CC BY
21Математические методы моделирования, управления и анализа данных
УДК 517.977.1
ЧИСЛЕННЫЕ ОЦЕНКИ ВКЛЮЧЕНИЙ ТРУБОК ТРАЕКТОРИЙ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
А. Н. Рогалев
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: [email protected]
Изучаются гарантированные методы решения дифференциальных уравнений с учетом управляющих воздействий и возмущений. Приводятся результаты численного оценивания трубок траекторий управляемых систем.
Ключевые слова: трубки траекторий, гарантированные методы оценивания, символьные формулы.
NUMERICAL EVALUATION OF CONTROL SYSTEM INCLUSION TRAJECTORY OF TUBES AND SENSITIVITY FUNCTIONS
A. N. Rogalyov
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]
Guaranteed methods of differential equation solutions taking into account control actions and disturbances are studied in the article. The article presents the results of numerical evaluation of trajectory tubes of control systems.
Keywords: tube trajectories, guaranteed methods of estimations, symbolical formula.
Рассматриваются системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными или краевыми условиями, которые зависят от параметрических возмущений или неточностей задания коэффициентов системы а также начальных и краевых условий. Известны лишь границы, в которых они могут лежать. Среди математических описаний подобных задач мы выделим задачи проверки гарантированных условий безопасности и задачи построения множеств достижимости [1-5]. К числу таких прикладных задач относятся задачи об обходе препятствия, о построении управления, удерживающего траектории системы в заранее заданном множестве, в частности, на заданном многообразии и многое другое.
Структура управляемого объекта выражается системой дифференциальных уравнений
dy dt
= f (t, y, u)
(1)
с заданными классами допустимых управлений и начальными и конечными состояниями управляемого объекта.
В докладе строятся включения области достижимости управляемых систем с помощью гарантированного метода оценивания множеств решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе символьных формул для аппроксимации оператора сдвига вдоль траектории [6-10]. С помощью этих методов вычисляются границы множеств решений систем дифференциальных уравнений (трубок траекторий) в случае, когда поставлена задача с начальны-
ми данными или с краевыми условиями, для которых известны лишь границы всех возможных значений. Для уточнения этих границ применяются функции чувствительности, которые представляют собой производные переменных состояния по параметрам и начальным данным системы. Постановки таких задач связаны с оценками надежности функционирования сложных нелинейных управляемых систем: самолет, ракета, космический корабль. Общим принципом, на основе которого объединяется столь широкий класс задач, является анализ поведения состояния объекта (системы) при всем диапазоне возмущений, образованном экстремальными значениями этих параметров.
Множеством достижимости Y *(/) называется
множество всех точек из фазового пространства Rn, в которые можно перейти на отрезке времени [/0, T ] из всех точек начального множества фазовых состояний M0 по решениям системы (1) с начальным условием у(/0) е M0 и с допустимым управлением и(/). Точное или приближенное оценивание границ множества достижимости управляемой системы позволяет оценить предельные возможности системы управления, выбрать оптимальное управление.
Совокупность возмущённых траекторий управляемого полёта, соответствующих множеству предельно возможных возмущающих факторов, образует так называемую трубку возмущённых траекторий, или траекторный пучок У[•] = У {у[] = уО,0,У0)} [11].
У0еГ0
Решетнеескцие чтения. 2015
Ширина этой трубки характеризует качество стабилизации движения системой управления.
Выполнение гарантированных методов, основанных на аппроксимации оператора сдвига вдоль траектории, разделено на два этапа: предиктор и корректор.
На первом этапе (предиктор) происходит построение (запись) символьных формул приближенных решений как векторных функций:
Sn (Y 0) о Sn-1(Y 0) o ...o S 1(Y 0),
где вектор Y0 - вектор начальных значений, рассматриваемых как символьные величины. Затем вычисляется область значений Sy этой формулы.
На втором этапе (корректор) определяется гарантированная оценка глобальной ошибки приближенного решения R(Y0, t). Подробное описание этих шагов гарантированного метода дано в работах [6-10].
Для уточнения этих границ применяются функции чувствительности, которые представляют собой производные переменных состояния по параметрам и начальным данным системы.
Результаты применения методов, основанных на аппроксимации оператора сдвига вдоль траектории, дают хорошие оценки множеств решений, отклонение которых от точных решений стремится к 0 при уменьшении шага сетки.
