Численные методы расчёта показателя эффективности вспомогательной подсистемы в системе электронного документооборота Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

И.Г. Дровникова,

доктор технических наук, доцент

П.В. Зиновьев,

Воронежский институт правительственной связи

Е.А. Рогозин,

доктор технических наук, профессор

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЁТА ПОКАЗАТЕЛЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПОДСИСТЕМЫ В СИСТЕМЕ ЭЛЕКТРОННОГО ДОКУМЕНТООБОРОТА

CALCULUS METHODS FOR THE CALCULATION OF SUPPORTING SUBSYSTEMS EFFICIENCY INDEX IN ELECTRONIC DOCUMENT

MANAGEMENT SYSTEMS

Приводится расчёт показателя эффективности вспомогательной подсистемы системы электронного документооборота (СЭД) с использованием операционного метода преобразования Лапласа и численного метода Гаусса решения системы алгебраических уравнений. Представлен алгоритм расчёта показателя эффективности вспомогательной подсистемы СЭД, который впоследствии может быть использован для разработки комплекса программ.

Calculation of the supporting subsystem efficiency index in electronic document management system (EDMS) is given, using the operation method of the Laplace transform and numerical method for solving a system of algebraic equations by Gaussian elimination. The algorithm for calculation of the supporting subsystem efficiency index in EDMS is presented, which subsequently can be used to develop complex program.

Введение. В ГОСТ 28195-89 [1] для оценки эффективности программных средств вводится показатель временной эффективности — способность программы выполнять заданные действия в интервал времени, отвечающий заданным требованиям. Особенностью вспомогательных подсистем (ВП) СЭД является их непостоянное ис-

полнение, связанное с особенностями эксплуатации СЭД. В статье предлагается оценивать эффективность ВП, основываясь на представлении модели динамики её функционирования конечным полумарковским процессом (КПП), в котором обращение к ВП соответствует входу в начальное состояние КПП, а завершение выполнения ВП основных функций по данному обращению - входу в конечное его состояние. Для решения задачи анализа КПП необходимо определить интервально-переходные вероятности данного процесса [2].

Математическая модель оценки эффективности вспомогательной подсистемы системы электронного документооборота. Полумарковскую матрицу, описывающую КПП, моделирующий динамику функционирования ВП [3] для определения показателя эффективности, можно представить в виде

^ (т) = вЬ (т)||, А = Гп , Ь = ~п . (1)

Элемент 8у аЬ(т) данной матрицы определяет вероятность перехода соответствующего КПП из состояния а непосредственно в состояние Ь, не превысив определённое время т:

8у аЬ(т) = Ру аЬРу а (т) , а = 1П , Ь = \П , (2)

где Ру а (т) — функция распределения времени нахождения КПП в а-м состоянии; р у аЬ —

вероятность перехода КПП из а-го состояния в Ь-е при условии нахождения КПП в состоянии а.

Функции распределения Ру а (т), а = 1, п характеризуются процедурами временной задержки соответствующих им переходов ориентированного графа, формализующего динамику функционирования ВП, а вероятности перехода р аЬ, а = 1, п , Ь = 1, п определяются разрешающими процедурами. При определении показателя эффективности ВП в СЭД законы распределения для функций Руа (т) полагаются известными. Однако параметры данных функций, а также вероятности перехода р аЬ априори могут иметь только

предварительные значения. Последующая корректировка этих значений основывается на статистической обработке данных, характеризующих параметры реализации отдельных функций ВП при выполнении функциональных задач в СЭД.

