CC BY
14
УДК 519.862.6, 519.6
Д.А. Борзых1, М.А. Хасыков1, А.А. Языков1'2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» 2 Вычислительный центр им. А.А. Дородницына ФИЦ ИУ РАН
Численное сравнение V-MLR- и CUSUM-методов обнаружения структурных сдвигов для кусочно-заданных GARCH-моделей
Предложен новый метод обнаружения структурных сдвигов для GARCH-моделей, названный авторами V-MLR. С помощью двух численных экспериментов, состоящих из 10 000 испытаний каждый, предлагаемый нами V-MLR-метод сопоставляется с хорошо известным CUSUM-методом. В первом эксперименте с одним структурным сдвигом V-MLR-метод обнаружил правильное число структурных сдвигов в 91 % случаев, а CUSUM-метод — в 85 % случаев. При этом точность обнаружения самого структурного сдвига обоими методами оказалась сопоставимой. Во втором эксперименте без структурных сдвигов V-MLR-метод указал на отсутствие структурных сдвигов в 99 % случаев, в то время как CUSUM-метод — лишь в 91 % случаев. Таким образом, проведенные численные эксперименты указывают на то, что при сопоставимой точности обнаружения моментов структурных сдвигов предлагаемый V-MLR-метод обладает большей чувствительностью к структурным сдвигам по сравнению с CUSUM-методом.
Ключевые слова: GARCH, структурные сдвиги, волатильность, статистика отношения правдоподобия, CUSUM.
D.A. Borzykh1, M.A. Khasykov1, A.A. Yazykov1'2
1National Research University Higher School of Economics 2Dorodnicyn Computing Centre, FRC CSC RAS
Numerical comparison of V-MLR- and CUSUM-methods of structural breaks detection for piecewise-specified
GARCH-models
In this paper, we propose a new method of structural breaks detection for GARCH-models called V-MLR. We use two numerical experiments consisting of 10 000 simulations to compare our V-MLR method with the well-known CUSUM method. In the first experiment with a single structural break, the V-MLR method finds the correct number of structural breaks in 91 % cases, and CUSUM — in 85% cases. The accuracy of the structural break detection by both methods was proved to be comparable. In the second experiment without any structural breaks the V-MLR method indicates the absence of structural breaks in 99 % cases, while CUSUM — in 91 % cases only. Thus, the numerical experiments suggest that V-MLR and CUSUM methods have comparable accuracy of structural breaks moment detection, but the proposed V-MLR method has a greater sensitivity to structural breaks as compared to CUSUM.
Key words: GARCH, structural breaks, volatility, likelihood ratio statistics, CUSUM.
© Борзых Д. А., Хасыков М. А., Языков А. А., 2017
© Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2017
1. Введение
Для получения более точных оценок коэффициентов эконометрических моделей требуется большее количество наблюдений. Однако при расширении выборки исследователи зачастую сталкиваются с проблемой, называемой структурными сдвигами или разладками случайного процесса. Как известно, игнорирование структурных сдвигов при оценивании модели приводит к некорректным результатам.
В работе рассматривается задача обнаружения структурных сдвигов в рамках семейства кусочно-заданных GARCH-моделей. Некоторые подходы к решению этой задачи можно найти, например, в [1—5]. В данной статье мы предлагаем новый метод обнаружения структурных сдвигов, который состоит из двух шагов. На первом шаге с помощью введенной нами скользящей статистики отношения правдоподобия (MLR — Moving Likelihood Ratio) алгоритм обнаруживает точки возможных структурных сдвигов. На втором шаге выполняется процедура валидации (Validation) — найденные на первом шаге точки подвергаются перепроверке. В связи с указанными шагами данный метод был нами назван V-MLR (Validated Moving Likelihood Ratio).
Опишем структуру дальнейшей части работы. Во втором разделе данной работы приводится описание предлагаемого V-MLR-метода. Третий раздел посвящен выяснению статистических свойств V-MLR-метода. С помощью численных экспериментов по методу Монте-Карло V-MLR-метод сопоставляется с хорошо известным CUSUM-методом (см., например, [3]). Показано, что при сопоставимой точности обнаружения моментов структурных сдвигов предлагаемый V-MLR-метод обладает большей чувствительностью к структурным сдвигам по сравнению с CUSUM-методом.
2. Описание V-MLR-метода
Пусть k > 0 — неизвестное число структурных сдвигов временного ряда длины T, а П, Tk — моменты структурных сдвигов, разделяющие исходный ряд на k + 1 сегмент. Будем предполагать, что j-й фрагмент временного ряда описывается соотношениями
j = 1, ..., k + 1, To := 1, Tk+i := T + 1, 6j := (wj, 5j, Yj) — неизвестные параметры модели, принадлежащие множеству в := {(w, 5, 7): w > 0,5 > 0, 7 > 0, 5 + 7 < 1}, а -
последовательность независимых стандартных нормальных случайных величин.
