ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ И КОМПЛЕКСНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Программные системы и вычислительные методы

Правильная ссылка на статью:

Скляр А.Я. Численные методы нахождения корней многочленов с действительными и комплексными коэффициентами // Программные системы и вычислительные методы. 2024. № 3. DOI: 10.7256/24540714.2024.3.71103 EDN: KTJPCE URL: https://nbpublish.com'llbrary_read_article.php?id=71103

Численные методы нахождения корней многочленов с действительными и комплексными коэффициентами

Скляр Александр Яковлевич

кандидат технических наук

доцент; кафедра прикладная математика; Российский технологический университет (МИРЭА)

119602, Россия, г. Москва, Вернадского, 78

И [email protected]

Статья из рубрики "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент"

DOI:

10.7256/2454-0714.2024.3.71103

EDN:

KTJPCE

Дата направления статьи в редакцию:

23-06-2024

Аннотация: Предметом исследования является рассмотрение и анализ набора алгоритмов численного нахождения корней многочленов, прежде всего комплексных на основе методов поиска приближенного разложения исходных полиномов на множители. Если численное нахождение действительных корней обычно не вызывает трудностей, то с нахождением комплексных корней возникает ряд сложностей. В данной статье предлагается набор алгоритмов последовательного нахождения кратных корней многочленов с действительными корнями, далее действительных корней выделением интервалов, потенциально содержащих корни и заведомо не содержащих их, а затем комплексных корней многочленов. Для нахождения комплексных корней используется итеративное приближение исходного многочлена произведением трехчлена на многочлен меньшей степени с последующим использованием метода касательных в комплексной области в окрестности корней полученного трехчлена. Для нахождения корней многочлена с комплексными коэффициентами предлагается решение эквивалентной задачи с действительными коэффициентами. Реализация поставленных задач осуществляется поэтапным применением комплекса алгоритмов. После каждого

этапа выделяется группа корней и решается та же задача для многочлена меньшей степени. Последовательность предлагаемых алгоритмов позволяет найти все как действительные, так и комплексные корни многочлена. Для нахождения корней многочлена с действительными коэффициентами строится алгоритм, включающий следующие основные этапы: определение кратных корней с соответствующим снижением степени полинома; выделение диапазона корней; нахождение интервалов, гарантированно содержащих корни и их нахождением, по их выделении остается найти только пары комплексно сопряженных корней; итеративное построение трехчленов, служащих оценкой значений таких пар с минимальной точностью, достаточной для их локализации; собственно поиск корней в комплексной области методом касательных. Вычислительная трудность предлагаемых алгоритмов является полиномиальной и не превосходит куба от степени многочлена, что позволяет получить решение для практически любых многочленов, возникающих в реальных задачах. Областью приложения помимо собственно полиномиальных уравнений является и сводимые к ним задачи оптимизации, дифференциальных уравнений и оптимального управления.

Ключевые слова:

многочлены, нахождение корней, итерационные методы, численные методы, численные алгоритмы, алгебраическое уравнение, сопряженные комплексные корни, рекурсивные алгоритмы, корни многочленов, локализация корней

Введение

Существует множество задач самого разного характера, в которых требуются определение корней многочленов. Алгебраические уравнения возникают при изучении равновесных состояний сложных термодинамических и механических систем, часто они появляются в аэродинамике, в механике полета. Например, скорость быстрейшего набора высоты самолета определяется из алгебраического уравнения восьмой степени. Алгебраические уравнения возникают также при выполнении разнообразных геометрических расчетов - определение точек пересечения и сопряжения криволинейных контуров, при проектировании гладких поверхностей, хорошо обтекаемых тел и многих других задачах.

Методы решения уравнений до второй степени известны еще со времен древней Греции. В XVI веке получены аналитические выражения для многочленов 3 степени (формула Кордано) и 4 степени, полученные Сципионом дель Ферро, Тарталья, Феррари ^^

В как 20-х гг. Абель, а затем Галуа в 30-х гг. XIX в. доказали, что такие формулы для уравнений п-й степени в общем случае при любом п > 5 заведомо не могут быть найдены.

Для численного приближенного решения уравнений высших степеней в настоящее время используются различные методы, такие как метод Лобачевского, метод Хичкока, схема

Горнера для деления многочлена на двучлен и квадратный трехчлен 4] и другие.

