы «пластина + вязкоупругое основание» близки друг к другу:
ш1 = ш2, и отсюда П1 = П2. (32)
Из уравнений (29)—(31) следует, что внутренний резонанс может сопровождаться внешним резонансом при выполнении одного из следующих условий:
(1) Шг = Ш0 + Ш/г, (33)
(2) Шг =Ш0 —Ш/г. ( )
Условие устранения появления вековых членов в уравнениях (29)—(31) с учетом соотношений (32) и (33) приводит к системе трех определяющих уравнений:
2 г Ш1Д1А1 + [^1(г Ш1)71 — ^2(1 + т272 (г ш^2 )-1] А1 + 3о1А2А1 +
+ 6 «1А1Л2 + 02А41А2 + 202А1А2А2 + 2а2Л2Л 2А1 + 2 Дгш2Аз = 0, (34)
2 i+ W2)71 -^2(1+ Т272 (¿W2)72+3^3^2,42 +
+ 6 аз^2Л2 + 04,42^2 + 2a4^2Ai,4i + 1^2 + 2 Дм^Лз = 0, (35)
2 i+ - 2ViiWo(1 + ^(гwi)^)Ai -
- 2+ тЦ( iÜJ2)ß),2 = 0. (36)
Умножая (34) на Ai, (35) на A 2 и (36) на A3 соответственно, складывая и вычитая сопряженные к ним уравнения, а также представляя функции в полярном виде
A = a¿e^, i = 1, 2, 3,
где ai = a¿(Ti) и = 0¿(Ti) — функции амплитуд и фаз колебаний, приходим к следующей системе уравнений:
(0\ 0100 01
aj' + siai + w- a2aia2 sin 5 + 2/iw0w- aia3 cos Д = 0, (37)
(a2)' + s2a2 - w-ia4a2a2 sin 5 + cos ¿ö2 = 0, (38)
(a2)' + s3a2 - ^r?iWo^a3(¿i + cosßi) - 1 r?2Woa2a3(¿2 + cos^2) = 0, (39) 13
- 2Al - 2aiw-i(a2 + 2Л1) - 02w-i(a2 + Л2Л2) -
- 2o2w-ia2 cos6 - /iw0(wiai)-ia3 sin Д = 0, (40)
13
ф2 - 2Х2 - 2азш21(а2 + 2Л1) - а4W-1 (af + Л1Лi) -
- 2a4(v-1a1 cos ó - f2w0(ш2а2)-1а;з sinP2 = 0, (41)
фз - - ^iWoaia-1 (pi + sin Pi) - шоа2а-1(р2 + sinft2) = 0, (42) где 5 = 2(ф2 - ф1); P1 = ф1 - ф3, P2 = ф2 - ф3 — сдвиги фаз колебаний; Si = ^iw11-1 sin—i + ц,2 w-1 Ri sin$¿, Xi = ^iw11-1 cos—i - cos Фi,
li = cos(9 + Pi), px = sin(9 + Pi),
Ri = y/1 + 2(T2Wi)]2 cos ^2 + (T2Wi)2]2, (43)
, Л, (T2Wi)12 sin—2 ,1 -то
= —"7-7---, —i = -¿wn, 1 = 1, 2;
1 + (T2WiP2 cos-2 2
s33 = sin 9, X33 = cos 9, 9 = 1wp.
Система уравнений (37)—(42) является определяющей для амплитуд и фаз нелинейных вынужденных колебаний шарнирно опертой по контуру упругой пластинки на вязкоупругом основании, свойства которого описываются моделью стандартного линейного твердого тела с дробными производными, под действием подвижной подрессоренной нагрузки в виде вязкоупругого осциллятора, демпфирующие свойства которого описываются дробной производной.
Согласно определяющим уравнениям (37)—(42) нелинейные совместные колебания механической системы «упругая пластинка на вязкоупругом основании + подвижная подрессоренная нагрузка» в вязкоупругой окружающей среде определяются коэффициентами Si и X¿, i = 1, 2, 3, см. (43). Данные коэффициенты при 0 ^ 1 и 0 < P ^ 1 зависят от собственных частот двух мод колебаний w¿, связанных условием внутреннего резонанса (32), и реологических параметров основания и окружающей среды, включая два параметра дробности и 72.
Заметим, что в уравнениях (37)—(39) вторые слагаемые отвечают за процесс диссипации энергии, при этом при 0 <^í ^ 1 и 0 < P ^ 1 коэффициенты демпфирования si зависят от частот колебаний Wi и wo, что согласуется с гипотезой модального демпфирования. При ji = 0 и P = 0 коэффициенты демпфирования обращаются в ноль si = 0.
