CC BY
10
52
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2012. № 5
АСТРОНОМИЯ, АСТРОФИЗИКА И КОСМОЛОГИЯ
Численный анализ физических характеристик компактной звезды с не слишком высокой концентрацией вещества
А. С. Рохманенков
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра квантовой теории и физики высоких энергий. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
E-mail: roh.manenkov@gma.il.сот
Статья поступила 01.02.2012, подписана в печать 14.05.2012.
Найдены численные решения системы гравитационных уравнений (предложенных Ю. М. JIoc-кутовым, после модификации уравнений Гильберта-Эйнштейна) для внутренних и внешних физических характеристик компактных звезд с не слишком высокой концентрацией вещества, когда их гравитационные поля не являются слишком сильными. Промоделирована эволюция решений с увеличением массы объекта. Построены соответствующие графики.
Ключевые слова: гравитационное поле, гравитационные уравнения, компьютерное моделирование. УДК: 524.3-17. PACS: 04.70.-s, 95.30.Sf.
Введение
В работах [1-4] была доказана необходимость учета в уравнениях гравитации фактора материальности гравитационного поля. О такой необходимости говорил еще А. Эйнштейн: «Эти уравнения удовлетворяют требованию, по нашему мнению, обязательному для релятивистской теории гравитации; именно, они показывают, что тензор гравитационного поля является источником поля наравне с тензором материальных систем Исключительное положение энергии гравитационного поля по сравнению со всеми другими видами энергии привело бы к недопустимым последствиям» [5]. Аналогичные мысли высказывались и С. Вейнбергом: «Я считаю, что геометрический подход искусственно расчленяет общую теорию относительности и теорию элементарных частиц. До тех пор пока у нас, как и у А. Эйнштейна, оставалась надежда на то, что при известных обстоятельствах материю можно понять в геометрической интерпретации, имело смысл придавать геометрии Римана при описании теории гравитации главенствующую роль. Но время склоняет нас к неверию в то, будто сильные, слабые и электромагнитные взаимодействия можно понять с помощью геометрии, и приводит к мысли, что слишком большой упор на геометрию может затемнить глубокую связь, существующую между гравитацией и остальной физикой» [6].
Хорошо известно, что при выводе уравнений Гильберта-Эйнштейна вариационным методом принципиальное значение имеет то, что в подынтегральной лагранжевой плотности всей материи Ст = ^Рур^ё функция р является тензорным скаляром с размерностью эрг/см3. Как входят в р различные элементы материи (в том числе и материи гравитационного поля) при выводе уравнений роли не играет. Это значит, что в вытекающем из вариационного принципа уравнении
R
еХ
2 V4
(p + p)ueux -pg
еХ
(2)
скаляр р, определяемый вкладом всей материи, содержит вклад и от вещества (под веществом для удобства понимаются все виды материи, за исключением материи гравитационного поля) и от материи гравитационного поля (как и утверждал А. Эйнштейн). Таким образом, встает задача о выделении из р той ее части р(, которая обязана полю. Эта задача была решена в [1-4].
Представив тождественно скаляр р в виде суммы р = р5 + (р - р8) = р5 + Р1, в которой часть р5 обязана только веществу (без гравитационной шубы), скаляр р( окажется связанным с материей гравитационного поля. Чтобы определить структуру р(, уравнение (1) тождественными преобразованиями с учетом условия гармоничности (в галилеевых декартовых координатах)
.б А
(4)
Г
■бА
(1)
9её = 0, приводится в работах [1-4] к виду
ё0*дад^х = 16тг (Тех + ■
Структура теХ, обретающая смысл плотности тензора энергии-импульса материи гравитационного поля, дается выражением
= 1 ^^АЗ _ _ д^дрГ" +
+ ёа'%.д0ЖтдвёХ<т - ёе(%»даёХадвГт -
- ёХаёг,даё^двёет + ^ёеХёг»даГ('двёат + д*ёфдвёХа,
(5)
ГДе ёех=ёех/у/^ё-
Выдвигается и обосновывается гипотеза, что скаляр плотности р[ материи гравитационного поля, входящий в ТеХ, определяется связью
Т=ёеХТеХ=Р}^ Щ, |бА = VCg:. (6)
где
16 7ГТ = —
,gXr + ¿grvgeX ) gaíjdaradegf-X +
1
+ (7)
Справедливость (и необходимость) этой гипотезы доказана в [1-4] путем сопоставления вытекающих из нее результатов для энергий тел с хорошо известными их значениями в ньютоновской теории; без учета вклада в р из ТеХ материи гравитационного поля действительно наступают «недопустимые последствия» — энергия гравитационного взаимодействия вещества оказывается не отрицательной, а положительной (см. подробности, например, в [2, 4]).