Другой тип алгоритмов, основанный на получении итерационных формул, за счет выделения из многочленов простых и квадратичных множителей, с последующим сопоставлением записей многочленов с остатком, когда корни являются приближенными, и без остатка, когда значения корней являются точными рассмотрен в статьях Чье Ен Ун

10.7256/2454-0714.2024.3.71103 и А.Б. Шеина [5'6'7].

Ряд алгоритмов решения полиномиальных задач и обширная библиография приведены у Г. П. Кутищева Стоит отметить также подходы для их решения в 10, 11].

Заметим, что само существование большого числа разнообразных методов в целом свидетельствует, что не существует ни одного «вполне удовлетворительного».

1. Удаление кратных корней

Многочлен степени п имеет в точности п корней и представим в виде

= а -

В общем случае не все корни хк различны.

(1.1)

Нахождения корней многочлена наталкивается на определенные трудности в случаях, когда он имеет кратные корни.

Пусть имеется кратный корень х* с кратностью т, тогда Рп(х) можно представить в виде

(1.2)

Рп{х) = {х-х>ТСп-т{х) Следовательно, Рп(х) и Р'п(х) будут иметь общий делитель (х-х*)т-1.

Тогда, используя алгоритм Евклида можно найти наибольший делитель <2(х) многочленов Рп(х) и Р'п(х).

И исходный многочлен Рп(х) быть представлен, как

(1.4)

Многочлен Н(х) при этом будет иметь те же корни, что и Рп(х), но не будет иметь кратных

корней. Таким образом исходная задача сводится к нахождению корней многочлена, все корни которого различны.

2. Определение диапазона корней

Рассмотрим уравнение (а о будем полагать равным 1)

Согласно известной теореме [1,2] все корни Хк (к = 1, 2, ..., п) многочлена в комплексной плос кос ти ле ж а т в ко льце

г <| хк |< К, где

1

Л < 1 + А;Г >

1 + в/К!

Программные системы и вычислительные методы, 2024 - 3 (2.2)

А = тах^я,.!; В = тах

В то же время сразу отметим, что это утверждение можно несколько усилить.

Проведем замену переменной x=y/t. В этом случае исходное уравнение относительно у примет вид

у + = о

(2.3)

Д.. < 1 + А.,] 7- > -—-;--

у у 1 + В /(|а0|£п)

Ау = тах |я,.(;" к|; В., = _ тах *

1се[1Я]' 14 у ^"[О.п-!]'"*

Учитывая характер подстановки, можно записать

Меняя значение t, можно добиться уменьшения оценки верхней границы.

Пусть максимальное значение принимает модуль коэффициента при ут. Тогда оценка по этому коэффициенту будет не менее, чем

^^ находится из

—-г + (тг — т — 1) = 0; =

(2.4)

(С^-т-ЛЖ!)

1 /(п-т)

Таким образом можно утверждать, что оценка лежит между значениями, соответствующими текущему значению t и

В то же время при изменении t меняются и другие коэффициенты. Таким образом получаем ограничения на пересечение линий их изменения.

Если tr не лежит внутри интервала t и то его можно игнорировать. Из остальных выбираем значение ближайшее к t.

Если таковых нет, то оптимальное tr=t*. Если знаки производных

совпадают, то дальнейшее улучшение невозможно. Оптимальное tr=t*.

Если знаки производных совпадают, то принимаем т равным к и повторяем процедуру.

Рассмотрим производную по k коэффициенту в точке t

г

1

ё

+ О - fr - rOlaJt"""-^!-^' = (п-к- 1)|а4|Г-* - 1

Рассмотрим в качестве исходного многочлен четвертой степени

t4-10t 3+35t 2-50f+24 = (t -1)(t-2)(t-3)(t-4)

Исходная верхняя граница - 51, m = 1, t =1,

Г = 1/((п-ш- 1}|ят|)»-™ = 1/((4 — 2)50)**_- = 0.2714

Точки пересечения

И окончательно получаем 3. Поиск действительных корней

Рассмотрим отдельно поиск положительных и отрицательных корней.

Пусть исходный многочлен имеет вид (старший коэффициент а о не снижая общности можно полагать равным 1).

Введем bk=(ak+|akl)/2 и Ck=(ak-|akl)/2. Для ak> 0 bk=ato Ck=0 для a^ 0 bk=0 ■ Ck=-a^ В этих обозначениях

Многочлены P+(x) и P-(x) при x>0 представляют собой непрерывные неотрицательные монотонно возрастающие функции.