Библиографические ссылки
1. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М. : Наука, 1977. 390 с.
2. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М. : Наука, 1988. 320 с.
3. Chernousko F. L. State Estimation for Dynamic Systems. Boca Raton : CRC Press, 1994. 304 p.
4. Черноусько Ф. Л. Эллипсоидальные аппроксимации множеств достижимости управляемых линейных систем с неопределенной матрицей // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60, № 6. С. 940950.
5. Куржанский А. Б., Фурасов Б. Д. Задачи гарантированной идентификации билинейных систем с дискретным временем // Известия Академии наук. Теория и системы управления. 2000. № 4. С. 5-12.
6. Новиков В. А., Рогалев А. Н. Построение сходящихся верхних и нижних оценок решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993. Т. 33, № 2. С. 219-231.
7. Рогалев А. Н. Гарантированные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе преобразования символьных формул // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8, № 5. С. 102-116.
8. Рогалев А. Н. Гарантированные оценки и построение множеств достижимости для нелинейных управляемых систем // Вестник СибГАУ. 2010. 5(31). С. 148-154.
9. Rogalev A. N. Calculation of Guaranteed Boundaries of Reachable Sets of Controlled Systems // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing.
2011. Vol. 47, № 3. P. 287-296.
10. Рогалев А. Н., Рогалев А. А. Численный расчет включений фазовых состояний в задачах наблюдения за движением самолета // Вестник СибГАУ. 2012. № 1(41). С. 53-57.
11. Лисин В. В., Филиппова Т. Ф. Об оценивании траекторных трубок дифференциальных включений // Труды института математики и механики УрО РАН. 2000. Т. 6, № 2. С. 435-445.
References
1. Kurzhanskiy A. B. Upravlenie i nablyudenie v usloviyakh neopredelennosti. [Control and Observation under Uncertainty]. Moscow : Nauka Publ., 1977. 390 p.
2. Chernousko F. L. Otsenivanie fazovogo sostoyaniya dinamicheskikh sistem [Estimation of Phase State of Dynamic Systems]. Moscow, Nauka Publ., 1988. 320 p.
3. Chernousko F. L. State Estimation for Dynamic Systems. Boca Raton : CRC Press, 1994. 304 p.
4. Chernousko F. L. [Ellipsoidal approximation of reachable sets of controlled linear systems with uncertain matrix] // Prikladnaya Matematika i Mechanika. 1996. Vol. 60, no. 6, рp. 940-950. (In Russ.)
5. Kurzhanskii A. B., Furasov B. D. [Problems of Guaranteed Identification of Bilinear Systems with Discrete Time] // Izvestiya Akademii Nauk. Teoriya i sistemy upravleniya. 2000. No. 4, рp. 5-12 (In Russ.).
6. Novikov V. A., Rogalyov A. N. [Construction of convergent upper and lower estimations of Solutions of Ordinary Differential Equations Systems] // Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. 1993. Vol. 33, no. 2, рp. 219-231 (in Russ.).
7. Rogalyov A. N. [Guaranteed Methods for Ordinary Differential Equations Solving Based on Symbolic Formulae Development] // Vychislitel'nye tekhnologii. 2003. Vol. 8, no. 5, рp. 102-116 (in Russ.).
8. Rogalyov A. N. [Guaranteed Bounds and Reachable Sets Constructing for Nonlinear Controlled Systems] // Vestnik SibGAU. 2010, no. 5(31), рp. 148154 (in Russ.).
9. Rogalyov A. N. Calculation of Guaranteed Boundaries of Reachable Sets of Controlled Systems // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. Allerton Press. 2011. Vol. 47, no. 3, рp. 287-296.
10. Rogalyov A. N., Rogalyov A. A. Numerical Computations of Phase States Inclusions for Problems of Aircraft Displacement Inspection // Vestnik SibGAU.
2012. No. 1(41), рp. 53-57 (in Russ.).
11. Lisin V. V., Filippova T. F. Ob ocenivanii traektornyh ntubok differenzialynych vklyucheniy // Trudy institute natematiki I mechaniku UrO RAN. 2000. Т. 6, no. 2, рр. 435-445 (in Russ.).
© Рогалев А. Н., 2015