В результате переопределения ТеХ с учетом гипотезы (6) исходные уравнения Гильберта-Эйнштейна изменятся и будут отличаться от стандартных уравнений ОТО. Это следует из того, что теХ, а следовательно, и его след отличны от нуля внутри и вне вещества (см. подробнее [1-4]). Работа посвящена численному анализу внутреннего и внешнего решений этих модифицированных гравитационных уравнений.
1. Основные уравнения
С учетом вскрытого вклада в ТеХ материи гравитационного поля в [1-4] была получена вытекающая из (1)—(3) модифицированная система гравитационных уравнений в случае статического центрально-симметричного тела:
AZ'¿ = 1-2 у,
dLnB_ оУ + ^PZ2 Z> dr 1—2 y Z'
do . ,u + AirpZ2 Z'
(8) (9)
(10)
V2# =
1
r2A(l + Ф)
y-
2гФ' 1+Ф
+ 47г(р^р)г2(1 + Ф)2|
(П)
Здесь B{r), A{r) и Z(r) определяют риманову метрику в галилеевых координатах:
ds2 = В dt2 - Л^1 dr2 - Z2 (d92 + (sin в)2 #>2) > (12)
где г2 = (х1)2 + (х2)2 + (х3)2, Z = г(1 + Ф), а р и р — давление и скаляр плотности материи; р = ps + p¡, ps — скаляр плотности вещества (без гравитационной шубы), pf — скаляр плотности материи гравитационного поля; аналогично р = ps+p¡ (вне тела p = p¡ и p = pf, уравнение (10) будет при этом уравнением равновесия материи внешнего гравитационного поля); у = M(r)/Z, где М = 4-7Г Jr0pZ2Z' dr — гравитационная масса тела в объеме с радиусом г; штрихи всюду означают производные по г.
Как видно, уранения образуют весьма сложную систему нелинейных дифференциальных уравнений. Их аналитическое решение возможно лишь в случае слабого гравитационного поля (2г/0-С 1, Фо -С 1, нулевым индексом обозначены величины на границе тела), это решение было получено в работе [1].
В случае средних гравитационных полей {2у$<\, Ф0 < 1) аналитическое решение получить не удается. Однако очень важно исследовать модификацию физических характеристик тела (у,Ф,р,В) при возрастании гравитационного поля (за счет увеличения вещества в нем). Особый интерес представляют сверхмассивные тела (с М>М0). Пока же ограничимся анализом случая гравитационных полей средней силы; случай сверхмассивных тел требует особого подхода и будет рассмотрен позднее.
