CC BY
0УДК 51 Акмырадов Я. Ч., Хекимбаева Ш., Оразмырадова Г. Ч.
Акмырадов Я.Ч.
преподаватель кафедры «Общая математика» Туркменский государственный университет им. Махтумкули (Туркменистан, г. Ашгабад)
Хекимбаева Ш.
студент 2-го курса факультета "Математика" Туркменский государственный университет им. Махтумкули (Туркменистан, г. Ашгабад)
Оразмырадова Г.Ч.
студент 2-го курса факультета "Математика" Туркменский государственный университет им. Махтумкули (Туркменистан, г. Ашгабад)
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
Аннотация: численные методы играют ключевую роль в решении задач математического анализа, особенно там, где точные аналитические методы неприменимы. В данной статье рассматриваются основные численные методы, такие как метод Ньютона для нахождения корней уравнений, методы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций и Симпсона), а также методы решения дифференциальных уравнений (метод Эйлера). Приводятся примеры применения этих методов и обсуждаются их преимущества и ограничения.
Ключевые слова: численные методы, метод Ньютона, численное интегрирование, метод Эйлера, метод Симпсона, дифференциальные уравнения, численный анализ.
Введение.
Численные методы являются важной частью математического анализа и играют центральную роль в прикладной математике. Эти методы применяются для решения задач, где аналитические (точные) решения невозможны или затруднены. С их помощью можно приближённо решать уравнения, вычислять интегралы и производные, а также решать задачи оптимизации.
Основные задачи математического анализа.
Математический анализ занимается изучением функций, пределов, производных и интегралов. Некоторые задачи могут быть решены аналитически, используя точные формулы. Например, интегрирование функций может быть выполнено по известным формулам, если функции имеют простую структуру. Однако во многих практических приложениях встречаются более сложные задачи, где такие методы либо неэффективны, либо неприменимы.
Примером может служить уравнение, которое не имеет аналитического решения, но может быть решено с помощью приближённых методов, таких как метод Ньютона или метод половинного деления. Подобные задачи встречаются в различных областях науки и техники: от физики до экономики.
Метод Ньютона.
Один из самых известных численных методов — это метод Ньютона (или метод касательных). Он используется для нахождения приближённых решений уравнений вида \( Дк) = 0 \). Суть метода заключается в последовательном уточнении корней уравнения с помощью касательных к графику функции.
Описание метода.
Пусть необходимо найти корень уравнения \( А^) = 0 \) на интервале \( Ь] \). Начальное приближение \( x_0 \) выбирается вблизи предполагаемого корня. На каждом шаге вычисляется новое приближение по формуле:
x_{n+1} = x_n - \frac { Дх_п) (х_п) }
Где \( ^х_п) \) — производная функции в точке \( x_n \). Процесс продолжается до тех пор, пока разница между двумя последовательными
приближениями не станет достаточно малой, что говорит о нахождении корня с нужной точностью.
Метод Ньютона особенно эффективен, когда производная функции легко вычисляется, а начальное приближение достаточно близко к истинному корню. Однако метод может не сработать, если функция имеет сложную структуру или если начальная точка выбрана неудачно.
Методы численного интегрирования.
Интегралы — важная часть математического анализа, особенно в физике и инженерии, где интегрирование часто используется для расчета площадей, объемов и других величин. Однако не все интегралы можно вычислить точно с помощью аналитических методов. В таких случаях применяются численные методы интегрирования.
Метод прямоугольников.
Один из самых простых численных методов интегрирования — метод прямоугольников. Он заключается в приближении кривой под интегралом набором прямоугольников, площадь которых легко вычисляется.
Для функции \( ^х) \), определенной на отрезке \( [а, Ь] \), интеграл может быть приближён по формуле:
\1п1_аАЬ Д(х) ёх \approx \8иш_{1=1}А{п} ^х_1) \Delta х
Где \Delta х — ширина каждого прямоугольника, а \( 1^х_1) \) — значение функции в точке \( х_ \).
