Численные методы решения интегральных уравнений с постоянными запаздываниями Текст научной статьи по специальности «Математика»

АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

УДК 517.9 А. Н. Тында

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

Аннотация. Предлагаются итерационные численные методы решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра с различного рода запаздывающими аргументами. Такие уравнения с задержками являются удобным аппаратом моделирования динамических систем. В частности, они используются в моделях популяций, структурированных по возрасту с конечной продолжительностью жизни. В основе предлагаемых методов лежит линеаризация интегральных операторов по схеме Ньютона - Канторовича.

Ключевые слова: нелинейные интегральные уравнения Вольтерра, запаздывающие аргументы, метод Ньютона - Канторовича, линеаризация.

Введение

Функциональные уравнения (дифференциальные, интегральные и интегро-диффе-ренциальные) с различного рода отклоняющимися аргументами (задержками) являются универсальным средством моделирования динамических систем в ряде областей физики, техники, медицины, экономики и т.д. (см., например [1-3])- При этом они обеспечивают наиболее реалистичное отражение свойств наблюдаемых процессов, являясь зачастую единственным математическим аппаратом для их описания. Интегральными динамическими моделями c запаздываниями можно описывать большое многообразие процессов. Такие модели учитывают эффект памяти динамических систем, когда прошлые состояния системы воздействуют на развитие в будущем. Интегральные уравнения с отклоняющимися аргументами (задержками) являются удобным аппаратом моделирования динамических систем в ряде областей физики, техники, экономики и т.д. Точные решения таких уравнений в большинстве нетривиальных случаев не могут быть найдены аналитически, поэтому актуальной является разработка эффективных численных методов их решения.

В данной работе построен ряд численных методов решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра с одной и несколькими постоянными задержками.

1. Нелинейное уравнение с одним запаздывающим аргументом

Рассмотрим сначала уравнение, предложенное в [1] и имеющее следующий вид

it rt-x

k (t, s) x( s) ds +1 h(t, s, x(s ))ds + f (t), (1)

0 »0

где xeR, x >0 - постоянная задержка, t е[0,Г], x(t) = y(t), при t e[-x,0) - заданная предыстория.

В работе [1] предложен прямой коллокационный метод решения (1), линейные уравнения с задержками изучаются также в [2, 3]. Интегральным уравнениям

с неизвестными нелинейными задержками посвящены работы [4, 5]. Прямой метод решения уравнения I рода с постоянной задержкой предлагается в [6]. Интегро-дифференциальному уравнению с запаздывающими аргументами посвящена статья [7]. Хорошо известно, что для интегральных уравнений с переменными пределами интегрирования весьма эффективными являются итерационные методы (см., например, [8]). В работе [9] к решению уравнения (1) адаптирован метод простой итерации.

В этом параграфе предложим два итерационных численных метода решения (1).

1.1. Метод простой итерации

Пусть функции f (t), ф(У), k(t, 5) и h(t, s, x(s)) являются непрерывными функциями своих аргументов и, кроме того, для любой пары величин x1 и x2 имеет место неравенство

| h(t, s, xj) - h(t, s, X2)| < g (t, s)| xj - X2 |,

где g (t, s) - непрерывная функция своих аргументов.

В качестве начального приближения итерационного метода выберем функцию

о

x0(t) = f(t) - J h(t, s, q>(s))ds, t e [0,T]. (2)

t -x

Последовательные приближения xm, m = 1,2,..., определяются затем из соотношений

t t-x

xm (t) = Jk(t, s)xm-1(s)ds + J h(t, s, xm-1 (s))ds + f (t), t e[0,T]. (3)

о 0

Решение уравнения (1) определяем как предел последовательных приближений x(t) = lim xm (t). При этом для каждого номера m при t e [-x, 0) полагаем xm (t) = ф(t).

Для дискретизации соотношений (2)-(з) на отрезке [0,T] введем сетку узлов (необязательно равномерную)

0 = t0 < tj < t2 < . < tN =T, hmaxx = max(t, - tM) = O(N-1). (4)

i=1, N

Последовательные приближения решения уравнения (1) на каждом шаге итерационного процесса (3) будем искать в виде кусочно-постоянных функций

xm (t) = NxmR (t)t e (0 T] Я (t) = J1, "РИ teA =(ti-1,ti] (5)

xN(t) = Lxi Si(t) t e (0,T], Si(t) = 1 n ^ л (5)

i=1 [0, при t £ A,

с неопределенными пока коэффициентами x™, i = 1, N.