В частном случае, когда время релаксации Т2 материала основания достаточно велико, соотношения (43) принимают вид
Rl = (T2Wi)]2, Фг = Ф = ф2, i = 1,2;
Фз =*ъ/2 3 = 1,2; (44)
11-1 . , . ]2-1 ■ i (44)
Si = ¡d.iw¡1 sin-1 + ¡d,2W¡2 sin —2, V 7
Xi = ^iw]1-1 cos—i - ^2w]2-1 cosФ2.
Заметим, что в этом случае соотношения (44) стремятся к соответствующим соотношениям, полученным в [30] при моделировании свойств грунтового основания с помощью модели Кельвина—Фойгта с дробной производной.
4. Численные исследования. Полученная система уравнений (37)—(42) была решена численно при помощи метода Рунге—Кутты четвертого порядка. В качестве примера рассматривалась пластинка со следующими геометрическими параметрами: а = Ь = 10 м, Ъ = 0.3 м, т1 = п2 = 1, т2 = п1 = 3. Плотность и упругие постоянные материала пластинки принимались следующими: р = 2400 кг/мз, Е = 3.25 ■ 1010 Па и V = 0.3.
Подрессоренная нагрузка в виде вязкоупругого осциллятора, свойства которого описываются моделью с дробной производной, движется с постоянной скоростью V = 16.66 м/с вдоль оси ж. Параметры осциллятора приняты следующими: <?0 = 0.5, @ = 0.5. Вынужденные колебания пластинки изучались для трех случаев величины массы осциллятора: т = 1800 кг (рис. 2, Ь), т = 3600 кг (рис. 2, с), т = 5400 кг (рис. 2, ё).
Пластинка находится в условиях внутреннего резонанса 1:1 при ш>1 = ш2 = = 105.48 с-1 в сочетании с внешним резонансом:
3.14 3 16.66 ш2 = ш/2 + ш0 = 3-——— + 89.79 = 105.48 с-1.
На рис. 2 наглядно показан обмен энергией между взаимодействующими модами нелинейных свободных (т = 0) и вынужденных (т = 0) ко-
—71 = 0; 72 = О —71 = 0.1; 72 = 0.2
5 Ti
—71 = 0; 72 = 0 —71 = 0.1; 72 = 0.2
5 Ti
в ■i 2 а
— 7i = 0; 72 = 0
— 71 = 0.1; 72 = 0.2
5 Ti
в
2
е
—7i = 0; 72 = 0 — 71 =0.1; 72 =0.2
2 3
d
5 Ti
Рис. 2. (online в цвете) Зависимость амплитуд нелинейных свободных гп = 0 (а) и вынужденных колебаний от времени Ti для шарнирно опертой пластинки при воздействии подвижной осциллирующей нагрузки: гп = 1800 кг (b), гп = 3600 кг (с) и гп = 5400 кг (d);
сплошная линия — а2, пунктирная линия — а1 [Figure 2. (color online) The T1-dependence of the amplitudes of nonlinear free rn = 0 (a) and force driven vibrations for simply supported plate under action of moving oscillator: rn = 1800 kg (b), rn = 3600 kg (c), and rn = 5400 kg (d); solid line — a2, dashed line — a1]
лебаний шарнирно опертой пластины на упругом (72 = 0) и вязкоупругом (72 = 0) основании по модели стандартного линейного твердого тела для различных значений подрессоренной массы. На рис. 2 синим цветом показаны амплитуды колебаний при отсутствии сил сопротивления среды и основания (71 = 0, 72 = 0), красным цветом изображены амплитуды колебаний, огибающие которых затухают по экспоненциальному закону при 71 = 0.1, 72 = 0.2. Увеличение величины нагрузки приводит к увеличению амплитуд колебаний пластины и значительному уменьшению периода колебаний.
Зависимость амплитуд нелинейных колебаний от значений дробных параметров окружающей среды 71 и вязкоупругого основания 72 представлена на рис. 3. С увеличением параметров дробности вязкоупругого основания и окружающей среды затухание колебаний усиливается.
