CC BY
16
Издательский дом «Вильямс», 2003. - 1104 с.
12. Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F.G. Higher Transcendental Functions. Vol. 2 / McGhaw-Hill Book Company, Inc., 1953. - P. 396.
13. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. - М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 384 с.
ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ШЕННОНА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ СИГНАЛА В УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕНИЯ ПИКОВОЙ МОЩНОСТИ
О.А. Шорин, Генеральный директор ООО «НСТТ», профессор, д.т.н. [email protected]; Г.О. Бокк, директор по науке ООО «НСТТ» д.т.н., [email protected]
УДК 621.391:621.396_
Аннотация. Проводится анализ решения вариационной задачи Шеннона, полученного в первой части исследований. Показано, что при низких отношениях сигнал/шум амплитудно-фазовая структура сигнала мало влияет на предельную скорость информационного обмена. Существенное значение имеет только мощность сигнала. Но при высоких значениях сигнал/шум ситуация изменяется.
Ключевые слова: граница Шеннона; модуляция; радиоканал; пиковая мощность; амплитудно-фазовая плоскость.
NUMERICAL RESULTS OF THE SOLUTION OF THE VARIATIONAL SHANNON PROBLEM DETERMINING THE OPTIMAL SIGNAL STRUCTURE UNDER THE CONDITIONS OF PEAK POWER LIMITATION
Oleg Shorin, General director of LLC «NXTT», professor, doctor of technical science; German Bokk, science director of LLC «NXTT», doctor of technical science
Annotation. The analysis of the solution of the Shannon variational problem obtained in the first part of the research is carried out. It is shown that at low signal\noise ratios the amplitude-phase structure of the signal has little effect on the limiting speed of information exchange. Only signal strength is essential. But at high signal\noise values the situation changes.
Keywords: Shannon boundary; modulation; radio channel; peak power; amplitude-phase
plane.
Введение
В первой части материала (предыдущей статье), посвященной аналитическому решению, отмечалось, что скорость информационного обмена в настоящее время из чисто технического параметра превратилась в финансово-экономический показатель [1]. Поэтому важно не только рассчитать оптимальную структуру сигнала, обеспечивающую достижение максимальной скорости информационного обмена, но и оценить положительный эффект от ее использования. Это позволит составить основу для сопоставления, обоснованного выбора (или формирования сочетаний) между предлагаемым решением и известными технологическими решениями [2, 3]. Также результаты анализа могут оказаться полезными для определения места (значимости) найденного решения среди множества методов управления/настройки [47], применяемых для повышения эффективности обмена по каналам связи.
Показатели оптимального сигнального распределения
В соответствии с планом исследований, изложенным в первой статье авторов, в пункте «Г», с помощью численных методов были определены значения параметра а, обеспечивающие максимум количества информации в сигнальном отсчете и, как следствие, максимум достижимой границы для скорости безошибочного информационного обмена. Результаты были получены для двух типов характерных технических ограничений, состоящих в ограничении пиковой мощности транслируемого сигнала и в ограничении амплитудно-фазового сигнального портрета «квадратной маской».
На рис. 1а, 1б показаны результаты расчета зависимостей количества информации,
/ДТп (й) от величины а, выполненные для различных значений уровня РtopiРnoise (пиковый показатель сигнал/шум).
а) б)
Рисунок 1
Рис. 1а соответствует условиям ограничения пиковой мощности передачи, а рис. 1б -условиям ограничения сигнального портрета маской «квадратной формы».
Характер зависимостей ¡ху от размера параметра а непростой и существенно зависит от уровня PtoplPnoise, наблюдаемого на выходе канала. Особенности поведения семейства указанных зависимостей удобно наблюдать, если для каждой из них выполнить нормировку на
Рисунок 2
Характеристики на рис. 2 с ростом отношения Ptop/Pnoise (предельно достижимый уровень сигнал/шум на выходе канала) опускаются вниз, но при этом движение точек с аргументом a = 1 происходит медленнее, чем точек с промежуточными аргументами (в пределах a от 0,6 до 0,9). В результате, начиная с Ptop/Pnoise = 11 дБ (зависимость черного цвета) в характеристиках появляются зоны локального максимума (в области с a < 0,5) и локального минимума (в области с 0,6 < a <1). Но при этом абсолютный максимум характеристик сохраняется за позициями с a = 1, а абсолютный минимум за позициями с a = 0. При достижении уровня Ptop/Pnoise = 11,65 дБ (зависимость сиреневого цвета) локальный минимум достигает значения 1. Дальнейший рост Ptop/Pnoise приводит к тому, что локальный минимум становится меньше 1 и, следовательно, превращается в абсолютный. Увеличение отношения Ptop/Pnoise до 12,39 дБ (зависимость серого цвета) приводит к тому, что локальный максимум характеристик достигает показатели для a = 1. Дальнейшее, даже незначительное увеличение Ptop/Pnoise приводит к превышению локального максимума значений IXY top (1). Поэтому оптимальное значение параметра a скачком изменяется от 1 до 0,273. Последующее увеличение отношения Ptop/Pnoise приводит к непрерывному уменьшению оптимального значения a, которое не достигает 0 даже при бесконечном увеличении отношения сигнал/шум на выходе канала. Для подтверждения обнаруженного факта на рис. 3 показаны характеристики нормированного количества информации IXY/IXY(0) в окрестности малых a.