2. Численное решение
Для численного решения системы уравнений (8)-(11) перейдем к безразмерным величинам: х = г/гь, г0 — радиус поверхности тела; р = /í^гpZ2) = = 4-7грГц (1 + Фо)2; р = 4-7грГц (1 + Фо)2. Тогда получим
У + (р5 + Р{) . „ /„ (1 +
ху
(1 + Ф0)2
(1 - 2у)(2хФ' + х2Ф") = (1 + Ф) 1 +
хр
—2г/ — 2
(P + Ps +
хФ' 1 + Ф
Pf)
+ ÍP^Ps^Pf)
хФ' 1+Ф,
хФ' 4 2 1 + Ф Х2(1 + Ф)21 (1+Ф0)2
1-2 у
У + Р
х2(1+Ф)2 (1 + Ф0)2
1 +
хФ' 1 + Ф
(13)
где
х2(1 + Ф)2, (1 + Фо)2
Pf
1
6 1 +
1-2 у
хФ' 1+Ф
7 1 +
У + Р
хФ' 1 + Ф
X2 (1 + Ф)2
(1 + Ф0)2
+ ЦУ + Р
X2 (1 + Ф)2
(1+Ф0)2 7(1 _ 2у) + 4 + 4(1 -2у)
+ 10(1 +
хФ'
1+Ф
1 +
хФ' 1 + Ф
хФ' 1 + Ф
Цу+р
х2(1 + Ф)2 (1 + Ф0)2
■3 pf
х2(1+Ф)2 (1 + Ф0)2 ■
(14)
Для более компактной записи уравнений введем переменные я = -¡^
а = у + р\2. Упрощенная система примет вид
А = £Ш1, Ъ = Ф', а также
l+Wn
'xy'=[-y + (ps + pf)A2] (1+s), x(ps' + р/) = -(р + ps +Р{)(1 + s)j
Ф' = Ъ,
1+Ф
2 у'
х2Ъ> = ^(1+s)2 (—2y—2s + <p-ps-pf)А2) ^2xb,
где
Pf
J_
A2
1-2 у
(15)
7(1 + s)2 - 6д(1 + s) + 2a2 +10(1+s)
. 7(1 _ 2y) + 4 + 4(1 - 2y)- 6a + 3pfA2}. (16)
54
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2012. № 5
Граничными условиями для этой системы будут
У |х—ос = 0, Ps\x=l = 0, Pf |х=оо = О, Ф|х=» = 0, Ф'\х=о = Ь\х=о = 0.
(17)
Решение системы дифференциальных уравнений (15) с граничными условиями (17) описывает внутренние и внешние физические характеристики статического незаряженного сферически-симметричного тела.
Принимая во внимание, что вне тела р^ = 0 и р^ = 0 (поскольку там вещество отсутствует), получаем систему из четырех дифференциальных уравнений с четырьмя неизвестными. Внутри тела ситуация другая, здесь и "рцф 0, следовательно, внутри тела мы
имеем систему из четырех дифференциальных уравнений с пятью неизвестными. Для того чтобы система стала замкнутой, не хватает уравнения для р/ внутри тела. Получить его из общих соображений весьма проблематично. На него налагаются лишь определенные ограничения:
(18)
Р/|х=0 = 0, Э/ 1л =0 = 0. Р/|о<л-<1
и условие сшивания со значениями р/ вне тела.
В случае слабых полей можно пренебречь величиной р/, поскольку давления слабых гравитационных полей малы. В этом случае удается получить ана-
литическое решение (более подробно см. [1]). При возрастании массы тела пренебрегать давлением гравитационного поля внутри тела нельзя. Это приведет к неверным результатам.
Для нахождения решений в случае средних гравитационных полей было использованно компьютерное моделирование. Решение дифференциальных уравнений было получено с помощью неявного интерполяционного метода Рунге-Кутта 2-го порядка. При этом в нуле и на бесконечности находились асимптотики, которые являлись начальными условиями для численного расчета. Расчет производился до тех пор, пока не сшивались решения на границе тела.
Расчеты велись в предположении ps = const. Такое предположение оправдано тем, что оно не сильно искажает принципиальные результаты, как отмечает С. Вейнберг [6]. Для различных ps = AirpsZ^ были получены графические изображения у, р, Ф и В (рисунок) в зависимости от х. На графиках представлены расчетные данные (точки) и аналитические значения (сплошные кривые). Решения представлены для объектов с ps = 0.1 — маломассивное тело, ps = 0.5 — более массивный объект, ps = 1.5 — достаточно массивное тело.