Показатель эффективности ВП в СЭД, описывающий вероятностно-временные характеристики (ВВХ) динамики функционирования ВП, оценивается вероятностью достижения КПП конечного состояния в установленное время. Из этого следует, что для исследования ВВХ динамики функционирования ВП основой является система уравнений, описывающих полные вероятности переходов из любых состояний КПП в конечное состояние за время, не превышающее т. Определённая на основе анализа системы уравнений интервально-переходных вероятностей КПП [2], данная система уравнений может быть представлена в виде

п-1 -

Ку а (т) = Ру ап ■ Ру а (т) + 1 Ру аЬ ' Ру а (т) ' Ку ь (т) , а = \п-1 , (3)

Ь=1

где Ку а(т) — вероятность достижения находящегося в а-м состоянии КПП конечного состояния п за время, не превышающее т.

Приведённая система уравнений (3) объединяет ВВХ отдельных состояний КПП, характеризующих состояния функционирования ВП, с ВВХ КПП, характеризующих динамику функционирования ВП в целом.

Для решения системы уравнений (3) применим операционный метод преобразования Лапласа для упрощения данной системы, в результате которого получится система алгебраических уравнений для производящих функций [4, 5]:

п-1 -

куа (м) = Ру ап ■ /у а И + 1Ру аЪ ' /у » ' Ку Ъ(м) , а = 1, П - 1, (4)

Ъ=1

где ку a (v) — преобразование Лапласа функции Ka( )); fу a(v) — преобразование Лапласа функции Fa()).

Для элементов полумарковской матрицы Sуab()) преобразование Лапласа определяется как

s у ab(v = p у abf у a(v). (5)

Необходимая величина f у a(v) в формуле (5) в соответствии с [5] определяется для каждого из типовых законов распределений времени пребывания ВП в a-м состоянии различными способами.

Если время пребывания ВП в a-м состоянии описывается равномерным законом распределения на отрезке [xia;x2a], имеем

e (—*lav)[l-e<-]

/у а (V) =-. (6)

у X2aV

Если время пребывания ВП в a-м состоянии описывается экспоненциальным законом распределения со средним значением ma, то

/у а (V) = . (7)

у 1 + maV

Если время пребывания ВП в a-м состоянии описывается нормальным законом

2

распределения со средним значением / и дисперсией <за, имеем

1 2 2

/у а(V) = e 2 . (8)

Для удобства записи будем подразумевать:

Sab = Sу ab(V); ka = ку a(v).

Систему уравнений (4) с учётом выражения (5) можно представить в следующем

виде:

(1 - s1,1)k1 —S1,2k2 -s1,3k3 - ■■■-s1,n-1kn-1 = s1,n;

- s2,1k1 + (1—s2,2)k2 — s2,3k3 — ■■■ —s2,n—1kn—1 =s2,n; (9)

5п-1,1к1 sп-1,2к2 ^-1,3^3 ■■■+(1 5п-1,п-\)кп-1=5п-1,п ■

Для решения системы уравнений (9) применим численный метод решения системы алгебраических уравнений — метод исключения Гаусса с учётом ограничения: «ведущие» коэффициенты уравнений системы должны быть отличны от 0 [6]. Для рассматриваемой системы уравнений это требование выполняется, так как 5аа< 1 для г = 1,п -1 и «ведущие» коэффициенты уравнений системы (1 - Saa) > 0 для г = 1,п -1.

Можно получить приведённое уравнение, разделив первое уравнение системы (9) на (1 - 51,1):

к1 2 к2 з кз

_ о (!) к 1= V (1)

(10)

где

5(1) = 51,Ь

1,4

1-5,

Ь= 2, и.

Для исключения к1 из оставшихся уравнений системы (9) полученное приведённое уравнение (10) перемножим на соответствующий коэффициент (-¿ад) при к1 каждого уравнения системы (9), после чего из а-го уравнения (а= 2, п -1) вычтем полученное уравнение.

В результате система уравнений примет вид

к1 51,2 к 2 51,3к 3 ■■■ 51,п-1кп-1-51,п ■

(1 - 511) )к - 511) к - -511) к М ■

(1 52,2)к 2 5 2,3 к3 ■■- 52,п-1кп-1-52,п'

-5

11)

,11)

-1,2к 2 5п-1,3к3 ■■+(1 5п-1,п- 1)ки - 1-5и-1.