Ixr юр(а) Lxrюр (0) 1,0000003
1,0000002
1,0000001
0,9999999
0,9999998
0,9999997
0,9999996 О
Поведение характеристик количества информации в окрестности значений параметра a, близких к 1 , напрямую не сказывается на оптимальных показателях, но обладает определенными особенностями. На рис. 4 для примера в указанной области значений аргумента показано семейство зависимостей нормированного количества информации X top(a)/IxY top(1), рассчитанных для условий ограничения пиковой мощности сигнала. Как можно видеть, для значений a, стремящихся к 1 показатель количества информации всегда остается меньше X top(1). Даже при очень значительных показателях отношения пиковой мощности к уровню шума Ptop/Pnoise наблюдается локальный минимум количества информации в непосредственной окрестности аргумента a = 1. Это означает, что даже незначительное уменьшение средней мощности сигнала, возникающее при снижении параметра a от уровня 1, обладает более заметным негативным влиянием на показатель количества информации по сравнению с позитивным эффектом от увеличения размера области возможных сигнальных позиций на амплитудно-фазовой плоскости.
Рисунок 3
1,0005
Тху юр(а) 1хгтор (1)
1,00025
0,9Е>975
\ ^ Рго/Рт= 1/(20=) = 33 дБ \.35 40 45
МЕЧ Ч \ \ \ \ \
уГ /////
25/^ / 20/ / 15 Ал / / / /9 / П
0,992
0,994
0,996
0,998
а
Рисунок 4
В случае ограничений амплитудно-фазового сигнального портрета маской «квадратной формы» характер поведения зависимостей количества информации от параметра а принципиально не изменяется. Корректировки возникают только по параметрическим показателям: уровню Рор/Рп^хв, для которого возникает «отрыв» оптимального значения а от значения 1; глубины указанного «отрыва»; скоростью уменьшения оптимальных значений а при увеличении уровня Ршр1Рпо1хв и т.д.
На рис. 5а, 5б показаны оптимальные значения а (обеспечивающие максимальное количество информации) от уровня Рор1Рпо1$в (пиковое отношение сигнал/шум на выходе канала), рассчитанные для ограничений по пиковой мощности и ограничений сигнального портрета «квадратной маской», соответственно. Рис. 5а соответствует условиям ограничения пиковой мощности передачи, а рис. 5.б - условиям ограничения сигнального портрета маской «квадратной формы». Указанные зависимости приведены черными сплошными линиями со значениями, отсчитываемыми по основным осям графиков. Как видно, в обоих случаях наблюдается граничное значение уровня PtoplPnoisв, при котором происходит «отрыв» оптимального значения а от 1. Глубина «отрыва» в случае ограничения пиковой мощности больше, чем при ограничении амплитудно-фазового портрета «квадратной маской».
15 Р^-Р»,«=1/(20*) (дБ) 30
Рисунок 5
б)
15 (дБ)
Так, в первом случае оптимальное значение а скачком изменяется до уровня 0,273 (средняя мощность сигнала при этом уменьшается на 2,70 дБ), а во втором - до уровня 0,609 (средняя мощность сигнала при этом уменьшается на 1,80 дБ). Но с точки зрения изменения
количества информации уменьшение мощности в обоих случаях компенсируется увеличением размеров области возможного размещения сигнальных отсчетов на амплитудно-фазовой плоскости.