Определим скользящую статистику отношения правдоподобия (MLR — Moving Likelihood Ratio). Для этого зафиксируем параметр h > 0, отвечающий за ширину «скользящего окна», и положим по определению
MLRT := -2 max ^61,62,т,[т - h; т + h]) - max ^61,62,т,[т - h; т + h]) \01,02бв, 01,02 6© 01=02
где т е [h + 1; T - h], 61 := (wi, 5i, 71), 62 := (W2, 52, 72) и
Yt = £и £t = at • & o2t = wj + 5j • at_i + 7j • е^-^ где Tj-i < t < Tj - 1,
¡(61,62, т, [a; 6]) := - 1 £ (in 2^ + ln a?(6i) + ^¡щ)
t=a
логарифмическая функция правдоподобия, соответствующая модели
f Yt = £t, £t = at • Ct, a} = wi + 5i • a— + 71 • £^-1, t е [a; т - 1], \ Yt = £t, £t = at • Ct, at2 = w2 + 52 • a— + 72 • ¿1-1, t е [т; 6],
допускающей структурный сдвиг в момент времени т.
Идея предлагаемого метода состоит в том, что в случае отсутствия структурного сдвига в точке т статистика МЬЯ,Т в среднем принимает сравнительно небольшие значения. в то время как при наличии структурного сдвига в точке т данная статистика принимает достаточно высокие значения. Таким образом, для реализации данного подхода нам потребуется критическая точка, указывающая на то, приняла ли статистика МЬЯ,Т «достаточно большое» или «достаточно маленькое» значение.
Проведенные испытания по методу Монте-Карло в предположении отсутствия структурных сдвигов показали, что распределение статистики МЬЯТ достаточно сильно зависит от параметров модели ш, 5 и 7. По этой причине мы ограничили множество В допустимых значений параметров до множества
О := {(ш, 5, 7): ш < ш < ш, 5 < 5, 7 < 5 + ^ < 1},
где ш = 0, 0001, ш = 0, 031, 5 = 0, 7, 7 = 0.
Анализ литературы (см., например, [6, гл. 7, § 4, с. 156, табл. 7.4], [7-15]) показывает, что данное множество О является достаточно широким для приложений при изучении реальных финансово-экономических временных рядов.
Далее, на введенном выше множестве О мы задали сетку
• параметр ш пробегает все значения из отрезка [ш; ш] с шагом Дш = 0,001;
• параметр 5 пробегает все значения из отрезка [5; 1 — Д5] с шагом Д5 = 0,03;
• при каждом фиксированном значении параметра 5 параметр 7 пробегает все значения из отрезка [7; (1 — Д7) — 5] с шагом Д7 = 0,03.
Для каждого узла (ш, 5, 7) сетки 2 с помощью модели (1) с ш1 = ш2 = ш, 51 = 52 = 5, 71 = 72 = 7, Н = 200, а = т — Н и Ь = т + Н мы провели серию из 10 000 симуляций, в каждой из которых была рассчитана статистика МЬЯ,Т. На основе вычисленных значений статистики МЬЯ,Т мы получили 99% выборочные квантили дмья(ш, 5, 7), где (ш, 5, 7) € 2, и определили верхнюю критическую точку:
Чмья := тах дмья(ш, 5, 7) = 17, 78.
Теперь опишем У-МЬИ-алгоритм обнаружения структурных сдвигов.
Ш!аг 1 (обнаружение). Пусть в некоторой точке т* € ^ функция МЬЯТ имеет Н-локальный максимум (Ш € [т* — Н; т* + Н] \ {т*} : МЬЯг < МЬЕТ*). Если МЬЕТ* > считаем точку т* точкой возможного структурного сдвига; в противном случае считаем, что в точке т* структурного сдвига нет.
ШШаг 2 (перепроверка). Пусть на предыдущем шаге алгоритм обнаружил к > 0 возможных структурных сдвигов т1, ..., т. Для каждого возможного структурного сдвига т^, у = 1, ..., к, рассчитываем статистику
) := —Кв1 ,в2,тз, [тз-1; тз+1 — 1]) - та* 1{01,б2,тэ, [тз-1; тэ+1 — 1]) ). в1=в2
Тогда если ЬК(т^^) > Цмья, то точка т^ объявляется структурным сдвигом, в противном случае — считаем, что в точке т^ структурного сдвига нет.