С целью упрощения изложения введем следующие обозначения

xm (t, )=xm, f (t, )=f, k

с t +1 ^

v /

Г t,i +1, л = k h t 3 3 xm Kij, " 4, » ,xl

l 2

3

Обозначим через , I = 0, N номер отрезка разбиения (4), на который попадает значение ti -т, а точнее

= |0, при tl -те[-т,0); Vi '13, при t]_l < ^ -т < tJ.

При ti -т <0 имеем

г. ; 1

х? = Ё Iк('«,5)ХТ1^ - | , ф))сь+у;., ; = о,N. (6)

При г; -т> 0 имеем

1=1г1 -1

г ■ ,, I (■

; 1 у;-1 1

Х? = Ё | к(г., 5)Х?-1(5+ Ё | Кг,, 5, Х?-1(

1=1г1-1 1=1г1-1

Л(г,, 5, х?-1( + /,; = 0, N. (7)

Аппроксимируя в соотношениях (6) и (7) интегралы по формуле средних прямоугольников, получаем окончательные выражения для определения приближений

х? , ; = 0^, т = 1,2,..:

; о

х? = Ё(0 -11)1?- - I Кг,, 5, + у , при гг -т < 0; (8)

1=1 г-т

г V;-1

х? = Ё(г1 - г^Х-1 + Ё ^ - г,-Л +

1=1 1=1

+(г; -т- гу _1)Л

' г; -т + гу ; -1 > г _1— х?-1

';> 2 ' V

V

у, при -т> 0. (9)

(Для вычисления интеграла по предыстории в (8) также применяется квадратурная формула средних прямоугольников по вспомогательной сетке узлов с шагом, зависящим от величины т- г; и не превосходящим Лшах).

1.2. Итерационный метод с линеаризацией

Перепишем теперь уравнение (1) в следующем виде:

^г гг-т

0к (г, 5) х(5 -|0 к(г, 5, = / (г). (10)

Для построения численного решения уравнения (10) введем нелинейный интегральный оператор

^г рг-т

к(г, 5) х(5)^5 -I Н(г, 5, х(5))^5 - / (г). (11)

0 »0

Найдем производную (по Фреше) нелинейного оператора ¥х в точке х0 (г), где х0 (г) -начальное приближение,

^'[ Х0]( х(г)) = Нш

. ^ (Х0(г) + юх(г)) - ^ (Х0(г))

Ю

1 / гг ы-т

НШ— Х0(г) +ЮХ(г) - I к (г, 5)( х0(5) + ЮХ(5 - I И(г, 5, х0( 5) + юх( Ю V ^ ^

0

г.-т

г 1

V. -1

-/(0 - *0 С) + \к(t, 5)Х0 (^ +|0 5, %0 (^ + /(ОI =

. . г! гГ-т h(t, 5, х0(5) + юх(?)) -h(t, 5, х0(5)) , : х(!) - I к^, 5)х(^ - 11т I -—- ^ ds =

1,0 ю^Г0 ю

= х(0 - I'к(t,5)х(5)- Iтдк(,5Х0(5)) хС^. * 0 ^0 яъ*

^ дх

Таким образом, получаем

¥'[х0](х(1)) = х(0 - ^к(t,5)х(^ - Ю" ^^,^ х((12)

Уравнение (1) в операторной форме имеет вид ¥х = 0. Применим к нему метод Ньютона - Канторовича:

¥'(хи-1)( хп-хп_х) = -¥( х^!), п = 0,1,..., (13)

х„ = хп-1-[ ¥'(хп-1)]-1 • ¥ (хп-1), (14)

где [¥'(хп-1)]-1 - обратный оператор для линейного оператора ¥'[хп-1](х(')) , вычисленного в точке хп 1 .

п 1

Таким образом, в развернутом виде имеем последовательность приближенных решений хп, определяемых из уравнений:

(хп ^) - хп-1 ^)) - ^к^, 5)(хп (5) - хп-1 -

г-тд/», ..у») (хп (5) - хп-,(5 ))ds = -х_ 1(t) + (15)

10 дх

+]/(t,5)хп-1 (.)d. +10 ,5,хп-1 (.))d. + /^).