Рис. 3. (online в цвете) Зависимость амплитуд нелинейных вынужденных колебаний от времени Т1 для пластинки на вязкоупругом основании при воздействии подвижной подрессоренной нагрузки (т = 1800 кг) для различных значений параметров дробности; сплошная
линия — а2, пунктирная линия — а1 [Figure 3. (color online) The T1 -dependence of the amplitudes of nonlinear force driven vibrations of the plate on viscoelastic foundation under action of moving oscillator (m = 1800 kg) for different values of fractional parameters; solid line — a2, dashed line — a1]
5. Заключение. Решена задача о нелинейных колебаниях шарнирно опертой упругой пластинки на вязкоупругом основании на основе обобщенной модели Фусса—Винклера под действием подвижной осциллирующей нагрузки. Демпфирующие свойства основания и окружающей среды, в которой происходят колебания, описываются вязкоупругой моделью стандартного линейного твердого тела и моделью Кельвина—Фойгта с дробными производными Римана—Лиувилля соответственно. Подвижная нагрузка моделируется при
помощи вязкоупругого осциллятора Кельвина—Фойгта с дробной производной, который движется с постоянной скоростью вдоль пластины. Получены разрешающие уравнения для определения нелинейных амплитуд и фаз вынужденных колебаний в случае внутреннего резонанса 1:1, сопровождаемого внешним резонансом, для случая, когда вязкость осциллятора считается малой величиной. Полученная система уравнений позволяет не только управлять демпфирующими свойствами окружающей среды и основания за счет изменения параметров дробности, но также регулировать параметры демпфирования внешней нагрузки, что расширяет спектр задач применимости данного решения. Данная система уравнений решена численно при помощи метода, разработанного в [42]. Численный анализ показал, что в рассматриваемой системе «пластина на вязкоупругом основании + подвижная осциллирующая нагрузка» происходит перекачка энергии между взаимодействующими модами колебаний. Представлено сравнение результатов численных исследований для различных значений внешней нагрузки, а также показана зависимость амплитуд нелинейных колебаний от значений параметров дробности окружающей среды и основания.
Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Работа выполнена при поддержке РНФ (проект № 21-19-00634).
Библиографический список
1. Герасимов С. И., Ерофеев В. И., Колесов Д. А., Лисенкова Е. Е. Динамика деформируемых систем, несущих движущиеся нагрузки (обзор публикаций и диссертационных исследований) // Вестник научно-технического развития, 2021. №160. С. 25-47. EDN: HJJKPJ. DOI: https://doi.org/10.18411/vntr2021-160-3.
2. Fryba L. Vibration of Solids and Structures under Moving Loads/ Mechanics of Structural Systems. vol. 1. Springer: Dordrecht, 1973. 484+xxvii pp. DOI: https://doi.org/10.1007/ 978-94-011-9685-7.
3. Younesian D., Hosseinkhani A., Askari H., Esmailzadeh E. Elastic and viscoelas-tic foundations: a review on linear and nonlinear vibration modeling and applications// Nonlinear Dyn., 2019. vol.97, no. 1. pp. 853-895. DOI: https://doi.org/10.1007/ s11071-019-04977-9.
4. Rajabi K., Kargarnovin M. H., Gharini M. Dynamic analysis of a functionally graded simply supported Euler-Bernoulli beam subjected to a moving oscillator// Acta Mech., 2013. vol. 224, no. 2. pp. 425-446. DOI: https://doi.org/10.1007/s00707-012-0769-y.
5. Almbaidin A., Abu-Alshaikh I. Vibration of functionally graded beam subjected to moving oscillator using Caputo-Fabrizio fractional derivative model // Romanian Journal of Acoustics and Vibration, 2019. vol. 16, no. 2. pp. 137-146.
6. Sawant V. A., Patil V. A., Deb K. Effect of vehicle-pavement interaction on dynamic response of rigid pavements // Geomech. Geoeng., 2011. vol. 6, no. 1. pp. 31-39. DOI: https:// doi.org/10.1080/17486025.2010.521591.
7. Patil V. A., Sawant V. A., Deb K. Finite element analysis of rigid pavement on a nonlinear two parameter foundation model// Int. J. Geotech. Eng., 2012. vol.6, no. 3. pp. 275-286. DOI: https://doi.org/10.3328/IJGE.2012.06.03.274-286.
8. Ding H., Yang Y., Chen L.-Q., Yang S.-P. Vibration of vehicle-pavement coupled system
based on a Timoshenko beam on a nonlinear foundation// J. Sound Vib., 2014. vol.333, no. 24. pp. 6623-6636. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jsv.2014.07.016.
9. Yang S., Chen L., Li S. Modeling and dynamic analysis of vehicle-road coupled systems / Dynamics of Vehicle-Road Coupled System. Berlin: Springer, 2015. pp. 215-250. DOI: https:// doi.org/10.1007/978-3-662-45957-7_7.