Отметим, что кривые для различных значений ps — гладкие и полностью сшиваются на границе тела. На бесконечности все функции у(х),р(х), Ф(л'), Ь{х) име-
Р 0.40.30.2' 0.1
\ i х и
х х 1
х 1 I
X 1
X 1
^ х 1 1
Ж-1 -ж— 1
X
Различные характеристики тела, расчетные (точки) и теоретические (сплошные линии), для объектов различных масс с р8 = 0.1, 0.5 и 1.5 (а — зависимость переменной у от х; б — зависимость переменной р от х; в — зависимость переменной Ф от х; г — зависимость переменной В от х)
Значения переменных у, р, Ф, В на границе тела (х = 1), полученные из расчетных данных (сак) и теоретических оценок (Шеог)
в зависимости от ]н
Ps УхЬеог i-Zcalc Ptheor Pcalc ^theor $calc -^theor -^calc
0.1 0.03 0.03 -2.0- 10^5 -2.2 - 10~5 0.03 0.03 0.94 0.94
0.5 0.15 0.15 -1.6 - 10~3 —2.6 • 10^3 0.14 0.14 0.76 0.76
1.5 0.38 0.31 -0.02 -0.03 0.35 0.27 0.47 0.59
ют асимптотическое стремление к нулю. На границе тела значения у, |р| и Ф с ростом массы объекта растут, а значение В падает. В случае малых ps (ps:%: 0.5) расчетные значения практически совпадают с теоретическими. С увеличением ps (ps ~ 1.5) наблюдается расхождение (таблица).
Полное давление на границе тела отрицательно, поскольку ps|je=i=0, а вне тела (х > 1) давление создается только гравитационным полем, которое отрицательно (это следует из асимптотик на бесконечности). Значит и в приповерхностной зоне давление также отрицательно. На графиках (рисунок, б) это хорошо видно.
Кроме того, при рассмотрении достаточно массивного объекта наблюдается изменение характера поведения переменной у. При значении ps = 1.5 происходит загиб функции у(х) на границе тела. Поскольку решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) не могут пересекать друг друга, то не без основания можно предположить, что с увеличением ps функции продолжат видоизменяться в том же направлении. То есть значение у на границе тела будет расти, приближаясь снизу к значению 0.5. А самое главное — будет наблюдаться резкое возрастание значения у при удалении от центра тела, и очень медленный рост у в поверхностной зоне.
Выводы
В настоящей работе была рассчитана система ОДУ для массивного сферически-симметричного тела, по-
лученная в работах [1-4] с применением полевого подхода в теории гравитации. Найдено решение системы ОДУ для не слишком массивных тел. Показана эволюция решения этой системы с увеличением массы объекта. При низких массах объекта наблюдается полное соответствие теоретических и расчетных данных. При возрастании массы тела видны расхождения.
Полное давление материи в приповерхностной области тела оказывается отрицательным. Функция M/Z = у (г) с увеличением массы тела испытывает при приближении к поверхности загиб в сторону уменьшения своего роста. Поскольку решения ОДУ не могут пересекаться, следует ожидать, что при возрастании гравитационных полей, эти эффекты будут проявляться с большей силой.
Автор благодарен профессору Ю. М. Лоскутову за полезные консультации, а также рецензенту за замечания и советы.
Список литературы
1. Лоскутов Ю.М. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2001. № 4. С. 29.
2. Лоскутов Ю.М. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2003. № 4. С. 19.
3. Лоскутов Ю.М. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2006. № 3. С. 18.
4. Лоскутов Ю.М. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2009. № 2. С. 3.
5. Эйнштейн А. Собр. науч. трудов. Т. 1. М., 1965.
6. Вейнберг С. Гравитация и космология. М., 1975.
Numerical analysis of the physical characteristics of the compact star with temperate concentration of a substance
A. S. Rokhmanenkov
Department of Quantum Theory and High Energy Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. E-mail: rohmanenkov@gmail.com.
We find numerical solutions of the gravitational equations (this equations suggested by Yu. M. Loskutov after modification Gilbert-Einstein equations) for internal and external physical characteristics of compact stars with temperate concentration of a substance when their gravitational fields are not too strong. Simulated the evolution of solutions when mass of the object is increase. We construct the corresponding graphs.
Keywords: gravitational field, gravitational equations, computer simulation. PACS: 04.70.-s, 95.30.Sf. Received 1 February 2012.
English version: Moscow University Physics Bulletin 5(2012).
Сведения об авторе
Рохманенков Александр Сергеевич — аспирант; тел.: (495) 939-16-47, e-mail: rohrnanenkov@grnail.com.