Используя введенные многочлены P+(x) и P-(x) и верхнюю границу значений корней R

будем искать корни в диапазоне [A, B], где A = 0, B=R. Нижнюю границу можно уточнить до величины r*, получив диапазон [r*, R*] вместо диапазона [r, R], но это не имеет принципиального значения.

Рассмотрим подробнее алгоритм нахождения корней.

Вычисляем значения P+(x) и P-(x) на концах интервала и вызываем функцию Root вычисления корней с параметрами A, B, P+(A), P-(A) и P+(B), P-(B) . Функция Root возвращает либо найденный корень (значение большее 0), либо -1, если на данном интервале многочлен P(x) не имеет корней.

п-1

(3.1)

Н-

п

(3.2)

Алгоритм функции Root имеет следующий вид.

1. Вычисляем значения исходного многочлена на концах интервала P(A)=P+(A)-P-(A) и P(B)= P+(B)-P-(B)

2. Если P(A)=0 возвращаем найденный корень A, если P(B) = 0 возвращаем найденный корень B, если P(A)P(B)вызываем стандартную процедуру STROOT нахождения корней на заданном интервале [A, B] (например, методом дихотомии или хорд) и возвращаем, найденное ей значение.

3 . Вычисляем Qi=P+(A)-P-(B) - нижняя граница значений P(x) на интервале [A, B] и Q2=P+(B)-P.(A) - верхняя граница значений P(x) на интервале [A, B].

4. Если Q iQ 2^0, то на данном интервале корней нет и возвращаем значение -1.

5. Вычисляем C=(A+B)/2.

Вызываем функцию Root вычисления корней с параметрами A, С, P+(A), P-(A) и P+(С), P-(Q.

6. Если вычисленное значение x>0, то возвращаем найденный корень x.

7. Вызываем функцию Root вычисления корней с параметрами С, B, P+(C), P-(C) и P+(B), P-(B). Возвращаем найденный корень x (если корней нет, то -1).

Приведенный рекурсивный алгоритм позволяет найти корень многочлена в указанном диапазоне или убедиться, что внутри него нет действительных корней.

По нахождении корня u переходим к поиску следующего корня, заменив исходный многочлен Pn(x) многочленом меньшей степени Pn-^(x), Pn(x) = (x-u)Pn-}(x). Многочлен Pn-

l(x) имеет все оставшиеся корни Pn(x). Повторяя приведенный выше алгоритм, находим

все положительные корни.

Для нахождения отрицательных корней заменим исходный многочлен Pn(x) многочленом (-1)nPn(-x), корни которого имеют те же значения, но с обратным знаком. Найдя все положительные корни второго многочлена, мы тем самым найдем все действительные корни исходного многочлена.

Поскольку других действительных корней нет, то оставшиеся корни представляют пары комплексно-сопряженных чисел и оставшийся многочлен имеет четную степень.

4. Поиск комплексных корней

Пусть многочлен P2n(x) с действительными коэффициентами не имеет действительных корней, тогда он представим в виде

2н — 1 в

lt=i

Рассмотрим представление многочлена степени 2n в виде

(4.2)

Для стандартизации расчетов для всех т введем д-2= 4^1=9л-1=9л=0, дп-2=1.

Нахождение корней будем проводить на основе оптимизации аппроксимации исходного многочлена Рл(х) многочленом Rл(x).

Введем функцию

При заданных значениях р о, Р1 коэффициенты д/ находятся из требования минимизации F(p/q).

дР дг„

дгк+± дгк

+ «Т1 ■ _№ __. ||

2к+1 '2кд„ — 2 ПН-2 » "г 2кРО

Зк+гРо + Чь+лСРо + 1) + + РГ + 1) + ЧкгРгЬо + 1) + Чъ-гРо

Или

При заданных значениях д/ коэффициенты ро, Р1 находятся из требования минимизации F(p/q).

в-1 в-1

¿к " дРо

^ -к ^ = ^ Сч-кРо + Чк1р1 + 4* 2 - = 0 к = 0 0 к =0

Или

Для нахождения многочлена x2+p\x+po можно воспользоваться следующим итеративным алгоритмом.

1. Задаем начальное значение коэффициентов po, Pi.

2. На основе (4.5) рассчитываем коэффициенты q¡. Задача сводится к решению системы

линейных уравнений (СЛАУ) для 5-диагональной матрицы. Учитывая вид матрицы,

задача сводится к ряду подготовительных операций трудности O(n2) и решению СЛАУ размерности 3-3.