10. Meshkov S. I., Pachevskaya G. N., Postnikov V. S., Rossikhin Yu. A. Integral representations of e7-functions and their application to problems in linear viscoelasticity // Int. J. Eng. Sci., 1971. vol.9, no. 4. pp. 387-398. EDN: ZYMWGP. DOI: https://doi.org/ 10.1016/0020-7225(71)90059-0.
11. Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. Applications of fractional calculus to dynamic problems of linear and nonlinear hereditary mechanics of solids// Appl. Mech. Rev., 1997. vol.57, no. 1. pp. 15-67. EDN: LELUNP. DOI: https://doi.org/10.1115/1.3101682.
12. Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Вынужденные колебания дробных осцилляторов/ Труды пятой Всероссийской научной конференции с международным участием (2931 мая 2008 г.). Часть 1: Математические модели механики, прочности и надёжности элементов конструкций / Матем. моделирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2008. С. 215-221. EDN: TGYYDN.
13. Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. New approach for the analysis of damped vibrations of fractional oscillators// Shock and Vibration, 2009. vol.16, no. 4, 387676. EDN: MWZYVP. DOI: https://doi.org/10.1155/2009/387676.
14. Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: Novel trends and recent results// Appl. Mech. Rev., 2010. vol. 63, no. 1, 010801. EDN: CUFMBA. DOI: https://doi.org/10.1115/1.4000563.
15. Огородников Е. Н., Радченко В. П., Яшагин Н. С. Реологические модели вязкоупруго-го тела с памятью и дифференциальные уравнения дробных осцилляторов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. №1(22). С. 255-268. EDN: NUPPZB. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu932.
16. Паровик Р. И., Зуннунов Р. Т. Анализ вынужденных колебаний дробного осциллятора// Пробл. механ., 2019. №4. С. 20-23. EDN: GREHHQ.
17. Kerr A. D. Elastic and viscoelastic foundation models // J. Appl. Mech., 1964. vol. 31, no. 3. pp. 491-498. DOI: https://doi.org/10.1115/1.3629667.
18. Winkler E. Die Lehre von der Elasticitat und Festigkeit. Prague: Dominicius, 1867. 388 pp. (In German)
19. Zimmerman H. Die Berechnung des Eisenbahnoberbaues. Berlin: Verlag von Ernst & Korn, 1888. 326 pp.
20. Фусс Н. И. Опыт теории о сопротивлении причиняемом дорогами всякаго рода че-тыреколесным и двуколесным повозкам, с определением обстоятельств, при которых одне из сих повозок полезнее других / Академические сочинения, выбранные из первого тома Деяний Императорской Академии наук, Ч. 1. СПб., 1801. С. 373-422.
21. Власов В. З., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты, оболочки на упругом основании. М.: Физ.-мат. лит., 1960. 492 с.
22. Цытович Н. А. Механика грунтов. М., 1963. 637 с.
23. Lai J., Mao S., Qiu J., Fan H., Zhang Q., Hu Z., Chen J. Investigation progresses and applications of fractional derivative model in geotechnical engineering // Math. Probl. Eng., 2016. vol.2016, no. 3, 9183296. DOI: https://doi.org/10.1155/2016/9183296.
24. Taheri M. R., Ting E. C. Dynamic response of plate to moving loads: Structural impedance method// Comput. Struct., 1989. vol.33, no. 6. pp. 1379-1393. DOI: https://doi.org/10. 1016/0045-7949(89)90478-1.
25. Zaman M., Taheri M. R., Alvappillai A. Dynamic response of a thick plate on viscoelastic foundation to moving loads // Int. J. Numer. Analytical Methods Geomech., 1991. vol. 15, no. 9. pp. 627-647. DOI: https://doi.org/10.1002/nag.1610150903.
26. Yang S., Li S., Lu Y. Investigation on dynamical interaction between a heavy vehicle and road pavement// Int. J. Vehicle Mech. Mob.,2010. vol. 48, no. 8. pp. 923-944. DOI: https:// doi.org/10.1080/00423110903243166.
27. Li S., Yang S., Chen L. A nonlinear vehicle-road coupled model for dynamics research// J. Comput. Nonlinear Dynam., 2013. vol.8, no. 2, 021001. DOI: https://doi.org/10.1115/ 1.4006784.
28. Amabili M. Nonlinear vibrations of viscoelastic rectangular plates validation // J. Sound Vib., 2016. vol.362. pp. 142-156. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jsv.2015.09.035.