Этот метод прост, но его точность зависит от того, как много прямоугольников используется для аппроксимации функции. Чем больше прямоугольников, тем точнее результат.
Метод трапеций.
Метод трапеций — более точный метод численного интегрирования, который улучшает метод прямоугольников за счет использования трапеций вместо прямоугольников. При этом каждая трапеция аппроксимирует небольшую часть кривой функции.
Формула для численного интегрирования методом трапеций выглядит следующим образом:
\Ш_аЛЬ Дх) ёх \approx \й-ас{\Бека х}{2} \1ей( Да) + 2\виш_{1=1}л{п-1} Дх_0 + ДЪ) \right)
Метод трапеций обычно дает более точные результаты по сравнению с методом прямоугольников при том же числе шагов.
Метод Симпсона.
Еще более точный метод численного интегрирования — это метод Симпсона, который использует параболы для аппроксимации кривой функции. Метод Симпсона часто применяется, когда требуется высокая точность при небольшом числе шагов.
Формула для метода Симпсона:
\т^аЛЬ Дх) ёх \approx \йас{ШеИа х}{3} \1е^( Да) + 4^иш_^=1,3,5}л{п-1} f(x_i) + 2^иш_^=2,4,6}л{п-2} f(x_i) + ДЪ) \right)
Метод Симпсона может значительно улучшить точность вычисления интегралов по сравнению с методами прямоугольников и трапеций.
Решение дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения — ещё одна важная область математического анализа, где применяются численные методы. Многие реальные процессы, такие как движение частиц или изменение популяций, описываются с помощью дифференциальных уравнений, которые не всегда можно решить аналитически.
Метод Эйлера.
Один из простейших численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений — метод Эйлера. Он основывается на приближении решений уравнений с помощью конечных разностей. Для уравнения \( у'(х) = Дх, у) \) с начальным условием \( у(х_0) = у_0 \), решение на интервале может быть приближено с шагом \( h \) по формуле:
у_{п+1} = у_п + h Дх_п, у_п)
Метод Эйлера прост в реализации, но требует малого шага \( И \) для достижения приемлемой точности. Для улучшения точности используются более сложные методы, такие как метод Рунге-Кутты.
Заключение.
Численные методы играют важнейшую роль в математическом анализе, позволяя решать задачи, которые невозможно решить аналитически. От нахождения корней уравнений до численного интегрирования и решения дифференциальных уравнений — все эти методы помогают в прикладных задачах науки и техники. Современные численные методы продолжают развиваться, предлагая всё более точные и эффективные инструменты для решения сложных математических задач.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Буткевич А. В. Численные методы в задачах математического анализа. — М.: Наука, 2010;
2. Зайцева Е. И. Введение в численные методы. — СПб.: Лань, 2015;
3. Крылов В. И. Численные методы и их применение. — М.: МГУ, 2008;
4. Ральстон А., Рабиновиц Ф. Первоначальные численные методы. — М.: Мир, 1980;
5. Сули Э., Мейер Д. Введение в численные методы. — М.: Физматлит, 2005.
Akmyradov Y.Ch., Hekimbayeva Sh., Orazmyradova G.Ch.
Akmyradov Y.Ch.
Turkmen State University named after Magtymguly (Turkmenistan, Ashgabat)
Hekimbayeva Sh.
Turkmen State University named after Magtymguly (Turkmenistan, Ashgabat)
Orazmyradova G.Ch.
Turkmen State University named after Magtymguly (Turkmenistan, Ashgabat)
NUMERICAL METHODS IN MATHEMATICAL ANALYSIS
Abstract: numerical methods play a key role in solving problems of mathematical analysis, especially where exact analytical methods are inapplicable. This article discusses the main numerical methods, such as Newton's method for finding roots of equations, numerical integration methods (rectangles, trapezoidal, and Simpson's methods), as well as methods for solving differential equations (Euler's method). Examples of the application of these methods are given, and their advantages and limitations are discussed.
Keywords: numerical methods, Newton's method, numerical integration, Euler's method, Simpson's method, differential equations, numerical analysis.