3. Полученный набор коэффициентов q¡ используем для получения в соответствии с (4.6) скорректированных значений po, p1.

4 . Оцениваем величину погрешности вычисления в соответствии с (4.3). Если погрешность меньше заданного порога, то заканчиваем работу алгоритма. В противном случае переходим к шагу 2 алгоритма.

В результате получаем многочлена X2+P1X+P0 дающий первую пару корней. Коэффициенты q¡ дают многочлен

который может быть использован приведенным алгоритмом для получения следующей пары корней.

Отметим, что скорость сходимости данного алгоритма невелика. Для ускорения можно воспользоваться обработкой ранее полученных значений.

Пусть на ¡-ом и ¡+ 1-ом шагах получили значения p¡i, p¡+iri и p¡o, P¡+i,o с невязками F(p,q) - Fa, Fb соответственно.

Вычислим значения pci=p¡/i+2(p¡+i/i-p¡+i/i) и pco= p¡+i/o+2(p¡+i/o-p¡/o) и соответствующее ему значение Fc.

Если Fc<Fb проводим замену точек и значений в них a=b, b = c и повторяем расчет. Если Fc <Fb, то квадратичной интерполяцией находим точку c*, принимая ее за субоптимальное значение и возвращаемся в основной алгоритм.

В точке оптимума должны одновременно выполняться (4.5 и 4.6)

В матричном виде совокупность (4.5, 4.6) представима в виде

При |А|^0 алгоритм сходится к решению задачи.

Кроме того, с точки зрения практической реализации значительно эффективнее выглядит гибридный алгоритм.

Несколько итераций базового алгоритма приводят нас в окрестность корня. Учитывая, что при отсутствии кратных корней |Р'п(х)| гарантированно не обращается в 0, при Рп(х)=0 схема с использованием значений производных (метод Ньютона), либо более тонких его модификаций [12]) обеспечивает достаточно быструю сходимость.

Пусть получено приближение 5=х2+р1х+р£. Его корень будет

Р± , . | Р1

Значение Рп(г) в окрестности го представимо в виде Это позволяет рассчитать приближение корня z*.

При го, близких к г* алгоритм сходится достаточно быстро. В результате получаем для 2

5=Х*+Р1Х + Рд

Полученное выражение используем для получения многочлена Сп-2(х) из Рп(х) = (х2+р1х+рд^п-2(х) , после чего ищем следующие корни, многочлена, совпадающие с корнями Сп-2(х).

5. Поиск корней многочленов с комплексными коэффициентами

Рассмотрим уравнение (а о будем полагать равным 1). Коэффициенты а^ - комплексные числа.

Пусть его корни - Х1, х^ ■■■, хп, тогда корни уравнения будут

Построим многочлен R2n(x)=Pn(x)Qn(x)■ Этот многочлен имеет корни

Величины bk представимы как суммы и произведения комплексно-сопряженных чисел и, следовательно являются действительными числами. Таким образом многочлен R2n(x) является многочленом с действительными коэффициентами.

Соответственно поиск корней многочлена Pn(x) с комплексными коэффициентами сводится к поиску корней многочлена R2n(x) с действительными коэффициентами. Отметим, что все действительные его корни будут кратными, а из полученных комплексных сопряженных корней часть будет посторонней.

Заключение

Последовательность предлагаемых алгоритмов позволяет найти все как действительные, так и комплексные корни многочлена.

Для нахождения корней многочлена степени n с действительными коэффициентами строится алгоритм, включающий следующие основные этапы:

■ определение кратных корней,

■ выделение диапазона корней;

■ нахождение интервалов, гарантированно содержащих корни (за время O(ln(R/H)), где R - оценка общего диапазона корней, а H длина интервала, гарантированно содержащего корень);

■ итеративное построение трехчленов, служащих оценкой значений пар комплексно -сопряженных корней (количество итераций не обязательно должно соответствовать требованиям точности решения, достаточно выполнения требования изоляции корней, после чего решение достигается традиционными методами, например методом Ньютона).

Для нахождения корней многочлена степени n с комплексными коэффициентами строится вспомогательный многочлена степени 2n с действительными коэффициентами, содержащим все корни исходного многочлена степени n с комплексными коэффициентами, для которого используется приведенный выше алгоритм. Вычислительная сложность алгоритма вполне приемлема для расчетов корней многочленов практически любой, встречающейся в реальных задачах, степени.