Можно видеть, что закон оптимального управления параметром а (обеспечивающий максимум количества информации), определяемый черными кривыми на рис. 5, достаточно сложный. Сначала (при малых значениях Ptop/Pnoise) требуется сохранение а на уровне 1, потом (при переходе Ptop/Pnoise через пороговый уровень) - скачкообразное уменьшение до некоторого фиксированного значения, а при дальнейшем увеличении Ptop/Pnoise - плавное уменьшение по закону монотонно убывающей функции, стремящейся к 0. Поэтому для практических приложений определенный интерес представляет упрощенный вариант субоптимального правила управления параметром а, со скачкообразным (релейным) переключением между 1 и 0 при переходах Ptop/Pnoise через заданный порог. Но в этом случае нужно ответить на два вопроса:
• как выбирать порог переключения;
• какие потери могут возникнуть при использовании субоптимального релейного
правила.
Ответить на эти вопросы удалось с помощью численного расчета потерь для множества значений порога переключения с последующим выбором среди них такого, для которого в наихудшей ситуации потери оказались минимальными (минимаксный критерий). При этом на последних этапах уточненных расчетов использовались итерационные процедуры. В результате удалось установить, что в условиях ограничений, накладываемых на пиковую мощность сигнала, оптимальным порогом переключения является уровень 13,0 дБ, а для условий ограничений сигнального портрета маской «квадратной формы» - уровень 9,7 дБ. Потери рассчитывались по формуле:
С = (1хт(аорг) - 1ху(а„иь)У 1хт(аор) (1)
где: 1ху(ар) - количество информации при оптимальном правиле управления параметром а (в соответствии с черными кривыми на рис. 5), 1ш(ашь) - количество информации при релейном (субоптимальном) правиле управления параметром а.
На рис. 5 красными штриховыми кривыми показаны зависимости потерь (1) от пикового уровня сигнал/шум (Ptop/Pnoise) на выходе канала связи в случае выбора порога переключения субоптимального правила по минимаксному критерию. Нужно отметить, что для ограничения пиковой мощности потери субоптимального правила невелики и не превосходят 1,87%. Но при ограничениях сигнального портрета маской «квадратной формы» такие потери могут достигать 10,9% в области значений Ptop/Pnoise порядка 9,7 дБ. Это уже существенно. Объяснение выявленного свойства состоит в том, что в условиях ограничения сигнального портрета «квадратной маской» оптимальное управление параметром а определяет закон с более «плавным» поведением, чем при ограничении пиковой мощности. И одновременно с этим для ограничения «квадратной маской» наблюдается существенно большее рассогласование между значениями 1хт(0) и 1хт(1), препятствующее достижению показателей близких к оптимальным. Таким образом можно заключить, что субоптимальное правило управления параметром а в условиях ограничений «квадратной маской» может приводить при определенных условиях к не очень большим, но ощутимым потерям скорости информационного обмена.
Сопоставительный анализ полученных результатов
На рис. 6 для сопоставления приведены области допустимого расположения сигнальных портретов на амплитудно-фазовой плоскости для случаев ограничения пиковой мощности и ограничения «квадратной маской». Как можно видеть условия ограничения по
пиковой мощности более мягкие, так как они всегда позволяют использовать равную или более высокую мощность и обладают большим размером пространства сигнальных отсчетов. Поэтому ясно, что при переходе от ограничений по пиковой мощности к ограничениям по «квадратной маске» будут возникать потери количества информации. Указанные потери для практических приложений удобно выражать через показатель эффективного снижения PtoplPnoise (отношения пикового уровня сигнала к шуму, наблюдаемое на выходе канала).
Результаты анализа удельных потерь количества информации и соответствующих энергетических потерь, возникающих при переходе от ограничений пиковой мощности к ограничениям сигнального портрета «квадратной маской», приведены на рис. 7. Синяя зависимость соответствует эффективным энергетическим потерям, значения которых отложены по основной вертикальной оси, красная - потерям количества информации в отдельном сигнальном отсчете, значения которых отложены по вспомогательной оси.
Рисунок 6
Рисунок 7
Нужно отметить, что в области больших значений PtoplPnoise эффективные энергетические потери составляют порядка 1,9 дБ, что достаточно близко совпадает с контрастностью мощностей сигналов с равномерно распределенными отсчетами в области круга и в области квадрата, показанных на рис. 6. А вот при уровнях PtoplPnoise меньших 0 дБ потери практически исчезают. Объясняется это тем, что в условиях больших уровней шума для передачи по каналу связи даже одного бита информации требуется накопление на приемной стороне. Поэтому тонкая структура отдельного сигнального отсчета практически не играет роли. Вся полезная составляющая отсчета содержится в его энергетическом показателе. В
результате эффективности при передаче отсчетов с расположением по окружности и по четырем позициям вершин квадрата (см. рис. 6) оказываются практически одинаковыми, так как в обоих случаях энергия отсчета одинакова.