29. Amabili M. Nonlinear damping in nonlinear vibrations of rectangular plates: Derivation from viscoelasticity and experimental validation// J. Mech. Phys. Solids, 2018. vol.118. pp. 275-292. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmps.2018.06.004.
30. Шитикова М. В., Канду В. В. Анализ нелинейных колебаний упругой пластинки на вязкоупругом основании при наличии внутреннего резонанса один-к-одному // Изв. вузов. Строительство, 2020. №3. С. 5-22. EDN: VUGFIN.
31. Shitikova M. V., Krusser A. I. Nonlinear vibrations of an elastic plate on a viscoelastic foundation modeled by the fractional derivative standard linear solid model / EURODYN 2020, Proc. of the XI International Conference on Structural Dynamics. Athens: National Techn. Univ. of Athens, 2020. pp. 355-368. EDN: UAGFCT. DOI: https://doi.org/10.47964/ 1120.9028.20091.
32. Shitikova M. V., Krusser A. I. Force driven vibrations of nonlinear plates on a viscoelastic Winkler foundation under the harmonic moving load // Int. J. Comput. Civil Struct. Eng., 2021. vol.17, no. 4. pp. 161-180. EDN: QLTGPZ. DOI: https://doi.org/10.22337/ 2587-9618-2021-17-4-161-180.
33. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.
34. Самко С. Г. Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
35. Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. Fractional operator models of viscoelasticity / Encyclopedia of Continuum Mechanics. Berlin: Springer, 2020. pp. 971-982. DOI: https://doi.org/ QFEFJE. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-55771-6_77.
36. Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. Centennial jubilee of Academician Rabotnov and contemporary handling of his fractional operator// Fract. Calc. Appl. Anal., 2014. vol.17, no. 3. pp. 674-683. EDN: UELRWP. DOI: https://doi.org/10.2478/s13540-014-0192-2.
37. Shitikova M. V. The fractional derivative expansion method in nonlinear dynamic analysis of structures// Nonlinear Dyn., 2020. vol. 99, no. 1. pp. 109-122. EDN: JRPYST. DOI:https:// doi.org/10.1007/s11071-019-05055-w.
38. Nayfeh A. H. Perturbation Technique. New York: Wiley, 1973. 441 pp.
39. Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. Application of fractional calculus for analysis of nonlinear damped vibrations of suspension bridges// J. Eng. Mech., 1998. vol.124, no. 9. pp. 10291036. EDN: LEXPPL. DOI: https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9399(1998)124:9(1029).
40. Nayfeh A. H., Mook D. T. Nonlinear Oscillations: Wiley, 1995. 705 pp.
41. Rossikhin Yu. A., Krusser A. I., Shitikova M. V. Impact response of a nonlinear viscoelastic auxetic doubly curved shallow shell / ICSV 2017, Proc. of the 24th International Congress on Sound and Vibration. London: Int. Inst. Acoust. Vibration, 2017. EDN: ZGNMET.
42. Shitikova M. V., Kandu V. V. Force driven vibrations of fractionally damped plates subjected to primary and internal resonances // Eur. Phys. J. Plus, 2019. vol. 134, no. 9, 423. EDN: GLZXPS. DOI: https://doi.org/10.1140/epjp/i2019-12812-x.
Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki
[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2022, vol. 26, no. 4, pp. 694-714
d https://doi.org/10.14498/vsgtu1957
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print)
MSC: 74D05, 74G10, 74S40
Numerical analysis of nonlinear vibrations of a plate on a viscoelastic foundation under the action of a moving oscillating load based on models with fractional derivatives
A. I. Krusser1, M. V. Shitikova1'2
1 Voronezh State Technical University,
84, 20 let Oktyabrya st., Voronezh, 394006, Russian Federation.
2 National Research Moscow State University of Civil Engineering, 26, Yaroslavskoye sh., Moscow, 129337, Russian Federation.