Программная реализация предлагаемых алгоритмов выполнена на языке C++ в среде операционной системы Windows. Учитывая вычислительный характер алгоритмов перенос их в иную операционную среду не вызывает каких-либо проблем.

Библиография

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва: Наука, 1968. С. 431.

2. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. Москва: Наука, 1989. С. 432.

3. Стиллвелл Д. Математика и её история. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных

исследований, 2004. С. 530.

4. Тынкевич М. А., Пимонов А. Г. Введение в численный анализ. Кемерово: КузГТУ. 2017. С. 176.

5. Чье Ен Ун, Шеин А.Б. Метод нахождения корней многочленов. I // Информатика и системы управления. 2012. № 4(34). С. 88-96.

6. Чье Ен Ун, Шеин А.Б. Метод нахождения корней многочленов. II // Информатика и системы управления. 2013. №1(35). С. 108-118.

7. Чье Ен Ун, Шеин А.Б. Метод нахождения корней многочленов. III // Информатика и системы управления. 2013. №3 (37). С. 110-122.

8. Кутищев Г.П. Решение алгебраических уравнений произвольной степени: Теория, методы, алгоритмы. URSS. 2015. 232 с.

9. Simon Telen. Polynomial Equations: Theory and Practice. Michal Kocvara; Bernard Mourrain; Cordian Riener. Polynomial Optimization, Moments, and Applications, Springer, pp. 215-240.

10. B. Mourrain and J. P. Pavone. Subdivision methods for solving polynomial equations. Journal of Symbolic Computation, 44(3), 292-306, 2009.

11. Berthomieu, C. Eder, and M. Safey El Din. msolve: A library for solving polynomial systems. In Proceedings of the 2021 on International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, pages 51-58, 2021.

12. Стаценко И. В. Исследование скорости сходимости одного обобщенного ньютоновского метода и классического метода ньютона в процедуре уточнения корней многочлена. // Точная наука. 2020. №78. С. 2-9.

Результаты процедуры рецензирования статьи

В связи с политикой двойного слепого рецензирования личность рецензента не раскрывается.

Со списком рецензентов издательства можно ознакомиться здесь.

Рецензируемая статья посвящена обобщению сведений о численных методах нахождения корней многочленов с действительными и комплексными коэффициентами. Методология исследования базируется на изложении алгоритмов математических действий при нахождении корней многочленов с действительными и комплексными коэффициентами, рассмотрении определенных трудностей, возникающих в процессе решения задач.

Актуальность работы авторы связывают с тем, что существует множество задач самого разного характера, в которых требуются определение корней многочленов. Научная новизна рецензируемого исследования состоит обобщении сведений о численных методах нахождения корней многочленов и в предлагаемых алгоритмах, которые позволяют найти все действительные и комплексные корни многочлена. В тоже время, представляется уместным провести сравнение предлагаемых подходов с уже известными и опубликованными ранее результатами исследований других авторов, показать отличия и преимущества авторского видения способов решения рассматриваемых задач.

Структурно в работе выделены следующие разделы: Введение, Удаление кратных корней, Определение диапазона корней, Поиск действительных корней, Поиск комплексных корней, Заключение, Библиография.

Авторами изложены алгоритмы нахождения корней многочлена степени n с действительными коэффициентами, включающие такие этапы как определение кратных корней; выделение диапазона корней; нахождение интервалов, гарантированно содержащих корни; итеративное построение трехчленов, служащих оценкой значений

пар комплексно - сопряженных корней.

Библиографический список включает 8 источников - публикации отечественных и зарубежных авторов по рассматриваемой теме за период с 1968 по 2о2о гг. В тексте публикации имеются адресные отсылки к списку литературы, подтверждающие наличие апелляции к оппонентам.