В завершении приведем результаты сопоставления полученных показателей количества информации, определяющих предельную скорость обмена в условиях рассматриваемых ограничений на структуру сигнала, с показателями формулы Шеннона, задающей предельную скорость информационного обмена в условиях ограничения средней мощности гауссовского сигнала, которой повсеместно пользуются на практике, не принимая во внимание вопросы соответствия. Так как утвердившаяся форма расчета границы Шеннона базируется на заданном значении средней мощности сигнала в отсчете, то и сравнение будем выполнять в двух вариантах:
• когда средний уровень мощности отсчетов гауссовского сигнала равен технологическому показателю ограничения пиковой сигнальной мощности (Рор);
• когда средний уровень мощности отсчетов гауссовского сигнала совпадает со средней мощностью (Ршвс) найденных в первой части статьи сигнальных структур, оптимальных с точки зрения рассматриваемых технологических ограничений.
В первом случае естественно ожидать заметных «преимуществ» от применения гауссовского сигнала и, следовательно, существенно завышенных показателей границы Шеннона, рассчитываемой по традиционной форме. Во втором случае энергетика сигналов будет выравнена во всех рассматриваемых ситуациях и завышение показателей по причине использования гауссовской модели сигнала будет меньше. К таким двум вариантам приходится прибегать так как рассмотренные выше технические ограничения, накладываемые на структуры сигнальных отсчетов, не связаны со средней мощностью и, как мы видели, при определенных условиях уменьшение средней мощности сигнала может сопровождаться ростом верхней границы скорости информационного обмена. Поэтому существует определенный произвол в выборе условий соответствия между синтезированными и гауссовскими сигналами.
На рис. 8 приведены расчетные характеристики выигрышей, наблюдаемых при переходе от модели ограничений по пиковой мощности сигнальных отсчетов к модели ограничения средней мощности отсчетов, приводящей оптимальной гауссовской модели.
На рис. 9 приведены расчетные характеристики выигрышей, наблюдаемых при переходе от модели ограничений структуры сигнальных отсчетов «квадратной маской» к модели ограничения средней мощности отсчетов, приводящей оптимальной гауссовской модели.
Синие зависимости (значения отложены по основной вертикальной оси) на рис. 8, 9 показывают какой эффективный энергетический выигрыш будет иметь гауссовский сигнал над синтезированными сигналами исследованных ограничений при выполнении равенства предельных скоростей информационного обмена. Сплошные синие линии соответствуют выигрышу, рассчитанному относительно уровня пикового ограничения (Рор), штриховая -относительно уровня средней мощности сигнальных отсчетов исследованных ограничений (Ршвс1).
Зависимости красного цвета показывают (значения отложены по дополнительной вертикальной оси), какой относительный выигрыш по количеству информации в отсчете (по предельной скорости информационного обмена) будет обеспечиваться для модели гауссовского сигнала относительно сигналов исследованных ограничений. Фактически этот показатель устанавливает - на сколько завышенной будет граница Шеннона, рассчитываемая по традиционной форме, относительно реальной верхней границы информационного обмена, справедливой для условий исследованных технологических ограничений. Сплошные кривые красного цвета соответствуют случаю, когда мощность гауссовского сигнала равна пиковому уровню ограничения (Рор). Штриховая кривая красного цвета - соответствует случаям, когда
мощность гауссовского сигнала равна средней мощности (Ршес) сигналов исследованных технологических ограничений.
Рs^P Gauss
(ДБ)
4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1
0,5 0
Ргор/РGauss
/» / 1
/ 1 / 1 / 1 / I
' 1 Р Gauss - •i
1 1 1
1 1 Рmed/P Gauss
1 1____
^Gouk = Pmed — — — _
-10
10
15 20 25 Ptop'Pnoise (дБ) 40
(Jöauss-IxY top) Jüans s 0,45
0,4
- 0,35
■ 0,3
■ 0,25
■ 0,2
■ 0,15 0,1 0,05 0
Рисунок 8
Ps^P Gauss
(ДБ)
б 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1
0.5
0 --10
Также рис. 8, 9 показывают, что при малых уровнях отношения сигнал/шум (Ptop/Pnoise) эффективности всех сигналов, включая гауссовские, практически совпадают. Объясняется это тем, что накопление отсчетов, необходимое в таких условиях для формирования одной единицы информации (ната или бита), приводит к потере значимости структуры отдельных сигнальных отсчетов, но сохраняет зависимость от средней энергии, заключенной в отсчете.