Abstract
Aim. In the present paper, nonlinear vibrations of an elastic simply supported plate on a viscoelastic foundation under the action of a moving oscillating load are studied in the case of the internal resonance 1:1 accompanied by the external resonance. The properties of the viscoelastic foundation are given via the generalized Fuss-Winkler model with the damping term described by the standard linear solid model with the Riemann-Liouville fractional derivatives. The external load is presented by linear viscoelastic oscillator based on the Kelvin-Voigt model with a fractional derivative in the case when the viscosity of the oscillator is considered to be small value. The dynamic behavior of the plate is described by a set of nonlinear ordinary differential equations of the second order in time with respect to generalized displacements. Methods. To solve the resulting set of equations, the method of multiple time scales is used in combination with the method of expansion of the fractional derivative in a Taylor series. Results. Resolving equations for determining of the nonlinear amplitudes and phases of force driven vibrations of the plate are obtained. The governing set of equations allows one to control not only the damping properties of the environment
Mechanics of Solids Research Article
© Authors, 2022
© Samara State Technical University, 2022 (Compilation, Design, and Layout) Q ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:
Krusser A. I., Shitikova M. V. Numerical analysis of nonlinear vibrations of a plate on a viscoelastic foundation under the action of a moving oscillating load based on models with fractional derivatives, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2022, vol. 26, no. 4, pp. 694-714. EDN: DOBLOB. DOI: 10.14498/vsgtu1957 (In Russian). Authors' Details:
Anastasiya I. Krusser & https://orcid.org/0000-0001-6203-2495
Postgraduate Student; Junior Researcher; Research Center for Fundamental Research on Natural and Construction Sciences named after Honoured Scientist of the Russian Federation, Prof. Rossikhin Yuri Alekseyevich; e-mail: an.krusser@yandex.ru Marina V. Shitikova © https://orcid.org/0000-0003-2186-1881
Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Principal Researcher; Research Center for Fundamental Research on Natural and Construction Sciences named after Honoured Scientist of the Russian Federation, Prof. Rossikhin Yuri Alekseyevich1; Professor; Dept. of Structural and Theoretical Mechanics2 ; e-mail: mvs@vgasu.vrn.ru
and the foundation by changing the fractional parameters, but also to control the damping parameters of the external load. Conclusion. Numerical analysis has shown that in the system "a plate on a viscoelastic foundation + a moving oscillating load", energy transfer between the interacting vibration modes is observed. A comparison of the results of numerical studies for various values of the external load is presented, and the dependence of the amplitudes of nonlinear vibrations on the values of the fractional parameters of the environment and the foundation is also shown.
Keywords: plate on a viscoelastic foundation, moving oscillator load, fractional derivative, method of multiple time scales, internal and external resonances.
Received: 21st September, 2022 / Revised: 18th October, 2022 / Accepted: 21st October, 2022 / First online: 7th December, 2022
Competing interests. We declare that we have no competing interests. Author's Responsibilities. Each author has participated in the article concept development and in the manuscript writing. We take full responsibility for submit the final manuscript to print. We approved the final version of the manuscript. Funding. This work has been supported by the Russian Science Foundation (project no. 21-19-00634).
References
1. Gerasimov S. I., Erofeev V. I., Kolesov D. A., Lissenkova E. E. Dynamics of deformable systems carrying moving loads (review of publication and dissertation research), Vest-nik nauchno-tekhnicheskogo razvitiya [Bulletin of Science and Technical Development], 2021, no. 160, pp. 25-47 (In Russian). EDN: HJJKPJ. DOI: https://doi.org/10.18411/ vntr2021-160-3.
2. Fryba L. Vibration of Solids and Structures under Moving Loads, Mechanics of Structural Systems, vol. 1. Springer, Dordrecht, 1973, 484+xxvii pp. DOI: https://doi.org/10.1007/ 978-94-011-9685-7.
3. Younesian D., Hosseinkhani A., Askari H., Esmailzadeh E. Elastic and viscoelastic foundations: a review on linear and nonlinear vibration modeling and applications, Nonlinear Dyn., 2019, vol.97, no. 1, pp. 853-895. DOI: https://doi.org/10.1007/s11071-019-04977-9.
4. Rajabi K., Kargarnovin M. H., Gharini M. Dynamic analysis of a functionally graded simply supported Euler-Bernoulli beam subjected to a moving oscillator, Acta Mech., 2013, vol. 224, no. 2, pp. 425-446. DOI: https://doi.org/10.1007/s00707-012-0769-y.
5. Almbaidin A., Abu-Alshaikh I. Vibration of functionally graded beam subjected to moving oscillator using Caputo-Fabrizio fractional derivative model, Romanian Journal of Acoustics and Vibration, 2019, vol. 16, no. 2, pp. 137-146.
6. Sawant V. A., Patil V. A., Deb K. Effect of vehicle-pavement interaction on dynamic response of rigid pavements, Geomech. Geoeng., 2011, vol. 6, no. 1, pp. 31-39. DOI: https:// doi.org/10.1080/17486025.2010.521591.
7. Patil V. A., Sawant V. A., Deb K. Finite element analysis of rigid pavement on a nonlinear two parameter foundation model, Int. J. Geotech. Eng., 2012, vol.6, no. 3, pp. 275-286. DOI: https://doi.org/10.3328/IJGE.2012.06.03.274-286.