11)

11)

,11) =

где 5а,Ь -5а,Ь + 5а,151,Ь, а - 2 п

^^, а -2, п -1, Ь—2, п

(11)

(12)

Описанным выше приёмом из системы (11) можно далее исключить к2 и получить новые коэффициенты, которые можно вычислить по формулам типа (12) и т.д. Данная операция представляет собой прямой ход метода Гаусса [6].

По завершении преобразований прямого хода метода Гаусса получим следующую систему приведённых уравнений:

к-5(1)к -511)к - -5(1) к -5(1)■ к1 51,2к2 51,3к3 ■■■ 51,п-1 кп-1 51,п ■

к2 52,3кз-----52,п-1 кп-1-52,))

(13)

к (п-1) кп-1 5п- 1,п ,

(с)

где 5сь =

Лс-1) 5с,Ь

1 -5

(с-1)

5(с)-5(с-1) + 5(с-1) „(с) „ (0)- „ 5а,Ь -5а,Ь +5а,с 5с,Ь , 5аЬ - 5

аЬ,

(14)

с-1, п-1, а -с +1, п-1, Ь -с +1, п,

Подставляя найденные коэффициенты в уравнения, последовательно находим

все неизвестные системы уравнений:

к -51п ■

к -51"-2)+5М) к ■

кп-2 -5п- 2,п +5п-2,п-1кп-1 ■

(15)

к -511)+5М к + 5 ^ к + +5^ к

к1-51,п +51,п-1кп-1+ 51,п-2 кп- 2 + "^Ч, 2 к 2 ■

Данная операция представляет собой обратный ход Гаусса [2].

метода

п

с,с

Введём следующие обозначения:

Ттаху - максимально допустимое время выполнения функций ВП;

Тт — среднее значение случайной величины Ттах у.

ут=— — параметр экспоненциального закона распределения максимально до-

^т

пустимого времени выполнения функций ВП.

Показатель эффективности ВП [3] выражается через ВВХ отдельных состояний её функционирования следующим образом:

Е = к М). (16)

Для определения показателя эффективности ВП (Е) сначала с помощью формул (6)—(8) или аналогичных им для иных законов распределения вычисляются /а^т), после чего по формуле (5) определяются величины ^¿(мт), затем с использованием выражений (14) вычисляются коэффициенты уравнений системы (13) и, наконец, с помощью системы уравнений (15) рассчитывается с подстановкой V = Vm искомое значение показателя эффективности ВП (Е), определённого равенством (16).

Процесс расчёта показателя эффективности ВП СЭД сформулирован в виде алгоритма, представленного на рисунке. Основными блоками алгоритма, реализующими применённые численные методы, являются:

Блок 4. Вычисление значений куа(уп) на основе формул преобразований Лапласа.

Блоки 5, 6, 7. Выполнение преобразования Лапласа элементов полумарковской матрицы 8уаъ(т) по формуле (5) для различных переходов КПП.

Блоки 8—12. Прямой ход метода Гаусса, направленный на определение значений коэффициентов £(с1 , £(с1 системы приведённых уравнений (13) с изменением па-

раметров с=1, п- 2, а=с +1, п -1, Ъ=с +1, п.

Блок 13. Вычисление значения коэффициента £(п-системы приведённых уравнений.

Блок 14. Искомое значение функции куп-1(мп) в точке V = Vn для (п-1)-го состояния КПП соответствует найденному в блоке 13 значению коэффициента £(- ^ .

Блок 19. Обратный ход метода Гаусса. Вычисление значений функции куа(Уп) в точке V = Vn для различных значений параметра а системы приведённых уравнений.

Алгоритм расчёта показателя эффективности ВП в СЭД

Заключение. Предложенные математическая модель и алгоритм расчёта показателя эффективности ВП СЭД с использованием операционного метода преобразования Лапласа и численного метода исключения Гаусса могут служить основой дальнейшей разработки программного комплекса для расчёта данного показателя с целью проведения вычислительного эксперимента.