(16)

Обозначим для краткости Нх ^, 5, х) = 5 х). Тогда уравнения (15) можно преобразо-

дх

вать к виду, удобному для нахождения очередного приближения в итерационном процессе:

хп ^) - ^, 5)хп (.)d. - ^ ХНХ ^, 5, хп-1 (5))хп (^ = = /^) + Ю Х 5, хп-1 (5)) - Нх ^, 5, хп-1 (5))хп-1 (5)]. Обозначив через ¥ п ^) правую часть уравнения (16)

¥п ^) = /^) + Ю, 5,Хп_1 (5)) - Нх ^, 5, хп-1 (5))хп- (5)] ], (17)

получим окончательно

хп ^) - |0к ^, 5) х„ (^ - -ТНх Ц, 5, х^)) хп (.)d. = ^ п (t), » = 1,2,... (18)

Для решения уравнений вида (18) можно применять прямые коллокационные (см., например, [1]) или итерационные методы [9]. В данной работе применим метод последовательных приближений в следующей форме:

хт а )=у и (г)+{/ (г,*) +

, 0 (19)

|о ТИх(г,5,хп_^))п = 1,2,...,

где хП^) = Уп(г) - начальное приближение для метода последовательных приближений, а хп_1(г) - приближенное решение, полученное на (п -1) итерации Ньютона - Канторовича. При дискретизации (19) используется адаптивная сетка, построенная для каждого фиксированного числа разбиений отрезка [О, Т] в зависимости от величины задержки т .

2. Нелинейное уравнение с двумя запаздывающими аргументами

2.1. Постановка задачи

Данная глава посвящена численному исследованию решений интегрального уравнения с двумя постоянными задержками, рассмотренного в [3] и имеющего следующий вид:

х _т1

у(0 = ДО +| к(г - s)g(у(з))сЬ, г е[т2,Т], (20)

г _т2

где т1, т2 - константные задержки, у(г) = ф(г) при г е[0,т2]. Здесь ф(г) - известная функция, удовлетворяющая условию

т2 _т1

ф(Т2) = /(Т2) + | к(Т2 _ 5)g(ф(5))^5. (21)

О

Предполагается также, что функции ф(г), / (г), к (г) как минимум непрерывные функции на отрезках [0,т2], [0,Т] и [т1,т2], соответственно. Функция g(у) удовлетворяет условию Липшица.

Условие (21) гарантирует непрерывность точного решения у(г) при г > 0. Однако производные у(г),I = 1,2,.. точного решения в общем случае могут иметь конечные разрывы [3]. Производная у'(г) терпит разрыв в точке т2, вторая производная у"(г) -в точках т2, т2 +т1,2т2 и т.д. При этом у(1) - непрерывны при г > Iт2 .

Уравнения вида (20) находят применение, в частности, в моделях популяций, структурированных по возрасту с конечной продолжительностью жизни. В работе [3] для таких уравнений предлагается прямой квадратурный метод. Метод предварительно апробирован на более простом тестовом уравнении, допускающем аналитическое решение:

г _т1

у(0 = 1 + | ( + ц(г _ 5))уг е[т2,Т], Я,це Я. (22)

г _т2

Предложим итерационный численный метод решения задачи (20)-(21), основанный на линеаризации по схеме Ньютона - Канторовича.

2.2. Описание метода

Для построения численного решения уравнения (20) введем нелинейный интегральный оператор, имеющий вид:

г _т1

П[ у ](г) - у (г) _ | к (г _ 5) g (у( з))сЬ _ / (г). (23)

г _т2

Обозначив через у0(г) начальное приближение, найдем производную Фреше оператора П в точке у0 (г):

П'[Л№) = 11т П(у0(г) + 5у(>)) -п(у0(г)) =

5^0 О

^ г_Т1

у0 (г) + 5у(г) _ | к (г _ 5) g (у0 (5) + 5у( з))Ж _/ (г) _ у0 (г) + / (г) +

1

= Нт—

5^0 5

V

1 1 Г1,

+ Г к (г _т) g (у0( 5)))Ж = у (г) _11т- Г к (г _т)( g (у,0(5 ) + 5у ( 5)) -g (у0(5)))^5^