При высоких отношениях сигнал/шум (Ptop/Pnoise) каждый отсчет содержит в себе несколько единиц количества информации и структура сигнальных отсчетов начинает играть ключевую роль в определении предельной скорости информационного обмена. В таких условиях игнорирование характера технологических ограничений путем подмены их на ограничение средней мощности может привести к существенным неточностям. Так,
(iGams-IxY I )■¡Gauss ■ 0.65
-5 0 5 10 15 20 25 РюрРцоае (дБ) 40
Рисунок 9
результаты рис. 8, 9 показывают, что если использовать модель ограничения средней МОЩНОСТИ сигнала по технологическому уровню пиковой мощности, то получим при Ptop/Pnoise >25 дБ занижение требований на энергетику, обеспечивающую заданную предельную скорость информационного обмена более чем на 4 дБ. А если просто игнорировать структурный фактор технологических ограничений и ориентироваться только на показатель средней мощности, то традиционная формула границы Шеннона приведет при Ptop/Pnoise >25 дБ к занижению требований на энергетику на 1,2-1,5 дБ.
Если же взять пример, исследованный в работе [8], связанный с бинарным сигналом, передаваемым по каналу с АБГШ при Ptop/Pnoise= 0,18 дБ, что соответствует исследованной модели с ограничением структуры «квадратной маской», то погрешность расчета по утвердившейся форме расчета границы Шеннона составит 0,19 дБ в сторону понижения требуемого уровня сигнала. В результате авторам [8] не удалось бы при таком подходе зафиксировать результат приближения к границе на 0,0045 дБ.
Заключение
Проведен анализ эффективности полученных в предыдущей статье точных решений второй вариационной задачи Шеннона в условиях ограничений, характерных для современных технологий передающих устройств и цифровых методов приема. Показано, что при высоких отношениях сигнал/шум применение широко утвердившейся формулы Шеннона, определяющей предел скорости информационного обмена при ограничении на среднюю мощность транслируемого сигнала, может приводить к существенным ошибкам, завышающим реально достижимые показатели. Объясняется это тем, что существующие технологические ограничения не сводятся к ограничению средней мощности, а, как правило, накладывается на пиковый уровень мощности передаваемого сигнала. Показано, что при пиковых сигнал/шум, превышающих 25 дБ, погрешность традиционно применяемой формулы Шеннона, ориентированной на модель гауссовского сигнала, передаваемого по каналу связи с АБГШ, в пересчете на уровень сигнала составляет более 4 дБ.
Литература
1. Володина Е.Е., Кухаренко Е.Г., Салютина Т.Ю. Экономические основы функционирования инфокоммуникационной компании // Экономика и качество систем связи, 2017. - № 4 (6). - С. 3-9.
2. Шорин О.А., Щучкин В.М. Использование интеллектуальных антенн в системах мобильной связи для снижения перегрузок // Труды МАИ, 2012. - № 53. - С. 19.
3. Шорин О.А., Аверьянов Р.С. Оценка уровня интерференций для сигналов с OFDM-модуляцией // Электросвязь, 2015. - № 12. - С. 55-59.
4. Шорин О.А. Методы оптимального распределения частотно-временного ресурса в системах подвижной радиосвязи / Диссертация на соискание ученой степени д.т.н.: 05.12.13. - Москва, 2005. - 351 с.
5. Косинов М.И., Шорин О.А. Повышение емкости сотовой системы связи при использовании зон перекрытия // Электросвязь, 2003. - № 3.
6. Шорин О.А., Орехов А.А., Шорин А.О. Качество обслуживания вызовов в сотовых системах связи с учетом замираний // Вестник РАЕН, 2009. - Т. 9. - № 2. - С. 57.
7. Шорин О.А. Вероятность перегрузки сотовых систем связи с учетом подвижности абонентов // Электросвязь, 2004. - № 5.
8. Chung S.Y., Forney G.D., Richardson T.J., Urbanke R.L. On the Design of Low-Density Parity-Check Codes within 0.0045 dB of the Shannon Limit // IEEE Communications Letters - February 2001. - Vol. 5, № 2. - P. 58 - 60.