Из недостатков публикации, требующих своего устранения, стоит отметить следующие моменты. Во-первых, актуальность проведения исследования не раскрыта с достаточной ясностью. После первого предложения во введении хотелось бы увидеть примеры, демонстрирующие необходимость практического применения рассматриваемых методов и нерешенные вопросы в применении существующих подходов. Во-вторых, представляется уместным провести сравнение предлагаемых подходов с уже известными и опубликованными ранее результатами исследований других авторов, показать отличия и преимущества авторского видения способов решения рассматриваемых задач. В-третьих, с учетом названия журнала, в котором публикуется статья, уместно было бы осветить вопросы программной реализации рассматриваемых алгоритмов, достижения и проблемы этого аспекта применения численных методов нахождения корней многочленов с действительными и комплексными коэффициентами. В-четвертых, заголовки четвертого раздела и Заключение не выделены полужирным шрифтом; в предпоследнем предложении имеется несогласованное словосочетание. Рецензируемый материал соответствует направлению журнала «Программные системы и вычислительные методы», отражает результаты проведенного авторского исследования, может вызвать интерес у читателей, но нуждается в доработке в соответствии с высказанным замечанием и последующем рецензировании скорректированного ма те риа ла .

Результаты процедуры повторного рецензирования статьи

В связи с политикой двойного слепого рецензирования личность рецензента не раскрывается.

Со списком рецензентов издательства можно ознакомиться здесь.

Статья посвящена изучению численных методов для нахождения корней многочленов с действительными и комплексными коэффициентами. Рассматриваются как классические подходы, такие как метод Лобачевского, схема Горнера и метод Ньютона, так и новые итеративные алгоритмы, предложенные авторами. Особое внимание уделяется проблеме нахождения кратных корней и комплексных корней, что делает работу актуальной и востребованной в области прикладной математики и инженерных наук. Авторами предложены несколько численных методов для нахождения корней многочленов. Основной акцент сделан на итеративных алгоритмах, позволяющих последовательно уточнять приближения корней. Методология включает в себя использование модификаций классических методов, а также предложенные алгоритмы, направленные на повышение точности и эффективности вычислений. Методические подходы подробно объяснены и подкреплены примерами, что позволяет легко следовать изложенной логике.

Нахождение корней многочленов является ключевой задачей в различных областях науки и техники, таких как механика, аэродинамика, проектирование сложных инженерных систем. В условиях, когда аналитические решения уравнений высокой степени часто невозможны, численные методы становятся основным инструментом для исследователей и инженеров. Данная работа актуальна ввиду потребности в высокоточных и эффективных численных алгоритмах, способных справляться с задачами различной сложности.

Научная новизна работы заключается в разработке и предложении новых итеративных методов нахождения корней многочленов, а также в усовершенствовании существующих подходов. Авторы детализируют алгоритмы, позволяющие находить как действительные, так и комплексные корни, учитывая их кратность. Представленные методы демонстрируют высокую точность и эффективность, что подтверждается проведенными вычислительными экспериментами.

Статья написана в ясном и последовательном стиле, что способствует лёгкому восприятию материала. Структура работы логично выстроена: начинается с введения и постановки задачи, далее следуют методологические разделы, описывающие предложенные алгоритмы, и заканчивается заключением, в котором подведены итоги и сделаны выводы. Содержание статьи полностью соответствует заявленной теме и охватывает все ключевые аспекты численного решения многочленов.

В статье сделаны обоснованные выводы о том, что предложенные методы могут быть эффективно использованы для нахождения корней многочленов в различных прикладных задачах. Авторы демонстрируют, что их подходы превосходят классические методы по точности и быстродействию, особенно в сложных случаях, таких как наличие кратных и комплексных корней.

Статья представляет интерес для широкого круга специалистов, работающих в области прикладной математики, численного анализа, вычислительной механики, а также для инженеров, занимающихся проектированием сложных систем. В работе найдут полезную информацию как теоретики, так и практики, что делает её востребованной в научной и инженерной среде.

Для дальнейшего развития данной работы рекомендуется расширить исследование в направлении применения предложенных численных методов к реальным задачам из различных областей науки и техники, таких как аэродинамика, механика и компьютерная графика. Это позволит не только продемонстрировать практическую значимость разработанных алгоритмов, но и выявить возможные ограничения и области для их дальнейшего совершенствования. В частности, полезно было бы провести сравнительное исследование с существующими методами на большем количестве примеров с реальными данными, что позволит более детально оценить эффективность и точность предложенных подходов. Кроме того, стоит рассмотреть возможность адаптации и оптимизации алгоритмов для их реализации на современных параллельных вычислительных платформах, что позволит значительно ускорить процесс нахождения корней многочленов, особенно в задачах с высокой размерностью и сложностью. Рекомендуется принять статью к публикации без значительных доработок. Представленные методы и результаты являются ценным вкладом в область численного анализа и будут полезны для дальнейших исследований и практических приложений.