г . А Л

5^0 5

г_т~ I

2 У

г _Т

:у(г) _ Г к (г _ 5)11т g (у0(5) + 5-у(;)))-g (у0( 5)) у(5)^ = г_Т 5^0 5у(5)

1

= у(г) _ Г к (г _ 5) g '(у0(5)) у(

г _т2

Обозначив g0( 5) = g '(у0(5)), получаем

х _т1

п '[у0 ] у - у(г) _ Г к (г _ 5) gо (5) у( (24)

г _т2

Уравнение (20) в операторной форме имеет вид ¥у = 0, итерационный процесс Ньютона - Канторовича применительно к этому уравнению имеет вид

п'[уп_1](уп _уп_1) = (уп_1), п = 0,1,..., (25)

уп = уп_1 '[уп_1])_1 П(уп_1), (26)

где (П'[уп_1]) 1 - обратный оператор для линейного оператора П'[уп_1](у(г)).

Таким образом, в развернутом виде имеем последовательность приближенных решений уп , определяемых из уравнений:

1

уп (г) _ уп_1 (г) _ Г к (г _ 5) gn _1 (5)( уп (5) _ уп_1 (5))Ж -

1

= /(г) _ уп_1(г) + Г к (г _ ^ (уп^)^, п = 0,1,...,

г _т2

где gn_1(5) = g'(уп_1(5)) .

Обозначим через У п (г) правую часть линейного интегрального уравнения на шаге п:

У

1

, (г) = / (г) + Г к (г _ 5)[ g (уп_1 (5)) _ gn_l (5) уп_1 (*)]Ж.

г _т2

г _т2

х _т2

Имеем окончательно

?-т1

уп(0к^-^я^^)Уп(= ^п(t), п = 1,2,... (27)

*-т2

Для решения линейного интегрального уравнения (27) на каждой итерации п строится прямой квадратурный метод первого порядка точности, основанный на аппроксимации уп ^) кусочно-постоянной функцией и применении квадратурной формулы прямоугольников. При этом при дискретизации (27) используется адаптивная сетка, построенная для каждого фиксированного числа N разбиений отрезка [т2,Т] в зависимости от величин задержек т1 и т2 .

Библиографический список

1. Calió, F. About the deficient spline collocation method for particular differential and integral equations with delay / F. Calió, E. Marchetti, R. Pavani // Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino. -2003. - Vol. 61. - № 3. - P. 287-300.

2. Cardone, A. Gaussian direct quadrature methods for double delay Volterra integral equations / A. Cardone, I. D. Prete, C. Nitsch // Electronic Transactions on Numerical Analysis. - 2009. -Vol. 35. - P. 201-216.

3. Messina, E. A convolution test equation for double delay integral equations / E. Messina, E. Russo,

A. Vecchio // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2009. - Vol. 228, iss. 2. -P. 589-599.

4. Тында, А. Н. Решение систем нелинейных интегральных уравнений с неизвестными задержками / А. Н. Тында // Труды СВМО. - 2007. - Т. 9. - № 1. - С. 253-259.

5. Tynda, A. N. Iterative numerical method for integral models of a nonlinear dynamical system with unknown delay / A. N. Tynda // PAMM. - 2009. - Vol. 9, iss. 1. - P. 591-592.

6. Тында, А. Н. Интегральная модель динамической системы с конечной памятью / А. Н. Тында,

B. А. Алякина // Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем : сб. ст. VI Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза : Приволжский Дом Знаний, 2012. - С. 45-49.

7. Тында, А. Н. Об одном интегро-дифференциальном уравнении с задержкой / А. Н. Тында,

A. И. Королева // Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем : сб. ст. IX Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2015. -

C. 129-133.

8. Верлань, А. Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А. Ф. Верлань,

B. С. Сизиков. - Киев : Наукова Думка, 1986.

9. Тында, А. Н. Численный метод решения нелинейного интегрального уравнения с константной задержкой / А. Н. Тында, М. А. Можарова // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем : сб. ст. XI Междунар. науч.-техн. конф. -Пенза : Изд-во ПГУ, 2016. - С. 76-80.

Тында Александр Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Высшая и прикладная математика», Пензенский государственный университет. E-mail: tyndaan@mail.ru

удк 517.9

Тында, А. Н.

Численные методы решения интегральных уравнений с постоянными запаздываниями / А. Н. Тында // Вестник Пензенского государственного университета. - 2017. - № 3 (17). - С. 39-45.