8. Ding H., Yang Y., Chen L.-Q., Yang S.-P. Vibration of vehicle-pavement coupled system based on a Timoshenko beam on a nonlinear foundation, J. Sound Vib., 2014, vol.333, no. 24, pp. 6623-6636. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jsv.2014.07.016.
9. Yang S., Chen L., Li S. Modeling and dynamic analysis of vehicle-road coupled systems, In: Dynamics of Vehicle-Road Coupled System. Berlin, Springer, 2015, pp. 215-250. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-45957-7_7.
10. Meshkov S. I., Pachevskaya G. N., Postnikov V. S., Rossikhin Yu. A. Integral representations of e7-functions and their application to problems in linear viscoelasticity, Int. J. Eng. Sci., 1971, vol.9, no. 4, pp. 387-398. EDN: ZYMWGP. DOI: https://doi.org/ 10.1016/0020-7225(71)90059-0.
11. Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. Applications of fractional calculus to dynamic problems of linear and nonlinear hereditary mechanics of solids, Appl. Mech. Rev., 1997, vol. 57, no. 1, pp. 15-67. EDN: LELUNP. DOI: https://doi.Org/10.1115/1.3101682.
12. Ogorodnikov E. N., Yashagin N. S. Forced oscillations of the fractional oscillator, In: Proceedings of the Fifth All-Russian Scientific Conference with international participation (29-31 May 2008). Part 1, Matem. Mod. Kraev. Zadachi. Samara, Samara State Technical Univ., 2008, pp. 215-221 (In Russian). EDN: TGYYDN.
13. Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. New approach for the analysis of damped vibrations of fractional oscillators, Shock and Vibration, 2009, vol.16, no. 4, 387676. EDN: MWZYVP. DOI: https://doi.org/10.1155/2009/387676.
14. Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: Novel trends and recent results, Appl. Mech. Rev., 2010, vol.63, no. 1, 010801. EDN: CUFMBA. DOI: https://doi.org/10.1115/1.4000563.
15. Ogorodnikov E. N., Radchenko V. P., Yashagin N. S. Rheological model of viscoelastic body with memory and differential equations of fractional oscillator, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2011, no. 1(22), pp. 255-268 (In Russian). EDN: NUPPZB. DOI: https://doi.org/10.14498/ vsgtu932.
16. Parovik R. I., Zunnunov R. T. Analysis of forced vibrations of a fractional oscillator, Probl. Mekhan., 2019, no. 4, pp. 20-23 (In Russian). EDN: GREHHQ.
17. Kerr A. D. Elastic and viscoelastic foundation models, J. Appl. Mech., 1964, vol.31, no. 3, pp. 491-498. DOI: https://doi.org/10.1115/1.3629667.
18. Winkler E. Die Lehre von der Elasticität und Festigkeit. Prague, Dominicius, 1867, 388 pp. (In German)
19. Zimmerman H. Die Berechnung des Eisenbahnoberbaues. Berlin, Verlag von Ernst & Korn, 1888, 326 pp.
20. Fuss N. I. An experiment on the resistance caused to roads by all kinds of four-wheeled and two-wheeled carts, with the determination of the circumstances, in the presence of one of these carts is more useful than others, Akademicheskiya sochineniya, 1801. Part. 1, pp. 373-422 (In Russian).
21. Vlasov V. Z., Leontiev N. N. Balki, plity, obolochki na uprugom osnovanii [Beams, Plates and Shells on an Elastic Foundation]. Moscow, Fizmatlit, 1960, 492 pp. (In Russian)
22. Tsytovich N. A. Mekhanika gruntov [Soil Mechanics]. Moscow, 1963, 637 pp. (In Russian)
23. Lai J., Mao S., Qiu J., Fan H., Zhang Q., Hu Z., Chen J. Investigation progresses and applications of fractional derivative model in geotechnical engineering, Math. Probl. Eng., 2016, vol.2016, no. 3, 9183296. DOI: https://doi.org/10.1155/2016/9183296.
24. Taheri M. R., Ting E. C. Dynamic response of plate to moving loads: Structural impedance method, Comput. Struct., 1989, vol.33, no.6, pp. 1379-1393. DOI: https://doi.org/10. 1016/0045-7949(89)90478-1.
25. Zaman M., Taheri M. R., Alvappillai A. Dynamic response of a thick plate on viscoelastic foundation to moving loads, Int. J. Numer. Analytical Methods Geomech., 1991, vol.15, no. 9, pp. 627-647. DOI: https://doi.org/10.1002/nag.1610150903.