ЛИТЕРАТУРА

1. ГОСТ 28195-89. Оценка качества программных средств. — М. : Издательство стандартов, 1990.

2. Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. — М. : Советское радио, 1977. — 488 с.

3. Методы и средства оценки эффективности подсистемы защиты конфиденциального информационного ресурса при её проектировании в системах электронного документооборота: монография / под ред. проф. А. В. Муратова. — Воронеж : Воронежский государственный технический университет, 2015. — 107 с.

4. Диткин В. А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М. : Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.

5. Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. — М. : Наука, 1980. — 336 с.

6. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М. : Наука, 1978. — 296 с.

REFERENCES

1. GOST 28195-89. Otsenka kachestva programmnyih sredstv. — M. : Izdatelstvo standartov, 1990.

2. Tihonov V. I., Mironov M. A. Markovskie protsessyi. — M. : Sovetskoe radio, 1977. — 488 s.

3. Metodyi i sredstva otsenki effektivnosti podsistemyi zaschityi konfidentsialnogo in-formatsionnogo resursa pri eyo proektirovanii v sistemah elektronnogo dokumentooborota: monografiya / pod red. prof. A. V. Muratova. — Voronezh : Voronezhskiy gosudarstvennyiy tehnicheskiy universitet, 2015. — 107 s.

4. Ditkin V. A., Prudnikov A.P. Integralnyie preobrazovaniya i operatsionnoe ischisle-nie. — M. : Glavnaya redaktsiya fiziko-matematicheskoy literaturyi izdatelstva «Nauka», 1974. — 544 s.

5. Romanovskiy P. I. Ryadyi Fure. Teoriya polya. Analiticheskie i spetsialnyie funktsii. Preobrazovanie Laplasa. — M. : Nauka, 1980. — 336 s.

6. Kalitkin N. N. Chislennyie metodyi. — M. : Nauka, 1978. — 296 s.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Дровникова Ирина Григорьевна. Профессор кафедры автоматизированных информационных систем ОВД. Доктор технических наук, доцент.

Воронежский институт МВД России. E-mail: [email protected]

Россия, 394065, г. Воронеж, просп. Патриотов, 53. Тел. (4732) 200-51-82.

Зиновьев Павел Владимирович. Заместитель начальника отдела.

Воронежский институт правительственной связи (филиал) Академии ФСО России.

E-mail: [email protected].

Россия, 394042, г. Воронеж, ул. Минская, 2. Тел. (473) 210-30-10.

Рогозин Евгений Алексеевич. Профессор кафедры автоматизированных информационных систем ОВД. Доктор технических наук, профессор.

Воронежский институт МВД России. E-mail: [email protected]

Россия, 394065, г. Воронеж, просп. Патриотов, 53. Тел. (473)200-51-82.

Drovnikova Irina Grigoryevna. Professor of the chair of Automatic Information Systems. Doctor of Technical Sciences. Associate Professor

Voronesh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.

Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov , 53. Tel. (473) 200-51-82. Zinoviev Pavel Vladimirovich. Deputy head of department.

Voronezh Institute of Government Communication (the branch) of the Academy of Federal Guard Service of Russia.

E-mail: [email protected].

Work address: Russia, 394042, Voronezh, Minskaya Str., 2. Tel. (473) 210-30-10.

Rogosin Evgeny Alekseevich. Professor of the chair of Automatic Information Systems. Doctor of Technical Sciences, Professor.

Voronesh Institute of the Ministry of the Interior of Russia. E-mail: [email protected]

Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. (473)200-51-82.

Ключевые слова: эффективность, преобразование Лапласа, численный метод исключения

Гаусса.

Key words: efficience, Laplace transform, numerical method by Gaussian elimination. УДК 004.051