3. Сопоставление У-ЫЬК- и CUSUM-методов
Данный раздел посвящен изучению статистических свойств У-МЬИ-метода. Для этого нами проведено два численных эксперимента по методу Монте-Карло, в каждом из которых У-МЬИ-метод сравнивался с хорошо известным СИБИМ-методом [3]. В первом
эксперименте с одним структурным сдвигом получено, что при сопоставимой точности обнаружения моментов структурных сдвигов V-MLR-метод чаще обнаруживает правильное число структурных сдвигов. Во втором эксперименте, не содержащем структурных сдвигов, V-MLR-метод указал на отсутствие структурных сдвигов в 99 % случаев, в то время как CUSUM-метод — лишь в 91 % случаев.
Численный эксперимент 1. Данный эксперимент состоял из 10 000 симуляций, в каждой из которых генерировался ряд (Yt)f=1 согласно модели
Yt = et, £t = at • Ct, at = 0, 001 + 0, 8 • a2t-1 + 0,1 • e2t-1, t e [1; 1000], Yt = £t, et = at • Ct, at = 0, 006 + 0, 8 • a— + 0,1 • et-1, t e [1001; 2000],
содержащей структурный сдвиг в точке 7"i = 1001. Для каждого из сгенерированных рядов были применены V-MLR- и CUSUM-методы обнаружения структурных сдвигов. В результате получено, что V-MLR-метод обнаружил правильное число структурных сдвигов в 91,00% случаев, в то время как CUSUM-метод — только в 84,97% случаев. Для подвы-борок, в которых указанные методы обнаружили правильное число структурных сдвигов, были рассчитаны характеристики, отражающие точность обнаружения структурных сдвигов: Mean(f1) := -lYlf=1 j — среднее и MAE(r1) := -lYlf=1 \ j — т1\ — среднее абсолютное отклонение (см. табл. 1).
Таблица1
Mean и MAE для V-MLR- и CUSUM-методов
V-MLR CUSUM
Mean MAE 1001,44 11,54 1010,94 10,92
Как видно из табл. 1, СИБИМ-метод имеет несколько меньшее среднее абсолютное отклонение по сравнению с У-МЬИ-методом, однако У-МЬИ-метод практически не имеет смещения в отличие от СИБИМ-метода.
Таким образом, получено, что при сопоставимой точности оценивания моментов структурных сдвигов предлагаемый нами У-МЬИ-метод чаще обнаруживает правильное число структурных сдвигов по сравнению с СИБИМ-методом.
1020
1015
1010
1005
1000
995
990
- V-MLR
■ CUSUM
2000 4000 6000 8000 10000
0
Рис. 1. График Mean для V-MLR- и CUSUM-методов в зависимости от числа проводимых симуляций
20
15
10
5
0
0 2000 4000 6000 8000 10000
Рис. 2. График MAE для V-MLR- и CUSUM-методов в зависимости от числа проводимых симуляций
На рис. 1 и 2 приведены графики Mean и MAE для V-MLR- и CUSUM-методов в зависимости от числа проводимых симуляций. Графики показывают, что результат, приведенный в табл. 1, является достаточно стабильным и практически не будет меняться при дальнейшем увеличении числа проводимых симуляций.
Численный эксперимент 2. Во втором эксперименте также было проведено 10 000 испытаний. В отличие от предыдущего эксперимента, модель, порождающая данные
Yt = £t, £t = at • at =0, 001 + 0, 8 • a— + 0,1 • e2t-1, t e [1; 2000],
не содержала структурных сдвигов. Получены следующие результаты: V-MLR-метод указал на отсутствие структурных сдвигов в 99,45 % случаев, в то время как CUSUM-метод — только в 90,65 % случаев.
1.05
0.95
0.9
0.85
-V-MLR
■ CUSUM
ь\ ^
V v
0 2000 4000 6000 8000 10000
1
Рис. 3. График доли правильного определения числа структурных сдвигов для V-MLR-и CUSUM-методов в зависимости от числа проводимых симуляций при условии отсутствия структурных сдвигов
На рис. 3 приведен график доли правильного определения числа структурных сдвигов для V-MLR- и CUSUM-методов в зависимости от числа проводимых симуляций при условии отсутствия структурных сдвигов.
Приведенный график говорит о том, что полученный выше результат является стабильным, т. е. практически не будет меняться при дальнейшем увеличении числа проводимых симуляций.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-1100432).
Литература
1. Lee S., Kim S, Cho S. On the CUSUM test for parameter changes in GARCH(1,1) Models // Communications in Statistics — Theory and Methods. 2000. V. 29, N 2. P. 445-462.
2. Lee S., Tokutsu Y., Maekawa K. The CUSUM test for parameter change in regression models with ARCH errors // Journal of the Japanese Statistical Society. 2004. V. 34, N 2. P. 173-188.