26. Yang S., Li S., Lu Y. Investigation on dynamical interaction between a heavy vehicle and road pavement, Int. J. Vehicle Mech. Mob., 2010, vol.48, no. 8, pp. 923-944. DOI: https:// doi.org/10.1080/00423110903243166.
27. Li S., Yang S., Chen L. A nonlinear vehicle-road coupled model for dynamics research, J. Comput. Nonlinear Dynam., 2013, vol.8, no. 2, 021001. DOI: https://doi.org/10.1115/ 1.4006784.
28. Amabili M. Nonlinear vibrations of viscoelastic rectangular plates validation, J. Sound Vib., 2016, vol.362, pp. 142-156. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jsv.2015.09.035.
29. Amabili M. Nonlinear damping in nonlinear vibrations of rectangular plates: Derivation from viscoelasticity and experimental validation, J. Mech. Phys. Solids, 2018, vol. 118, pp. 275292. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmps.2018.06.004.
30. Shitikova M. V., Kandu V. V. Analysis of the nonlinear vibrations of an elastic plate on a viscoelastic foundation in the presence of the one-to-one internal resonance, Izv. Vyzov. Stroitel'stvo, 2020, no. 3, pp. 5-22 (In Russian). EDN: VUGFIN.
31. Shitikova M. V., Krusser A. I. Nonlinear vibrations of an elastic plate on a viscoelastic foundation modeled by the fractional derivative standard linear solid model, In: EURODYN 2020, Proc. of the XI International Conference on Structural Dynamics. Athens, National Techn. Univ. of Athens, 2020, pp. 355-368. EDN: UAGFCT. DOI: https://doi.org/10.47964/ 1120.9028.20091.
32. Shitikova M. V., Krusser A. I. Force driven vibrations of nonlinear plates on a viscoelastic Winkler foundation under the harmonic moving load, Int. J. Comput. Civil Struct. Eng., 2021, vol.17, no.4, pp. 161-180. EDN: QLTGPZ. DOI: https://doi.org/10.22337/ 2587-9618-2021-17-4-161-180.
33. Volmir A. S. The Nonlinear Dynamics of Plates and Shells. Dayton, Dept. of the Air Force, 1974, 543 pp.
34. Samko S. G. Kilbas A. A., Marichev O. I. Integraly i proizvodnye drobnogo poriadka i neko-torye ikh prilozheniia [Integrals and Derivatives of Fractional Order and Some of Their Applications]. Minsk, Nauka i tekhnika, 1987, 688 pp. (In Russian)
35. Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. Fractional operator models of viscoelasticity, In: Encyclopedia of Continuum Mechanics. Berlin, Springer, 2020, pp. 971-982. DOI: https://doi. org/QFEFJE. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-55771-6_77.
36. Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. Centennial jubilee of Academician Rabotnov and contemporary handling of his fractional operator, Fract. Calc. Appl. Anal., 2014, vol. 17, no. 3, pp. 674-683. EDN: UELRWP. DOI: https://doi.org/10.2478/s13540-014-0192-2.
37. Shitikova M. V. The fractional derivative expansion method in nonlinear dynamic analysis of structures, Nonlinear Dyn., 2020, vol. 99, no. 1, pp. 109-122. EDN: JRPYST. DOI: https:// doi.org/10.1007/s11071-019-05055-w.
38. Nayfeh A. H. Perturbation Technique. New York, Wiley, 1973, 441 pp.
39. Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. Application of fractional calculus for analysis of nonlinear damped vibrations of suspension bridges, J. Eng. Mech., 1998, vol. 124, no. 9, pp. 1029-1036. EDN: LEXPPL. DOI: https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9399(1998)124:9(1029).
40. Nayfeh A. H., Mook D. T. Nonlinear Oscillations, Wiley, 1995, 705 pp.
41. Rossikhin Yu. A., Krusser A. I., Shitikova M. V. Impact response of a nonlinear viscoelastic auxetic doubly curved shallow shell, In: ICSV 2017, Proc. of the 24th International Congress on Sound and Vibration. London, Int. Inst. Acoust. Vibration, 2017. EDN: ZGNMET.
42. Shitikova M. V., Kandu V. V. Force driven vibrations of fractionally damped plates subjected to primary and internal resonances, Eur. Phys. J. Plus, 2019, vol. 134, no. 9, 423. EDN: GLZXPS. DOI: https://doi.org/10.1140/epjp/i2019-12812-x.