3. Kokoszka P., Leipus R. Change-point estimation in ARCH models // Bernoulli. 2000. V. 6. N 3. P. 513-539.
4. Davis R, Lee T., Rodriguez-Yam G. Break detection for a class of nonlinear time series models // Journal of Time Series Analysis. 2008. V. 29, N 5. P. 834-867.
5. Ross G.J. Modeling Financial Volatility in the Presence of Abrupt Changes // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2013. V. 192, N 2. P. 350-360.
6. Francq C., Zakoian J.-M. GARCH models: structure, statistical inference and financial applications. John Wiley & Sons, 2010.
7. Bollerslev T. Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity // Journal of Econometrics. 1986. V. 31. P. 307-327.
8. Bollerslev T. A Conditionally Heteroskedastic Time Series Model for Speculative Prices and Rates of Return // The Review of Economics and Statistics. 1987. V. 69, N 3. P. 542-547.
9. Bollerslev T, Wooldridge J. Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in Dynamic Models with Time-Varying Covariances // Econometric Reviews. 1992. V. 11, N 2. P. 143-172.
10. Bollerslev T, Mikkelsen H.O. Modeling and pricing long memory in stock market volatility // Journal of econometrics. 1996. V. 73, N 1. P. 151-184.
11. Andersen T.G., Bollerslev T. Answering the skeptics: Yes, standard volatility models do provide accurate forecasts // International economic review. 1998. V. 39, N 4. P. 885-905.
12. Engle R. GARCH 101: The use of ARCH/GARCH models in applied econometrics // The Journal of Economic Perspectives. 2001. V. 15, N 4. P. 157-168.
13. Tse Y.K. The conditional heteroscedasticity of the yen-dollar exchange rate // Journal of Applied Econometrics. 1998. V. 13, N. 3. P. 49-55.
14. Bera A.K., Higgins M.L. ARCH models: Properties, Estimation and Testing // Journal of Economic Surveys. 1993. V. 7, N 4. P. 305-366.
15. Peresetsky A., Ivanter A. Interactions of the Russian Financial Markets // Economics of Planning. 2000. V. 33. P. 103-140.
References
1. Lee S, Kim S, Cho S. On the CUSUM test for parameter changes in GARCH(1,1) Models. Communications in Statistics — Theory and Methods. 2000. V. 29, N 2. P. 445-462.
2. Lee S, Tokutsu Y, Maekawa K. The CUSUM test for parameter change in regression models with ARCH errors. Journal of the Japanese Statistical Society. 2004. V. 34, N 2. P. 173-188.
3. Kokoszka P., Leipus R. Change-point estimation in ARCH models. Bernoulli. 2000. V. 6, N 3. P. 513-539.
4. Davis R., Lee T., Rodriguez-Yam G. Break detection for a class of nonlinear time series models. Journal of Time Series Analysis. 2008. V. 29, N 5. P. 834-867.
5. Ross G.J. Modeling Financial Volatility in the Presence of Abrupt Changes. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2013. V. 192, N 2. P. 350-360.
6. Francq C., Zakoian J.-M. GARCH models: structure, statistical inference and financial applications. John Wiley & Sons, 2010.
7. Bollerslev T. Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity. Journal of Econometrics. 1986. V. 31. P. 307-327.
8. Bollerslev T. A Conditionally Heteroskedastic Time Series Model for Speculative Prices and Rates of Return. The Review of Economics and Statistics. 1987. V. 69, N 3. P. 542-547.
9. Bollerslev T, Wooldridge J. Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in Dynamic Models with Time-Varying Covariances.Econometric Reviews. 1992. V. 11, N 2. P. 143-172.
10. Bollerslev T, Mikkelsen H.O. Modeling and pricing long memory in stock market volatility. Journal of econometrics. 1996. V. 73, N 1. P. 151-184.
11. Andersen T.G., Bollerslev T. Answering the skeptics: Yes, standard volatility models do provide accurate forecasts. International economic review. 1998. V. 39, N 4. P. 885-905.
12. Engle R. GARCH 101: The use of ARCH/GARCH models in applied econometrics. The Journal of Economic Perspectives. 2001. V. 15, N 4. P. 157-168.
13. Tse Y.K. The conditional heteroscedasticity of the yen-dollar exchange rate. Journal of Applied Econometrics. 1998. V. 13, N. 3. P. 49-55.
14. Bera A.K., Higgins M.L. ARCH models: Properties, Estimation and Testing. Journal of Economic Surveys. 1993. V. 7, N 4. P. 305-366.
15. Peresetsky A., Ivanter A. Interactions of the Russian Financial Markets. Economics of Planning. 2000. V. 33. P. 103-140.
Поступила в редакцию 03.07.2017
